CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC. A, Trong chương trình toán THCS cũng như trong bồi dưỡng học sinh giỏi cấp II, chứng minh đẳng thức là một trong những chuyên đề quan trọng. Thông qua chứng minh đẳng thức ta có thể ôn lại cho học sinh rất nhiều kiến thức về tính toán, biến đổi, rút gọn trong tập hợp Q. Chứng minh đẳng thức, học sinh ngoài việc được rèn luyện kĩ năng tính toán, biến đổi, học sinh còn được nâng cao về mặt tư duy lôgic, lập luận các vấn đề chặt chẽ, được rèn luyện khả năng sáng tạo. Có thể nói phương pháp chứng minh đẳng thức rất đa dạng và là tổng hợp các phương pháp lập luận, biến đổi để chứng minh đề nào dược một vấn đề nào đó của cấp học. Trong chuyên đề chứng minh đẳng thức, ở đây chỉ xin nêu ra một số dạng chứng minh và một số phương pháp giải gần gũi với học sinh cấp II. Công cụ toán học chưng minh đẳng thức chỉ phù hợp với đối tượng học sinh cấp II. Cái quan trọng là yêu cầu học sinh phải có sự lập luận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ các khía cạnh, các trường hợp cụ thể của từng vấn đề. Đặc biệt là hết sức sáng tạo trong chứng minh đẳng thức, biết đặc biệt hoá, tổng quát hoá những vấn đề cần thiết. Trong tài liệu này không đi sâu vào lí thuyết mà chủ yếu đưa ra từng loại bài tập qua các ví dụ cụ thể từ đó hình thành kĩ năng, phương pháp chứng minh. Hệ thống bài tập vân dụng sẽ giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp chứng minh và đặc biệt có điều kiện để rèn luyện khả năng sáng tạo của mình. I. Các phương pháp chứng minh: 1. Chứng minh bằng cách biến đổi đồng nhất. 2. Chứng minh bằng cách sử dụng hằng đẳng thức. 3. Chứng minh dựa vào dãy tỉ số bằng nhau. 4. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp. II. Một số ví dụ và bài tập. 1.Chứng minh bằng cách biến đổi đồng nhất. Bài 1: Cho phân số b a . Chứng minh rằng nếu có b a yb xa = − − thì b a y x = Chứng minh: Ta có : b a yb xa = − − ⇒ (a – x ).b = (b – y ). a ⇒ ab – x b = ab – a y ⇒ bx = ay hay b a y x = Bài 2: Cho ab – ac + bc – c 2 = - 1 với a,b,c ∈ Z. Chứng minh rằng : a + b = 0. Chứng minh: Ta có : ab – ac + bc – c 2 = - 1 (ab – ac ) + (bc – c 2 ) = - 1 a(b – c )+ c(b – c ) = -1 (b – c )(a + c) = -1 Vì a, b, c nguyên nên:    −=− =+ 1 1 cb ca hoặc    =− −=+ 1 1 cb ca ⇒ a + b = 0. (ĐPCM) Bài 3: Cho 1 =− a b c d (1). Chứng minh rằng: d c b a d c b a −= . Chứng minh: Ta có : bd bcad d c b a − =− (2) Từ (1) ⇒ 1 = − ac bcad ⇒ ad – bc = ac (3). Thay (3) vào (2) : bd ac d c b a =− = d c b a (ĐPCM) Bài 4: Cho các số a, b, c, x , y , z thoả mãn điều kiện c z b y a x == Chứng minh rằng : c bxay b azcx a cybz − = − = − Chứng minh: Đặt c z b y a x == = k thì x = ak ; y = bk ; z = ck. 0 = − = − a bckbck a cybz (1) 0 = − = − b ackack b baycz (2) 0 = − = − c bakbak c bxay (3) Từ (1),(2),(3) ⇒ c bxay b azcx a cybz − = − = − Chứng minh bằng cách hoán vị vòng quanh: Sử dụng phương pháp này với các chứa nhiều biến số mà chỉ hoán vị vòng quanh các biến số đó không làm thay đổi biểu thức. Ví dụ : Chứng minh rằng: ))(())(())(( abcb ac caba cb bcac ba −− − + −− − + −− − = accbba − + − + − 222 Nhận xét: Ta thay a bằng b ; b bằng c; c bằng a. Ta chỉ cần biến đổi một thành phần của biểu thức các kết quả của các bài tập khác sẽ được suy ra từ phép biến đổi vòng quanh. Ta có: ))(( bcac ba −− − = ))(( )()( bcac bcca −− −+− = cb − 1 + ac − 1 (1) Thay a = b; b =c ; c = a vào các thành phần còn lại ta có: ))(( caba cb −− − = ba − 1 + ca − 1 (2) ))(( abcb ac −− − = ba − 1 + cb − 1 (3) Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2),(3) ⇒ VT = accbba − + − + − 222 = VP (ĐPCM) Bài tập : 1)Chứng minh rằng ; nmnm mn +++ 2 = nmnm +−+ 2) Cho x, y là hai số khác nhau , thoả mãn điều kiện: 9x(x – y ) – 10 (y – x ) 2 = 0 . Chứng minh rằng: x = 10 y 2. Chứng minh bằng cách sử dụng hằng đẳng thức: Kiến thức cơ bản: Các hằng đẳng thức đáng nhớ: 1, (a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . 2, (a – b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 . 3, (a – b )(a + b) = a 2 – b 2 4, (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b) 5, (a – b ) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3 ab 2 – b 3 (a – b ) 3 = a 3 – b 3 – 3ab (a – b ) 6, (a – b )(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 – b 3 7, (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 + b 3 Ta cũng có : (a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac. Tổng quát hằng đẳng thức 3 và 7, ta có hằng đẳng thức: 8, a n – b n = (a – b )(a n-1 + a n-2 b + a n-3 b 2 +…+ ab n-2 + b n-1 ) với mọi số nguyên dương n. Tổng quát hằng đẳng thức 6, ta có hằng đẳng thức. 9,a n + b n = (a + b )(a n-1 – a n-2 b + a n-3 b 2 – … – ab n-2 + b n-1 ) với mọi số lẻ n. Tổng quát các hằng đẳng thức 1,2,4,5 ta có công thức Niu-tơn. (a + b ) n = a n + c 1 a n-1 b + c 2 a n-2 b 2 + c 3 a n-3 b 3 + .+ c n-1 ab n-1 + b n Trong đa thức trên vế phải là một đa thức có n + 1 hạng tử, bậc của mỗi hạng tử đối với tập hợp các biến a, b là n. Bài 1: Cho : a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca. (1) Chứng minh rằng: a = b = c. Chứng minh: Nhân hai vế của biểu thức (1) với số 2 ta có: 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 = 2ab + 2bc + 2ca ⇔ 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 – 2ab – 2bc – 2ac = 0 ⇔ ( a 2 – 2 ab + b 2 ) + (b 2 – 2bc + c 2 ) + (c 2 – 2ac + a 2 ) = 0 ⇔ (a – b ) 2 + (b – c ) 2 + (c – a) 2 = 0 (1) Vì (a – b ) 2 ≥ 0; (b – c ) 2 ≥ 0 ; (c – a) 2 ≥ 0 Nên từ (1) ⇒ a – b = b – c = c – a = 0 Hay a = b = c. Bài 2: Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng : a , a 2 + b 2 – c 2 + 2bc = 4 (p – b )(p – c ) b , p 2 + (p – a ) 2 + (p – b ) 2 + (p – c ) 2 = a 2 + b 2 +c 2 Chứng minh: a, Ta có : VT = a 2 + b 2 – c 2 + 2bc = a 2 – ( b 2 + c 2 – 2bc ) = a 2 – (b – c ) 2 = (a – b + c)(a+ b – c ) = (2p – 2b )(2p – 2c) = 4 (p – b )(p – c )= VP b, Ta có: VT = p 2 + (p – a ) 2 + (p – b ) 2 + (p – c ) 2 = p 2 + (p 2 – 2ap + a 2 ) + (p 2 – 2pb + b 2 ) + (p 2 – 2pc + c 2 ) = 4p 2 + a 2 + b 2 + c 2 – 2p(a + b + c) = 4p 2 + a 2 + b 2 + c 2 – 2p. 2p = a 2 + b 2 + c 2 = VP. Bài 3: Cho a + b + c = 0 ; a 2 + b 2 + c 2 = 1. Chứng minh rằng : a 4 + b 4 + c 4 = 2 1 . Chứng minh: * Bình phương hai vế của a 2 + b 2 + c 2 = 1 ta được : a 4 + b 4 + c 4 + 2(a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ) = 1. * Bình phương hai vế của a + b + c = 0 ta được : a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) = 0 ⇒ ab + bc + ca = 2 1 − ( vì a 2 + b 2 + c 2 = 1 ) * Bình phương của đẳng thức ab + bc + ca = 2 1 − ta được: a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 + 2abc(a + b + c) = 4 1 ⇒ a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 = 4 1 (vì a + b + c = 0 ) Vậy a 4 + b 4 + c 4 + 2. 4 1 = 1 ⇒ a 4 + b 4 + c 4 = 2 1 Bài 4: Chứng minh rằng: (x +y + z) 3 – [ (x+y – z ) 3 +(x – y + z ) 3 + ( – x +y + z ) 3 ] = 24xyz Chứng minh: Đặt : A = x+y – z B = x – y + z C = – x +y + z ⇒ A + B + C = x +y + z Biến đổi vế trái: VT = (A + B + C ) 3 – ( A 3 + B 3 + C 3 ) = (A + B + C ) 3 – A 3 – B 3 – C 3 = 3(A 2 B + B 2 C + C 2 A + B 2 A + C 2 B + A 2 C + 2ABC) = 3 [ (A 2 B +B 2 A ) +(B 2 C + ABC ) + (C 2 A + C 2 B) + (A 2 C + ABC ) ] = 3 [ AB(A +B ) + BC(B + A ) +C 2 (A + B) + AC(A + B) ] = 3 (A +B )(AB + BC +C 2 + AC ) = 3 (A +B )(A + C)(B + C) = 24 xyz = VP (Đpcm) Bài 5: Giả sử x, y, z, a, b, c ≠ 0 và z c y b x a ++ = 0 và c z b y a x ++ =1 thì 2 2 2 2 2 2 c z b y a x ++ = 1. Chứng minh : Vì x, y, z, a, b, c ≠ 0 ta có ( c z b y a x ++ ) 2 = 1 2 Ta có: 2 2 2 2 2 2 c z b y a x ++ + 2 ab xy + 2 ac xz + 2 bc yz = 1 ⇔ 2 2 2 2 2 2 c z b y a x ++ + 2( ab xy + ac xz + bc yz ) = 1 (1) Mặt khác: z c y b x a ++ = 0 Hay xyz cyzbxzayz ++ = 0 ⇔ axy + bxz + cyz = 0 (2) (1) ⇔ 2 2 2 2 2 2 c z b y a x ++ + 2       ++ abc ayzbxzcxy = 1 (3) Thế (2) vào (3) ta có 2 2 2 2 2 2 c z b y a x ++ = 1 (Đpcm) Bài tập: 1) Cho a + b + c = 0 . Chứng minh rằng: a 3 + b 3 + c 3 = 3 abc 2)Cho (a + b ) 2 = 2 (a 2 +b 2 ) Chứng minh rằng : a = b 3. Chứng minh dựa vào dãy tỉ số bằng nhau. Bài 1: Cho các số a, b , c , d thoả mãn điều kiện: a d d c c b b a 3333 === và a + b +c +d ≠ 0 Chứng tỏ rằng: a= b = c = d Chứng minh: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a d d c c b b a 3333 === = )(3 adcb dcba +++ +++ = 3 1 (vì a + b +c +d ≠ 0 ) b a 3 = 3 1 ⇒ a = b (1) c b 3 = 3 1 ⇒ c = b (2) d c 3 = 3 1 ⇒ c = d (3) a d 3 = 3 1 ⇒ a = d (4) Từ (1), (2), (3), (4) ⇒ a = b= c = d. (Đpcm) Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu q p d c b a == thì eqndmb epncma ++ ++ = q p d c b a == . Chứng minh: Ta có : q p d c b a == ⇒ eq ep nd nc mb ma == = q p d c b a == ⇒ eqndmb epncma ++ ++ = q p d c b a == (theo dãy tỉ số bằng nhau) Bài 3: Chứng minh rằng: ac ac ba ba − + = − + ⇒ a 2 = bc Chứng minh: Ta có : ba ba − + = ac ac − + = k ⇒ a + b = k (a – b ) c + a = k (c – a ) ⇒ a( 1 – k ) = – b (1 + k) a( 1 – k ) = – a (1 + k) ⇒ )1( )1( kc ka − − = )1( )1( ka kb +− +− ⇒ a b c a = ⇒ a 2 = bc (Đpcm) Bài 4: Chứng minh rằng :       − + − + − c ba b ac a cb       − + − + − ba c ac b cb a = 9 Nếu a + b + c = 0 Chứng minh: Biến đổi vế trái: VT =       − + − + − c ba b ac a cb       − + − + − ba c ac b cb a = 3 + )( )( aca cbb − − + )( )( cbb aca − − + )( )( bab acc − − + )( )( cbc baa − − + )( )( acc bab − − * )( )( aca cbb − − + )( )( acc bab − − =       − + − c ba a cb ac b − = )( )( 22 acac abacbcb − −+− = )( ))(( acac abcacb − −− = ac acbb )( −− = ac b 2 2 . * )( )( cbb aca − − + )( )( cbc baa − − = bc a 2 2 * )( )( baa cbc − − + )( )( bab acc − − = ab c 2 2 VT = 3 + 2       ++ ab c ac b bc a 222 = 3 + 2 abc cba 233 ++ = 3 + 2 abc abcabccba 33 233 +−++ = 9 + 2 abc cabcabcbacba ))(( 222 −−−++++ = 9 (Vì a + b + c = 0) = VP 4.Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học (truy toán). Lí thuyết cơ bản: Bước 1: Thử với một số trường hợp đơn giản Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k Bước 3: Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1. B i 1:à Chứng minh rằng: S n = 1 + 3 + 5 + …. + (2n-1) = n 2 Chứng minh: Thử trực tiếp: Ta thấy S 1 = 1 [...]... + …n5 = ( n +1)n 2 n( n + 1)(2n + 1) 6  n( n +1)   2    1 12 2 n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 ) Một số sai lầm trong tronh chứng minh quy nạp toán học: Thiếu bước chứng minh: Sai lầm khi sử dụng nguyên lí LỜI CẢM ƠN Trên đây là chuyên đề về chứng minh đẳng thức ở THCS Mặc dù tác giả đã cố gắng hết sức nhưng vẫn không thể không có thiếu sót ( trong quá trình chọn bài và cách giải ) Kính mong độc... sử đẳng thức đúng với n = k (k ≥1) Tức là Sk = k2 (2) Ta cần chứng minh : Sk+1 = ( k +1 ) 2 ( 3) ThËt vËy céng 2 vÕ cña ( 2) víi 2k +1 ta cã : 1 + 3 +5 + …+ (2k – 1 ) + (2k + 1) = k2 + (2k +1) Vì k2 + (2k + 1) = (k + 1)2 Nên 1+ 3 + 5 + …+ (2k – 1) + (2k + 1) = (k +1)2 Theo nguyên lí quy nạp thì bài toán được chứng minh Bài tập: Chứng minh các bài toán sau bằng phương pháp quy nạp 1) 1 + 2 + 3 + 4 +... quá trình chọn bài và cách giải ) Kính mong độc giả đón đọc và đóng góp ý kiến để các chuyên đề sau tác giả viết tốt hơn Địa chỉ gmail: loannhuthi.@gmail Com Địa chỉ : Nhữ Thị Loan Giáo viên : Trường THCS Bình Long Huyện Võ Nhai – Thái Nguyên  . minh: 1. Chứng minh bằng cách biến đổi đồng nhất. 2. Chứng minh bằng cách sử dụng hằng đẳng thức. 3. Chứng minh dựa vào dãy tỉ số bằng nhau. 4. Chứng minh. tronh chứng minh quy nạp toán học: Thiếu bước chứng minh: Sai lầm khi sử dụng nguyên lí. LỜI CẢM ƠN Trên đây là chuyên đề về chứng minh đẳng thức ở THCS .