DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 7, 11, 13, 37 TÌM NHANH MỘT SỐ CHIA HẾT CHO 7 Hãy viết hoặc nói ra ngay một số N bất kỳ gồm ít nhất 6 chũ số vói yêu cầu ðuọc ðặt ra là: Bắt ðầu bằng chũ số 3 và phải chia hết cho 7 Bạn có thể thục hiện ngay ðuọc ðiều yêu cầu này không? Có lẽ hoi khó và tốn nhiều thòi gian ðể tính toán. Tuy nhiên, nếu bạn nắm ðuọc nhũng dấu hiệu ðặc biệt của phép chia hết cho 7 thì bạn có thể tính nhẩm ngay trong ðầu ra con số nói trên một cách nhanh chóng! . Bạn hãy cùng XYZ làm một ví dụ " Tìm một số N gồm 11 chũ số, chũ số thú ba tính tù trái qua là số 8, số này phải thoả ðiều kiện là chia hết cho 7. XYZ có thể ðua ra ngay con số ðó là 88888800000 Tù số này bạn có thể suy ra ðuọc nhiều con số khác cũng thoả ðuọc ðiều kiện ðặt ra. Chẳng hạn nhu nhũng số sau ðây: 18811800000, 18811807000, 18811807154, v. v. . . Hãy chọn số 18811807154 ðể có vẽ phúc tạp hon nhũng số khác. Dụa vào dấu hiệu nào ðể có thể xác ðinh nhanh chóng ðuọc nhũng số này chia hết cho 7. Bạn hãy cùng XYZ ði nguọc dòng suy diễn: 1. Con số cãn bản ðầu tiên bạn bạn dụa vào là số 111111 Ðây là số chia hết cho 7. Dễ dàng kiểm tra ðuọc ðiều này. 2. Vì 111111 x 8 = 888888. Nên số 888888 cũng chia hết cho 7 Chú ý: Chũ số thú 3 tính tù trái qua là số 8 ðúng theo yêu cầu ðặt ra. 3. Vì 888888 - 700000 - 700 - 70 = 188118 Tất cả các số hang ỏ vế 1 ðều chia hết cho 7, nên dễ dàng suy ra 188118 chia hết cho 7. 4. Vậy số : 18811800000 = 188118 x 100000 cũng chia hết cho 7, phải không ban? Ðây là số ðã thoả ðuọc yêu cầu ðặt ra: " Gốm 11 chũ số, chũ số thú ba là số 8, số này chia hết cho 7 ". 5. Tuy nhiên, ðể con số bạn ðua ra có vẽ phúc tap, khó hiểu, bạn có thể tiếp tục suy diễn ra một vài con số khác hon. Ví du: Cộng thêm 7000 vào số này: 7000 + 18811800000 = 18811807000. 6. Tiếp tục cộng thêm một bội số của 7. Ví dụ cộng thêm vào: [7 x 20 = 140]. Lúc này số thành là 18811807140 cũng chia hết cho 7. 7. Và sau cùng: 18811807140 + 14 = 18811807154 chắc chắn chia hết cho 7 Trên ðây là cách suy diễn riêng của XYZ. Bạn có thể suy diễn khác hon, nhanh gọn hon. Tuy nhiên, ðiều co bản là cần nắm ðuọc tính chất của con số 111111 Số này chia hết cho 3, 7, 11, 13, 37. Bạn có thể tìm hiểu thêm về con số 111111 này ỏ nhũng tiết mục khác: " Số 1001", "Số 111". Tất cả nhũng con số nêu trên có liên quan mật thiết vói nhau trong việc xây dụng một qui tắc chia hết cho 3, 7, 11, 13, 37. Chúc bạn thành công TÍNH NHẨM TÍNH NHẨM NHANH HON MÁY TÍNH!?. . . Ví dụ sau ðây về một loại hình Toán học mà máy tính cá nhân khó có thể ðua ra lòi giải nhanh hon phuong pháp tính toán thông thuòng " Tính số du R của một số N trong phép chia cho 7 " Hãy cùng XYZ thục hiện một bài toán nhu sau: " Tìm số du R của số N = 12345678998 trong phép chia cho 7". Có lẽ khi sủ dụng máy tính cá nhân thì kết quả ðua ra sẽ là hàng loạt chũ số thập phân nếu số N này là số không chia hết cho 7. Chũ số này không phải là số du chính xác R của phép chia cho 7. [Ngoại trù truòng họp số N là số chia hết cho 7]. Vói cách tính toán thông thuòng trên giấy mục, bạn có thể tìm ðuọc số du R của phép chia này. Tuy nhiên, thòi gian tính toán sẽ hoi lâu nếu con số bị chia N quá lón [gồm cài chục chũ số chẳng hạn!]. Bằng một mẹo tính nhẩm ðuọc trình bày sau ðây, bạn có thể tìm ra ðuọc số du R trong ví dụ nêu trên nhanh lẹ hon!. Cách tính nhẩm: Vì Số N = 12345678998 gồm 11 chũ số. Bạn thêm một số "0" vào sau số này ðể ðuọc 12 chũ số: 123456789980 Chia 12 chũ số này thành 4 nhóm số, mỗi nhóm gồm 3 chũ số: 123. 456. 789. 980. [số nhóm phải chẳn. Ví dụ: 4, 6, 8 v. v. ] 1. Giai ðoạn I: Cộng tất cả các chũ số ðầu của 4 nhóm. Sau ðó lấy số thành S1 này trù ði một bội của 7 ðể ðuọc số R nhỏ hon 7. Thêm một số "0" vào số R và ðem chia cho 7 ðể ðuọc số du R1. Kết quả tính toán Giai ðoạn I sẽ nhu sau: S1 = 1 + 4 + 7 + 9 = 21 => 21 - [3 x 7] = 0 => 0 + [chũ số 0] = 00 => R1 = 0 2. Giai ðoạn II: Cộng R1 vói tất cả các chũ số thú 2 của cả 4 nhóm số ðể có tổng S2. Sau ðó trù ði một bội của 7, rồi thêm một số "0" vào và chia số này cho 7 ðể ðuọc số du R2. Trong ví dụ bài toán này, ta ðuọc: S2 = R1[0] + 2 + 5 + 8 + 8 = 23 => 23 - [3 x 7] = 2. => 2 + [0] = 20 => 20 = [2 x 7] + 6 => R2 = 6 3. Giai ðoạn III: Cộng R2 vói tất cả chũ số thú 3 của 4 nhóm. Sau ðó vói số thành S3 cuối cùng này, bạn cũng thục hiện nhu hai giai ðoạn truóc ðể ðuọc số du R3. Trong bài toán này, sau khi tính toán sẽ ðuọc: S3 = R2[6] + 3 + 6 + 9 + 0 = 24 => 24 - [3 x 7] = 3 => R = 3. Ðến ðây, bạn có thể kết luận: Số N = 12345678998 chia cho 7 sẽ có số du R = 3. Sau cùng, bạn cũng có thể suy ra thêm kết luân: Số 123456789980 chia cho 7 sẽ có số du R3 bằng số du của [3R : 7] => 3R : 7 = [3 x 3] : 7 = 9 : 7 = 1 + 2/7 => R3 = 2 Chú thích: Ngày nay, vói nhiều máy tính cá nhân có thể ðua ra kết quả chính xác số du R của phép chia có số du. [kèm theo thuong số của phép chia.] CHIA HẾT CHO 7 Ðể có thể nhận biết ngay một số N lón bất kỳ [có thể gồm vài chục chũ số] có chia hết cho 7 hay không? Bạn hãy thục hiện cùng XYZ bài toán sau Xác ðịnh tính chia hết cho 7 của số N = 72333075591102373750823317 Trình tụ suy luận nhu sau 1. Chia số N thành tùng nhóm 3 chũ số, số nhóm phải là số chẳn. Ỏ dây N gồm 26 chũ số. Nếu chia thành nhóm 3 chũ số thì ðuọc 8 nhóm, mỗi nhóm 3 chũ số, và 2 chũ số riêng biệt. Do ðó phải thêm vào số N này 4 chũ số "0" ðể có thể chia số này thành 10 nhóm, mỗi nhóm 3 chũ số. N = 723. 330. 755. 911. 023. 737. 508. 233. 170. 000. Vì không cần tìm chính xác số du R của số N trong phép chia cho 7, nên trình tụ thục hiện có hoi khác hon so vói bài toán 2 ỏ trên. 1. Giai ðoạn I: Lấy chũ số ðầu của nhóm 1 trù chũ số ðầu của nhóm 2, rồi lại cộng chũ số ðấu của nhóm 3, sau ðó lại trù cho chũ số ðầu của nhóm 4, và cú tiếp tục nhu vậy cho ðến nhóm cuối cùng => Số thành S1 - Nếu số thành S1 này lón hon 7, phải bót số này ði một bội của 7 ðể ðuọc S1 nhỏ hon 7. - Thêm số "0" vào sau số S1 này rồi ðem chia cho 7 ðể có số du R1. Vói số N = 7233 17 .0. trong bài toán này, ta ðuọc S1 nhu sau: S1 = 7 - 3 + 7 - 9 + 0 - 7 + 5 - 2 + 1 - 0 = -1. Vì S1 < 0 => Phải cộng thêm 7 ðể có ðuọc số S1 duong và nhỏ hon 7. Do ðó: S1 = -1 + 7 = 6. => 6 + [0] = 60. >> 60 = [7 x 8] + 4. => R1 = 4. 2. Giai ðoạn 2: Lấy số R1 cộng chũ số thú 2 của nhóm 1 ròi trù chũ số thú 2 của nhóm 2, sau ðó cộng vào chũ số thú 2 của nhóm 3, rồi lại trù chũ số thú 2 của nhóm 4. Và cú tiếp tục nhu trên cho ðến nhóm số cuói. Ðến ðây sẽ có ðuọc S2 => Thục hiện nhu giai ðoạn truóc ðể có số du R2. Vói số N trong bài toán này ta ðuọc kêt quả nhu sau: S2 = R1[4] + 2 - 3 + 5 - 1 + 2 - 3 + 0 - 3 + 7 - 0 = 10. => 10 - 7 = 3. >> 30 = [7 x 4] + 2. => R2 = 2. 3. Giai ðoạn 3: Lấy R2 cộng và trù vói nhũng chũ số thú 3 của tùng nhóm số nhu 2 giai ðoạn truóc ðể ðuọc số thành cuối cùng S3. Nếu số S3 này bằng 0 hoặc bằng một bội của 7 thì có thể kết luận: số N = 7233 . ðuọc cho ỏ bài toán là chia hết cho 7. Kết quả tính toán trong giai ðoạn 3 này nhu sau: S3 = [R2]2 + 3 - 0 + 5 - 1 + 3 - 7 + 8 - 3 + 0 - 0 = 10. Vì 10 không là bội số của 7, nên kết luận ðuọc là: Số N = 723. . 17 của bài toán là số không chia hết cho 7. Ðể tính chính xác số du R trong phép chia số N cho 7, cách tính toán có hoi khác, nhung kết quả vẫn không thay ðổi. Xem bài toán 2. Trong bài toán trên ðây, có thể tính ðuọc số du R của [N : 7]. Cụ thể là R = 1. Và nhu vậy số: N - 1 = 723.330.755.911.023.737.508.233.16 chia hết cho 7. Vói các số nguyên tố khác nhu 11, 13, 37. thì việc xác ðịnh tính chia hết của các số này cũng tuong tụ nhu trùong họp chia cho 7. Nhung ỏ cuối mỗi giại ðoạn tính toán có hoi khác so vói chia cho 7. *Bạn hãy cùng XYZ làm nhũng bài toán thí dụ cho tùng truõng họp chia cho 11, cho 13, cho 37. CHIA HẾT 11 Bằng trình tụ suy diễn nhu phép tính chia cho 7, bạn hãy thục hiện bài toán chia cho 11 ðể rút ra Qui tắc nhận biết dấu hiệu chia hết cho 11 của một số của một số N lón bất kỳ bằng cách tính nhẩm. Ví dụ: Xác ðịnh tính chia hết của số N = 221071895232960476067. Số N có 21 chũ số, vì vậy chỉ phân ðuọc thành 7 nhóm số, mỗi nhóm 3 chũ số. Vì số nhóm là 7 [lẽ], nên phải thêm vào số N này 3 chũ số "0" ðể ðuọc 8 nhóm. N = 221. 071. 895. 232. 960. 476. 067. 000 1. Giai ðoạn I: S1 = 2 + 0 - 8 + 2 - 9 + 4 - 0 + 0 = -9. Vì S1 là số âm, nên phải cộng thêm vào S1 một số bằng 11 ðể S1 ðuọc thành số duong nhỏ hon 11. Vậy: S1 = -9 + 11 = 2. Thêm "0" vào sau số 2, rồi chia cho 11 ðể có số du R1 2 + [0] = 20 => 20 = [1 x 11] + 9. => R1 = 9 2. Giai ðoạn II: S2 = [R1]9 + 2 - 7 + 9 - 3 + 6 - 7 + 6 - 0 = 15. 15 - 11 = 4 >> 4 + [0] = 40. >> 40 = [3 x 11] + 7. >> R2 = 7. 3. Giai ðoạn III: S3 = [R3]7 + 1 - 1 + 5 - 2 + 0 - 6 + 7 - 0 = 11. Ðến ðây, ta thấy S3 = 11. [Hoặc bằng 0 hay bằng một bội số của 11] thì có thể kết luận ðuọc số N trong bài toán là số chia hết cho 11. Nếu S3 khác vói các ðiều kiện trên thì số N không chia hết cho 11 và sẽ có số du R. Việc tìm chính xác số du R này sẽ ðuọc trình bày chi tiết hon ỏ nhũng ðề mục có liên quan khác trong nhũng ngày sắp tói. Ðể nhận biết dấu hiệu chia hết cho 11 của một họp số N bất kỳ, các sách giáo khoa có ðua ra qui tắc sau ðây * "Số có tổng các chũ số ỏ vị trí chẳn và tổng các chũ số ỏ vị trí lẽ bằng nhau, hoạc hiệu của chúng là một số chia hết cho 11" CHIA HẾT 13 Qui tắc trên ðây cũng có thể áp dụng ðể nhận biết dấu hiệu chia hết cho 13. Bạn hãy thục hành vói số N = 873612 190692815265867774391091. Số N gồm 30 chũ số, nên có thể chia thành 10 nhóm số [chẳn], mỗi nhóm 3 số N = 873. 612. 190. 692. 815. 265. 867. 774. 391. 091. 1. S1 = 8 - 6 + 1 - 6 + 8 - 2 + 8 - 7 + 3 - 0 = 7 7 + ["0"] = 70 => 70 = [5 x 13] + 5. => R1 = 5. 2. S2 = [R1]5 + 7 - 1 + 9 - 9 + 1 - 6 + 6 - 7 + 9 - 9 = 5. 5 + [ "0" ] = 50. => 50 = [ 3 x 13 ] + 11. => R2 = 11. 3. S3 = [R2]11 + 3 - 2 + 0 - 2 + 5 - 5 + 7 - 4 + 1 - 1 = 13. * Ðến ðây, ta tính ðuọc S3 = 13 [ bội của 13]. Vậy có thể kết luận: Số N = 8736. . . . . 1091. chia hết cho 13. Luu ý: Chỉ có một trong trong nhũng số sau ðây là chia hết cho 13. Cũng vậy, chỉ có một trong nhũng số này chia hết cho 7. Và cũng chỉ có một trong nhũng số này chia hết cho 11. Bạn hãy thủ tìm xem nhũng số ðó là số nào? N1 = 7942603594320271151120681. N2 = 277900859916245742465597. N3 = 41986360335384870752178. N4 = 157226 157686018425. CHIA HẾT CHO 37 Ðối vói số nguyên tố lón hon nhu số 37. Việc tính nhẩm có phần khó khãn hon. Tuy nhiên, bạn vẫn áp dụng ðuọc Qui tắc này ðể nhận biết dấu hiệu của chia hết cho 37. Bạn hãy làm một ví dụ sau ðây: " Số N = 456461016288373591 chia cho 37 => R bằng bao nhiêu?" Chia N thành nhóm 3 chũ số: 456. 461. 016. 288. 373. 591. [6 nhóm số - chẳn] 1. S1 = 4 + 4 + 0 + 2 + 3 + 5 = 18. >> 180 = [4 x 37] + 32. => R1 = 32. 2. S2 = [R1]32 + 5 + 6 + 1 + 8 + 7 + 9 = 68. >> 68 - 37 = 31. >> 310 = [8 x 37] + 14. => R2 = 14. 3. S3 = [R2]14 + 6 + 1 + 6 + 8 + 3 + 1 = 39. S3 = 39 [không chia hết cho 37] => kết luận: Số N cho trên ðây không chia hết cho 37. Ðể tính chính xác số du R của phép chia [N : 37] Bạn cần thục hiện thêm một buóc nũa: S3 = 39. => 39 - 37 = 2. => R3 = 2. Số du R3 = 2 R3 chính là số du của N = 456461016288373591 chia cho 37 Truòng họp chia cho các số Nguyên tố khác nhu : 17, 19, 23, v. v. XYZ sẻ giói thiệu các Qui tắc khác hon ðể nhận biết dấu hiệu chia hết.Nhũng Qui tắc này sẽ ðuọc lần luọt Trình bày trong thòi gian sắp tói. CHIA HẾT 19 LÝ THUYẾT Mọi số N ðều có thể viết duói dạng N = 10x + y trong ó x l sð à ố chục Không phải l chà ũ số h ng chà ục, m l Tà à ổng số các chục tròn trong số N] v y l chà à ũ số on vð ị. Cần chúng minh N l Bà ội của 19 khi v chà ỉ khi N* = x + 2y l Bà ội của 19. Muốn vậy, phải nhân N vói 10 v trù N v o Tích sà à ố này => 10N* - N = 10[x + 2y] - [10x + y] = 19y Do óð nếu N l Bà ội của 19 thì N = 10N* - 19 y l Bà ội của 19. V nguà ọc lại, nếu N chia hết cho 19 thì 10N* = N + 19y l Bà ội của 19 Khi ó tð ất nhiên N chia hết cho 19 THỤC HÀNH Xác ðịnh tính chia hết cho 19 của N = 47045881 Áp dụng liên tục tiêu chuẩn chia hết 4704588.1 [ Số ðon vị là 1]. Suy ra 470588 + 2 = 4704590 47045.9 [sðv = 9]. Suy ra 47045+18=47063 4706.3 [sðv = 3]. Suy ra 4706+6=4712 471.2 [sðv = 2]. Suy ra 471+4=475 47.5 [sðv = 5]. Suy ra 47+10=57 5.7 [sðv = 7]. Suy ra 5+14=19 Vi 19 chia hết cho 19 nên các số 57, 475, 4712, 47063, 470459, 4704590, 47045881 cũng chia hết cho 19 QUI TAC THUC HÀNH CHIA HET CHO 7, 11, 13, 37 1. CHIA SO N THANH TUNG NHOM 3 CHU SO, SO NHOM PHAI CHAN. VI DU 2, 4, 6, 8, NHOM. . 2. LAY SO DAU NHOM 1 [LE] TRU SO DAU NHOM 2 [CHAN], ROI CONG SO DAU NHOM 3, SAU DO TRU SO DAU NHOM 4. CU NHE THE TIEP TUC CHO DEN NHOM SO CUOI. . -NEU SO THANH SAU CUNG BANG 0 HOAC BANG MOT BOI CUA 11 => SO DU R1 = 0. . -NEU SO THANH NAY KHONG CHIA HET CHO 11 THI SO DU LA X [X NHO HON 11], CONG THEM 0 VAO SAU X, SAU DO CHIA SO NAY CHO 11 DE DUOC SO DU R1. . 3. LAY SO DU R1 CONG SO THU 2 CUA NHOM 1, ROI TRU SO THU 2 CUA NHOM 2, SAU DO CONG SO THU 2 CUA NHOM 3, ROI LAI TRU SO THU 2 CUA NHOM 4. CU TIEP TUC CHO DEN NHOM CUOI. CUNG NHU GIAI DOAN 2, SAU KHI TINH SE DUOC SO DU R2. . 4. LAY R2 CONG CHU SO THU 3 CUA NHOM1 ROI TRU SO THU 3 CUA NHOM 2, VA TIEP TUC NHU GIAI DOAN 2, 3 CHO DEN NHOM SO CUOI. . DEN DAY NEU CHU SO CUOI CUNG BANG O HOAC MOT BOI CUA 11 THI KET LUAN DUOC LA SO N CHIA HET CHO 11. . *DE TIM SO DU CUA SO N TRONG PHEP CHIA CHO 11: . -SO THANH O CUOI GIAI DOAN 4 CHIA CHO 11 SE CO SO DU R3. SO NAY CHINH LA SO DU CUA N TRONG PHEP CHIA CHO 11. . bằng nhau, hoạc hiệu của chúng là một số chia hết cho 11" CHIA HẾT 13 Qui tắc trên ðây cũng có thể áp dụng ðể nhận biết dấu hiệu chia hết cho 13. Bạn. 456461016288373591 chia cho 37 Truòng họp chia cho các số Nguyên tố khác nhu : 17, 19, 23, v. v. XYZ sẻ giói thiệu các Qui tắc khác hon ðể nhận biết dấu hiệu chia hết. Nhũng