I.1. Khái quát về chuyển động cơ học : I.1.1. Định nghĩa chuyển động cơ học : Chuyển động cơ học là sự chuyển dời vị trí trong không gian của các vật hay là sự chuyển động của một bộ phận này so với bộ phận khác của cùng một vật. Ví dụ : chuyển động của các thiên thể trên bầu trời, chuyển động của xe ôtô trên đường, chuyển động của con thoi trong một máy dệt, chuyển động của rôto đối với stato trong một động cơ điện … Nói một vật chuyển động hay đứng yên thì điều đó chỉ có tính chất tương đối vì điều này còn phụ thuộc vào người quan sát đứng ở vị trí nào. Thật vậy, nếu ta đứng bên đường quan sát thì ta thấy cái cây đứng yên, nhưng nếu ta ngồi trên một cái ôtô đang chuyển động thì ta thấy cái cây chuyển động. Điều tương tự xảy ra nếu ta nếu ta quan sát các ngôi sao trên bầu trời : ta thấy quả đất đứng yên còn mặt trời, mặt trăng và các ngôi sao đều quay quanh trái đất. Tóm lại, chuyển động có tính chất tương đối và phụ thuộc vào vị trí mà ở đó ta đứng quan sát chuyển động. Thực ra trong vũ trụ không có vật nào đứng yên một cách tuyệt đối, mọi vật đều chuyển động không ngừng. Vì vậy, khi nói rằng một vật chuyển động thì ta phải nói rõ vật đó là chuyển động đối với vật nào mà ta qui ước là đứng yên. I.1.2. Hệ qui chiếu : Vật hay hệ vật mà ta qui ước là đứng yên khi nghiên cứu chuyển động của một vật khác được gọi là hệ qui chiếu. Cần lưu ý rằng, cùng một chuyển động nhưng sẽ xảy ra khác nhau trong các hệ qui chiếu khác nhau. Ví dụ xét chuyển động của một điểm M nằm trên vành xe đang chạy, nếu ta chọn hệ qui chiếu là xe đạp thì ta thấy chuyển động của điểm đó là chuyển động tròn đều, còn nếu hệ qui chiếu là mặt đường thì điểm M sẽ tham gia một chuyển động phức tạp là tổng hợp của hai chuyển động : chuyển động tròn đối với xe và chuyển động thẳng của xe đối với mặt đường. Khi xét một chuyển động cụ thể người ta thường chọn hệ qui chiếu sao cho chuyển động được mô tả một cách đơn giản nhất. Để mô tả các chuyển động trên mặt quả đất, ta thường chọn hệ qui chiếu là quả đất hay các vật gắn liền với quả đất. Ví dụ khi nghiên cứu chuyển động của quả đạn pháo thì ta chọn hệ qui chiếu là mặt đất hay là chính khẩu pháo. Khi nghiên cứu chuyển động của các hành tinh thì ở hệ qui chiếu quả đất ta thấy chuyển động của các hành tinh phức tạp đến nỗi trong nhiều thế kỷ các nhà thiên văn không thể nào tìm được các qui luật chuyển động của các hành tinh. Mãi đến đầu thế kỷ 17, nhờ sử dụng hệ qui chiếu mặt trời (hệ qui chiếu Copernic), Kepler mới tìm được qui luật đúng đắn mô tả chuyển động của các hành tinh trong hệ mặt trời. Cần chú ý rằng chuyển động tuy được mô tả khác nhau trong các hệ qui chiếu khác nhau nhưng nếu biết chuyển động tương đối của các hệ qui chiếu đối với nhau thì có thể từ cách mô tả chuyển động trong hệ qui chiếu này có thể suy ra cách mô tả chuyển động trong hệ qui chiếu kia. Ví dụ, biết chuyển động tròn đều của một điểm trên vành xe đạp và biết chuyển động của xe đạp đối với mặt đường ta có thể mô tả chuyển động của điểm trên vành xe đối với mặt đường. I.1.3. Hệ tọa độ : Vì rằng chuyển động xảy ra trong không gian và trong thời gian nên để mô tả chuyển động thì trước tiên ta phải tìm cách định vị vật trong không gian. Muốn vậy, ta phải đưa thêm vào hệ qui chiếu một hệ tọa độ. Trong vật lý người ta sử dụng nhiều hệ tọa độ khác nhau. Ở đây, ta sẽ giới thiệu hai hệ tọa độ thường hay gặp. I.1.3.1. Hệ tọa độ Đề-các (Descartes) : Hệ tọa độ Đề-các gồm ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng vuông góc với nhau từng đôi một, chúng tạo thành một tam diện thuận. Điểm O gọi là gốc tọa độ. Vị trí của một điểm M bất kỳ được hoàn toàn xác định bởi bán kính vectơ , hay bởi tập hợp của ba số (x,y,z) trong đó x,y,z là hình chiếu của điểm mút M của vectơ = Olên các trục tương ứng Ox, Oy, Oz được gọi là ba tọa độ của điểm M trong hệ tọa độ Đề-các. Nếu gọi , , là các vectơ đơn vị hướng theo các trục Ox, Oy, Oz thì ta có thể viết : = x. + y. + z. I.1.3.2. Hệ tọa độ cầu : Trong hệ tọa độ cầu,vị trí của một điểm M bất kỳ được xác định bởi ba tọa độ r, θ , ϕ . Trong đó r là độ dài bán kính vectơ , θ là góc giữa trục Oz và , còn góc ϕ là góc giữa trục Ox và tia hình chiếu của trong mặt phẳng xOy. Biết ba tọa độ cầu của điểm, ta có thể tính được các tọa độ Đề-các của điểm đó theo công thức sau : x = r.sinθ .cosϕ y = r.sinθ .sinϕ z = r.cosθ Trong hệ tọa độ cầu : 0 ≤ θ ≤ 180 o , 0 ≤ ϕ ≤ 360 o . Các đường tròn ứng cùng một giá trị của θ gọi là các đường vĩ tuyến, còn các đường tròn ứng cùng một giá trị của ϕ gọi là các đường kinh tuyến. Hệ tọa độ cầu thuận tiện khi định vị các địa điểm trên quả đất. I.1.4.Chất điểm và vật rắn : Để mô tả chuyển động của các vật có kích thước, cần phải biết rõ chuyển động của mọi điểm của vật. Tuy nhiên khi kích thước của vật là bé so với khoảng cách dịch chuyển mà ta xét thì mọi điểm trên vật dịch chuyển gần như nhau thì có thể mô tả chuyển động của vật như chuyển động của một điểm. Khi đó vật được xem là một chất điểm, tức là một điểm hình học nhưng lại có khối lượng bằng khối lượng của vật. Ví dụ khi xét chuyển động của quả đất quanh mặt trời ta xem chuyển động như là chuyển động của chất điểm. Trái lại, khi xét chuyển động tự quay quanh mình của quả đất thì ta không thể xem chuyển động đó là chuyển động của một chất điểm. Trong nhiều trường hợp, nhờ có khái niệm chất điểm mà việc nghiên cứu chuyển động của các vật trở nên đơn giản hơn rất nhiều. I.2. Phương trình chuyển động và phương trình quĩ đạo: I.2.1. Phương trình chuyển động : Để xác định chuyển động của một chất điểm chúng ta cần biết vị trí của chất điểm tại những thời điểm khác nhau. Nói cách khác, chúng ta cần biết sự phụ thuộc theo thời gian của bán kính vectơ của chất điểm : = (t) (I.1a) Phương trình này biểu diễn vị trí của chất điểm theo thời gian và gọi là phương trình chuyển động của chất điểm. Trong hệ tọa độ Đề-các, phương trình chuyển động của chất điểm là một hệ gồm ba phương trình : x = x(t);y = y(t) ;z = z(t) (I.1b) Tương tự, trong hệ tọa độ cầu, phương trình chuyển động của chất điểm là : r = r(t);θ = θ (t);ϕ = ϕ (t) (I.1c) Ví dụ sau là phương trình chuyển động của một chất điểm trong hệ tọa độ Đề-các : x = Acosω t y= Asinω t z= 0 I.2.2. Phương trình quĩ đạo : Khi chuyển động, các vị trí của chất điểm ở các thời điểm khác nhau vạch ra trong không gian một đường cong liên tục nào đó gọi là quĩ đạo của chuyển động. Phương trình mô tả đường cong quĩ đạo gọi là phương trình quĩ đạo. Trong hệ tọa độ Đề-các phương trình quĩ đạo có dạng : f(x,y,z) = C (I.2) trong đó f là một hàm nào đó của các tọa độ x, y, z và C là một hằng số. Về nguyên tắc, nếu ta biết phương trình chuyển động (I.1) thì bằng các khử tham số t ta có thể tìm được mối liên hệ giữa các tọa độ x, y, z tức là tìm được phương trình quĩ đạo. Vì vậy, đôi khi người ta còn gọi phương trình chuyển động (I.1) là phương trình quĩ đạo cho ở dạng tham số. Quay trở lại ví dụ về chuyển động của chất điểm cho bởi phương trình : x = Acosω t y = Asinω t z = 0 Ta khử tham số thời gian t bằng cách sau : x 2 + y 2 = A 2 (cos 2 ω t + sin 2 ω t) = A 2 z = 0 Ta suy ra quĩ đạo của chất điểm là một đường tròn bán kính A và tâm nằm ở gốc tọa độ. Đường tròn này nằm ở trong mặt phẳng xOy. I.3. Vận tốc của chuyển động: I.3.1. Khái niệm vận tốc : Chuyển động của chất điểm trên quĩ đạo có thể lúc nhanh lúc chậm, do đó để có thể mô tả đầy đủ trạng thái nhanh hay chậm của chuyển động người ta đưa vào một đại lượng vật lý gọi là vận tốc. Trong đời sống hàng ngày chúng ta thường gặp khái niệm vận tốc dưới dạng thuật ngữ tốc độ. Xét một chuyển động đơn giản là chuyển động thẳng. Giả sử sau khoảng thời gian ∆ t chất điểm đi được một đoạn đường thì theo định nghĩa vận tốc trung bình của chất điểm trên đoạn đường đó là : = Dĩ nhiên mô tả càng gần đúng vận tốc của chất điểm trên đoạn đường đó nếu càng nhỏ, tức là khi ∆ t càng nhỏ. Khi ∆ t → 0 thì tb sẽ tiến tới giới hạn gọi là vận tốc tức thời : = lim∆ t → 0 = Trong trường hợp tổng quát khi quĩ đạo của chất điểm là một đường cong ta cũng làm tương tự : Xét một điểm M bất kỳ trên quĩ đạo (C), lấy một điểm N trên quĩ đạo (C) nằm rất gần M. Gọi là bán kính vectơ xác định vị trí của M, thì +∆ là bán kính vectơ xác định vị trí của N. Dây cung MN= ∆r có thể coi bằng đoạn đường đi được ∆s. Khi tiến đến giới hạn thì : = lim∆ t → 0 = = (I.3) Từ hình trên ta thấy khi ∆ t→ 0 thì sẽ dần tới phương tiếp tuyến của quĩ đạo tại điểm đang xét. Vậy vectơ vận tốc luôn hướng theo phương tiếp tuyến của quĩ đạo và có chiều là chiều của chuyển động. Nếu ta gọi là vectơ đơn vị hướng theo phương tiếp tuyến và có chiều là chiều của chuyển động thì ta có thể viết : = = v (I.4) Biểu thức trên cho thấy vectơ vận tốc có độ lớn là v= và có phương và chiều hướng theo vectơ đơn vị . Nói chung, khi chất điểm chuyển động trên quĩ đạo thì vectơ có thể thay đổi phương nhưng tại mỗi điểm của quĩ đạo thì luôn hướng theo phương tiếp tuyến của quĩ đạo tại điểm đó. I.3.2. Biểu thức vận tốc trong hệ tọa độ Đề-các : Vì vận tốc là một vectơ nên ta có thể phân tích thành ba thành phần trên ba trục của hệ tọa độ Đề-các như sau : = v x . + v y . + v z . Mặt khác từ (I.3) ta có thể viết như sau : = = ( x. + y. + z. ) = + + So sánh với biểu thức ở trên, ta suy ra : v x = ; v y = ; v z = (I.5) Vậy, trong hệ tọa độ Đề-các, muốn tính thành phần của vận tốc trên một trục nào đó thì ta chỉ việc lấy đạo hàm theo thời gian của thành phần tương ứng của vectơ bán kính . Độ lớn của vận tốc được xác định bằng hệ thức : v = (v x 2 + v y 2 + v z 2 ) 1/2 = [( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 ] 1/2 (I.6) 1.4. Gia tốc của chuyển động : I.4.1. Khái niệm về gia tốc : Trong quá trình chuyển động, vận tốc của chất điểm có thể thay đổi cả về độ lớn cũng như về phương và chiều. Để đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc theo thời gian , người ta đưa thêm vào một đại lượng vật lý mới gọi là gia tốc. Giả sử sau một khoảng thời gian ∆ t, vận tốc của chất điểm thay đổi một lượng là ∆ thì theo định nghĩa gia tốc trung bình tb trong khoảng thời gian ∆ t là : tb = Khi tiến đến giới hạn, cho ∆ t→ 0 ta được biểu thức của gia tốc tức thời tại một điểm trên quĩ đạo : = lim∆ t → 0 = (I.7) Kết hợp (I.3) với (I.7) ta có thể biểu diễn gia tốc : = = (I.8) I.4.2. Bán kính cong và độ cong tại một điểm của quĩ đạo : Ta xét hai điểm M và N ở gần nhau trên quĩ đạo của chất điểm. Lấy một điểm P bất kỳ nằm giữa M và N, qua ba điểm M, N và P không thẳng hàng đó ta vẽ một đường tròn. Cho điểm N tiến lại gần M và qua ba điểm mới ta lại vẽ được một đường tròn mới. Khi N tiến tới giới hạn ở M thì các đường tròn trên cũng sẽ tiến tới một đường tròn giới hạn gọi là đường tròn mật tiếp với quĩ đạo tại điểm M. Bán kính R của đường tròn mật tiếp được gọi là bán kính cong của quĩ đạo tại điểm M. Giá trị nghịch đảo của R là K được gọi là độ cong của quĩ đạo tại điểm M. K=1/R Cần lưu ý rằng tại các điểm khác nhau thì quĩ đạo có thể có các bán kính cong và độ cong khác nhau. Ví dụ khi quĩ đạo là một đường thẳng thì bán kính cong R = ∞ và do đó độ cong K của nó bằng 0. Hình 3. Đường tròn mật tiếp và bán kính cong I.4.3. Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến : Ta có : = = (v. ) = + v (*) ta hãy tính . Ta có thể viết được như sau : = = vì rằng = và =v. Còn lại ta phải tính . Vì rằng là một vectơ đơn vị nên   2 =1, do đó khi lấy vi phân biểu thức này ta được 2 d = 0, điều này chứng tỏ vuông góc với d hay d hướng theo phương pháp tuyến của quĩ đạo tại điểm đang xét vì hướng theo phương tiếp tuyến. Nếu ta gọi là vectơ đơn vị hướng theo phương pháp tuyến của quĩ đạo tại điểm đang xét và có chiều hướng về chiều lõm của đường cong thì d và có cùng phương và chiều. Vấn đề còn lại là tính độ lớn của d . Khi 1 rất gần với 2 thì có thể xem dây cung d bằng cung tròn dτ , do đó ta có dτ =  τ 2  dϕ = dϕ . Vậy ta có thể viết = . Cuối cùng ta viết lại (*) như sau : = + (I.9) (I.9) chứng tỏ rằng gia tốc gồm có hai thành phần : một thành phần hướng theo phương tiếp tuyến của quĩ đạo (dv/dt) , gọi là gia tốc tiếp tuyến, và một thành phần hướng theo phương pháp tuyến của quĩ đạo, gọi là gia tốc pháp tuyến. Ta ký hiệu : Gia tốc tiếp tuyến t = Gia tốc pháp tuyến n = = t + n Từ các biểu thức của gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến, ta thấy rõ ý nghĩa vật lý của các thành phần này của gia tốc toàn phần : Gia tốc tiếp tuyến t đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của vận tốc theo thời gian còn gia tốc pháp tuyến n đặc trưng cho sự thay đổi về phương của vận tốc theo thời gian. Để làm sáng tỏ ý nghĩa của gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến , ta hãy xét hai ví dụ sau : Xét một chất điểm chuyển động thẳng có gia tốc. Trong trường hợp này vì bán kính cong R = ∞ nên từ biểu thức của gia tốc pháp tuyến ta thấy ngay nó luôn bằng 0 do đó chất điểm chỉ có gia tốc tiếp tuyến nghĩa là vận tốc của chất điểm chỉ có thay đổi về độ lớn còn không thay đổi phương. Ta xét một chuyển động tròn đều. Trường hợp này, do vận tốc không đổi về độ lớn nên (dv/dt) = 0 và do đó gia tốc tiếp tuyến của chất điểm bằng 0, nhưng do vận tốc thay đổi phương liên tục trong khi chuyển động nên gia tốc pháp tuyến khác 0 : gia tốc toàn phần của chất điểm bằng gia tốc pháp tuyến và khác 0. 1.4. Gia tốc của chuyển động : I.4.1. Khái niệm về gia tốc : Trong quá trình chuyển động, vận tốc của chất điểm có thể thay đổi cả về độ lớn cũng như về phương và chiều. Để đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc theo thời gian , người ta đưa thêm vào một đại lượng vật lý mới gọi là gia tốc. Giả sử sau một khoảng thời gian ∆ t, vận tốc của chất điểm thay đổi một lượng là ∆ thì theo định nghĩa gia tốc trung bình tb trong khoảng thời gian ∆ t là : tb = Khi tiến đến giới hạn, cho ∆ t→ 0 ta được biểu thức của gia tốc tức thời tại một điểm trên quĩ đạo : = lim∆ t → 0 = (I.7) Kết hợp (I.3) với (I.7) ta có thể biểu diễn gia tốc : = = (I.8) I.4.2. Bán kính cong và độ cong tại một điểm của quĩ đạo : Ta xét hai điểm M và N ở gần nhau trên quĩ đạo của chất điểm. Lấy một điểm P bất kỳ nằm giữa M và N, qua ba điểm M, N và P không thẳng hàng đó ta vẽ một đường tròn. Cho điểm N tiến lại gần M và qua ba điểm mới ta lại vẽ được một đường tròn mới. Khi N tiến tới giới hạn ở M thì các đường tròn trên cũng sẽ tiến tới một đường tròn giới hạn gọi là đường tròn mật tiếp với quĩ đạo tại điểm M. Bán kính R của đường tròn mật tiếp được gọi là bán kính cong của quĩ đạo tại điểm M. Giá trị nghịch đảo của R là K được gọi là độ cong của quĩ đạo tại điểm M. K=1/R Cần lưu ý rằng tại các điểm khác nhau thì quĩ đạo có thể có các bán kính cong và độ cong khác nhau. Ví dụ khi quĩ đạo là một đường thẳng thì bán kính cong R = ∞ và do đó độ cong K của nó bằng 0. [...]... góc ta có mối quan hệ về độ lớn : at = β r Tóm lại trong chuyển động tròn của chất điểm ta cũng có các hệ thức sau giữa các đại lượng : ω=ωo+βt θ = θ o + ω ot + β t2 (I.17) I.6 Một vài dạng chuyển động cơ học : I.6.1 Chuyển động thẳng : Xét một chất điểm chuyển động theo quĩ đạo thẳng với gia tốc Theo định nghĩa (I.7), ta có : a= hay dv = a.dt Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta được : v=... chính là phương trình chuyển động của chuyển động thẳng của chất điểm, còn (I.17) chính là phương trình chuyển động của chất điểm trong chuyển động tròn, nó có dạng hoàn toàn như (I.19), điểm khác nhau cơ bản của (I.17) so với (I.19) là trong chuyển động tròn ta phải thay tọa độ dài s bằng tọa độ góc θ , vận tốc dài v bằng vận tốc góc ω và gia tốc dài a bằng gia tốc góc β I.6.2 Chuyển động của viên... đạn tại điểm đó bằng 0 và do đó gia tốc pháp tuyến bằng gia tốc toàn phần Vì vậy ta có :g = an = = , nhưng trong trường hợp này = = Từ đó tính được độ cong K = 1/R của quĩ đạo tại điểm A : K= = BÀI TẬP CHƯƠNG 01 Bài I.1 Cho phương trình chuyển động của chất điểm là : x = Acosω t y = Bsinω t z=0 trong A, B, ω là các hằng số Hãy tìm phương trình quĩ đạo, vận tốc và gia tốc của chất điểm (ĐS : quĩ đạo là... cho bởi công thức : s = -0,5t2+10t+10 (m) tìm gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc toàn phần của chất điểm lúc t = 5(s) (ĐS : at = -1m/s2; an = 0,5m/s2; a = 1,12m/s2) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 1 1) Chọn phát biểu ĐÚNG: a) Vectơ vận tốc biểu thị sự chuyển động của hệ quy chiếu b) Vectơ vận tốc là đạo hàm của quãng đường mà chất điểm đi được c) Vectơ vận tốc có phương tiếp tuyến với quỹ . I.1. Khái quát về chuyển động cơ học : I.1.1. Định nghĩa chuyển động cơ học : Chuyển động cơ học là sự chuyển dời vị trí trong không gian. ω = ω o + β t θ = θ o + ω ot + β t 2 (I.17) I.6. Một vài dạng chuyển động cơ học : I.6.1. Chuyển động thẳng : Xét một chất điểm chuyển động theo quĩ đạo