Đang tải... (xem toàn văn)
chuyên đề phương trinh
Bài giảng số 20 PHƯƠNG Bài phương lôgarit) Đại học, giảng trình siêu Các dạng Cao đăng TRÌNH VÀ HẤT PHUONG TRINH SIEU VIET đề cập đến việt (tên gọi toán phương pháp giải phương trình va bat chung phương trình bất phương trình mũ ln ln có mặt đề thi tuyển sinh vảo năm 2002-2009, với đẻ thi phần tự chọn cho chương trình nâng cao §1 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT Đề giải phương trình mũ phương trình lôgarit ta làm sau: - Đặt điều kiện dé phương trình có nghĩa Chú ý ngồi điều kiện thông thường, cần nhớ đến điều kiện sau: Đề logsx,g(x) có nghĩa ta cần có: , f(x)>0,f(x)#! g(x)>0 Bằng phép biến đổi hàm số mũ lôgarit, dùng phép đặt ân phụ, phép lơgarit hóa ta quy phương trình cho phương trình mũ, phương trình lơgarit ban sau: a= b, a>0 logan B(x) = loggyh(x) Cac dang toan co ban: Loại 1: Phương pháp đặtâ ân phụ để giải phương trình siêu việt: Bang cach dat an phụ ta quy phương trình mũ, phương trình lơgarit ban đầu phương trình đại số thơng thường (phương trình chứa khơng chứa thức) Giải phương trình trung gian này, sau quy giải phương trình mũ, lơgarit để tìm nghiệm phương trình ban đầu Thi dul: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối A— 2008) Giải phương trình: log,,., 2x +X \)+ log ,(2x— ly =4 (1) ; Diéu kién dé (1) co nghiém Giai 2x—-l>0, 2x-lzl x+l>0, x+lzl 2x? +x-1>0 358 — x #1 (2) Ap dụng cơng thức đổi số, ta có: logy 41 (2x? +X— 1) leo ( ) +2log (2x—l)=4 logy„¡(2x — 1) c logv¿¡ (2x —I)+ logv.i (x+ 1) +2lOB„„¡ (2x ~ l)= logyat (2x ~ 1) © l+——————+2lo log, 4; (2x -1) Bx 2x —1)=4 ) ( ( (3).) Đặt t = logy,¡(2x — l), (3) có dang 2t+~-3=0 t=l @œ2È-3t+1=0 © t tes x=2 x=2 vÀ x+l=2x-—l logx„ (2x =1) =] sua(ex~0=1® |WeT=ax-Z f° me 4x?~5x=0 x=2 Thí dụ 2: (Đề thi tuyển sinh khốiA — 2006) Giải phương trình: 3.8”+ 12*— 18*—2.27*= 0(1) Giải Vi 27*> nén ta có 0© (3)27 4]27 (3)7 -2=0 3x 35]3 2\* 2x +45]3) { t2 2N Đặt t= (=) \% | sa >0, (2) có dạng 3t`+4~t—~2=0 © (t+I}(Gt-2)=0 © t= : (do t > 0) x Vay ta co: G _2 © x=Il Thi du 3: (Dé thi tayén sinh khéi B — 2007) Giải phương trình: (vx - 1) +(V2+ 1) -2V2 =0 (1) Giải Do (J2- 1)(v2 + 1)=1 nén néu dat t= (v2-1) >0, thi (jo t+c~2/2=0 >1” ~2V2t+1=0 359 t=vi-1 (V2-1) =v2-1 (V2-1)° =(V2-1)" t=V2+1 ot =-l Thí dụ 4: (Đề thi tuyến sinh khối D — 2007) Giải phương trình: log; (4* +15.2 +27]+2log; ; x == () Điều kiện để (1) có ngia la 4.2% -3>0 2* >ã (2) Khi (1) © log; (4ˆ +15,2 +27}~2log (4.2 -3}=0 log, (4* + 15.2 +27} = log, (4.2" -3) > 4% 415.2% +27 =(4.2" -3) =0 (3) Dat 2*=t > ú ta cú: (3) â t+lĐt~27=(4t~3) â 5-~ 13t-6 =0 & t=3 (dot> 0) ; 2°=3 &x = loga3 Thi du 5: (Dé thi tuyển sinh khối D — 2003) 2 Giải phương trình: 2X ~* ~22**7X” =3 (1) Dat t = 2*> 0, từ (1) ta có: - Giải to =0©~3t74=0et=4 @ (do t>0) 24x? -x=2 x=! vax =2 Thi du 6: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối D - 2002) 23% = Sy? -4y (1) Giải hệ phuong trinh: 4, , 2x+! 2% +2 Ta có (2) 2*(2* +2) Y= aD) Thay (3) vào (1) ta có: y =Sy-4yo y(y’-Sy+4)=0< y’ -S5y+4=0 (do y>0) c© P= y=4 © ne aX c© le x=2 Vậy (0;1) (2;4) hai nghiệm hệ (1) (2) 360 Thí dụ 7: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A — 2002) Cho phương trinh: log} x+ ylog3 x+1-2m-1=0 (1) L/ Giải (1) m = 2/ Tim m dé (1) co it nghiệm thuộc đoạn [s3 | Giai 1/ Khi m = thi (1) co dang: log} x + flog? x+1-5=0 (2) Điều kiện để (2) có nghĩa là: x>0 "Đặt L= Jlog? x +121 d6 (2) c6 dang t+t-6=2 = 1) log? x +1 =2 log? x =3 = log, x =+v3 o> x=3Ÿ x=3Ý, 2/ Đặt t= vjlog2x+1, xe [134 | thi 1;00;y>0 Ta có hệ: (12) © 4loga y-x>0;y>0 ~logyt=le y~x x* + y? =25 ©‡$y=4y-4x © 2,.2 sas ` yx y=-=X | =| x? + y? =25 y~x>0,y>0 y-x>0,y>0 , logy y x=3 o ! y=4 , Thi du 4: Giai phuong trinh: 38 als +3)+ logs (x1) = log, (4x) (1) Giai x+3>0 ok " a , ~ Ta Điều kiện đề (1) có nghĩa là: $(x—l)} 4x >0 >0 x>0 x " (2) Voi diéu kién (2) thi log5 (x +3)= log, (x +3) = 2log, (x +3); 363 logo(4x) = + logax; loga(x — 1)Ï= loga(x — 1)'= 4logy|x — I] Khi đó: (1) log, (x +3) + logs |x —1|- log, x =2 & log, (x+3)|x-I| x>I (x +3)(x =2©(x+3)|x—l|=4x X x>I +1) =4x 0 x-yz=16 G2| t2 (1)(2)(3) < log, (x Thí dụ 6: logy jxy =log, y (1) Giai phuong trinh sau: 2% +2% =3 (2) Dieu kién dé (1) (2) cé nghia lax > Oy>O.x #1 vay #1 Khi ta cd (lo zllogy x +1) =log, y (3) Dat log,y = t, ta 364 «\t —t—l=0 (suy từ (3)) t=l t © log, y=1 1© =¿ By ¥ =—— x=y Te y Ò.V=_—-— 1, LN Thay y =—— vào (2) có 2`+2v* =3 (4) vx - Nếu x>1 2* >2 2Ý* >0 =VT (4) >3: Vô nghiệm I ~ Nếu 00 Tóm lai: x=y = log> VT (4)>3: Vô nghiệm nghiệm hệ (1)(2) Loại 3: Phương pháp lơgarit hóa giải phương trình siêu việt: Thi dul Giải phương trình: x log x+5 =lg102X (J) Điều kiện đề (1) có nghĩa x>0 Khi (Io ef lạ xt3 } == =S+lpx Dat t = lpx từ (2) ta có: t +2t—15=0 c© t=3 =—5 c© lex =3 Igx =—5 Thí dụ 2: | (2) x = 1000 | X= 100000 Giải phương trình S8ề = 50x!8Ÿ (1), Giải Điều kiện để (1) có nghĩa x>0 Áp dụng công thức a'°#b€ = cle? „ 1a CÓ: (1) SI8S = 50-SIB eo 58S = 57 ox =100 Loại 4: Một số phương pháp đặc biệt giải phương trình siêu việt: Người ta hay sử dụng hai phương pháp đặc biệt sau đây: + Phương pháp chiều biến thiền hàm số + Phương pháp đánh giá hai để giải lớp phương trình siêu việt Thí dụ 1: (ĐỀ thí tuyển sinh Dại học khối D — 2006) Cho hệ phương trình: e* =e? =ln(I+x)-In(I+y) có y-X=a (1) ¬ (2) Chứng với a, hệ có nghiệm 365 Giai y=x+a Ta có (1X2) nên f(x)>0 Vx>—I => fx) hàm đồng biến x > —1 Tacó Lan lim x=+” cịn lim gp f(x)= lim e* (e* -1)+ NE : lim x>+z In _N —=+0, J4+x+a f(x)=-—œ x-l Như tính liên tục y = f{x) suy phương trình f(x)=0 có nghiệm khoảng (~1; +o) > đpem Thi du 2: Giải phương trình: 2v3-x =-x" +8x-14 ; ; Dieu kién dé (1) có nghĩa x < Giai Dat f(x)= ves =f(x)=—=— 3—x Vậy g(x) =-x7 (1) | 23-x ln2 0, ta có: (1) oS _ x 0823 c 3l082 N— 3'=4'—1 x2 ~| (2) f{)= B (do t glee: x >0) (4) t =| (3) Vi f(t) la ham nghich biển IR va f(1)= 1, nén (3) có nghiệm nhat t= 1, tức x = nghiệm (1) 367 §2 BAT PHUONG TRINH MU VA LOGARIT Ta sử dụng kết sau việc giải bất phương trình siêu việt: + Nếu a> / nụ I, > afl’) =f xeD 3/ ree) xeD log, F(x) > loga g(x) f(x)>g(x)>0 xeD xeD D tập xác định bất phương trình + Nêu 0 log, g(x) 001 73 (2) x>0,x#1 Từ (2) suy nói riêng x > Vi thé >73 (Ne pn |tozs(9" -T73} V73