BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG II Bài 1: Tính giá trò biểu thức: a. A=( 2sin 30 0 + cos 135 0 – 3 tan 150 0 )( cos 180 0 -cot 60 0 ) b. B= sin 2 90 0 + cos 2 120 0 - cos 2 0 0 - tan 2 60 0 + cot 2 135 0 Bài 2: Đơn gianû các biểu thức: a) A= Sin 100 0 + sin 80 0 + cos 16 0 + cos 164 0 b) B= 2 Sin (180 0 - ∝) cot∝ - cos(180 0 - ∝) tan ∝ cot(180 0 - ∝) . (Với 0 0 < ∝<90 0 ) Bài 3 : a) Chứng minh rằng sin 2 x +cos 2 x = 1 ( 0 0 ≤ x ≤ 180 0 ) b)Tính sinx khi cosx = 3 5 c) Tính sinx.cosx nếu sinx – cosx = 2 3 d) Chứng minh rằng 1 + tan 2 x = 2 1 cos x ( Với x ≠ 90 0 ) e) Chứng minh rằng 1 + cot 2 x = 2 1 sin x ( Với 0 0 < x < 1800 0 ) Bài 4 : Tính giá trò biểu thức: A = cos 0 0 + cos10 0 + cos20 0 + . . . . . . + cos 170 0 B= cos 2 120 0 - sin 2 150 0 +2 tan135 0 Bài 5: Cho tam giác ABC , Chứng minh rằng a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC b) cos(A + C) + cos B = 0 c) tan( A – C) + tan( B + 2C) = 0 Bài 6: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G . Tính góc giữa a) AB uur và AC uur b) AB uur và BC uur c) AG uuur và BC uur d) GB uur và GC uur c) GA uuur và AC uur Bài 7: Cho tam giác ABC với A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1). a) Chứng minh rằng tam giác vuông 1 b) Xác đònh tâm đương tròn ngoại tiếp c) Tính diện tích tam giác và diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài 8: Cho A (-1 ; -1) và B (5; 6) a) Tìm M ∈ x’Ox để tam giác ABM cân tại M b) Tìm N ∈ y’Oy để tam giác ABN vuông tại N c) Xác đònh H,K để ABHK là hình bình hành nhận J(1;4) làm tâm d) Xác đònh C thỏa 3 AC uuur - 4 BC uuur = 2 AB uuur e) Tìm G sao cho O là trọng tâm tam giác ABG f) Xác đònh I ∈ x’Ox để | IA uur + IB uur + IN uur | đạt giá trò nhỏ nhất Bài 9: Cho A(-2;1) và B(4;5) a) Tìm M ∈ x’Ox để tam giác ABM vuông tại M b) Tìm C để OACB là hình bình hành Bài 10: Cho a r =( 1 2 ; -5) và b r =( k ; -4). Tìm k để: a) a r cùng phương b r b) a r vuông góc b r c) | a r | = | b r | Bài 11: Cho a r =(-2; 3) ; b r =( 4 ; 1) a) Tính cosin góc hợp bởi a r và b r ; a r và i r ; a r và j r ; a r + b r và a r - b r b) Tìm số m và n sao cho m a r +n b r vuông góc a r + b r c) Tìm d r biết a r . d r = 4 và b r . d r = -2 Bài 12: Cho tam giác ABC với A ( -4; 1) ; B(2;4) ; C(2; -2). a) Tam giác ABC là tam giác gì . Tính diện tích tam giác b) Gọi G , H , I là trọng tâm , trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Tính G, H , I và CMR GH uuur +2 GI uur = 0 r Bài 13: Cho tam giác ABC có A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2) a) Chứng minh rằng A ; B ; C không thẳng hàng b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành c) Tìm điểm M ∈ trục x’Ox để tam giác ABM vuông tại B d) Tam giác ABC là tam giác gì? e) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC Bài 14:. Cho ∆ ABC có AB = 7, AC = 5, Â = 120 0 a) Tính AB . AC , AB . BC b) Tính độ dài trung tuyến AM (M là trung điểm BC) Bài 15: Cho 4 điểm bất kỳ A,B,C.D: chứng minh rằng: DA BC + DB CA + DC AB = 0 2 Từ đó suy ra một cách chứng minh đònh lý “3 đường cao của một tam giác đồng quy” Bài 16: Cho  ABC có 3 trung tuyến AD, BE,CF; CMR: BC AD + CA BE + AB CF = 0 Bài 17 : Cho  ABC có AC = b, AB = c, góc BAC = ∝ và AD là phân giác của góc BAC ( D thuộc cạnh BC) a) Hãy biểu thò AD qua AB , AC b) Tính độ dài đoạn AD Bài 18: Cho đoạn AB cố đònh, AB = 2a, k ∈ IR, Tìm tập hợp điểm M sao cho: a) MA MB = k b) MA 2 - MB 2 = k 2 Bài 19: Từ điển M ở ngoài đường tròn (0) vẽ các tuyến MAB với đường tròn (0) (A,B ∈ (0) ; 2 tiếp tuyến tại A,B của đường tròn (0) cắt nhau tại I, IO ∩ AB tại D; đường thẳng qua I và vuông góc với MO tại H và lần lượt cắt AB tại C; cắt đường tròn (0) tại E, F Chứng minh : a. MD.MC=MB.MA b. OF 2 = OM.OH c. IH.IC=FI.IE d. P M/(ICD) + P I/(MCH) = IM 2 ( (ICD), (MCH) : đường tròn ngoại tiếp: ∆ : ICD, MCH) Câu 20: Cho 3 điểm A (-1,1) B(3,1), C(2,4) a. Tính chu vi và diện tích ∆ ABC b. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên BC; tìm toạ độ A’ c. Tìm toạ độ trực tâm H, trọng tâm G, và tâm I đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC; từ đó chứng minh 3 điểm I,H,G thẳng hàng. Bài 21: Cho 4 điểm A (-8,0) B(0,4), C(2,0) D (-3,-5) chứng minh 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn. Bài 22:. Biết A(1,-1), B (3,0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD; tìm toạ độ các đỉnh C và D. 3 Bài 23: Cho M cố đònh ngoài đường tròn (O,R) ,vẽ cát tuyến MAB và 2 tiếp tuyến CT và CT’. Gọi D là giao điểm của TT’ và AB. H và I lần lượt là trung điểm của của TT’ và AB a) CMR : MA . MB = MO MH = MI MD b) Cho AB = 8 cm. Gọi (C 1 ) là đường tròn tâm A, bán kính = 4 cm, (C 2 ) là đường tròn tâm B, bán kính = 3cm. Tìm tập hợp N thoả P N/(C 1 ) + P N/(C 2 ) = 15 Bài 24: Cho tam giác ABC 1) a = 5 ; b = 6 ; c = 7. Tính S, ha, hb , hc . R, r 2) a = 2 3 ; b = 2 2 ; c = 6 - 2 . Tính 3 góc 3) b = 8; c = 5; góc A = 60 0 . Tính S , R , r , h a , m a 4) a = 21; b = 17;c =10.Tính S, R, r, h a , m a 5) A = 60 0 ; hc = 3 ; R = 5 . tính a , b, c 6) A =120 0 ;B = 45 0 ;R = 2. tính 3 cạnh 7) a = 4 , b = 3 , c = 2. Tính S ABC , suy ra S AIC ( I trung điểm AB) 8) Cho góc A nhọn, b = 2m 2 , c = m , S = m 2 . Tính a . l a 9) c = 3 , b = 4 ; S = 3 3 . Tính a Bài 25: Cho tứ giác ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của 2 đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng : AB 2 + BC 2 +CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2 + 4 IJ 2 Bài 26:Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. M là 1 điểm trên cạnh AB kéo dài. Qua M lần lượt vẽ 2 tiếp tuyến MT, MT’, 2 cát tuyến MCD, MC’D’ đối với (O) và (O’) CMR MT = MT’ và CDD’C’ nội tiếp. Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Trên đường tròn tâm C, bán kính CA lấy điểm M ( không ở trên đường BC kéo dài). CMR đường thẳng CM tiếp xúc với (BHM) Bài 28: Tam giác ABC nội tiếp trong (O), M là trung điểm BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOM cắt đường thẳng BC tại 1 điểm thứ 2 là E và cắt (O) tại D. AD cắt BC tại F. Chứng minh rằng: a) .FB FC = .FE FM b) .EB EC = .EF EM c) EA tiếp xúc với (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác AMF Bài 29: Cho P nằm ngoài (O), vẽ cát tuyến PAB lưu động, tiếp tuyến với (O) vẽ từ A và B cắt nhau tại M. Vẽ MH vuông góc với OP. a) CMR : 5 điểm O , A , B, M , H ở trên 1 đường tròn b) Tìm tập hợp M khi PAB quay quanh P c) Gọi I là trung điểm AB, N là giao điểm của PAB và MH . CMR .PA PB = .PI PN 4 Bài 30: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng AB lấy 1 điểm M ở ngoài (O) sao cho MA = 3 2 R . Từ M vẽ tiếp tuyến MT a) Tính MT theo R b) Gọi TH là đường cao trong ∆TMO. Chứng minh rằng : .MH MO = .MA MB c) Vẽ cát tuyến MCD, CMR tứ giác CDOH nội tiếp d) AD và BC cắt nhau tại N. CMR : .AN AD + .BN BC = 4R 2 Bài 31: Trên đoạn AB = 8, vẽ (A,4) và (B,3). Tìm tập hợp M thỏa ℘ M/(A) +℘ M/(B) = 15 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . M, N là 2 điểm cùng phía trên tiếp tuyến kẻ từ B. AM và AN cắt (O) tại M 1 và N 1 . a) CMR tứ giác MNN 1 M 1 nội tiếp b) Giả sử AB = BN = 10; BM = 5. Tính AM ; AM 1 ; AN 1 ; sin M 1 AN 1 , M 1 N 1 Bài 32: M là 1 diểm trên nửa đường tròn đường kính AB . H là hình chiếu của M xuống AB . Đường tròn đườg kính MH cắt MA ; MB tại P,Q và cắt nửa đường tròn tại E a) CMR tứ giác APQB nội tiếp b) CMR 3 đường AB ; PQ ; ME đồng quy Bài 33: Cho 3 điểm A ; B ; C thẳng hàng theo thứ tự. AB = 5 ; BC = 7. Đường tròn di động qua A , B có tâm là O. Vẽ 2 tiếp tuyến CT ; CT’. Gọi D là giao điểm TT’ với AB. Gọi H; I lần lượt là trung điểm của đọan TT’, AB a) Tìm tập hợp T; T’ b) CMR : .CA CB = .CO CH = .CI CD c) CMR : Điểm D cố đònh. Suy ra tập hợp H Bài 34 : Cho đường tròn tâm O đường kính BC = 4; A ngoài (O), AB = 6 ; AC = 5. AC , AB cắt (O) tại D và E a) Tính AO , AE , AD b) Qua A vẽ AH ⊥BC và cắt (O) tại F ; K. Lấy M ∈ (O). Gọi BM∩AH = I ; CM∩AH = J Chứng minh rằng .IF IK = .IH IJ Bài 35: Cho 2 đường tròn (O;10) ; (O’;20) tiếp xúc ngoài tại A. Tiếp tuyến chung BB’ cắt OO’ tại I và cắt tiếp tuyến chung qua A tại M a) Tính IO ; IO’ ; IB ; IB’ b) CMR: IA 2 = IB.IB’. Suy ra OO’ tiếp xúc đường tròn đường kính BB’ CMR : IM 2 = IO.IO’. Suy ra BB’ tiếp xúc đường tròn đường kính OO’ 5 . BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG II Bài 1: Tính giá trò biểu thức: a. A=( 2sin 30 0 + cos 135 0 – 3 tan 150 0. dài). CMR đường thẳng CM tiếp xúc với (BHM) Bài 28: Tam giác ABC nội tiếp trong (O), M là trung điểm BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOM cắt đường thẳng