Đang tải... (xem toàn văn)
luận văn tốt nghiệp ĐHSP: mặt cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian R3 với mật độ e mủ r2
ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ? ? ?F ? ?? TRẦN THỊ NHÃ TRANG MẶT CỰC TIỂU VÀ MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHƠNG GIAN R3 VỚI MẬT ĐỘ er KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành : Hình học vi phân Cán hướng dẫn PGS TS ĐOÀN THẾ HIẾU Huế, tháng năm 2011 i LỜI CẢM ƠN Trải qua bốn năm học tập rèn luyện giảng đường trường ĐH Sư Phạm Huế, dìu dắt q Thầy Cơ giáo, tơi tích lũy cho nhiều kiến thức kinh nghiệm quý báu chuyên môn nghiệp vụ Khóa luận thành quan trọng q trình Đầu tiên, tơi xin gửi lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo, PGS TS Đoàn Thế Hiếu, người hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo cho tơi suốt thời gian thực khóa luận Tơi xin gửi lịng biết ơn chân thành đến q Thầy Cơ giảng dạy lớp Tốn B khóa 2007 - 2011 trường ĐHSP Huế, đặc biệt tồn thể q Thầy Cơ Khoa Tốn trường ĐHSP Huế, người khơng cho tơi kiến thức mà cịn quan tâm động viên nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thời gian thực khóa luận Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến tất người thân, bạn bè quan tâm động viên giúp đỡ tơi suốt q trình học tập vừa qua Huế, tháng năm 2011 Trần Thị Nhã Trang ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii MỤC LỤC MỞ ĐẦU MẶT CỰC TIỂU TRONG KHÔNG GIAN R3 VỚI MẬT ĐỘ er ϕ 1.1 Không gian R với mật độ e - Độ cong trung bình theo mật độ 1.2 Biến phân thứ phiếm hàm diện tích 1.2.1 Biến phân thứ phiếm hàm diện tích khơng gian R3 1.2.2 Biến phân thứ hàm diện tích không gian R3 với mật độ eϕ(r) 1.3 Mặt cực tiểu không gian R3 với mật độ er 1.3.1 1.3.2 10 Một số mặt cực tiểu cổ điển không gian R3 11 Mặt cực tiểu không gian R3 với mật độ er 13 25 Bong bóng xà phịng mặt cực tiểu diện tích với biên đường cong đóng cho trước 2.2 MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R3 2.1 25 Điều kiện cần để mặt có diện tích nhỏ tất mặt có biên 26 2.3 Biến phân thứ hai hàm diện tích 28 2.4 Định lý Stokes phương pháp dạng cỡ 31 Dạng vi phân 32 2.4.1 2.4.2 Tích ngồi m - vector, covetor khơng gian R 33 2.4.3 Định lý Stokes không gian R 34 2.4.4 Dạng cỡ không gian R3 37 2.4.6 Một số ví dụ 38 MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHƠNG GIAN R3 VỚI MẬT ĐỘ er 3.1 41 Định lý Stokes với mật độ phương pháp dạng cỡ không gian R3 với mật độ er 41 3.2 Biến phân thứ hai không gian R3 với mật độ er 44 3.3 Một số kết 46 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 MỞ ĐẦU Hiện nay, mặt cực tiểu đối tượng thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu hình học vi phân Đặc biệt hơn, vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu mặt cực tiểu diện tích khơng gian với mật độ Thuật ngữ minimal surfaces dùng để mặt có độ cong trung bình khơng cịn thuật ngữ area-minimizing surfaces lại dùng để mặt có diện tích nhỏ lớp mặt biên đồng hay biến dạng compact, bảo toàn thể tích cho trước Người ta mặt cực tiểu diện tích có nhiều tính chất thú vị Ví dụ khơng gian R3 mặt có diện tích nhỏ với biên đường cong cho trước có độ cong trung bình khơng hay mặt có diện tích nhỏ ứng với thể tích cho trước có độ cong trung bình số Bên cạnh đó, phương pháp dùng để tìm chứng minh mặt cực tiểu diện tích thu hút nhiều quan tâm, đặc biệt phương pháp dạng cỡ phương pháp biến phân Chúng ta biết không gian với mật độ không gian trang bị hàm dương gọi hàm mật độ dùng làm trọng số cho thể tích chu vi Khi chuyển từ khơng gian thông thường sang nghiên cứu không gian với mật độ, câu hỏi đặt ra, là: Liệu kết quả, tính chất khơng gian thơng thường có cịn với khơng gian với mật độ khơng? Với mong muốn tìm hiểu trả lời câu hỏi đó, hướng dẫn giúp đỡ Thầy giáo, PGS TS Đoàn Thế Hiếu, chọn đề tài: "Mặt cực tiểu mặt cực tiểu diện tích khơng gian R3 với mật độ er " Nội dung khóa luận gồm có ba chương Chương I trình bày số vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu không gian R3 với mật độ er mặt có độ cong trung bình hằng, điều kiện để mặt tròn xoay, mặt tịnh tiến, mặt kẻ, mặt cực tiểu số mặt cực tiểu đại số Bên cạnh đó, chúng tơi trình bày biến phân thứ phiếm hàm diện tích mặt tham số quy R3 R3 với mật độ Chương II trình bày số vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu diện tích khơng gian R3 Cụ thể biến phân thứ hai phiếm hàm diện tích mặt tham số quy, phương pháp dạng cỡ số ví dụ mặt định cỡ Chương III trình bày mặt cực tiểu diện tích khơng gian R3 với mật độ er Cụ thể chúng tơi trình bày phương pháp dạng cỡ phương pháp biến phân dùng để chứng minh mặt cực tiểu diện tích khơng gian với mật độ Cuối số kết mặt cực tiểu diện tích lớp mặt biên đồng mặt cực tiểu diện tích ứng với thể tích cho trước Thơng qua khóa luận, tác giả hi vọng người đọc phát vài điều lí thú bổ ích Thân mến! Chương MẶT CỰC TIỂU TRONG KHÔNG GIAN r R VỚI MẬT ĐỘ e Trong chương này, chúng tơi trình bày số vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu không gian R3 không gian R3 với mật độ er Cụ thể số mặt cực tiểu cổ điển không gian R3 phù hợp tương ứng độ cong trung bình mặt cực tiểu với biến phân thứ phiếm hàm diện tích Bên cạnh đó, chúng tơi trình bày số kết điều kiện để mặt tịnh tiến, mặt kẻ, mặt trịn xoay mặt cực tiểu khơng gian R3 với mật độ er 1.1 Không gian R3 với mật độ eϕ - Độ cong trung bình theo mật độ Hàm mật độ R3 hàm dương, khả vi thường viết dạng eϕ : R3 −→ R (x, y, z ) 7−→ eϕ(x,y,z) Không gian với mật độ eϕ không gian trang bị hàm mật độ eϕ dùng làm trọng số cho thể tích chu vi Cụ thể dV dP phần tử thể tích chu vi R3 phần tử thể tích chu vi R3 với mật độ eϕ cho công thức dVϕ = eϕ dV, dPϕ = eϕ dP Trong không gian R3 với mật độ eϕ , độ cong trung bình theo mật độ, kí hiệu Hϕ , mặt S định nghĩa sau Hϕ = H − dϕ , dN với H độ cong trung bình N trường pháp vector đơn vị mặt S Vì −→ −→ − → dϕ dN = ϕx cos(Ox, N ) + ϕy cos(Oy, N ) + ϕz cos(Oz, N ) nên ta viết lại cơng thức tính Hϕ sau Hϕ = H − h∇ϕ, N i = (k1 + k2 − h∇ϕ, N i) với ∇ϕ = (ϕx , ϕy , ϕz ) k1 , k2 độ cong mặt S 1.2 Biến phân thứ phiếm hàm diện tích Trong phần chúng tơi trình bày biến phân thứ phiếm hàm diện tích mặt tham số quy khơng gian R3 không gian R3 với mật độ cách sử dụng biến phân chuẩn tắc Từ làm sở nêu lên mối liên hệ mặt cực tiểu với biến phân thứ phiếm hàm diện tích chương II nêu lên điều kiện cần để mặt cực tiểu diện tích tất mặt có biên Trước giới thiệu biến phân thứ phiếm hàm diện tích mặt quy có định nghĩa phần tử diện tích biến phân chuẩn tắc sau Định nghĩa 1.2.1 (Phần tử diện tích) Cho S mặt quy, R ⊂ S miền bị chặn chứa lân cận tọa độ xác định tham số X : U ⊂ R2 −→ S (với U miền mở liên thông với bao đóng compact biên trơn R2 ) Khi với Q = X −1 (R), số dương ZZ A(R) = |Xu ∧ Xv |dudv Q gọi diện tích miền R Tương tự, diện tích miền R không gian R3 với mật độ eϕ định nghĩa ZZ Aϕ (R) = eϕ |Xu ∧ Xv |dudv Q Vì |Xu ∧ Xv |2 + hXu , Xv i2 = |Xu |2 |Xv |2 nên ta tính diện tích R sau ZZ p A(R ) = EG − F dudv Q ZZ Aϕ (R ) = p eϕ EG − F dudv Q với E, F, G hệ số dạng thứ X Định nghĩa 1.2.2 (Biến phân chuẩn tắc) Cho X : Ω −→ R3 mặt tham số quy, D ⊂ Ω miền bị chặn h : D −→ R hàm khả vi Ta gọi biến phân chuẩn tắc X (D) xác định h ánh xạ ϕ : D × (−ε, ε) −→ R3 ϕ(u, v, t) = X (u, v ) + th(u, v )N (u, v ), (u, v ) ∈ D, t ∈ (−ε, ε) Khi với t xác định, ánh xạ X t : D −→ R3 X t (u, v ) = ϕ(u, v, t) mặt tham số Hình 1.1: Các biến phân chuẩn tắc X(u, v) 1.2.1 Biến phân thứ phiếm hàm diện tích khơng gian R3 Xét mặt quy S với tham số hóa X : Ω ⊂ R2 −→ S, D ⊂ Ω biến phân chuẩn tắc X t X (D) Ta có Xut = Xu + thNu + thu N, Xvt = Xv + thNv + thv N Kí hiệu E t , F t , Gt hệ số dạng thứ X t , ta có E t = E + 2thhXu , Nu i + t2 h2 Nu2 + t2 h2u , F t = F + 2thhXu , Nv i + t2 h2 hNu , Nv i + t2 hu hv , Gt = G + 2thhXv , Nv i + t2 h2 Nv2 + t2 h2v , với hXu , Nu i = −e, hXu , Nv i = hXv , Nu i = −f, hXv , Nv i = −g 2H (EG − F ) = Eg − 2F f + Ge Khi E t Gt − (F t )2 = (EG − F ) − 2th(Eg − 2F f + Ge) + R(t) = (EG − F )(1 − 4thH ) + R(t) = (EG − F )(1 − 4thH + R(t)), với R(t) đa thức theo t, bậc ≥ R(t) = R(t) EG−F Với ε đủ nhỏ X t mặt tham số quy Do diện tích mặt tham số X t Z q E t Gt − (F t )2 dudv A(t) = D = Z q p − 4thH + R(t) EG − F dudv D = Z q − 4thH + R(t)dA D Khi Z A (t) = D −4hH + R (t) q dA − 4thH + R(t) gọi biến phân thứ hàm diện tích mặt tham số quy X t Tại t = 0, ta có Z A (0) = −2hHdA D gọi biến phân thứ phiếm hàm diện tích mặt tham số quy X Từ ta có định lý nêu lên mối liên hệ mặt cực tiểu biến phân thứ phiếm hàm diện tích mặt sau Định lý 1.2.1 [1] Cho X : Ω −→ R3 mặt tham số quy, D ⊂ Ω miền bị chặn Mặt tham số X cực tiểu KCK A0 (0) = với miền bị chặn D với biến phân chuẩn tắc X (D) ... hàm diện tích mặt tham số quy X khơng gian R3 với mật độ e? ?(r) Nhận xét 1.2.1 Nếu S mặt cực tiểu với mật độ A0ϕ (0) = 1.3 Mặt cực tiểu không gian R3 với mật độ er Trước vào tìm hiểu mặt cực tiểu. .. thứ hàm diện tích khơng gian R3 với 1.2.2 mật độ e? ?(r) Xét không gian R3 với mật độ e? ?(r) với r khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm Diện tích mặt tham số X t không gian R3 với mật độ e? ?(r) Z Aϕ... đến mặt cực tiểu không gian R3 không gian R3 với mật độ er Cụ thể số mặt cực tiểu cổ điển không gian R3 phù hợp tương ứng độ cong trung bình mặt cực tiểu với biến phân thứ phiếm hàm diện tích
