Đang tải... (xem toàn văn)
bài tập Toán cao cấp
Bài tập toán cao cấp Tập 1 Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 276 Tr. Từ khoá: Số phức, Đa thức và hàm hữu tỷ, Ma Trận, Định thức, Hệ phương trình tuyến tính, Không gian Euclide, Dạng toàn phương. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. NGUYˆE˜N THUY’THANHB`AI TˆA.PTO´AN CAO CˆA´PTˆa.p1Da.isˆo´tuyˆe´n t´ınhv`a H`ınh ho.c gia’it´ıchNH`AXUˆA´TBA’NDA.IHO.CQUˆO´C GIA H`ANˆO.IH`a Nˆo.i – 2006 Mu.clu.cL`o.in´oidˆa`u 41Sˆo´ph´u.c61.1 D-i.nh ngh˜ıa sˆo´ph´u.c 61.2 Da.ng da.isˆo´cu’asˆo´ph´u.c . 81.3 Biˆe’udiˆe˜n h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen . . . . . . . . 131.4 Biˆe’udiˆe˜nsˆo´ph´u.cdu.´o.ida.ng lu.o ng gi´ac . . . . . . . . 232D-ath´u.c v`a h`am h˜u.uty’442.1 D-ath´u.c 442.1.1 D-ath´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ph´u.c C . 452.1.2 D-ath´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´thu c R . 462.2 Phˆan th´u.ch˜u.uty’ . 553 Ma trˆa.n. D-i.nh th´u.c663.1 Ma trˆa.n 673.1.1 D-i.nh ngh˜ıa ma trˆa.n 673.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen ma trˆa.n . 693.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n 713.1.4 Ph´ep chuyˆe’nvi.ma trˆa.n . 723.2 D-i.nh th´u.c . 853.2.1 Nghi.ch thˆe´ . 853.2.2 D-i.nh th´u.c . 853.2.3 T´ınh chˆa´tcu’adi.nh th´u.c . 88 2MU.CLU.C3.2.4 Phu.o.ng ph´ap t´ınh di.nh th´u.c . 893.3 Ha.ng cu’a ma trˆa.n . 1093.3.1 D-i.nhngh˜ıa 1093.3.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ha.ng cu’a ma trˆa.n 1093.4 Ma trˆa.n nghi.ch da’o 1183.4.1 D-i.nhngh˜ıa 1183.4.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o .1194Hˆe.phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´nt´ınh 1324.1 Hˆe.n phu.o.ng tr`ınh v´o.i n ˆa’nc´odi.nh th´u.c kh´ac 0 . . . . 1324.1.1 Phu.o.ng ph´ap ma trˆa.n 1334.1.2 Phu.o.ng ph´ap Cramer . . . . . . . . . . . . . . 1344.1.3 Phu.o.ng ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 1344.2 Hˆe.t`uy ´y c´ac phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . 1434.3 Hˆe.phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆa`n nhˆa´t . 1655 Khˆong gian EuclideRn1775.1 D-i.nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆe`u v`a mˆo.tsˆo´kh´ai niˆe.mco.ba’nvˆe`vecto . 1775.2 Co.so.’.D-ˆo’ico.so.’ . 1885.3 Khˆong gian vecto.Euclid. Co.so.’tru cchuˆa’n 2015.4 Ph´ep biˆe´ndˆo’i tuyˆe´nt´ınh . 2135.4.1 D-i.nhngh˜ıa 2135.4.2 Ma trˆa.ncu’a ph´ep bdtt . . . . . . . . . . . . . . 2135.4.3 C´ac ph´ep to´an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2155.4.4 Vecto.riˆeng v`a gi´a tri.riˆeng . . . . . . . . . . . . 2166Da.ng to`an phu.o.ng v`a ´u.ng du.ng dˆe’nhˆa.nda.ng du.`o.ngv`a m˘a.tbˆa.c hai 2366.1 Da.ng to`an phu.o.ng 2366.1.1 Phu.o.ng ph´ap Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 2376.1.2 Phu.o.ng ph´ap Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 241 MU.CLU.C36.1.3 Phu.o.ng ph´ap biˆe´ndˆo’i tru c giao . . . . . . . . . 2446.2 D-u.aphu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’adu.`o.ng bˆa.c hai v`a m˘a.tbˆa.c hai vˆe`da.ng ch´ınh t˘a´c 263 L`o.i n´oi dˆa`uGi´ao tr`ınh B`ai tˆa.p to´an cao cˆa´p n`ay du.o c biˆen soa.n theo Chu.o.ngtr`ınh To´an cao cˆa´p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.cTu nhiˆen cu’aDa.iho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.iv`ad˜a d u.o cDa.iho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i thˆongqua v`a ban h`anh.Mu.cd´ıch cu’a gi´ao tr`ınh l`a gi´up d˜o.sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.cTu nhiˆen n˘a´mv˜u.ng v`a vˆa.ndu.ng du.o c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an caocˆa´p. Mu.c tiˆeu n`ay quyˆe´tdi.nh to`an bˆo.cˆa´utr´uc cu’a gi´ao tr`ınh. Trongmˆo˜imu.c, dˆa`u tiˆen ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a´tnh˜u.ng co.so.’l´y thuyˆe´tv`a liˆe.tkˆenh˜u.ng cˆong th´u.ccˆa`n thiˆe´t. Tiˆe´pd´o, trong phˆa`n C´ac v´ı du.ch´ung tˆoi quan tˆam d˘a.cbiˆe.tt´o.iviˆe.c gia’i c´ac b`ai to´an mˆa˜ub˘a`ng c´achvˆa.ndu.ng c´ac kiˆe´nth´u.cl´y thuyˆe´td˜a tr`ınh b`ay. Sau c`ung, l`a phˆa`n B`aitˆa.p.O.’dˆay, c´ac b`ai tˆa.pdu.o cgˆo.p th`anh t`u.ng nh´om theo t`u.ng chu’dˆe`v`a du.o cs˘a´pxˆe´p theo th´u.tu t˘ang dˆa`nvˆe`dˆo.kh´o v`a mˆo˜i nh´om dˆe`uc´o nh˜u.ng chı’dˆa˜nvˆe`phu.o.ng ph´ap gia’i. Ch´ung tˆoi hy vo.ng r˘a`ng viˆe.cl`am quen v´o.il`o.i gia’i chi tiˆe´t trong phˆa`n C´ac v´ı du.s˜e gi´up ngu.`o.iho.cn˘a´mdu.o c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an co.ba’n.Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa.p n`ay c´o thˆe’su.’du.ng du.´o.isu hu.´o.ng dˆa˜ncu’agi´ao viˆen ho˘a.ctu m`ınh nghiˆen c´u.u v`ı c´ac b`ai tˆa.pdˆe`uc´od´ap sˆo´,mˆo.tsˆo´c´o chı’dˆa˜n v`a tru.´o.c khi gia’i c´ac b`ai tˆa.pn`ayd˜a c´o phˆa`n C´ac v´ı du.tr`ınh b`ay nh˜u.ng chı’dˆa˜nvˆe`m˘a.tphu.o.ng ph´ap gia’i to´an.T´ac gia’gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca’mo.n c´ac thˆa`y gi´ao: TS. Lˆe D`ınhPh`ung v`a PGS. TS. Nguyˆe˜n Minh Tuˆa´nd˜ado.ck˜yba’n tha’ov`ad´ong Co.so.’l´y thuyˆe´t h`am biˆe´nph´u.c5g´op nhiˆe`u´ykiˆe´n qu´y b´au vˆe`cˆa´utr´uc v`a nˆo.i dung v`a d˜a g´op ´y cho t´acgia’vˆe`nh˜u.ng thiˆe´u s´ot cu’aba’n tha’o gi´ao tr`ınh.M´o.i xuˆa´tba’nlˆa`ndˆa`u, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho’i sai s´ot. Ch´ungtˆoi rˆa´t chˆan th`anh mong du.o cba.ndo.c vui l`ong chı’ba’o cho nh˜u.ngthiˆe´u s´ot cu’a cuˆo´n s´ach dˆe’gi´ao tr`ınh ng`ay du.o c ho`an thiˆe.nho.n.H`a Nˆo.i, M`ua thu 2004T´ac gia’ Chu.o.ng 1Sˆo´ph´u.c1.1 D-i.nh ngh˜ıa sˆo´ph´u.c 61.2 Da.ng da.isˆo´cu’asˆo´ph´u.c . 81.3 Biˆe’udiˆe˜n h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen . 131.4 Biˆe’udiˆe˜nsˆo´ph´u.cdu.´o.ida.ng lu.o ng gi´ac . 231.1 D-i.nh ngh˜ıa sˆo´ph´u.cMˆo˜ic˘a.psˆo´thu c c´o th´u.tu (a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o cgo.i l`a mˆo.tsˆo´ph´u.cnˆe´u trˆen tˆa.pho p c´ac c˘a.pd´o quan hˆe.b˘a`ng nhau, ph´ep cˆo.ng v`aph´ep nhˆan du.o cdu.a v`ao theo c´ac di.nh ngh˜ıa sau dˆay:(I) Quan hˆe.b˘a`ng nhau(a1,b1)=(a2,b2) ⇐⇒a1= a2,b1= b2.(II) Ph´ep cˆo.ng 1.1. D-i.nh ngh˜ıa sˆo´ph´u.c 7(a1,b1)+(a2,b2)def=(a1+ a2,b1+ b2).1(III) Ph´ep nhˆan(a1,b1)(a2,b2)def=(a1a2− b1b2,a1b2+ a2b1).Tˆa.pho psˆo´ph´u.cdu.o ck´yhiˆe.ul`aC. Ph´ep cˆo.ng (II) v`a ph´ep nhˆan(III) trong C c´o t´ınh chˆa´t giao ho´an, kˆe´tho p, liˆen hˆe.v´o.i nhau bo.’iluˆa.t phˆan bˆo´v`a mo.i phˆa`ntu.’=(0, 0) dˆe`u c´o phˆa`ntu.’nghi.ch da’o.Tˆa.pho p C lˆa.p th`anh mˆo.t tru.`o.ng (go.i l`a tru.`o.ng sˆo´ph´u.c) v´o.i phˆa`ntu.’khˆong l`a c˘a.p (0; 0) v`a phˆa`ntu.’do.nvi.l`a c˘a.p (1; 0).´Ap du.ng quyt˘a´c (III) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆe´uk´yhiˆe.u i =(0, 1) th`ıi2= −1Dˆo´iv´o.i c´ac c˘a.pda.ng d˘a.cbiˆe.t(a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v`a (III) tac´o(a, 0) + (b, 0)=(a + b, 0),(a, 0)(b, 0) = (ab, 0).T`u.d´ovˆe`m˘a.tda.isˆo´c´ac c˘a.pda.ng (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe.tv´o.isˆo´thu c R:v`ıch´ung du.o ccˆo.ng v`a nhˆan nhu.nh˜u.ng sˆo´thu c. Dovˆa.y ta c´o thˆe’dˆo`ng nhˆa´t c´ac c˘a.pda.ng (a; 0) v´o.isˆo´thu c a:(a;0)≡ a ∀ a ∈ R.D˘a.cbiˆe.t l`a (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1.Dˆo´iv´o.isˆo´ph´u.c z =(a, b):1+Sˆo´thu c a du.o cgo.i l`a phˆa`n thu c a =Rez,sˆo´thu c b go.i l`a phˆa`na’ov`ak´yhiˆe.ul`ab =Imz.2+Sˆo´ph´u.cz =(a,−b)go.il`asˆo´ph´u.c liˆen ho pv´o.isˆo´ph´u.c z1def. l`a c´ach viˆe´tt˘a´tcu’at`u.tiˆe´ng Anh definition (di.nh ngh˜ıa) 8Chu.o.ng 1. Sˆo´ph´u.c1.2 Da.ng da.isˆo´cu’asˆo´ph´u.cMo.isˆo´ph´u.c z =(a; b) ∈ C dˆe`u c´o thˆe’viˆe´tdu.´o.ida.ngz = a + ib. (1.1)Thˆa.tvˆa.y, z =(a, b)=(a, 0) + (0,b)=(a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ibBiˆe’uth´u.c (1.1) go.i l`a da.ng da.isˆo´cu’asˆo´ph´u.c z =(a, b). T`u.(1.1)v`a di.nh ngh˜ıa sˆo´ph´u.c liˆen ho p ta c´oz = a − ib.Du.´o.ida.ng da.isˆo´c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa.pho psˆo´ph´u.cdu.o c thu chiˆe.n theo c´ac quy t˘a´c sau.Gia’su.’z1= a1+ ib1, z2= a2+ ib2. Khi d´o(I) Ph´ep cˆo.ng: z1± z2=(a1± a2)+i(b1± b2).(II) Ph´ep nhˆan: z1z2=(a1a2− b1b2)+i(a1b2+ a2b1).(III) Ph´ep chia:z2z1=a1a2+ b1b2a21+ b21+ ia1b2− a2b1a21+ b21·C´AC V´IDU.V´ı d u.1. 1+T´ınh in.T`u.d´och´u.ng minh r˘a`nga) in+ in+1+ in+2+ in+3=0;b) i · i2···i99· i100= −1.2+T`ım sˆo´nguyˆen n nˆe´u:a) (1 + i)n=(1− i)n;b)1+i√2n+1 − i√2n=0.Gia’i. 1+Ta c´o i0=1,i1= i, i2= −1, i3= −i, i4=1,i5= i v`agi´a tri.l˜uy th`u.ab˘a´tdˆa`ul˘a.pla.i. Ta kh´ai qu´at h´oa. Gia’su.’n ∈ Z v`an =4k + r, r ∈ Z,0 r 3. Khi d´oin= i4k+r= i4k· ir=(i4)kir= ir . Bài tập toán cao cấp Tập 1 Nguyễn Thủy Thanh . ................263 L`o.i n´oi dˆa`uGi´ao tr`ınh B`ai tˆa.p to´an cao cˆa´p n`ay du.o..c biˆen soa.n theo Chu.o.ngtr`ınh To´an cao cˆa´p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.cTu..nhiˆen
