Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp hàm số
Bài 1. Phương pháp hàm sốCHƯƠNG I. HÀM SỐBÀI 1. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ1. y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ ( )1 2,x x a b∀ < ∈ ta có ( ) ( )1 2f x f x<2. y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ ( )1 2,x x a b∀ < ∈ ta có ( ) ( )1 2f x f x>3. y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≥ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm ∈ (a, b).4. y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≤ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm ∈ (a, b).5. Cực trị hàm số: Hàm số đạt cực trị tại điểm ( )kx x f x′= ⇔ đổi dấu tại điểm kx6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số• Giả sử y = ƒ(x) liên tục trên [a, b] đồng thời đạt cực trị tại ( )1, ., ,nx x a b∈.Khi đó: [ ]( )( )( )( ) ( ){ }1,Max Max , ., , , ;nx a bf x f x f x f a f b∈=[ ]( )( )( )( ) ( ){ }1,M in M in , ., , ,nx a bf x f x f x f a f b∈=• Nếu y = f (x) đồng biến / [a, b] thì [ ]( ) ( )[ ]( ) ( ),,Min ; Maxx a bx a bf x f a f x f b∈∈= =• Nếu y = f (x) nghịch biến / [a, b] thì [ ]( ) ( )[ ]( ) ( ),,Min ; Maxx a bx a bf x f b f x f a∈∈= =• Hàm bậc nhất ( )f x x= α + β trên đoạn [ ];a b đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút a; b1 b j j jx x x− ε + εi i ix x x− ε + εax Chương I. Hàm số – Trần PhươngII. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. Nghiệm của phương trình u(x) = v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị ( )y u x= với đồ thị ( )y v x=.2. Nghiệm của bất phương trình u(x) ≥ v(x) là phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị ( )y u x= nằm ở phía trên so với phần đồ thị ( )y v x=.3. Nghiệm của bất phương trình u(x) ≤ v(x) là phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị ( )y u x= nằm ở phía dưới so với phần đồ thị ( )y v x=.4. Nghiệm của phương trình u(x) = m là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị ( )y u x=.5. BPT u(x) ≥ m đúng ∀x∈I ⇔ ( )IMinxu x m∈≥6. BPT u(x) ≤ m đúng ∀x∈I ⇔ ( )IMaxxu x m∈≤7. BPT u(x) ≥ m có nghiệm x∈I ⇔ ( )IMaxxu x m∈≥8. BPT u(x) ≤ m có nghiệm x∈I ⇔ ( )IMinxu x m∈≤III. Các bài toán minh họa phương pháp hàm số Bài 1. Cho hàm số( )22 3f x mx mx= + −a. Tìm m để phương trình ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2]b. Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≤ 0 nghiệm đúng ∀x∈[1; 4]c. Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈[ ]1;3−Giải: a. Biến đổi phương trình ƒ(x) = 0 ta có: ( )( )( )( )2 22 23 32 3 0 2 321 1f x mx mx m x x g x mx xx= + − = ⇔ + = ⇔ = = =++ −.Để ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2] thì [ ]( )[ ]( )1;21;2Min Maxxxg x m g x∈∈≤ ≤ 318m⇔ ≤ ≤b. Ta có ∀x∈[1; 4] thì ( )22 3 0f x mx mx= + − ≤ ⇔ ( )22 3m x x+ ≤⇔ ( )[ ]23, 1;42g x m xx x= ≥ ∀ ∈+ [ ]( )1;4M inxg x m∈⇔ ≥. Do ( )( )231 1g xx=+ − giảm trên [1; 4] nên ycbt ⇔ [ ]( )( )1;41Min 48xg x g m∈= = ≥2αβbxav(x)u(x)abxy = m Bài 1. Phương pháp hàm sốc. Ta có với x∈ [ ]1;3− thì ( )22 3 0f x mx mx= + − ≥ ⇔ ( )22 3m x x+ ≥. Đặt ( )[ ]23, 1;32g x xx x= ∈ −+ . Xét các khả năng sau đây:+ Nếu 0x = thì bất phương trình trở thành .0 0 3m = ≥ nên vô nghiệm. + Nếu (]0;3x∈ thì BPT ⇔( )g x m≤ có nghiệm (]0;3x∈(]( )0;3xMin g x m∈⇔ ≤. Do ( )( )231 1g xx=+ − giảm /(]0;3 nên ycbt (]( ) ( )0;3135xMin g x g m∈⇔ = = ≤+ Nếu [)1;0x∈ − thì 22 0x x+ < nên BPT ( )g x m⇔ ≥ có nghiệm [)1;0x∈ − [)( )1;0Max g x m−⇔ ≥. Ta có ( )( )( )[ ]223 2 20, 1;02xg x xx x− +′= ≤ ∀ ∈ −+ . Do đó ( )g x nghịch biến nên ta có [)( )( )1;01 3Max g x g m−= − = − ≥Kết luận: ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈[ ]1;3−(])1; 3 ;5m⇔ ∈ −∞ − +∞U Bài 2. Tìm m để bất phương trình: 3313 2x mxx−− + − < nghiệm đúng ∀x ≥ 1Giải: BPT ( )3 23 41 1 23 2, 1 3 , 1mx x x m x f x xxx x⇔ < − + ∀ ≥ ⇔ < − + = ∀ ≥. Ta có ( )5 2 5 2 24 2 24 2 4 22 2 2 0f x x xx x x x x− ′= + − ≥ − = > suy ra ( )f x tăng.YCBT ( ) ( )( )123 , 1 min 1 2 33xf x m x f x f m m≥⇔ > ∀ ≥ ⇔ = = > ⇔ >Bài 3. Tìm m để bất phương trình ( )2.4 1 .2 1 0x xm m m++ − + − > đúng x∀ ∈ ¡Giải: Đặt 2 0xt = > thì ( )2.4 1 .2 1 0x xm m m++ − + − > đúng x∀ ∈ ¡ ( ) ( )( )2 2. 4 1 . 1 0, 0 4 1 4 1, 0m t m t m t m t t t t⇔ + − + − > ∀ > ⇔ + + > + ∀ >( )24 1, 04 1tg t m tt t+⇔ = < ∀ >+ +. Ta có ( )( )2224 204 1t tg tt t− −′= <+ + nên ( )g t nghịch biến trên [)0;+∞ suy ra ycbt ⇔ ( ) ( )00 1tMax g t g m≥= = ≤Bài 4. Tìm m để phương trình: ( )12 5 4x x x m x x+ + = − + − có nghiệm.3 Chương I. Hàm số – Trần PhươngGiải: Điều kiện 0 4x≤ ≤. Biến đổi PT ( )125 4x x xf x mx x+ +⇔ = =− + −.Chú ý: Nếu tính ( )f x′ rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn. Thủ thuật: Đặt ( ) ( )3112 0 022 12g x x x x g x xx′= + + > ⇒ = + >+ ( ) ( )1 15 4 0 02 5 2 4h x x x h xx x−′= − + − > ⇒ = − <− − Suy ra: ( )0g x > và tăng; ( )h x > 0 và giảm hay ( )10h x> và tăng⇒( )( )( )g xf xh x= tăng. Suy ra( )f x m= có nghiệm [ ]( )[ ]( ) ( )( )[ ]( )0;40;4min ;max 0 ; 4 2 15 12 ;12m f x f x f f ⇔ ∈ = = − Bài 5. Tìm m để bất phương trình: ( )33 23 1 1x x m x x+ − ≤ − − có nghiệm.Giải: Điều kiện 1x ≥. Nhân cả hai vế BPT với ( )31 0x x+ − > ta nhận đượcbất phương trình ( )( )( )33 23 1 1f x x x x x m= + − + − ≤. Đặt ( ) ( )( )33 23 1 ; 1g x x x h x x x= + − = + −Ta có ( ) ( )( )221 13 6 0, 1; 3 1 02 2 1g x x x x h x x xx x ′ ′= + > ∀ ≥ = + − + > − .Do ( )0g x > và tăng 1x∀ ≥; ( )0h x > và tăng nên ( ) ( ) ( ).f x g x h x= tăng 1x∀ ≥Khi đó bất phương trình ( )f x m≤ có nghiệm ( )( )1min 1 3xf x f m≥⇔ = = ≤Bài 6. Tìm m để ( ) ( )24 6 2x x x x m+ − ≤ − + nghiệm đúng [ ]4,6x∀ ∈ −Cách 1. BPT ( ) ( ) ( )22 4 6f x x x x x m⇔ = − + + + − ≤ đúng [ ]4,6x∀ ∈ −( )( ) ( )( )( ) ( )2 212 2 1 2 0 12 4 6 4 6xf x x x xx x x x− + ′= − + + = − + = ⇔ = + − + − Lập bảng biến thiên suy ra Max [ ]( )( )4,61 6Max f x f m−= = ≤Cách 2. Đặt ( ) ( )( ) ( )4 64 6 52x xt x x+ + −= + − ≤ =. Ta có 2 22 24t x x= − + +. Khi đó bất phương trình trở thành4 Bài 1. Phương pháp hàm số[ ]( )[ ]2 224, 0;5 24 ; 0;5t t m t f t t t m t≤ − + + ∀ ∈ ⇔ = + − ≤ ∀ ∈. Ta có:( )2 1 0f t t′= + > ⇒( )f t tăng nên( )[ ]; 0;5f t m t≤ ∀ ∈ ⇔[ ]( ) ( )0;5max 5 6f t f m= = ≤Bài 7. Tìm m để 2 23 6 18 3 1x x x x m m+ + − − + − ≤ − + đúng[ ]3,6x∀ ∈ −Giải: Đặt 3 6 0t x x= + + − > ⇒ ( )( ) ( )223 6 9 2 3 6t x x x x= + + − = + + −⇒ ( ) ( ) ( ) ( )29 9 2 3 6 9 3 6 18t x x x x≤ = + + − ≤ + + + − =( ) ( )( )2 2118 3 3 6 9 ; 3;3 22x x x x t t ⇒ + − = + − = − ∈ Xét ( ) ( ) ( ) ( )23;3 291 ; 1 0; 3;3 2 max 3 32 2f t t t f t t t f t f ′= − + + = − < ∀ ∈ ⇒ = = ycbt ( )2 23;3 2max 3 1 2 0 1 V m 2f t m m m m m ⇔ = ≤ − + ⇔ − − ≥ ⇔ ≤ − ≥Bài 8. (Đề TSĐH khối A, 2007) Tìm m để phương trình 423 1 1 2 1x m x x− + + = − có nghiệm thực.Giải: ĐK: 1x ≥, biến đổi phương trình 41 13 21 1x xmx x− −⇔ − + =+ +. Đặt [)44121 0,11 1xux x−= = − ∈+ +. Khi đó ( )23 2g t t t m= − + = Ta có ( )16 2 03g t t t′= − + = ⇔ =. Do đó yêu cầu 113m⇔ − < ≤Bài 9. (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với mọi 0m >, phương trình ( )22 8 2x x m x+ − = − luôn có đúng hai nghiệm phân biệt.Giải: Điều kiện: 2x ≥. Biến đổi phương trình ta có:( ) ( ) ( )2 6 2x x m x⇔ − + = −( ) ( ) ( )2 22 6 2x x m x⇔ − + = −( )( )( )3 2 3 22 6 32 0 2 V g x 6 32x x x m x x x m⇔ − + − − = ⇔ = = + − =.ycbt ( )g x m⇔ = có đúng một nghiệm thuộc khoảng ( )2; +∞. Thật vậy ta có:( ) ( )3 4 0, 2g x x x x′= + > ∀ >. Do đó ( )g x đồng biến mà ( )g x liên tục và 5t01+0–0– 1x2x +00 Chương I. Hàm số – Trần Phương( )( )2 0; limxg g x→+∞= = +∞ nên ( )g x m= có đúng một nghiệm ∈( )2; +∞. Vậy 0m∀ >, phương trình ( )22 8 2x x m x+ − = −có hai nghiệm phân biệt.Bài 10. (Đề TSĐH khối A, 2008) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: 4 42 2 2 6 2 6x x x x m+ + − + − =Giải: Đặt ( )[ ]4 42 2 2 6 2 6 ; 0;6 f x x x x x x= + + − + − ∈Ta có: ( )( ) ( )( )3 34 41 1 1 1 1, 0;622 62 6 f x xx xx x ′= − + − ∈ − − Đặt ( )( ) ( )( )( )3 34 41 1 1 1; 0,62 62 6 , xu x v xx xx x= − = − ∈−−( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ), 0, 0, 22 2 0, 0, 2,6u x v x xu vu x v x x> ∀ ∈⇒ = =< ∀ ∈ ( )( )( ) 0, 0,2( ) 0, 2,6(2) 0f x xf x xf′ > ∀ ∈′⇒ < ∀ ∈′=Nhìn BBT ta có PT có 2 nghiệm phân biệt ⇔42 6 2 6 3 2 6m+ ≤ < +Bài 11. (Đề TSĐH khối D, 2007): Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 3 33 31 151 115 10x yx yx y mx y+ + + =+ + + = −Giải: Đặt 1 1;u x v yx y= + = +ta có ()()3331 1 1 13 3x x x x u ux x xx+ = + − ⋅ + = −và 1 1 1 1 12 . 2 ; 2 . 2u x x x v y yx x x y y= + = + ≥ = = + ≥ =6x026 +0– f(x)fff42 6 2 6+ Bài 1. Phương pháp hàm sốKhi đó hệ trở thành ( )3 35583 15 10u vu vuv mu v u v m+ =+ =⇔ = −+ − + = −⇔ ,u v là nghiệm của phương trình bậc hai( )25 8f t t t m= − + =Hệ có nghiệm ( )f t m⇔ = có 2 nghiệm 1 2,t t thỏa mãn 1 22; 2t t≥ ≥. Lập Bảng biến thiên của hàm số( )f t với 2t ≥t−∞– 2 2 5/2 +∞( )f t′– –0+( )f t+∞2227/4+∞Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm 72 m 224m⇔ ≤ ≤ ∨ ≥Bài 12. (Đề 1I.2 Bộ đề TSĐH 1987-2001): Tìm x để bất phương trình ( )22 sin cos 1 0x x y y+ + + ≥ đúng với y∀ ∈ ¡.Giải: Đặt sin cos 2, 2u y y = + ∈ − , BPT ( ) ( )( )( )22, 22 1 0, 2, 2 Min 0ug u x u x u g u ∈ − ⇔ = + + ≥ ∀ ∈ − ⇔ ≥ Do đồ thị ( )y g u= là một đoạn thẳng với 2, 2u ∈ − nên ( )2, 2Min 0ug u ∈ − ≥ ( )( )222 0 2 2 1 0 2 12 2 1 0 2 12 0g x x xx x xg − ≥ − + ≥ ≥ + ⇔ ⇔ ⇔ + + ≥ ≤ −≥ Bài 13. Cho , , 03a b ca b c≥+ + = Chứng minh rằng: 2 2 24a b c abc+ + + ≥Giải: BĐT ( ) ( ) ( )2 22 22 4 3 2 4a b c bc abc a a a bc⇔ + + − + ≥ ⇔ + − + − ≥( ) ( )22 2 6 5 0f u a u a a⇔ = − + − + ≥trong đó ()( )2210 32 4b cu bc a+≤ = ≤ = −. Như thế đồ thị ( )y f u= là một đoạn thẳng với ( )210; 34u a ∈ − . Ta có ( )()( )()( ) ( )22 2231 1 10 2 6 5 2 0; 3 1 2 02 2 4 4f a a a f a a a= − + = − + ≥ − = − + ≥ 7 Chương I. Hàm số – Trần Phươngnên suy ra ( )0;f u ≥( )210; 34u a ∀ ∈ − . Vậy 2 2 24a b c abc+ + + ≥. Đẳng thức xảy ra 1a b c⇔ = = =.Bài 14. (IMO 25 – Tiệp Khắc 1984): Cho , , 01a b ca b c≥+ + =. Chứng minh rằng: 7227ab bc ca abc+ + − ≤.Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 1 1 2a b c a bc a a a bc a a a u f u+ + − = − + − = − + − = Đồ thị ( ) ( ) ( )1 2 1y f u a u a a= = − + − với ()( )22102 4ab cu bc−+≤ = ≤ = là một đoạn thẳng với 2 giá trị đầu mút ( ) ( )( )21710 12 4 27a af a a + −= − ≤ = < và( )()( )()()223 27 71 1 1 1 11 2 1 24 4 27 4 3 3 27f a a a a a− = − + + = − + − ≤ Do đồ thị( )y f u= là một đoạn thẳng với ( )210; 14u a ∈ − và ( )7027f <; ( )()27114 27f a− ≤ nên ( )727f u ≤. Đẳng thức xảy ra 13a b c⇔ = = = Bài 15. Chứng minh rằng: ( ) ( )2 4,a b c ab bc ca+ + − + + ≤ ∀[ ], , 0, 2a b c∈. Giải: Biến đổi bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c ta có ( ) ( ) ( )[ ]2 2 4, , , 0, 2f a b c a b c bc a b c= − − + + − ≤ ∀ ∈Đồ thị ( )y f a=là một đoạn thẳng với [ ]0,2a∈ nên ( ) ( )( ){ }Max 0 ; 2f a f f≤Ta có ( ) ( ) ( )( )( )[ ]0 4 2 2 4; 2 4 4 4, , , 0, 2f b c f bc f a a b c= − − − ≤ = − ≤ ⇒ ≤ ∀ ∈Bài 16. CMR: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1 1 1 1 1, , , , 0,1a b c d a b c d a b c d− − − − + + + + ≥ ∀ ∈Giải: Biểu diễn bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c, d, ta có:( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]1 1 1 1 1 1 1 1, , , , 0,1f a b c d a b c d b c d a b c d= − − − − + − − − + + + ≥ ∀ ∈Đồ thị ( )[ ], 0,1y f a a= ∀ ∈ là một đoạn thẳng nên [ ]( ) ( )( ){ }0,1Min Min 0 , 1af a f f∈=Ta có ( )[ ]1 1 1, , , 0,1f b c d b c d= + + + ≥ ∀ ∈( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )0 1 1 1 1 1 1 1 1f b c d b c d g b c d b c d c d= − − − + + + ⇔ = − − − + − − + +Đồ thị ( )[ ], 0,1y g b b= ∀ ∈ là một đoạn thẳng nên [ ]( ) ( )( ){ }0,1Min 0 , 1bg b Min g g∈=8 Bài 1. Phương pháp hàm sốTa có ( )( ) ( ) ( )1 1 1; 0 1 1 1 1g c d g c d c d cd= + + ≥ = − − + + = + ≥⇒ ( ) ( )[ ]0 1, 0,1f g b b= ≥ ∀ ∈. Vậy ( )1f a ≥ hay ta có (đpcm)9 . Bài 1. Phương pháp hàm sốCHƯƠNG I. HÀM SỐBÀI 1. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ1. y =. ix x x− ε + εax Chương I. Hàm số – Trần PhươngII. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. Nghiệm của phương trình u(x) = v(x) là