1. PHÉP TỊNH TIẾN:  Định nghĩa: Cho đểm M(x;y) và v = (a;b) ur . Điểm M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến vectơ v ur . Công thức: x' = x +a x = x'-a T (M) = M' v y' = y + b y = y'-b   ⇔ ⇔     uur  Từ đó: Để xác định ‘‘NHANH” ảnh của đường thẳng (d) hay ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến vectơ v ur . Ta thay x bằng x – a và thay y bằng y – b vào phương trình của (d) và (C) rồi rút gọn ta được ảnh của (d) hay ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến vectơ v ur . VD1: Tìm ảnh của A(3;-2), đường thẳng (d): 2x – 3y + 9 = 0 và đường tròn (C): 2 2 x -5) +(y+1) = 4( qua phép tịnh tiến v = (4;-7) ur . Giải: + x' = x + a = 3+ 4 = 7 T (A) = A' A'(7;-9) v y' = y +b = -2-7 = -9  ⇒ ⇒   uur + x' = x + a x = x'-a T (d) = (d') v y' = y +b y = y'-b   ⇒ ⇒     uur ⇒ phương trình (d’): 2(x – 4) – 3(y + 7) + 9 = 0 ⇔ 2x – 3y – 20 = 0 + x' = x + a x = x'-a T (C) = (C') v y' = y +b y = y'-b   ⇒ ⇒     uur ⇒ phương trình (C’): 2 2 2 2 (x -4-5) +(y +7 +1) = 4 (x -9) +(y+8) = 4 ⇔  Trong trường hợp tìm phương trình đường thẳng (d 1 ) và phương trình đường tròn (C 1 ) sao cho (d) và (C) là ảnh của (d 1 ) và (C 1 ) qua phép tịnh tiến vectơ v ur . Để xác định ”NHANH” ta thay x và y bằng x + a và y + b vào phương trình của (d) và (C) rồi rút gọn ta được phương trình của (d 1 ) và (C 1 ) theo yêu cầu bài toán. VD2: Cho đường thẳng (d): 2x – 3y + 9 = 0 và đường tròn (C): 2 2 (x -5) +(y+1) = 4 . Tìm phương trình đường thẳng (d 1 ) và phương trình đường tròn (C 1 ) sao cho (d) và (C) là ảnh của (d 1 ) và (C 1 ) qua phép tịnh tiến vectơ v ur . Giải: + x = x +a 1 T (d ) = (d) v 1 y = y +b 1      ⇒ uur ⇒ phương trình (d 1 ): 2(x + 4) – 3(y – 7) + 9 = 0 ⇔ 2x – 3y + 38 = 0 GV: ĐẶNG THỊ MỸ UYÊN TRANG + x = x +a 1 T (C ) = (C) v 1 y = y +b 1      ⇒ uur ⇒ phương trình (C’): 2 2 2 2 (x + 4-5) +(y-7 +1) = 4 (x -1) + (y-6) = 4 ⇔  Lưu ý: 1. Có vô số vectơ v ur biến đường thẳng (d) thành (d’) song song với nhau. Cách xác định một vectơ v ur , ta lấy 1 điểm A bất kỳ trên (d) và B trên (d’). Khi đó vectơ v = AB uuuur ur . 2. Có vô số vectơ v ur biến đường thẳng (d) thành chính nó. Trong đó có vectơ 0 r và vô số vectơ là các vectơ chỉ phương của đường thẳng (d).  Bài tập áp dụng: Câu 1: Ảnh của điểm M(3;-2) qua phép tịnh tiến vectơ v = (2;-5) ur là: A. (5;-3) B. (1;3) C. (5;-7) D. (-1;-3) Câu 2: Ảnh của đường thẳng (d): 3x – 4y + 1 = 0 qua phép tịnh tiến vectơ v = (1;2) ur là: A. –3x + 4y + 6 = 0 B. 3x – 4y – 4 = 0 C. 3x – 4y + 6 = 0 D. 3x – 4y + 12 = 0 Câu 3: Ảnh của đường tròn (C): 2 2 (x -2) +(y +1) =10 qua phép tịnh tiến vectơ v = (-2;-1) ur là: A. 2 2 x +(y +2) =10 B. 2 2 (x -4) +(y + 2) =10 C. 2 2 (x -4) + y =10 D. 2 2 x + y =10 Câu 4: Cho hai điểm A(3;-2) và B(1;0). Qua phép tịnh tiến v ur có tọa độ bao nhiêu biến B thành A: A. v = (2;-2) ur B. v = (-2;2) ur C. v = (-2;0) ur D. v = (2;0) ur Câu 5: Cho hai đường tròn (C): 2 2 (x -2) +(y +1) =16 và đường tròn (C’): 2 2 (x -5) +(y +5) =16 . Qua phép tịnh tiến vectơ v ur có tọa độ bao nhiêu biến (C) thành (C’): GV: ĐẶNG THỊ MỸ UYÊN TRANG A. v = (3;4) ur B. v = (-3;4) ur C. v = (-3;-4) ur D. v = (3;-4) ur 2. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC: 2.1. Phép đối xứng trục Ox:  Định nghĩa: Cho đểm M(x;y). Điểm M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox: Công thức: Đ x' = x x = x' (M) = M' Ox y' = -y y = -y'       ⇒ ⇒  Từ đó: Để xác định ”NHANH” ảnh của đường thẳng (d) hay ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox. Ta thay “y” bằng “- y” vào phương trình của (d) và (C) rồi rút gọn ta được ảnh của (d) hay ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox. VD3: Tìm ảnh của A(3;-2), đường thẳng (d): 3x – 5y + 8 = 0 và đường tròn (C): 2 2 (x +3) +(y-2) = 9 qua phép đối xứng trục Ox. Giải: + Đ x' = x = 3 (A) = A' A'(3;2) Ox y' = -y = 2  ⇒ ⇒   + Đ x' = x x = x' (d) = (d') Ox y' = -y y = -y'       ⇒ ⇒ ⇒ phương trình (d’): 3x – 5(-y) + 8 = 0 ⇔ 3x + 5y + 8 = 0 + Đ x' = x x = x' (C) = (C') Ox y' = -y y = -y'       ⇒ ⇒ ⇒ phương trình (C’): 2 2 2 2 (x +3) +(-y-2) = 9 (x +3) +(y + 2) = 9 ⇔  Bài tập áp dụng: Câu 6: Ảnh của điểm M(7;-2) qua phép đối xứng trục Ox: A. (7;-2) B. (7;2) C. (-7;2) D. (-7;-2) Câu 7: Ảnh của đường thẳng (d): 4x – 9y + 1 = 0 qua phép đối xứng trục Ox: A. 4x + 9y + 1 = 0 B. –4x + 9y + 1 = 0 C. –4x – 9y + 1 = 0 D. 4x – 9y + 1 = 0 Câu 8: Ảnh của đường tròn (C): 2 2 x + y -4x + 2y-4 = 0 qua phép đối xứng trục Ox: GV: ĐẶNG THỊ MỸ UYÊN TRANG A. 2 2 x + y -4x -2y-4 = 0 B. 2 2 x + y +4x + 2y-4 = 0 C. 2 2 (x -2) +(y-1) = 3 ` D. 2 2 (x -2) +(y-1) = 9 2.2. Phép đối xứng trục Oy:  Định nghĩa: Cho đểm M(x;y). Điểm M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục Oy: Công thức: Đ x' = -x x = -x' (M) = M' Oy y' = y y = y'       ⇔ ⇔  Từ đó: Để xác định ”NHANH” ảnh của đường thẳng (d) hay ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy. Ta thay “x” bằng “–x” vào phương trình của (d) và (C) rồi rút gọn ta được ảnh của (d) hay ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy. VD4: Tìm ảnh của A(5;-3), đường thẳng (d): 5x – 2y + 4 = 0 và đường tròn (C): 2 2 x + y - 6x + 4y -12 = 0 qua phép đối xứng trục Oy. Giải: + Đ x' = -x = -5 (A) = A' A'(-5;-3) Oy y' = y = -3    ⇒ ⇒ + Đ x' = -x x = -x' (d) = (d') Oy y' = y y = y'       ⇒ ⇒ ⇒ phương trình (d’): 5(-x) – 2y + 4 = 0 ⇔ –5x – 2y + 4 = 0 + Đ x' = -x x = -x' (C) = (C') Oy y' = y y = y'       ⇒ ⇒ ⇒ phương trình (C’): 2 2 (-x) + y -6(-x) +4y-12 = 0 2 2 x + y +6x + 4y-12 = 0 ⇔  Lưu ý: 1. Do phép đối xứng trục có tính chất Đ (M) = M a ⇔' Đ (M') = M a . Trong trường hợp tìm phương trình đường thẳng (d 1 ) và phương trình đường tròn (C 1 ) sao cho (d) và (C) là ảnh của (d 1 ) và (C 1 ) qua phép đối xứng trục Ox hay Oy thì ta vẫn làm tương tự VD 3 và VD 4 ta được phương trình của (d 1 ) và (C 1 ) theo yêu cầu bài toán. GV: ĐẶNG THỊ MỸ UYÊN TRANG 2. Phép đối xứng trục đường thẳng a biến đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 thành (d’) Ax + By + C’ = 0 song song với nhau khi đường thẳng a song song và cách đều (d) và (d’), khi đó đường thẳng a có phương trình: Ax + By + C+C' 2 = 0. 3. Có vô số đường thẳng a biến đường thẳng (d) thành chính nó. Trong đó có đường thẳng a trùng với (d) và vô số đường thẳng là các đường thẳng vuông góc với đường thẳng (d).  Bài tập áp dụng: Câu 9: Ảnh của điểm N(-4;-3) qua phép đối xứng trục Oy: A. (4;3) B. (-4;3) C. (4;0) D. (4;-3) Câu 10: Ảnh của đường thẳng (d): 2x – 3y + 2 = 0 qua phép đối xứng trục Oy: A. 2x + 3y + 2 = 0 B. –2x – 3y + 2 = 0 C. –2x – 3y – 2 = 0 D. –2x + 3y + 2 = 0 Câu 11: Ảnh của đường tròn (C): 2 2 (x -5) + (y-2) =16 qua phép đối xứng trục Oy: A. 2 2 (x +5) +(y-2) =16 B. 2 2 (x +5) + (y+2) =16 C. 2 2 (x-5) +(y+2) =16 D. 2 2 (x +5) -(y-2) =16 ------------------ (còn tiếp) • Qua phần trình bày trên với những ví dụ cơ bản mong rằng giúp các em một số phương pháp để giải các bài tập TNKQ về phép dời hình và phép đồng dạng có liên GV: ĐẶNG THỊ MỸ UYÊN TRANG quan đến biểu thức tọa độ một cách nhanh hơn, qua đó hình thành cho các em phương pháp tìm qũy tích của một đường có liên quan đến biểu thức tọa độ. GV: ĐẶNG THỊ MỸ UYÊN TRANG . ‘‘NHANH” ảnh của đường thẳng (d) hay ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến vectơ v ur . Ta thay x bằng x – a và thay y bằng y – b vào phương trình. thẳng (d) hay ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox. Ta thay “y” bằng “- y” vào phương trình của (d) và (C) rồi rút gọn ta được ảnh của (d) hay ảnh