Đang tải... (xem toàn văn)
Giải một số phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗiMỤC LỤCTrangLỜI CẢM ƠN……………………………………………………………….……… 3 PHẦN MỞ ĐẦU1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ……………… .………………………………… 42. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU……………………………………………… . 43. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU……………………………………… . 44. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN………………………………………… …… . 45. PHẠM VI NGHIÊN CỨU…………………………………………… … . 56. NỘI DUNG LUẬN VĂN…………………………………………… … 5PHẦN NỘI DUNGChương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN1. CHUỖI LŨY THỪA……………………………………………………… 61.1 Định nghĩa …………………………………………………………. 61.2 Khoảng hội tụ……………………………………………………… . 61.3 Các tính chất của chuỗi lũy thừa……………………………………. 71.4 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa…………………………… . 71.5 Một vài khai triển cơ bản……………………………… 82. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN………………………………………………. 92.1 Khái niệm về phương trình vi phân…………………………………… 92.2 Phương trình vi phân cấp một……………………………………….… 92.3 Phương trình vi phân cấp hai……………………………………… . 102.4 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất ……… 102.5 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất… 12Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi1 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi2.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi……… . 12 2.6.1 Phương trình thuần nhất…………………………… . 12 2.6.2 Phương trình không thuần nhất……………………… .132.7 Phương trình Cauchy-Euler…………………………………………… . 14Chương 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI1. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA……………………………………. 161.1 Phương pháp hệ số bất định………………………………………… 161.2 Phương pháp đạo hàm liên tiếp……………………………………. 221.3 Điều kiện tồn tại nghiệm dạng chuỗi…………………………….… 241.4 Cách tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa của phương trình vi phân tuyến tính………………………………………………………………… .…… 251.5 Ứng dụng phương pháp chuỗi lũy thừa vào giải một số phương trình vi phân đặc biệt……………………………………………………………….…. 271.5.1 Phương trình Airy……………… ………………. 271.5.2 Phương trình Legendre……………… .………… 301.5.3 Phương trình Hermite…………………………… 342. PHƯƠNG PHÁP FROBENIUS……………………………………………. 372.1 Phương pháp Frobenius……………………………………….…… 372.2 Lý thuyết về phương pháp Frobenius 382.3 Phương trình vi phân có điểm kỳ dị chính quy……………….… 432.4 Cách thực hiện phương pháp Frobenius …………….……………. 48Chương 3 CÁC BÀI TOÁN1. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA……………………………………………………………………………. 582. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP FROBENIUS……………………………………………………………………… 77PHẦN KẾT LUẬNLuận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi2 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗiTÀI LIỆU THAM KHẢOLuận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi3LỜI CẢM ƠNSau thời gian học tập nghiên cứu tại trường Đại học Cần Thơ, với những kiến thức tiếp thu được từ quý thầy cô của trường và đặc biệt là của quý thầy cô Bộ môn Toán – Khoa Sư phạm đã giúp em cảm thấy tự tin thực hiện bài luận văn tốt nghiệp toàn khóa. Em xin gởi lời cảm ơn đến các thầy cô Bộ môn Toán, đặc biệt là cô Trần Thị Thanh Thúy. Cô đã tận tình giúp đỡ và động viên để em có thể hoàn thành bài luận văn này từ việc chọn đề tài đến nội dung, hình thức. Và em cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời gian qua.Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên mặc dù bản thân đã cố gắng hết sức nhưng bài luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót. Mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu từ các quý Thầy cô và các bạn.Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp toàn khóa.Sinh viên thực hiện. Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗiPHẦN MỞ ĐẦU1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀINgày nay, Giải tích Toán học đã có sự biến đổi mạnh mẽ. Trong đó, lĩnh vực phương trình vi phân không ngừng được phát triển vì nó có rất nhiều ứng dụng thực tiễn. Vì thế, các nhà toán học đã nghiên cứu nhiều phương pháp để giải phương trình vi phân như phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Laplace hay ứng dụng tin học để giải. Trong số đó, phương pháp vận dụng chuỗi để giải phương trình vi phân là một phương pháp hay nhưng em không được học trong chương trình đại học. Nhờ cô Trần Thị Thanh Thúy đã gợi ý và tận tình hướng dẫn nên em đã chọn đề tài “Giải phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨUThực hiện đề tài “Giải một số phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi”, em hướng đến mục đích là rèn luyện khả năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học còn khá mới đối với bản thân. Từ đó, hình thành khả năng trình bày một vấn đề Toán học trừu tượng một cách logic và có hệ thống. Luận văn nhằm nghiên cứu những lớp phương trình vi phân có thể ứng dụng phương pháp chuỗi để giải trên cơ sở tổng hợp lại các khái niệm, định lý, tính chất của chuỗi lũy thừa và phương trình vi phân. Thực hiện bài luận văn này, em có cơ hội củng cố lại những kiến thức về phương trình vi phân, lý thuyết chuỗi và làm quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề của toán học.3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨUCác phương pháp được sử dụng trong quá trình hoàn thành luận văn là: Tìm kiếm, tổng hợp các tài liệu từ giáo trình, sách vở, các trang web về phương trình vi phân, chuỗi lũy thừa, nghiệm chuỗi của phương trình vi phân…. Sau đó, phân tích, tổng hợp để trình bày rõ ràng, hợp logic các vấn đề.4. CÁC BƯỚC THỰC HIỆNLuận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi4 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi• Nhận đề tài.• Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài.• Lập đề cương chi tiết.• Nghiên cứu, khai thác, phân tích đề tài.• Thực hiện đề tài.• Trình bày và thông qua GVHD.• Chỉnh sửa và hoàn chỉnh luận văn.• Báo cáo luận văn.5. PHẠM VI NGHIÊN CỨUVới thời gian và kiến thức có hạn, trong luận văn này em chỉ trình bày các khái niệm, thừa nhận các định lý liên quan đến đề tài mà không chứng minh. Đề tài tập trung vào phương pháp chuỗi lũy thừa và mở rộng là phương pháp Frobenius.6. NỘI DUNG LUẬN VĂNLuận văn được chia làm 3 chương như sau:Chương 1: Kiến thức cơ bảnChương này chủ yếu trình bày các khái niệm và định lý cơ bản về chuỗi lũy thừa và phương trình vi phân làm nền tảng cho các chương sau.Chương 2: Giải phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗiChương này trình bày các vấn đề phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp Frobenius. Đây là nội dung chính của luận văn. Chương 3: Các bài toánChương này trình bày các bài toán với lời giải vận dụng từ các phương pháp được trình bày trong chương 2.Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi5 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗiPHẦN NỘI DUNGChương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN1. CHUỖI LŨY THỪA1.1 Định nghĩa 1 Chuỗi lũy thừa theo x − x0 (hoặc chuỗi luỹ thừa tâm tại x0) là chuỗi hàm có dạng: ( ) ( ) ( )+−+−+=−∑∞=20201000xxaxxaaxxannn (1.1)ở đó các an ( n = 0, 1, 2, .) là các hằng số và được gọi là các hệ số của chuỗi.Đặc biệt, khi 00=x ta được chuỗi ∑∞=0nnnxa (1.2) và được gọi là chuỗi MacLaurin. 1.2 Khoảng hội tụChuỗi (1.1) luôn hội tụ tại 0xx =. Tập hợp tất cả các điểm x tại đó chuỗi lũy thừa hội tụ là một khoảng có tâm tại 0xx=. Khoảng này được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa. ∆ Định lý 1 Đối với chuỗi luỹ thừa 00( )nnna x x∞=−∑, chỉ có một trong 3 khả năng sau:(i) Chuỗi hội tụ chỉ tại 0.x x=(ii) Chuỗi hội tụ với mọi x.(iii) Chuỗi hội tụ trong một khoảng tâm tại 0x: [ ]RxRx+−00,, hoặc [)RxRx+−00,, hoặc (]RxRx+−00,, hoặc ( )0 0, .x R x R− + Số R trong trường hợp (iii) được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Trong trường hợp (i) ta nói 0=R, trường hợp (ii) ta nói .R= +∞* Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa được tính bởi một trong hai công thức sau:1lim+∞→=nnnaaR, (1.3)Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi6 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi.1limnnnaR∞→= (1.4)1.3 Các tính chất của chuỗi lũy thừaĐể đơn giản, ta xét các chuỗi lũy thừa với 00=x, tức là chuỗi có dạng +++=∑∞=22100xaxaaxannn Một chuỗi lũy thừa xác định một hàm số trên khoảng hội tụ của nó.Tính chất 1. Giả sử 0( )nnnf x a x∞==∑và 0( )nnng x b x∞==∑. Khi đó f(x) + g(x) = 0( )nn nna b x∞=+∑ Tính chất 2. Với c là hằng số và n là số nguyên, ta có: cxm 0 0n n mn nn na x ca x∞ ∞+= ==∑ ∑ .Tính chất 3. Nếu 0( )nnnf x a x∞==∑với −R < x < R thì f '(x) = 11nnnna x∞−=∑ = a1 + 2a2x + . . . với −R < x < R.Bằng cách lặp lại tính chất này , ta được:f(k)(x) = ( )( ) ( ).121∑∞=−+−−−knknnxaknnnn 1.4 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừaNếu một chuỗi lũy thừa ( )∑∞=−00nnnxxacó bán kính hội tụ 0>R thì tổng của chuỗi này xác định một hàm số ( )xf trên ( )RxRx+−00,. Khi đó,( )xf được gọi là khai triển được thành chuỗi lũy thừa.Hàm số ( )xf và các hệ số của chuỗi này có liên hệ với nhau như thế nào ?Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi7 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗiĐịnh lý sau sẽ trả lời cho câu hỏi này. ∆ Định lý 2 Giả sử chuỗi ( ) ( ) ( ) ( )+−+−+=−=∑∞=20201000xxaxxaaxxaxfnnn (1.5) hội tụ về ( )xf với .0,00>+<<− RRxxRxKhi đó:( )( )!0kxfakk= với ,3,2,1,0=k * Nếu ( )xf có đạo hàm mọi cấp tại 0xx= thì chuỗi ( )( )( )∑∞=−000!nnnnxxxf (1.6) được gọi là chuỗi Taylor của f theo các lũy thừa của ( ).0xx−∆ Định lý 3 (Điều kiện khai triển thành chuỗi Taylor)Giả sử ( )xf khả vi vô hạn lần và tồn tại C:( )( )( )0, ,nof x C x x R x R≤ ∀ ∈ − +Khi đó, ta có: ( )( )( )( )( )00 0 00, , .!nnnf xf x x x x x R x Rn∞== − ∈ − +∑ □ Định nghĩa hàm giải tíchMột hàm số ( )xf là giải tích tại 0xx= nếu ( )xf là tổng của chuỗi lũy thừa theo các lũy thừa của ( )0xx − và chuỗi này có bán kính hội tụ 0>R.Nếu f là giải tích tại mọi điểm trong khoảng mở Ithì f được nói là giải tích trênkhoảng I này.1.5 Một vài khai triển cơ bảnSau đây là khai triển một số hàm sơ cấp đơn giản và thông dụng nhất: ,! !2!112Rxnxxxenx∈∀+++++=Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi8 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi+++=+=−!4!21242xxeexchxx+++=−=−!5!31253xxeexshxx( )( ) ,!21 .!4!21cos242Rxnxxxxnn∈∀+−+++−=( )( ) ,!121 .!5!3sin1253Rxnxxxxxnn∈∀++−+++−=+( ) ( ) ( ).1,1 .,1 .21ln12−∈∀+−++−=+−xnxxxxnn( )( ) ( ) ( )( ).1,1 .,!1 .1 .!21112−∈∀++−−++−++=+ xxnnxxxnααααααα 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2.1 Khái niệm về phương trình vi phân □ Định nghĩa 2 Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó. Phương trình vi phân có dạng: ( )( )0,,,,, =′′′myyyyxF . (1.7)trong đó, ( )xyy= là hàm cần tìm và nhất thiết phải có đạo hàm (đến cấp nào đó) của ẩn y.Cấp của phương trình vi phân là m nếu m là cấp lớn nhất của đạo hàm của ẩn có mặt trong phương trình.Nghiệm của phương trình vi phân là hàm thay vào thỏa phương trình. 2.2 Phương trình vi phân cấp một □ Định nghĩa 3Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng: ( )0,, =′yyxF (1.8) hay ( )yxfy ,=′ (1.9) ∆ Định lý 4 (Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm)Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi9 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi Cho phương trình ( )yxfy ,=′ Giả sử các hàm ( ),, yxf( )yxf ,′ liên tục trên hình chữ nhật ( )dycbxaD≤≤≤≤, và ( )00, yx là điểm trong của D.Khi đó, tồn tại nghiệm duy nhất ( )xy của (1.9) xác định và liên tục trong khoảng ( )δδ+−00, xx (0>δ nào đó ) sao cho ( )00xyy=. □ Định nghĩa 4Nghiệm của phương trình vi phân (1.9) là hàm( )xfy= thay vào thỏa (1.9).Nghiệm tổng quát của (1.9) là hàm ( )Cxy ,ϕ= thỏa (1.9) với mọi hằng số C.Nghiệm riêng của (1.9) là nghiệm duy nhất ( )0,Cxyϕ= thỏa điều kiện ban đầu ( )00xyy =. Nghiệm riêng có thể thu được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho 0CC=.Bài toán tìm nghiệm riêng được gọi là Bài toán Cauchy. 2.3 Phương trình vi phân cấp hai□ Định nghĩa 5Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng ( ) ( ) ( )xfyxayxay=+′+′′21 (1.10)trong đó ( ) ( ) ( )xfxaxa ,,21 là các hàm của biến độc lập x.Nếu ( )0=xf thì (1.10) trở thành ( ) ( )021=+′+′′yxayxay (1.11)được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng của (1.10).Nếu ( )0≠xfthì (1.10) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất. 2.4 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất • Tìm một nghiệm riêng ( )xy1.• Tìm một nghiệm riêng ( )xy2 độc lập tuyến tính với ( )xy1 bằng công thức sau: ( ).21121∫∫=−yeyydxxaLuận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi10 [...]... là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng số Giải (1.20) tìm được nghiệm y = y ( t ) Kết hợp (1.16) và (1.17), suy ra nghiệm y = y ( x ) của phương trình đã cho Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi 16 Chương 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI 1 PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA Một số phương. .. dựng các phương pháp để tìm nghiệm cho các phương trình nói trên Trong đó, phương pháp ứng dụng lý thuyết chuỗi để tìm nghiệm dưới dạng chuỗi lũy thừa là phương pháp thông dụng nhất * Phương pháp chuỗi lũy thừa: Phương pháp chuỗi lũy thừa là một phương pháp cơ bản để giải các phương trình vi phân tuyến tính với hệ số là hàm số Ý tưởng về phương pháp chuỗi lũy thừa cho vi c giải phương trình vi phân là... Ứng dụng phương pháp chuỗi lũy thừa vào giải một số phương trình vi phân đặc biệt 1.5.1 Phương trình Airy Phương trình Airy là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có dạng: y ′′ + p ( x ) y ′ + q( x ) y = 0 trong đó p( x ) , q( x ) là các hàm số của x Ta dùng phương pháp chuỗi lũy thừa để giải một số phương trình Airy sau ▪ Ví dụ 7 Tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa của phương trình: y ′′... 1) ! 1.2 Phương pháp đạo hàm liên tiếp Để đơn giản ta trình bày phương pháp này cho các phương trình cấp hai Các phương trình cấp khác được trình bày tương tự * Xét phương trình y ′′ = f ( x, y , y ′) ′ y ( x0 ) = y 0 , y ′ ( x0 ) = y 0 Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi (2.1) (2.2) Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi 23 trong đó, hàm số f và các... 720 6 120 2 ◙ Chú ý Phương pháp này cho phép ta tìm được nhiều số hạng của nghiệm * Phương pháp sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều nếu ta tìm được dạng tổng quát cho các hệ số cn Công vi c này được tiến hành như sau: Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi 19 Ta giải phương trình vi phân đã cho, nhưng lần này... , c3 = , c4 = ⋅ Vậy, nghiệm chuỗi cần tìm là: y( x ) = 1 + x + x 2 x3 x 4 + + + , − ∞ < x < ∞ 2 2 8 ▪ Ví dụ 2 Dùng chuỗi lũy thừa giải phương trình: y′′ + y = 0 Giả sử phương trình có nghiệm dạng: Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi 18 ∞ y= ∑ cn x n n =0 Lấy vi phân từng số hạng chuỗi này, ta được: ∞ ∑ ncn x... mãn hệ phương trình: A′y1 + B′y2 = 0 ′ ′ A′y1 + B′y2 = f ( x ) • Khi đó, nghiệm tổng quát của (1.10) có dạng: y = y + Y 2.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi 2.6.1 Phương trình thuần nhất *Dạng: y′′ + py′ + qy = 0 trong đó, p, q là hằng số Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi (1.12) Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi. .. đều giải tích tại x = x0 Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi 24 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi 25 ∆ Định lý 1 Cho phương trình vi phân tuyến tính có dạng: y ( n ) + f n −1 ( x ) y ( n−1) + + f1 ( x ) y ′ + f 0 ( x ) y = Q( x ) Nếu mỗi hàm f 0 ( x ) , f1 ( x ) , , f n −1 ( x ) , Q( x ) trong phương trình trên đều giải tích tại x = x0 thì phương. .. là một đa thức cùng bậc với Pn ( x ) có n + 1 hệ số được xác định bằng phương pháp hệ số bất định (ii) Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm nghiệm riêng dạng: Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi 14 Y = xeαx ⋅ Qn ( x ) với Qn ( x ) được xác định như trên (iii) Nếu α là nghiệm kép của phương. .. nhất là: y = y +Y 2.7 Phương trình Cauchy-Euler □ Định nghĩa 6 Phương trình Cauchy-Euler là phương trình có dạng: b2 x 2 y′′ + b1 xy ′ + b0 y = 0 (1.15) trong đó, b2 , b1 , b0 là các hằng số ■ Cách giải: Đổi biến x = e t > 0 , (1.16) t = ln x (1.17) Suy ra: Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi x và x2 dy dy = dx . TOÁN1. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA……………………………………………………………………………. 582. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP. phương pháp chuỗiChương 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI1. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪAMột số phương trình vi phân có dạng rất đơn giản