CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. Lý thuyết và công thức biến đổi lượng giác 1. Đường tròn lượng giác 2. Bảng giá trị lượng giác của các cung liên quan đặ biệt Cung α GTLG α 0 (0 ) ( 30 ) ( 45 ) ( 60 ) ( 90 ) sinα 0 1 cosα 1 0 tanα 0 = 1 cotα 1 = 0 3. Các hằng đẳng thức lượng giác ( Góc bất biến ) a/ (*)sinx + cosx = 1 ∀ x b/ 1 + tanx = c/ 1 + cotx = d/ tanx . cotx = 1 e/ tanx = f/ cotx = Chú ý :trong công thức (*) ta chú ý đến hệ quả : sinx = 1 - cosx hay cosx = 1 - sinx 3. Các công thức biến đổi lượng giác ( Góc thay đổi khi dùng ) a/ Công thức cộng • sin ( a ± b ) = sina .cosb ± cosa .sinb ( Sin cùng dấu khác loài .Sin thì sin cos ; cos sin ) • cos ( a ± b ) = cosa .cosb sina .sinb ( Cos cùng loài khác dấu . Cos thì cos cos ;sin sin ) • tan ( a ± b ) tana tanb 1- tana.tanb ± = ( tan thì trên thượng tầng tan cộng tang dưới hạ tầng số 1 ngang tàn trừ tích hai tan b/ Công thức nhân đôi ( Được xây dựng bằng cách thay b bằng a trong công thức cộng ) • sin2a = 2sina.cosa = ( sina + cosa ) -1 = 1 - ( sina - cosa ) • cos2a = cosa - sina = 1 - 2.sina = 2.cosa - 1 • tan2a = 2 2 tan 1 tan a a− Chú ý : trong công thức nhân đôi thì góc giảm một nửa ) c/ Công thức hạ bậc ( Được xây dựng từ công thức nhân đôi của cos2a ) • sina 1 os2a 2 c− = • cosa 1 os2a 2 c+ = • tana 1 os2a 1 os2a c c − = + Chú ý : Chỉ hạ bậc đối với lũy thừa bậc chẵn và khi hạ bậc góc tăng gấp đôi nhưng bậc giảm đi một nửa d/ Công thức nhân ba • sin3a = 3sina - 4sina = sina.( 2cosa - 1).( 2cosa + 1) • cos3a = 4cosa - 3cosa = cosa.( 1 - 2sina ).( 1 + 2sina ) e/ Công thức biến đổi tích thành tổng ( Được áp dụng với cả cùng loại lẫn khác loại và được xây dựng từ công thức cộng ) • cosa.cosb [ ] 1 . os (a +b ) + cos (a - b) 2 c = • sina.sinb [ ] 1 . os (a -b ) - cos (a + b) 2 c = • sina. cosb [ ] 1 . sin (a +b ) + sin (a - b) 2 = f/ Công thức biến đổi tổng thành tích ( Được áp dụng cho cùng loại và được xây dựng từ công thức e/ ) • cosu + cosv = 2. cos . cos • cosu - cosv = -2. sin . sin • sinu + sinv = 2. sin . cos • sinu - sinv = 2. cos . sin • Đặc biệt : sinx + cosx = .sin (x + ) = .cos(x - ) sinx - cosx = .sin (x - ) = - .cos (x + ) 4. Các phương trình lượng giác đã biết cách giải a/ Phương trình : sinx = m ( m∈ R) +Nếu > 1 thì ( 1) vô nghiệm + Nếu ≤ 1 thì ( 1) có nghiệm được xác định như sau : - Nếu m ∈ thì đặt m = sinα ( với α xác định ) Khi đó pt có dạng sinx = sinα ⇔ 2 (k ) 2 x k x k α π π α π = +  ∈  = − +  ¢ - Nếu m ∉ thì nghiệm của (1) là arcsin m 2 (k ) arcsinm 2 x k x k π π π = +  ∈  = − +  ¢ - Tổng quát sin f(x) = sin g(x) ⇔ ( ) ( ) 2 (k ) ( ) ( ) 2 f x g x k f x g x k π π π = +  ∈  = − +  ¢ b/ Phương trình : cosx = m ( m∈ R) +Nếu > 1 thì ( 1) vô nghiệm + Nếu ≤ 1 thì ( 1) có nghiệm được xác định như sau : - Nếu m ∈ thì đặt m = cosα ( với α xác định ) Khi đó pt có dạng cosx = cosα ⇔ 2 (k ) 2 x k x k α π α π = +  ∈  = − +  ¢ - Nếu m ∉ thì nghiệm của (1) là arccos m 2 (k ) arccosm 2 x k x k π π = +  ∈  = − +  ¢ - Tổng quát cos f(x) = cos g(x) ⇔ ( ) ( ) 2 (k ) ( ) ( ) 2 f x g x k f x g x k π π = +  ∈  = − +  ¢ c/ Phương trình : tanx = m ( m∈ R) + Điều kiện xác định của phương trình là x≠ +kπ (k∈ ¢ ) + ∀m thì phương trình luôn có nghiệm .Khi đó phương trình có nghiệm được xác định + Nếu m ∈ thì đặt m = tanα ( với α xác định ) Khi đó phương trình có dạng tanx = tanα ⇔ x = α+ kπ (k∈ ¢ ) + Nếu m ∉ thì nghiệm của (3) là x = arctanm + kπ (k∈ ¢ ) +Tổng quát tan f(x) = tan g(x) ⇔ f(x) = g(x)+ kπ (k∈ ¢ ) c/ Phương trình : cotx = m ( m∈ R) + Điều kiện xác định của phương trình là x≠ kπ (k∈ ¢ ) + ∀m thì phương trình luôn có nghiệm .Khi đó phương trình có nghiệm được xác định + Nếu m ∈ thì đặt m = cotα ( với α xác định ) Khi đó phương trình có dạng cotx = cotα ⇔ x = α+ kπ (k∈ ¢ ) + Nếu m ∉ thì nghiệm của (4) là x = arccotm + kπ (k∈ ¢ ) +Tổng quát cot f(x) = cot g(x) ⇔ f(x) = g(x)+ kπ (k∈ ¢ ) *Chú ý : Trong công thức nghiệm không được tồn tại đồng thời hai đơn vị đo d/ Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác Cách giải: Đặt t = hàm số lượng giác từ đó giả phương trình đại số ẩn t *Chú ý: Khi đặt ẩn phụ phải để ý đến điều kiện của t (nếu có) VD: Nếu t = sinx hoạc cosx thì ≤ 1 e/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx : a.sinx + b.cosx = c Cách giải: + Nếu c > a + b thì phương trình vô nghiệm + Nếu c ≤ a + b phương trình có nghiệm và được giải bằng cách : Chia cả hai vế cho 2 2 a b+ ta được .sinx + .cosx = Đặt cosα = ; sinα = Khi đó pt trở thành sin ( x +α ) = Chú ý nếu ; rơi vào các giá trị đặc biệt của sin cos như ở mục a, b khi đó α xác định f/ Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx : a .(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx = c Cách giải : Đặt t = sinx ± cosx ( đk ≤ ) sau đó bình phương hai vế rồi rút sinx.cosx theo t g/ Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx : a.sin x + b.sinx.cosx + c.cos x = d Cách giải : Ktra cosx = 0 có phải là nghiệm không ? Nếu không chia cả hai vế cho cos x để đưa vê fph]ơng trình bậc hai đối với tanx MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I.Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về những phương trình đã biết cách giải ở trên thông thường hay rút gọn rồi biến đổi Bài tập : 1.sinx + cosx = (3 - cos6x ) HD: Đưa phương trình về phương trình bậc ba đối với cos2x 2.cos7x - sin5x = ( cos5x - sin7x) HD: Đưa phương trình về sin f(x) = sin g(x) 3.sinx + cosx + sin2x - = 0 HD: Đưa về phương trình bậc hai đới với sin2x 4. sin ( x + 45 ) = .sinx HD: Đưa về phương trình bậc ba đối với tanx 5. sin + cos = HD: Đưa về phương trình cos = m II.Phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình về phương trình đại số với ẩn phụ Chú ý :Đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) Bài tập : 1. sinx + sinx.cosx + cosx = 1 HD: Đặt t = sinx + cosx 2. sin2x - 12 (sinx - cosx) + 12 = 0 HD: Đặt t = sinx - cosx 3. 4.cos(2 - 6x) + 16.cos(1 - 3x) = 13 HD: Đặt t = cos(1 - 3x) 4. 3tanx + 4 tanx + 4cotx + 3cotx + 2 = 0 HD : Đặt t = tanx + cotx 5. III. Phương pháp phân tích thành tích các nhân tử bằng 0 rồi sử dụng A.B = 0 ⇔ Bài tập : 1. cosx + sinx = cos2x HD: Phân tích có nhân tử chung là sinx 2. (cos5x - cos7x) = cos2x - cos3x HD: Phân tích có nhân tử chung là sin 3. sin9x + sin5x +2.sinx - 1 = 0 HD: Phân tích có nhân tử chung là cos2x 4. sinx + cosx = 1 - sin2x HD: Phân tích có nhân tử chung là 1 - sinx.cosx 5. tan3x - tanx = 4sinx HD: Phân tích có nhân tử chung là sinx 6. (sinx - sin2x ).( sinx + sin2x ) = sin3x HD: Phân tích có nhân tử chung là (sinx - sin2x ) 7. sinx + cosx + sin2x + cos2x = -1 HD: Phân tích có nhân tử chung là ( 2cosx + 1) 8 . cosx - cos3x = cos( - x) - cos( +x) HD: Phân tích có nhân tử chung là sinx 9. cosx - cos2x = sin3x HD: Phân tích có nhân tử chung là sin 10. 2. (cosx) - cos2x = 1 + sinx( 1 - ) HD: Phân tích có nhân tử chung là ( 1 - ) 11. = HD: Phân tích có nhân tử chung là sinx 12. sinx + cos2x = 2 HD: Phân tích có nhân tử chung là cosx 12. sinx - sinx +4( sinx + 1) = 0 HD: Phân tích có nhân tử chung là ( sinx + 1) 13. . đối với tanx MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I .Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về những phương trình đã biết cách giải ở trên thông. CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. Lý thuyết và công thức biến đổi lượng giác 1. Đường tròn lượng giác 2. Bảng giá trị lượng giác của các cung