Chương IV: GIỚI HẠN §1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài 1:Tính giới hạn của các dãy số sau: a) 2 2 4 1 lim 3 2 x n n n →∞ − − + ;b) 2 2 3 1 lim 1 2 x n n n →∞ + + − ;c) 2 2 lim 1 x n n →∞   −  ÷ +   d) 1 1 ( 2) 3 lim ( 2) 3 n n n n x + + →∞ − + − + ;e) ( ) 2 lim 1 x n n n →∞ − + + Bài 2:Tính giới hạn của các dãy số sau: a) ( ) 2 lim 3 2 x n n n →∞ + − + ;b) ( ) 3 2 3 lim 2 x n n n →∞ − − c) 2 1 2 3 lim 1 x n n n n →∞ + + + + + + ;d) 2 2 4 1 2 1 lim 2 x n n n n n →∞ + − + + − e) 1 1 1 1 lim . 1.2 2.3 3.4 ( 1) x n n →∞   + + + +  ÷ +   Bài 3:Tính các giới han sau: a) 4 2 2 2 1 lim ; (2 1)(3 )( 2) x n n n n n →∞ − + + − + b) 4 2 2 2 7 lim 2 3 x n n n n →∞ + − − + ; c) 2 3 3 lim 2 1 x n n n →∞ + + − ;d) 3 2 lim 1 2 n n x→∞ − + ;e) 1 1 3 2 lim 3 2 n n n n x + + →∞ − + ; f) 1 4.3 7 lim ; 2.5 7 n n n x + →∞ + + g) 5 1 lim 5 1 n n x→∞ + − §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Các định nghĩa giới hạn hữu hạn 1.Cho khoảng K, 0 x K∈ và hàm số f(x) xác định trên K(hoặc K\ { } 0 x ) { } 0 0 0 lim ( ) ( ), \ ,lim lim ( ) n n n n x x x f x L x x K x x x f x L → →∞ = ⇔ ∀ ∈ = ⇒ = 2.Cho hàm sốf(x) xác định trên khoảng (a,b), 0 ( , )x a b∈ 0 0 0 lim ( ) ( ), ,lim lim ( ) n n n n x x x x f x L x x x b x x f x L + →∞ →∞ → = ⇔ ∀ < < = ⇒ = 0 0 0 lim ( ) ( ), ,lim lim ( ) n n n n x x x x f x L x a x x x x f x L − →∞ →∞ → = ⇔ ∀ < < = ⇒ = 3.Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; +∞ )hoặc ( −∞ ;a) lim ( ) ( ), , lim lim ( ) n n n n x x x f x L x x a x f x L →+∞ →+∞ →+∞ = ⇔ ∀ > = +∞ ⇒ = lim ( ) ( ), , lim lim ( ) n n n n x x x f x L x x a x f x L →−∞ →+∞ →+∞ = ⇔ ∀ < = −∞ ⇒ = 2.Định nghĩa giới hạn ±∞ 1.Cho khoảng K, 0 x K∈ và hàm số f(x) xác định trên K(hoặc K\ { } 0 x ) { } 0 0 0 lim ( ) ( ), \ , lim lim ( ) n n n n x x n n f x x x K x x x f x → →+∞ →+∞ = ±∞ ⇔ ∀ ∈ = ⇒ = ±∞ 2.Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;+ ∞ ) lim ( ) ( ), , lim lim ( ) n n n n x n n f x x x a x f x →+∞ →+∞ →+∞ = −∞ ⇔ ∀ > = +∞ ⇒ = −∞ Nhận xét:f(x) có giới hạn +∞ khi và chỉ khi –f(x) có giới hạn −∞ 3.Các giới hạn đặc biệt 1. 0 0 lim x x x x → = 0 lim x x c c → = với c là hằng số. 2. lim x c c →±∞ = lim 0 x c x →±∞ = với c là hằng số. 3. lim x x →+∞ = +∞ lim , k x x →+∞ = +∞ với k nguyên dương. 4. lim , k x x →−∞ = −∞ nếu k là số lẻ và lim , k x x →−∞ = +∞ nếu k là số chẵn. 4.Định lí về giới hạn hữu hạn. Định lí 1.Giả sử 0 lim ( ) x x f x L → = và 0 lim ( ) , x x g x M → = khi đó. 1. [ ] 0 lim ( ) ( ) ; x x f x g x L M → + = + [ ] 0 lim ( ) ( ) ; x x f x g x L M → − = − 2. [ ] 0 lim ( ). ( ) . ; x x f x g x L M → = 0 ( ) lim ( ) x x f x L g x M → = với M 0≠ 3. 0 lim ( ) x x f x L → = nếu f(x) 0 ≥ trong khoảng chứa 0 x . Định lí 2.Cho khoảng K chứa điểm 0 x và ba hàm số h(x),f(x),g(x) Nếu h(x) ≤ g(x) ≤ g(x)với mọi x ∈ K\ { } 0 x ) và 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x h x g x L → → = = Thì 0 lim ( ) x x f x L → = Định lí 3. 0 lim ( ) x x f x L → = 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x L − + → → ⇔ = = Định lí 4. 0 sin lim 1 x x x → = ;Hệ quả:Nếu 0 lim ( ) 0 x u x → = thì 0 sin ( ) lim 1 ( ) x u x u x → = 5.Quy tắc về giới hạn ±∞ *Trường hợp g(x)>0 khi 0 x x→ 0 lim ( ) x x f x → 0 lim ( ) x x g x → 0 ( ) lim ( ) x x f x g x → L 0 ≠ +∞ 0 L>0 0 +∞ L<0 0 −∞ *Trường hợp g(x)<0 khi 0 x x→ 0 lim ( ) x x f x → 0 lim ( ) x x g x → 0 ( ) lim ( ) x x f x g x → L 0≠ −∞ 0 L>0 0 −∞ L<0 0 +∞ 0 lim ( ) x x f x → 0 lim ( ) x x g x → 0 lim ( ). ( ) x x f x g x → ±∞ L>0 ±∞ ±∞ L<0 ∞m 6.Các dạng vô định. 1.Dạng 0 0 ,tìm 0 ( ) lim ( ) x x u x v x → ,khi 0 0 lim ( ) lim ( ) 0 x x x x u x v x → → = = 2.Dạng ∞ ∞ ,tìm 0 ( ) lim ( ) x x u x v x → ,khi 0 0 lim ( ) ; lim ( ) x x x x u x v x → → = ±∞ = ±∞ 3.Dạng 0. ∞ ,tìm [ ] 0 lim ( ). ( ) x x u x v x → ,khi 0 0 lim ( ) 0, lim ( ) x x x x u x v x → → = = ±∞ 4.Dạng ∞ − ∞ ,tìm [ ] 0 lim ( ) ( ) x x u x v x → − khi 0 lim ( ) x x u x → = +∞ , 0 lim ( ) x x v x → = +∞ Hay 0 0 lim ( ) , lim ( ) x x x x u x v x → → = −∞ = −∞ *Khi 0 0 ,x x x x + − → → , ,x x→ +∞ → −∞ ta thường gặp các dạng vô định tương tự như trên. B.CÁC DẠNG TOÁN. Dạng 1.Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định 0 0 Phương pháp: 1.Nhân biết dạng vô định 0 0 : 0 ( ) lim ( ) x x u x v x → khi 0 0 lim ( ) lim ( ) 0 x x x x u x v x → → = = 2.Phân tích tử và mẩu thành tích các nhân tử và giản ước. 0 ( ) lim ( ) x x u x v x → = 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) ( ) x x x x x x A x A x x x B x B x → → − = − và tính 0 ( ) lim ( ) x x A x B x → 3.Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến dưới dấu can thì có thể phân tử và mẩu với biểu thức liên hợp,sau đó phân tích chúng thành tích để giản uớc. Bài 1.Tìm giới hạn các hàm số sau: a) 2 2 1 2 3 lim 2 1 x x x x x → + − − − ;b) 3 0 (1 ) 1 lim x x x → + − ;c) 3 2 1 1 lim 1 x x x x x → − + − − d) 3 2 4 2 1 5 3 1 lim ; 8 9 x x x x x x → − + + + − e) 3 2 2 2 3 lim 2 x x x x x →− − + + Bài 2.Tìm các giới hạn của các hàm số sau a) 2 2 4 lim ; 7 3 x x x → − + − b) 5 5 lim 5 x x x → − − ;c) 5 4 4 2 lim 5 x x x x → − − + + − d) 2 2 lim 4 1 3 x x x x → − + + − ;e) 2 3 2 4 lim 3 2 2 x x x →− − − + ;f) 3 0 1 1 lim x x x x → + − + Dạng 2 .Dạng vô định ∞ ∞ Phương pháp: 1.Nhận biết dạng vô định ∞ ∞ : 0 ( ) lim ( ) x x u x v x → ,khi 0 0 lim ( ) ; lim ( ) x x x x u x v x → → = ±∞ = ±∞ ( ) lim ( ) x u x v x →±∞ ,khi lim ( ) ; lim ( ) x x u x v x →±∞ →±∞ = ±∞ = ±∞ 2.Chia tử và mẩu cho n x với n là số mũ cao nhất của biến x(hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử n x rồi giản ước) 3.Nếu u(x)hoặc v(x)có chứa biến x trong dấu căn thì đưa k x ra ngoài dấu căn(với k là số mũ cao nhất của biến x trong dấu căn),sau đó chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x. Bài 1.Tìm các giới hạn của các hàm số sau a) 3 3 2 2 3 4 lim 1 x x x x x →+∞ = − − − + b) 2 3 (3 1)(5 3) lim (2 1)( 1) x x x x x →±∞ + + − + c) 4 2 7 5 lim 3 13 x x x x x →−∞ − + + − ; d) 2 2 1 4 1 lim 2 3 x x x x →−∞ − − + + e) 2 2 2 3 lim 4 1 1 x x x x x x →±∞ + + + + − − ; f) 1 2 1 3 1 lim 2 3 3 2 x x x x x →−   +   +   −   + +   Dạng 3.Dạng vô định ;0. ∞ − ∞ ∞ Phương pháp : 1.Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp. 2.Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một phân thức. 3.Thông thường,các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay dạng vô định ;0. ∞ − ∞ ∞ hoặc chuyển về dạng vô định 0 ; 0 ∞ ∞ Bài 1.Tìm các giới hạn của các hàm số sau a) 0 1 1 lim 1 1 x x x →   −  ÷ =   ;b) ( ) 2 lim 4 2 x x x x →−∞ − + c) ( ) 2 lim 2 3 4 4 3 x x x x →±∞ − − − − ; d) ( ) 3 2 1 lim 1 1 x x x x + → − − e) ( ) 2 2 lim 2 1 7 3 x x x x x →±∞ − − − − + ;f) ( ) 2 3 3 lim 1 1 x x x →+∞ + − − Bài 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau a) 2 2 lim(2 4) x x x →− − + ;b) 2 lim 4 1 x x x →+∞ − + c) 2 3 3 2 lim 2 x x x x → + − − ;d) 3 2 2 2 15 lim ( 2) x x x →− + + Bài 3. Tìm giới hạn của các hàm số sau a) 0 3 3 lim x x x → + − ; b) 3 1 1 lim 1 x x x → − − c) 2 2 2 0 1 1 lim x x x x x x x → + + − − + − ; d) 0 9 16 7 lim x x x x → + + + − e) 2 3 1 7 5 lim 1 x x x x → + − − − ; f) 32 0 1 8 lim x x x x → − − − g) 2 3 2 1 5 7 lim 1 x x x x → − − + − ; h) 3 1 1 2 lim 1 x x x → + − − Bài 4. Tìm giới hạn của các hàm số sau a) 3 3 1 2 3 lim 9 x x x x →±∞ − + − ; b) 2 5 7 ( 1)(1 2 ) lim 3 x x x x x →+∞ − − + + c) 2 2 2 3 4 1 lim 4 1 2 x x x x x x →±∞ + + + + + + − ;d) 2 2 9 1 4 2 1 lim 1 x x x x x x →±∞ + + − + + + e) 4 2 7 5 lim 3 13 x x x x x →±∞ − + + − ; f) 2 3 3 2 3 lim 1 x x x x x →±∞ + + − + Bài 5. Tìm giới hạn của các hàm số sau a) 2 2 lim ( 1) x x x x →±∞ − − + ;b) 2 2 lim ( 8 3 4 3) x x x x x →±∞ + + − + + c) 3 2 2 3 lim ( ) x x x x x →+∞ + − − ;d) lim ( ) x x x x x →+∞ + + − §3.HÀM SỐ LIÊN TỤC A.KIẾN THỨ CƠ BẢN I.Các định nghĩa 1.Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a ; b) Hàm số f(x) liên tục tại điểm 0 0 0 ( ; ) lim ( ) ( ) x x x a b f x f x → ∈ ⇔ = 2.Hàm số f(x) liên tục trên (a ; b) ( )f x⇔ liên tục tại mọi điểm ( ; )x a b∈ 3.Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ ] ; ( )a b f x⇔ liên tục trên khoảng ( ; )a b và lim ( ) ( ), lim ( ) ( ) x a x b f x f a f x f b + − → → = = 4.Hàm số f(x) không liên tục tại điểm 0 x thì 0 x gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x) II.Các định lí. Định lí 1.a)Các hàm đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. b)Các hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng Định lí 2.Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên khoảng K,khi đó a)Các hàm số f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x).g(x) cũng liên tục trên khoảng K. b)Hàm số ( ) ( ) f x g x liên tục trên khoảng K nếu g(x) 0, x K≠ ∀ ∈ c)Hàm số ( )f x liên tục trên khoảng K nếu f(x) 0, x K≥ ∀ ∈ Định lí 3.Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ ] ;a b và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm ( ; )c a b∈ sao cho f(c)=0 B.CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1.Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm 0 x Phương pháp:1.Tính f( 0 x ) 2. 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = hoặc 0 0 0 lim lim ( ) x x x x f x + − → → = = 3.Hàm số f(x) liên tục tại điểm 0 x Dạng 2.Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên một khoảng Phương pháp: 1.Áp dụng định lí 1,định lí 2 để xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định của nó. 2.Nếu hàm số xác định bởi 2 hoặc 3 công thức,ta thường xét tính liên tục tại các điểm đặc biệt của hàm số đó. Dạng 3.Chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm Phương pháp: 1.Chứng minh phương trình f(x)=0 có ít nhất một nhgiệm -Tìm 2 số a và b sao cho f(a).f(b)<0 -Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ ] ;a b -Phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm 0 ( ; )x a b∈ 2.Chứng minh phương trình f(x)=0 có ít nhất k nghiệm -Tìm k cặp số 1 1 ,a b sao cho các khoảng ( 1 1 ,a b )rời nhau và f( 1 a ).f( 1 b )<0,!=1,….k -Phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm 1 1 1 ( , )x a b ∈ 3.Khi phương trình f(x)=0 có chứa tham số thì cần chọn a,b sao cho: -f(a),f(b) không còn chứa tham số hoặc còn chứa tham số nhưng dấu không đổi. -Hoặc f(a),f(b) còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm. C.BÀI TẬP Bài 1.xét tính liên tục của các hàm số sau a)f(x)= 3 2 2 2 ; 1 1 4; 1 x x x x x x  − + − ≠  −   =  ; b)f(x)= 2 1 cos ; 0 0; 0 x x x x  ≠    =  c)f(x)= 2 1 ; 0 0; 0 x x x x x   + + ≠   =  d)f(x)= 2 2 ; 2 5; 2 3 1; 2 x x x x x  <  =   − >  Bài 2.a)Tìm a để hàm số f(x) 3 3 2 2 ; 2 2 1 ; 2 4 x x x ax x  + − >   − =   + ≤   liên tục trên R b)Tìm m để hàm số f(x)= 2 2 ; 2 2 1; 2 x x x x m x  − − ≠  −   + =  liên tục tại x=2 Bài 3.a)Chứng minh phương trình 3 2 6 1 0x x− + = có ba nghiệm trên khoảng(-2 ; 2) b)Chứng minh phương trình 5 2 0x x− − = có nghiệm duy nhất 3 0 2x > c)Chứng minh phương trình 4 3 0x x− − = có nghiệm 0 (1;2)x ∈ và 7 0 12x > Bài 4. a)Chứng minh rằng phương trình 3 2 10 7 0x x− − = có ít nhất 2 nghiệm. b)Chứng minh rằng phương trình 2 5 (1 ) 3 1 0m x x− − − = luôn có nghiệm với mọi m c)Chứng minh rằng phương trình 1 1 sin cos a x x + = luôn có nghiệm trong khoảng ; 2 π π    ÷   với mọi a d)Chứng minh rằng phương trình 3 1 0x x+ − = có nghiệm duy nhất 0 x thỏa mản 0 1 0 2 x< < Bài 5 .a)Cho hàm số f(x) 2 4; 2 2 ; 7 2 7 3 x x x x x x  − + ≥  = −  − < <  + −  CMR hàm số liên tục trên khoảng(-7; +∞ ) b)Cho hàm số f(x) 1; 3 ;3 5 3; 5 x ax b x x <   = + ≤ ≤   >  Tìm a và b để hàm số liên tục,vẽ đồ thị của hàm số. Bài 6.a)Xét tính liên tục của hàm số f(x) 2 2 4 3 ; 1 1 1; 1 x x x x x  − + ≠  = −   =  tại điểm x= b)Xét tính liên tục của hàm số f(x) 2 5 sin 3 ; 0 2 2; 0 x x x x x x x −  ≥  =   − + <  tại điểm x =0 Bài 7.a)Cho hàm số f(x) 2 2 1 ; 1 1 ; 1 x x x m x x  − ≠  =  −  =  Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x=1 b)Cho hàm số f(x)= 2 ; 2 3; 2 ax x x  ≤  >  Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x=2 . Chương IV: GIỚI HẠN §1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài 1:Tính giới hạn của các dãy số sau: a) 2 2 4 1 lim 3 2 x n. = 2.Hàm số f(x) liên tục trên (a ; b) ( )f x⇔ liên tục tại mọi điểm ( ; )x a b∈ 3.Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ ] ; ( )a b f x⇔ liên tục trên khoảng