4 Chơng 1 Các bất đẳng thức l Các bất đẳng thức l ợng giác ợng giác cơ bản trong tam giác và ứng dụng cơ bản trong tam giác và ứng dụng Trong chơng này, chúng tôi chọn một số bài toán vàê bất đẳng thức trong tam giác và trình bày lời giải. Trong qua trình trình bày lời giải, chúng tôi có áp dụng một số bất đẳng thức kinh điển và một số bất đẳng thức cơ bản trong tam giác. 1.1. Một số bất đẳng thức kinh điển 1.1.1. Bất đẳng thức Cô - si. Với n số không âm a 1 , a 2 , . . . , a n ta có bất đẳng thức = = 1 1 1 4 n n n i i i i a a , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a i = a j , i, j = 1, 2, . . ., n i j. 1.1.2 Bất đẳng thức Bunhiacốpxky. Giả sử a 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . ., b n là 2n số thực. Khi đó ta có bất đẳng thức 2 2 2 1 1 1= = = ữ ữ ữ n n n i i i i i i i a b a b , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi , j i i j a a b b = i, j = 1, 2, . . ., n với i j. 1.1.3 bất đẳng thức Trêbsêp. Cho hai dãy số đơn điệu cùng chiều a 1 a 2 . . . a n với b 1 b 2 . . . a n . Khi đó ta có bất đẳng thức ễn thi i hc lng giỏc 5 1 1 1 n n n i i i i i i i n a b a b = = = ữ ữ ữ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a i = a j hoặc b i = b j , i, j = 1, 2, ., n với i j. 1.1.4 Bất đẳng thức Jen - sen. Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị lõm trong khoảng (a; b). Khi đó ta có bất đẳng thức 1 2 1 2 ( ) ( ) . . . ( ) . , + + + + + + ữ n n f x f x f x x x x f n n x i (a; b). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x i = x j i, j = 1, 2,. . ., n với i j. 1.2 Các bất đẳng thức lợng giác cơ bản Trong tam giác có nhiều bất đẳng thức lợng giác, tuy nhiên chúng tôi chọn 9 bất đẳng thức sau đây làm bất đẳng thức cơ bản vì tần suất xuất hiện của chúng tơng đối cao trong các chứng minh những bài toán về bất đẳng thức lợng giác khác. Trong tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức cơ bản: 1.2.1 cos cos cos+ +A B C 3 2 . 1.2.2 cosA.cosB.cosC 1 8 . 1.2.3 A B C sin .sin .sin 2 2 2 1 8 . 1.2.4 2 2 2 sin A + sin B + sin C 9 4 . 1.2.5 sinA + sinB + SinC 3 3 3 + . 1.2.6 A B C sin + sin + sin 2 2 2 3 2 . 1.2.7 A B C cos + cos + cos 2 2 2 3 3 2 . 1.2.8 2 2 2 + + A B C tg tg tg 3 . duchoa_7804@yahoo.com ễn thi i hc lng giỏc 6 1.2.9 cotgA + cotgB + cotgC 3 Trong chín bất đẳng thức trên, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều. 1.3 ứng dụng. Trong mọi tam giác chúng ta có một số bài toán về bất đẳng thức liên quan đến số đo của các góc của tam giác. Bài toán 1. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau: 1) sinA + sinB + sinC A B C cos + cos + cos 2 2 2 . 2) cosA + cosB + cosC A B C sin + sin + sin 2 2 2 . 3) cotgA + cotgB + cotgC A B C tg + tg + tg 2 2 2 . 4) sinA.sinB.sinC A B C cos + cos + cos 2 2 2 . 5) cosA.cosB.cosC A B C sin .sin .sin 2 2 2 . Chứng minh. 1) Ta có sinA + sinB = 2sin cos 2cos .cos 2cos 2 2 2 2 2 + = A B A B C A B C . (1) Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi A = B. Tơng tự sinB + sinC 2cos 2 A . (2) Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi B = C. Tơng tự sinC + sinA 2cos 2 B . (3) Dấu bằng trong (3) xảy ra khi và chỉ khi C = A. Từ (1), (2) và (3) suy ra bất đẳng thức cần chứng minh và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều. duchoa_7804@yahoo.com ễn thi i hc lng giỏc 7 2) Tính toán đơn giản ta có các bất đẳng thức cos cos 2sin 2 + C A B , và cos cos 2sin 2 + A B C , và cos cos 2sin 2 + B C A . Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều. 3) Tính toán đơn giản ta có các bất đẳng thức cot cot 2 2 + C gA gB tg , và cot cot 2 2 + A gB gC tg , và cot cot 2 2 + B gC gA tg . Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều. 4) Vì A, B, C là 3 góc của tam giác ABC, ta có cos , cos ,cos 0 2 2 2 > A B C và 1 sin sin sin 2 2 2 8 A B C , suy ra 8sin sin sin cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A B C A B C . Do đó sin .sin .sin cos .cos .cos 2 2 2 2 2 2 A B C A B C và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều. 5) Nếu tam giác ABC không nhọn thì cosA.cosB.cosC 0, suy ra bất đẳng thức đúng. Giả sử tam giác ABC là nhọn. Khi đó 0 < cosA.cosB 2 sin 2 C , duchoa_7804@yahoo.com ễn thi i hc lng giỏc 8 và 0 < cosB.cosC 2 sin 2 A , và 0 < cosC.cosA 2 sin 2 B . Từ ba bất đẳng thức trên ta suy ra cosA.cosB.cosC sin sin sin 2 2 2 A B C và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều. Bài toán 2. Trong mọi ABC, ta có các bất đẳng thức sau 1) 2 2 2 A B C A B C 7 sin + sin + sin + sin .sin .sin 2 2 2 2 2 2 8 . 2) sinA.sinB + sinB.sinC + sinC.sinA 7 A B C + 4sin .sin .sin 4 2 2 2 . 3) cotgA + cotgB + cotgC 9 8sinA.sinB.sinC . Chứng minh. 1) áp dụng công thức cosA + cosB + cosC = 1 4sin .sin .sin 2 2 2 + A B C , ta có 2 2 2 7 sin sin sin sin .sin .sin 2 2 2 2 2 2 8 + + + A B C A B C , 1 cos 1 cos 1 cos 7 sin .sin .sin 2 2 2 8 2 2 2 + + A B C A B C 3 (cosA + cosB + cosC) 7 2sin .sin .sin 4 2 2 2 A B C 3 1 4sin .sin .sin 2 2 2 ữ + A B C 7 2sin .sin .sin 4 2 2 2 A B C sin .sin .sin 2 2 2 A B C 1 8 . Theo bất đẳng thức cơ bản ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều. 2) Do cosA = sinBsinC cosBcosC, duchoa_7804@yahoo.com ễn thi i hc lng giỏc 9 và cosB = sinAsinC cosAcosC, và cosC = sinBsinA cosBcosA. suy ra sinA.sinB + sinB.sinC + sinC.sinA = cosA + cosB + cosC + cosBcosC + cosAcosC + cosAcosB. Hơn nữa cosA.cosB + cosB.cosC + cosC.cosA 1 3 (cosA + cosB + cosC) 2 và áp dụng bất đẳng thức cơ bản cosA + cosB + cosC 3 2 và công thức cosA + cosB + cosC = 1 4sin .sin .sin 2 2 2 + A B C , ta có sinA.sinB + sinB.sinC + sinC.sinA 3 4 + cosA+ cosB + cosC. Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều. 3) Tính toán đơn giản ta có cotgA + cotgB + cotgC = 2 2 2 sin sin sin 2sin .sin .sin + +A B C A B C áp dụng bất đẳng thức cơ bản 2 2 2 9 sin sin sin 4 + + A B C , ta có bất đẳng thức cần chứng minh đúng và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều. Bài toán 3: Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau: 1) 2 2 2 1 1 1 + + sin A sin B sin C 1 2 2 2 2 A B C sin .sin .sin . 2) 3(cotgA + cotgB + cotgC) A B C cotg +cotg +cotg 2 2 2 . Chứng minh: 1) áp dụng công thức duchoa_7804@yahoo.com ễn thi i hc lng giỏc 10 sinA + sinB + sin C = 4 2 2 2 A B C cos .cos .cos , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + sin A.sin B sin B.sin C sin C.sin A sin A sinB sinC sin A.sinB.sinC sin A.sin B.sin C (sinAsinB sinBsinC) 2 +(sinBsinC sinCsinA) 2 +(sinCsinA sinAsinB) 2 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều. 2) Ta có cotgA + cotgB = sinC sin AsinB , và cotgB + cotgC = sin A sinBsinC , và cotgC + cotgA = sin sin sin B C A . Suy ra cotgA + cotgB + cotgC = 2 2 2 1 2 + +sin A sin B sin C . sin A.sinB.sinC . Hơn nữa ( ) 2 2 2 2 8 1 2 2 2 2 2 2 2 + + + + = = A B C cos .cos .cos sin A sin B sin C A B C cotg cot g cot g sin A.sinB.sinC sin A.sinB.sinC . Do đó 3(cotgA + cotgB + cotgC) 2 2 2 A B C cot g cot g cot g+ + 3( sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C) (sinA + sinB + sinC) 2 (sinA sinB) 2 + (sinB sinC) 2 + (sinC sinA) 2 0. Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều. Bài toán 4. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau: 1) A B C sin .sin .sin 2 2 2 1 A- B B - C C - A cos .cos .cos 8 2 2 2 duchoa_7804@yahoo.com ễn thi i hc lng giỏc 11 2) + + B C C A A B cos cos cos A B C sin sin sin 2 2 2 6 2 2 2 Chứng minh. 1) Vì 0 < A, B. C < nên sinA, sinB, sinC > 0. áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có sinA + sinB 2 sinA.sinB , và sinB + sinC 2 sinB.sinC , và sinC + sinA 2 sinC.sin A . Suy ra (sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA) 8sinA.sinB.sinC. Hơn nữa 2 2 2 A B C sin .sin .sin 1 8 2 2 2 A B B C C A cos .cos .cos sinA.sinB.sinC 2 2 2 2 2 2 A B C A B B C C A cos .cos .cos .cos .cos .cos 8sinA.sinB.sinC 8 2 2 2 2 2 2 + + + A B B C C A A B B C C A sin sin sin cos cos cos . (sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA). Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh. 2) Ta có 2 2 2 2 2 2 A B B C C A A B C cos ,cos ,cos ,sin , sin , sin > 0. áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 + + B C C A A B B C C A A B cos cos cos cos .cos .cos A B C A B C sin sin sin sin .sin .sin Hơn nữa, theo 1) ta có duchoa_7804@yahoo.com ễn thi i hc lng giỏc 12 2 2 2 2 2 2 B C C A A B cos .cos .cos A B C sin .sin .sin 8. Suy ra bất đẳng thức 2) đợc chứng minh. Bài toán 5. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau: 1/ 2 2 2 A B C cos + cos + cos 2 2 2 ữ 2 A B C sin + sin + sin 2 2 2 2 / 2 2 2 A B C sin + sin + sin 2 2 2 1 B - C C - A A - B 1- cos cos cos 4 2 2 2 Chứng minh. 1/ Vì 0 , 2 2 2 < < A B nên A B cos , cos 0 2 2 . áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có A B cos cos 2 2 + 2 B A cos cos 2 2 . (1) Khi đó (1) 1 B A A B sinAtg + sinBtg 2sin sin 2 2 2 2 2 ữ (2) Dấu đẳng thức trong (2) xảy ra khi và chỉ khi A = B. Chứng minh tơng tự ta có các bất đẳng thức 1 C B B C sinBtg + sinCtg 2sin sin 2 2 2 2 2 ữ (3) và 1 A C A C sinCtg + sinAtg 2sin sin 2 2 2 2 2 ữ (4) Dấu đẳng thức trong (3) xảy ra khi và chỉ khi B = C và dấu đẳng thức trong (4) xảy ra khi và chỉ khi C = A. Từ (2), (3), (4) suy ra 1 A 1 B 1 C tg (sinB + sinC) + tg (sinC+sinA) + tg (sinC+sinB) 2 2 2 2 2 2 duchoa_7804@yahoo.com ễn thi i hc lng giỏc 13 A B B C C A 2 sin sin + sin sin + sin sin 2 2 2 2 2 2 ữ (5) Tính toán đơn giản ta có (5) cosA + cosB + cosC A B B C C A 2 sin sin + sin sin + sin sin 2 2 2 2 2 2 ữ . Do đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh và dấu thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều. 2/ Theo bài 4 phần 1, ta có 2 2 2 A B C sin .sin .sin 1 8 2 2 2 A B B C C A cos .cos .cos . (6) Hơn nữa cosA + cosB + cosC = 1 4sin .sin .sin 2 2 2 + A B C . Tính toán đơn giản ta có 1-cosA 1-cosB 1-cosC 1 B-C C-A A -B + + 1- cos cos cos 2 2 2 4 2 2 2 suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Bổ đề. Nếu 0 < x, y < 2 thì tgx + tgy x + y 2tg 2 . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y. Chứng minh. Xét hàm f(x) = tgx với x (0; 2 ). Ta có f (x) = 3 2sin 0 cos < x x , x (0; 2 ). Vậy hàm f(x) là lồi trên (0; 2 ). Do đó f(x) + f(y) x + y 2tg 2 , với mọi x, y 0; 2 ữ . Bổ đề đợc chứng minh. Bài 6. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau: duchoa_7804@yahoo.com [...]... bất đẳng thức Côsi ta có 1 1 1 1 + + 33 và p-c p-a p-b (p-a)(p-b)(p-c) (p - a) + (p - b) + (p - c) 3 3 (p-a)(p-b)(p-c) 1 1 1 + + Suy ra ữ (p - a) + (p - b) + (p - c) 9 p-c p-a p-b 1 1 1 9 + + p-c p-a p-b p Do đó Suy ra 1 4 p-c + 1 1 1 1 1 3 + + + + 3 p-a p-b p-b p p-c p-a 4 1 1 1 3 3 3 4 + + + 4 =4 Hơn nữa p-c p-a p-b p p(p-a)(p-b)(p-c) s (2) (3) Từ (1), (2), (3), ta nhận... +tg 2 2 2 Chứng minh 1) Ta có sin 2p - a 2p -b 2p -c + + 2p+a 2p+b 2p+c 9R 2 4S A p(p - a) và = 2 bc cos A = 2 (p - b)(p - c) bc 1 (p- b)(p- c) = 1 + cotg 2A = 1+ 2 sin A p(p- a) Suy ra Tơng tự ta có 1 (p- a)(p- c) = 1+ và p(p- b) sin 2B 1 (p- a)(p- b) = 1+ 2 sin C p(p- c) Do đó 1 1 1 (p- b)(p- c) (p- a)(p- c) (p- a)(p- b) + 2 + 2 = 3+ + + sin 2 A sin B sin C p(p- a) p(p- b) p(p- c) duchoa_7804@yahoo.com... duchoa_7804@yahoo.com ễn thi i hc lng giỏc 24 Vậy bất đẳng thức 2/ đợc chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều Bài 12 Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau: 1) 1 1 1 34 3 + + a+b-c a+b-c a+b-c 2 s 2) a 2 +b 2 +c 2 3) 4(ab + bc + ca) Chứng minh.1)Ta có 36 2 abc p + 35 p ữ 4 3S + 4p 2 1 1 1 1 1 1 + + = 2 + + (1) a + b-c a + b-c a + b-c p-b ữ p-c p-a áp dụng bất... mb2 + c( a + b) mc2 duchoa_7804@yahoo.com ễn thi i hc lng giỏc 35 Chơng II Một số bất đẳng thức lợng giác trong vài dạng tam giác đặc biệt Trong chơng này, chúng tôi chọn một số bài toán về bất đẳng thức lợng giác trong tam giác nhọn, tam giác không nhọn, tam giác không tù và trình bày lời giải Phơng pháp chứng minh đối với các bài toán này phần lớn dựa vào tính đơn điệu của hàm số 2.1 Hàm số đơn điệu... duchoa_7804@yahoo.com ễn thi i hc lng giỏc 20 áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có (p- b)(p- c) (p- a)(p- c) (p- a)(p- b) 3 S2 + + 3 p(p- a) p(p- b) p(p- c) p p Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều 2) Ta có 2p - a 2p - b 2p - c b+c c+a a+b + + = + + 2p + a 2p + b 2p + c (a + b) + (a + c) (b + c) + (b + a) (a + c) + (b + c) Đặt x = b + c, y = c + a, z = a + b áp dụng bất đẳng thức Nesbit... bất đẳng thức cần chứng minh 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là đều Tiếp theo , chúng ta có một số bài toán về hằng đẳng thức trong tam giác có liên quan độ dài các cạnh, diện tích, bán kính các đờng tròn ngoại tiếp và nội tiếp và số đo các góc của tam giác duchoa_7804@yahoo.com ễn thi i hc lng giỏc 21 Bài 10 Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau: C A B 1/ absin +bcsin +casin... và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều 2) Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với 35( a2 + b2 + c2 ) 9( a + b + c )2 + 72abc a+b+c duchoa_7804@yahoo.com ễn thi i hc lng giỏc 25 áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-sky ta có 27( a2 + b2 + c2 ) 9( a + b + c )2 (4) Và áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 3 72 a + b +c 8 2 72abc ữ = (a + b +c) a + b + c 3 3 a+b+c áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-sky...ễn thi i hc lng giỏc 14 1/ cos 2 B -C C-A A- B A B C +cos 2 +cos 2 24sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2/ cos A- B C A B C A ữ+cos B - 2 ữ +cos C - 2 ữ 4cos A- 2 ữcos B- 2 ữcos C - 2 ữ 2 2 3/ cosA cosB cosC 8sin A 2B 2C sin sin 2 2 2 Chứng minh 1) áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có cos 2 B - C C - A A - B B- C C- A A - B + cos 2 + cos 2 3 3 cos 2 cos... đơng với (sinA sinB)(2sin2A2sin2B -2 sin2C) + (sinC sinB)(2sin2C 2sin2B 2sin2A) 0 Nhận xét rằng sinA - sinB < 0 2sin2A - sin2B - sin2C < 0 và sinC- sinB < 0 2sin2C- sin2B- sin2A = sin2C - 4sinC cosA cosB > 0 Do đó ta nhận đợc bất đẳng thức cần chứng minh Hơn nữa dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là đều Bài toán 9 Trong mọi tam giác ABC ta luôn có 1) 1 1 1 1 s2 + + 3 1+... +mblb + mclc p2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều 1.4 Bài tập 1 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có các bất đẳng thức sau: A B B C C A A B C a) 2 sin sin + sin sin + sin sin ữ sin + sin + sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b) sinA + sinB + sinC 2 3 (cosAcosB + cosBcosC + cosCcosA) 2 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có các bất đẳng thức sau: a) cotgA + cotgB . 4 Chơng 1 Các bất đẳng thức l Các bất đẳng thức l ợng giác ợng giác cơ bản trong tam giác và ứng dụng cơ bản trong tam giác và ứng dụng Trong chơng này,. chứng minhvà đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều. 2) Trớc hết trong mọi tam giác ABC ta luôn có B C A cos A - cos B- cos C - 0