Một số bài toán về cực trị - Ôn thi vào lớp 10 B i 1. B i 2. B i 3. B i 4. B i 5. B i 6. B i 7. Với x, y là các số dơng thỏa mãn điều kiện x y . Tìm GTNN của biểu thức xy yx M 22 + = B i 8. 126 Một số bài toán về cực trị - Ôn thi vào lớp 10 B i 9. Cho các số thực dơng x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4 . B i 10. B i 11. B i 12. B i 13. B i 14. B i 15. B i 16. B i 17. B i 18. Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn : 3 222 =++ cba . Chứng minh rằng : 2 1 323232 222 ++ + ++ + ++ ac c cb b ba a B i 19. Cho 2 số dơng x, y thỏa mãn x + y = 1 127 Một số bài toán về cực trị - Ôn thi vào lớp 10 a) Tìm GTNN của biểu thức M = ( x 2 + 2 1 y )( y 2 + 2 1 x ) b) Chứng minh rằng : N = ( x + x 1 ) 2 + ( y + y 1 ) 2 2 25 B i 20. B i 21. B i 22. Cho a>0; b>0; c>0 .Chứng minh bất đẳng thức ( a+b+c) 1 1 1 9 a b c + + ữ B i 23. Cho 2 4a + 2 b = 5 ab (2a > b > 0) . Tính số trị biểu thức: M = 22 4 bb ab B i 24. Cho biểu thức A = x xy2 + 3y - x2 + 1. Tìm GTNN mà A có thể đạt đợc. B i 25. a, Chứng minh rằng : 5 210 50 1 3 1 2 1 12 <++++< b, Tìm GTNN của P = x 2 + y 2 + z 2 Biết x + y + z = 2007 B i 26. Cho a,b,c là các số dơng . Chứng minh rằng 1< ca c cb b ba a + + + + + <2 B i 27. 1) Chứng minh : (ab+cd) 2 (a 2 +c 2 )( b 2 +d 2 ) 2) áp dụng : cho x+4y = 5 . Tìm GTNN của biểu thức : M= 4x 2 + 4y 2 B i 28. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) )( cabcabcba ++>++ 222 2) cbacba 22218 ++ ++ với a, b ; c dơng B i 29. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 200245 22 +++ yxxyyx B i 30. 1) Tìm các số thực dơng a, b, c thoả mãn abc = 1 và a + b + c + ab + bc + ca 6 2) Cho x > 0; y > 0 thỏa mãn: x + y 6 . Tìm GTNN của biểu thức: M = 3x + 2y + yx 86 + 128 Một số bài toán về cực trị - Ôn thi vào lớp 10 B i 31. Cho x + y + z + xy + yz + zx = 6 . CMR: x 2 + y 2 + z 2 3 B i 32. Chứng minh rằng: 2 20062007 1 . 34 1 23 1 2 1 <++++ B i 33. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A= y zx x yz z xy ++ với x, y, z là số dơng và x + y + z= 1 B i 34. Cho a 1 , a 2 , ., a n là các số dơng có tích bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = n21 a 1 1 . a 1 1 a 1 1 ++++++ B i 35. Cho x, y là hai số dơng thỏa mãn: 1 + yx Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: xy yx A 21 22 + + = B i 36. Cho biểu thức: 1 6 + + = a a M .Tìm các số nguyên a để M là số nguyên. B i 37. Chứng minh các bất đẳng thức sau. a, Cho a > c , b >c , c > 0 . Chứng minh : ( ) ( ) abcbccac + b, Chứng minh : 2005 2006 2006 2005 + > 20062005 + B i 38. Cmr : A = 1.2.3 .2005.2006. +++++ 2006 1 2005 1 . 3 1 2 1 1 chia hết cho 2007 B i 39. Giả sử x, y là các số thực dơng thoả mãn : x + y = 1 a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = xy yx 11 33 + + b. Chứng minh bất đẳng thức: 2 9 2 2 22 2 22 2 22333 + + + + + + + + + ++ acb ac bca cb abc ba abc cba B i 40. Cho các số dơng a, b, c, d. Biết 1 d1 d c1 c b1 b a1 a + + + + + + + Chứng minh rằng a.b.c.d 81 1 B i 41. a. Cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc với a,b,c khác 0 và a + b+ c 0 Tính P = (2006+ b a )(2006 + c b ) ( 2006 + a c ) b. Tìm GTNN của A = 2 2 20062 x xx + B i 42. Cho x > 0 ; y > 0 và x + y = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: M = 2 1 x y + ữ + 2 1 y x + ữ 129 Một số bài toán về cực trị - Ôn thi vào lớp 10 B i 43. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 1 34 2 2 + x xx B i 44. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y y x x A 2 1 + = B i 45. a. Cho 8x 2 + y 2 + 2 4 1 x = 4 Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất . b. Tìm 4 số nguyên dơng x,y,z,t thoả mãn 1 1111 2222 =+++ tzyx B i 46. Cho 3 số không âm x,y,z thoả mãn đẳng thức: x + y + z = 1 Chứng minh rằng: x + 2y + z 4(1- x) (1- y) (1- z) B i 47. a. Chứng minh bất đẳng thức : b ba ab ba 8 )( 2 2 < + với a > b > 0 b. Cho ba số dơng a,b,c thoả mãn a + b + c = 3 Chứng minh: 2 3 111 222 + + + + + a c c b b a B i 48. 1. Cho A = 12 12 + + 23 23 + + .+ 2425 2425 + . Chứng minh rằng A < 0,4 2. Cho x, y , z > 0 thoả mãn xyz x + y + z + 2 tìm giá trị lớn nhất của x + y + z B i 49. Cho biểu thức Q= 22 1163 2 2 + + xx xx a, Tìm giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên. b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q B i 50. Ba số x;y;z thoả mản hệ thức : 6 321 =++ zyx . Xét biểu thức :P= x+y 2 +z 3 . a.Chứng minh rằng:P x + 2y + 3z - 3 b.Tìm giá trị nhỏ nhất của P B i 51. Với a > 0 ; b > 0 và x,y > 0 thay đổi sao cho : 1 =+ y b x a . Tìm x,y để x + y đạt GTNN B i 52. Cho 0 x, y, z 1 CMR: 1 + yz x + 1 + xz y + 1 + xy z 2 B i 53. Cho cỏc s dng a, b, c. Chng minh rng: a b c 1 + + 2 a + b b + c c + a < < B i 54. Tìm giá trị của M để: a. m 2 2m + 5 có giá trị nhỏ nhất 130 Một số bài toán về cực trị - Ôn thi vào lớp 10 b. 12 52 2 2 + + m m có giá trị lớn nhất. B i 55. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh: (a + b + c) 2 - (a 2 + b 2 + c 2 ) - 2abc > 2 B i 56. Cho hai s dng a, b tha món: a + b 2 2 . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = 1 1 a b + Bi 57. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = 2 x - x y + x + y - y + 1 Bi 58. Cho a, b, c l di 3 cnh ca mt tam giỏc. Chng minh: ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca ). Bi 59. Cho biu thc A = 2x - 2 xy + y - 2 x + 3 . Hi A cú GTNN hay khụng? Vỡ sao? Cho cỏc s a, b, c [ ] 0 ; 1 . Chng minh rng: a + b 2 + c 3 ab bc ca 1. Bi 60. Chng minh rng: ( ) ( ) a + b 1 2 a 3a + b b 3b + a + vi a, b l cỏc s dng. Bi 61. Cho x > 0, y > 0 v x + y 6. Tỡm GTNN ca biu thc : P = 3x + 2y + 6 8 + x y Bi 62. Cỏc s thc x, a, b, c thay i, tha món h: 2 2 2 2 x + a + b + c = 7 (1) x + a + b + c = 13 (2) Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca x. Bi 63. Tỡm x, y tho món 5x - 2 x (2 + y) + y 2 + 1 = 0. Bi 64. Cho x, y l hai s thc tho món: (x + y) 2 + 7(x + y) + y 2 + 10 = 0 Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc A = x + y + 1 B i 65. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = 4 2 2 x + 2x + 2 x + 1 . B i 66. Cho a, b, c.> 0 Chng minh BT: 4 a b b c c a a b c c a b b c c a a b + + + + + + + ữ + + + . 131 Mét sè bµi to¸n vÒ cùc trÞ - ¤n thi vµo líp 10 B i 67.à Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn 1 a b c abc + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( ) ( ) a b a c+ + . Bài 68. Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2 1 1 x y xy + + B i 69.à Cho cba ,, >0 . Chứng minh bất đẳng thức: 2 > + + + + + ba c ac b cb a B i 70.à Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = xx 1 1 2 + − , với 0 < x < 1 B i 71.à Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 2 2 x x 1 x 2x 2 + + + + . Bài 72. Cho x và y thỏa mãn đồng thời : x 0 ≥ , y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 6 và 2x + y ≤ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K = x 2 - 2x – y. Bài 73. a. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z ≤ 3.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = ( ) 2 2 2 1 x 1 y 1 z 2 x y z+ + + + + + + + b. Cho a, b, c ∈ [0; 2] và a + b + c = 3. Chứng minh a 2 + b 2 + c 2 < 5. Bài 74. Tìm GTLN và GTNN của P = 2x 2 - xy - y 2 với x, y thoả mãn x 2 + 2xy + 3y 2 = 4. Bài 75. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác, chứng minh: 2 2 2 1 1 1 a + b + c + + a + bc b + ac c + ab 2abc ≤ Bài 76. Cho biểu thức: A = x - 2 xy +3y - 2 x + 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A. B i 77.à Cho x 2 + y 2 = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = xy x + y + 2 B i 78.à Cho x, y, z là 3 số thực dương thoả mãn x 2 + y 2 + z 2 = 2. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x + y + z + + + 3 x + y y + z z + x 2 xyz ≤ . Bài 79. Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: A = 2 5 - 3x 1 - x Bài 80. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 a + b + b + c + c + a 2 (a + b + c).≥ 132 Một số bài toán về cực trị - Ôn thi vào lớp 10 Bi 81. Cho a, b, c > 0 tho món: 1 35 4c + 1 + a 35 + 2b 4c + 57 . Tỡm GTNN ca A = a.b.c. B i 82. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 2 3 2 2 7 A x x = + + B i 83. Giả sử x và y là 2 số thoả mãn x>y và xy=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 22 yx yx + B i 84. Giả sử n là số tự nhiên. Chứng minh bất đẳng thức: ( ) 2 1 1 23 1 2 1 < + +++ nn B i 85. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 52 62 2 2 ++ ++ = xx xx y B i 86. Cho a 4, b 5, c 6 và a 2 + b 2 + c 2 = 90 . Chứng minh: a + b + c 16 B i 87. Tam giác ABC không có góc tù. Gọi a, b, c là độ dài các cạnh, R là bán kính của đ- ờng tròn ngoại tiếp, S là diện tích của tam giác. Chứng minh bất đẳng thức: cba S R ++ 4 . Dấu bằng xảy ra khi nào? B i 88. Tìm tất cả các giá trị x 2 để biểu thức: x x F 2 = , đạt giá trị lớn nhất. B i 89. Cho ( ) xxxxP ++= 235 . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P khi 0 x 3. B i 90. Cho ba số dơng a, b, c thoả mãn: a + b + c 2005 Chứng minh: 2005 3 5 3 5 3 5 2 33 2 33 2 33 + + + + + cca ac bbc cb aab ba B i 91. Cho các số a, b, c thoả mãn: 0 a 2; 0 b 2; 0 c 2 và a + b + c = 3 Chứng minh bất đẳng thức: 2 ++ cabcab B i 92. Cho 5x+2y=10. Chứng minh 3xy - x 2 - y 2 < 7 Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì cb a c a b a . 2 >+ 133 Mét sè bµi to¸n vÒ cùc trÞ - ¤n thi vµo líp 10 B i 93.à a. Víi hai sè tuú ý a, b, chøng minh r»ng: a 2 + b 2 – ab + a + b + 1 ≥ 0 b. Cho a + b + c = 3. Chøng minh: a 4 + b 4 + c 4 ≥ a 3 + b 3 + c 3 B i 94.à Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng: 1 3 3 3 + + ≤ + + + + + + x y z x x yz y y zx z z xy B i 95.à Cho 2 số dương a, b thỏa mãn 1 1 2 a b + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 4 2 2 4 2 2 1 1 2 2 Q a b ab b a ba = + + + + + . Bài 96. Chứng minh phương trình ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0) có nghiệm nếu 2 4 b c a a ≥ + Bài 97. a. Chứng minh đẳng thức 2 2 2 (2 ) 3 4 1 1 1 a a a a − − − = + + b. Tìm a để P = 2 3 4 1 a a − + đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó B i 98.à Tam giác ABC có a,b,c và x,y,z lần lượt là độ dài các cạnh BC,CA,AB và các đường phân giác của các góc A,B,C. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 x y z a b c + + > + + Bài 99. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác với a b c≤ ≤ . Cmr: (a+b+c) 2 ≤ 9bc Bài 100. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = (2x-x 2 ).(y-2y 2 ) với 1 0 x 2, 0 y 2 ≤ ≤ ≤ ≤ B i 101.à Cho a,b là hai số dương thoả mãn a+b = 5 4 . Chứng minh rằng 4 1 5 a 4b + ≥ khi nào bất đẳng thức xảy ra dấu bằng. B i 102.à Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz - 16 0 x y z = + + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p = ( x +y )(x +z ) B i 103.à Cho số thực x 2> . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 S x x x 2 = − + − Bài 104. 134 Một số bài toán về cực trị - Ôn thi vào lớp 10 Cho 2 2 2 x 2y z 2xy 2yz zx 3x z 5 0+ + + + = . Tớnh 3 7 2010 S x y z= + + Bi 105. Cho 2 số thực dơng x, y thoả mãn: ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 3 3 3 4 4 0x y xy x y x y x y x y+ + + + = . Tìm GTNN của biểu thức M = x + y B i 106. Cho a,b,c l ba s thc khỏc 0 v tha món : 2 2 2 2013 2013 2013 ( ) ( ) ( ) 2a 1 a b c b c a c a b bc a b c + + + + + + + + = Tớnh giỏ tr ca biu thc 2013 2013 2013 1 1 1 Q a b c = + + Bi 107. Cho x 0, y 0 v x 2 + y 2 0. Chng minh: A = xyyx 252 ++ > 0. Bi 108. Cho hai s dng x, y cú tng bng 1. Tỡm giỏ tr nh nht ca: B = 22 1 1. 1 1 yx Bi 109. Bi 110. B i 111. Cho a, b l các số d ơng thỏa mãn a + b = 2ab . Xác định GTNN của biểu thức : B = 12 1 12 1 + + + b b a a B i 112. B i 113. Cho a,b,c là 3 số dơng thỏa mãn điều kiện : a+b+c=1 . Tìm GTLN của biểu thức B i 114. 135 . 1 1 1 1 x y z a b c + + > + + Bài 99 . Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác với a b c≤ ≤ . Cmr: (a+b+c) 2 ≤ 9bc Bài 100. Tìm giá trị lớn nhất của. B i 158. B i 1 59. B i 160. Với x, y, z là các số thực dơng . Tìm GTLN của biểu thức B i 161. Tìm giá trị của x để biểu thức 2 2 2 198 9x x y x + = đạt