Đang tải... (xem toàn văn)
HỆ THỐNG LÝ THUYẾT ÔN THI VÀO LỚP 10 - CẦN NHỚ
tổng hợp lý thuyết cách giải dạng tập - toán Phần I: Đại số A Kiến thức cần nhớ I CĂN THứC BậC HAI CÔNG THứC BIếN Đổi : CÔNG THứC BIếN Đổi : Điều kiện để thức có nghĩa : A có nghĩa A Các công thức biến đổi thức 1) A2 A 2) AB A B 3) A A B B ( B 0) A B A2 B 5) A B ( A 0; B 0) ( A 0; B 0) 4) A2 B A B AB 6) ( A 0; B 0) ( A 0; B 0) A B B AB ( AB 0; B 0) 7) A A B ( B 0) B B 8) C C ( A B ) A B2 A B ( A 0; A B ) 9) C C( A B ) A B2 A B ( A 0; B 0; A B ) II Hàm số a Khái niệm hàm số - Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x cho với giá trị x ta xác định đợc giá trị tơng ứng y y đợc gọi hàm số tơng ứng x x đợc gọi biến số - Hàm số cho bảng công thức b Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm M mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mÃn phơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) mặt phẳng tọa độ) c Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến * Cho hàm số y = f(x) xác định với giá trị x thuộc R - Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) hàm số y = f(x) đồng biến R - Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) hàm số y = f(x) nghịch biến R III Hàm số bậc Khái niệm hàm số bậc - Hàm số bậc hàm số đợc cho công thức y = ax + b Trong a, b số cho trớc a TÝnh chÊt Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b xác định với giá trị x thuộc R có tính chất sau: - Đồng biến R a > - Nghịch biến R a < Đồ thị hàm sè y = ax + b (a 0)) §å thị hàm số y = ax + b (a 0) đờng thẳng - Cắt trục tung ®iĨm cã tung ®é b»ng b - Song song víi ®êng th¼ng y = ax, nÕu b 0, - trïng với đờng thẳng y = ax, b = * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) TH : Khi b = hàm số trở thành y = ax có đồ thị đờng thẳng qua O(0; 0) ®iÓm M(1; a) TH : Khi b hàm số y = ax + b có đồ thị đờng thẳng cắt trục tọa độ Bớc Xác định giao với trục tọa độ : * Giao víi trơc tung : Cho x = y = b ta đợc điểm P(0; b) * Giao với trục hoành : Cho y = x = - b b ta đợc điểm Q(- ; 0) a a Bớc Vẽ đờng thẳng qua hai điểm P Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b 108 tổng hợp lý thuyết cách giải dạng tập - toán Vị trí tơng đối hai đờng thẳng Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) vµ (d’): y = a’x + b’ (a 0) Khi (d) (d') cắt a a' (d) // (d') a = a' vµ b b' a a ' d d ' b b ' TH đặc biệt : a a ' b b ' (d) vµ (d') cắt điểm thuộc trục tung d d ' a.a ' Xác định tọa độ giao điểm đờng thẳng Bài toán : Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) vµ (d’) : y = ax + b (a 0) Tìm tọa độ giao điểm đờng thẳng y ax b y a’x b’ Bíc : Ta có tọa độ giao điểm (d) (d) nghiƯm cđa hƯ pt Bíc : Gi¶i pt hoành độ giao điểm : ax + b = ax + b ta tìm đợc x y Bớc : KL : Vậy (d) (d) cắt A(x; y) Bài toán : Cho hai đờng thẳng (d): ax + by = c vµ (d’): a’x + by = c Tìm tọa độ giao điểm đờng thẳng ax by c a’x b’y c’ Bíc : Ta cã tọa độ giao điểm (d) (d) nghiệm cđa hƯ pt Bíc : Gi¶i hƯ pt ta tìm đợc x y Bớc : KL : Vậy (d) (d) cắt A(x; y) Hệ số góc đờng thẳng y = ax + b (a 0)) Góc tạo đờng thẳng y = ax + b trục Ox Góc tạo đờng thẳng y = ax + b trục Ox góc tạo tia Ax tia AT, A giao điểm đờng thẳng y = ax + b víi trơc Ox, T lµ điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung độ dơng Hệ số góc đờng th¼ng y = ax + b - HƯ sè a đợc gọi hệ số góc đờng thẳng y = ax +b 7* Nên biết thêm : * Công thức tính toạ độ trung điểm đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A víi B víi A(x 1, y1) vµ B(x2, y2) Khi - Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính c«ng thøc : AB ( xB x A ) ( yB y A ) FZXA - Tọa độ trung điểm M AB đợc tÝnh bëi c«ng thøc : xM x A xB y yB ; yM A 2 * PT đờng thẳng qua điểm M0(x0; y0) có hÖ sè gãc k: y = k(x - x0) + y0 IV.Hàm số bậc hai a Định nghĩa : Hàm sè cã d¹ng y = ax2 (a 0) b TÝnh chất + Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với giá trị c thuộc R + Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > + Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > c Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0)) 109 tổng hợp lý thuyết cách giải dạng tập - toán Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) Parabol qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành, O điểm thấp đồ thị + Nếu a < đồ thị nằm phía dới trục hoành, O điểm cao đồ thị * Quan hệ Parabol y = ax2 (a 0) đờng thẳng y = mx + n (m 0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + n Khi ®ã y ax Täa ®é giao ®iĨm cđa (P) (d) nghiệm hệ phơng trình : y mx n Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phơng trình : ax2= mx + n (*) Sè giao ®iĨm cđa (P) (d) số nghiệm phơng trình (*) + Nếu pt : ax2= mx + n vô nghiệm (P) (d) điểm chung + Nếu pt : ax2= mx + n cã nghiƯm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc + NÕu pt : ax2= mx + n có hai nghiệm phân biệt (P) (d) cắt hai điểm phân biệt 110 tổng hợp lý thuyết cách giải dạng tập - toán * bổ sung : toán lập phơng trình đờng thẳng Bài toán 1: Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm M(x0; y0) có hệ số góc k Phơng trình tổng quát đờng thẳng (d) : y = ax + b (*) - HÖ sè a = k - Xác định b: (d) qua M(x0; y0) nªn ta cã y0 = kx0 + b b = y0 – kx0 - Thay k; b võa t×m đợc vào (*) ta có phơng trình (d) Bài toán 2: Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm A(xA;yA); B(xB;yB) Phơng trình tổng quát đờng thẳng (d) : y = ax + b * Vì (d) qua A B nên ta có: * Giải hệ ta tìm đợc a b phơng trình (d) Bài toán 3: Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm A(x 0; y0) vµ tiÕp xóc víi Parabol (P): y = mx2 Phơng trình tổng quát đờng thẳng (d) : y = ax + b Phơng trình hoành độ giao điểm (d) (P) là: mx2= ax + b (*) Vì (d) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm đợc hệ thức liên hệ a b (1) Mặt khác: (d) qua A(x0; y0) ta có y0 = ax0 + b (2) Từ (1) (2) tìm đợc a b Phơng trình đờng thẳng (d) Bài toán 4: Lập phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc k tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x) Phơng trình tổng quát đờng thẳng (d) : y = kx + b Phơng trình hoành độ điểm chung (d) (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (d) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiƯm kÐp Tõ điều kiện ta tìm đợc b suy phơng trình (d) * tìm điểm cố định đồ thị hàm sốm Bài toán : Để tìm điểm cố định hàm số f(x) ta làm nh sau Bớc : Gọi M(x0; y0) điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x) qua víi mäi m Bíc : Ta thay täa ®é cđa M vµo hµm sè y = f(x) y A ax A b y B ax B b g x ;y 0 h x ;y Biến đổi hàm số f(x) dạng : m.g(x 0; y0) +h(x0; y0) = víi mäi m Bớc : Giải hệ pt ta tìm đợc x0 y0 KL 111 tổng hợp lý thuyết cách giải dạng tập - toán V Phơng trình bậc hai Xét phơng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (a 0) C«ng thøc nghiƯm C«ng thøc nghiƯm thu gän = b - 4ac ' = b'2 - ac víi b = 2b' NÕu > : Phơng trình có hai nghiệm - Nếu ' > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b 2a ; x2 b 2a Nếu = : Phơng trình có nghiÖm kÐp x1 x2 b 2a NÕu < : Phơng trình vô nghiệm phân biệt: x1 b ' ' a ; x2 b ' ' a - NÕu ' = : Phơng trình có nghiệm kép: x1 x2 b' a - NÕu ' < : Phơng trình vô nghiệm Hệ thức Vi - et vµ øng dơng * HƯ thøc Vi - et: b S x1 x2 a Nếu x1, x2 nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) th×: P x x c a - Mét sè øng dơng: * T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = S; u.v = P ta giải phơng trình: x2 - Sx + P = (§iỊu kiƯn S2 - 4P 0) * Nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0) (a 0)) NÕu a + b + c = phơng trình cã hai nghiÖm: x1 = ; x2 = c a NÕu a - b + c = th× phơng trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 = c a VI Giải toán cách lập pT, hệ phơng trình Bớc 1: Lập phơng trình hệ phơng trình Bớc 2: Giải phơng trình hệ phơng trình Bớc 3: Kiểm tra nghiệm phơng trình hệ phơng trình nghiệm thích hợp với toán kết luận 112 tổng hợp lý thuyết cách giải dạng tập - toán B dạng tập Dạng 1: Rút gọn biĨu thøc §Ĩ rót gän biĨu thøc A ta thực bớc sau: - Quy đồng mẫu thức (nếu có) - Đa bớt thừa số thức (nếu có) - Trục thức mẫu (nếu cã) - Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh: l thõa, khai căn, nhân chia - Cộng trừ số hạng đồng dạng Dạng 2: Bài toán tính toán Bài toán 1: Tính giá trị biểu thức A Tính A mà điều kiện kèm theo đồng nghĩa với toán rút gọn biểu thức A Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức A(x) biết x = a - Rót gän biĨu thøc A(x) - Thay x = a vào biểu thức rút gọn Dạng 3: Chứng minh đẳng thức Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B - Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa : A = B A - B = - Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp : A = A1 = A2 = = B - Ph¬ng pháp 3: Phơng pháp so sánh A = A1 = A2 = = C A=B B = B1 = B2 = = C - Phơng pháp 4: Phơng pháp tơng đơng A = B A' = B' A" = B" (*) (*) ®óng A = B - Phơng pháp 5: Phơng pháp quy nạp Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức BĐT Cô si: * Cho số không âm x, y ta cã : x + y x y * Cho số không âm x, y, z ta cã : x + y + z xyz hay xy x.y 3 x.y.z hay x.y.z DÊu “ = ” x¶y x = y = z BĐT Bunhiacopxki * Cho cặp số (a; b) (x; y)ta cã : (a.x + b.y)2 (a2 + b2)(x2 + y2) * Cho cỈp sè (a; b; c) vµ (x; y; z) ta cã : (a.x + b.y + cz)2 (a2 + b2 + c2)(x2 + y2+ z2 ) Dấu = xảy chØ x y z f a b c Một số phơng pháp chứng minh: - Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa : A > B A - B > - Phơng pháp 2: Biến ®æi trùc tiÕp : A = A1 = A2 = = B + M2 > B nÕu M - Phơng pháp 3: Phơng pháp tơng đơng A > B A' > B' A" > B" (*) (*) ®óng ®ã A > B - Phơng pháp 4: Phơng pháp dùng tính chất bắc cầu : A > C C > B A > B - Phơng pháp 5: Phơng pháp phản chứng Để chứng minh A > B ta giả sử B > A dùng phép biến đổi tơng đơng để dẫn đến điều vô lí ta kết luận A > B - Phơng pháp 6: Phơng pháp quy nạp 113 tổng hợp lý thuyết cách giải dạng tập - toán Dạng 5: toán liên quan tới phơng trình bậc hai Bài toán 1: Giải phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) Các phơng pháp giải: - Phơng pháp 1: Phân tích đa phơng trình tích - Phơng pháp 2: Biến đổi pt dạng (mx + n)2 = k khai vế ta tìm đợc x - Phơng pháp 3: Dùng công thức nghiệm : - Phơng pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn - Phơng pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức a.c < phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài toán 2: Biện luận theo m có nghiệm phơng trình bậc : ax2 + bx + c = XÐt hÖ số a: Có thể có khả a Trờng hợp a = với vài giá trị cđa m Gi¶ sư a = m = m0 ta có: (*) trở thành phơng trình bậc ax + c = (**) + NÕu b víi m = m0: (**) cã mét nghiƯm x = - c/b + NÕu b = vµ c = với m = m0: (**) vô định (*) vô định + Nếu b = c víi m = m0: (**) v« nghiƯm (*) vô nghiệm b Trờng hợp a 0: Tính hc ' + TÝnh = b2 - 4ac Nếu > : Phơng trình có nghiệm phân biệt: Nếu = : Phơng trình có nghiÖm kÐp : x1 x1 x2 b 2a ; x2 b 2a b 2a Nếu < : Phơng trình v« nghiƯm + TÝnh ' = b'2 - ac víi b = 2b' b ' ' a ' b x1 x2 a NÕu ' > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: Nếu ' = : Phơng trình có nghiệm kép: x1 ; x2 b ' ' a Nếu ' < : Phơng trình vô nghiệm * Ghi tóm tắt phần biện luận Bài toán 3: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bËc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiệm phân biệt a Điều kiện có hai nghiƯm ph©n biƯt ' ( ) Bài toán 4: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm Cã hai khả để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = cã nghiƯm: Hc a = 0, b Hc a 0, ( ' ) Tập hợp giá trị m toàn giá trị m thoả mÃn điều kiện điều kiện Bài toán 5: Tìm điều kiện tham số m để phơng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiÖm kÐp a 0 ( ' ) 0 §iỊu kiƯn cã nghiƯm kÐp: Bài toán 6: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thuộc tham số m ) vô nghiệm 114 tổng hợp lý thuyết cách giải dạng tập - to¸n a 0 ( ' ) Điều kiện có nghiệm: Bài toán 7: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm §iỊu kiƯn cã mét nghiÖm: a 0 b 0 a ( ' ) Bài toán : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phô thuéc tham sè m) có nghiệm trái dấu Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: a.c < Bài toán : Tìm điều kiện tham số m để phơng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiÖm cïng dÊu ( ' ) 0 §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm cïng dÊu: c P a Bài toán 10) : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a, b, c phô thuéc tham sè m) cã nghiƯm d¬ng ( ' ) 0 c Điều kiện có hai nghiệm dơng: P a b S a Bài toán 11 : Tìm tham số m để phơng trình ax2 + bx + c = có nghiệm âm Điều kiện cã hai nghiƯm ©m: ( ' ) 0 c P a b S a Bài toán 12 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phô thuéc tham sè m) có nghiệm x = x1 Tìm nghiệm lại x2 * Tìm tham số : Thay x = x1 vµo pt (*) ta cã: ax12 + bx1 + c = tìm đợc m * Tìm nghiệm : - Thay giá trị m x1 vµo hƯ thøc cđa Vi - Ðt - gpt ta tìm đợc x2 Bài toán 13 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phơ thc tham sè m) cã nghiƯm x1, x2 thoả mÃn biểu thức Điều kiện : ( ' ) (*) Theo định lÝ Vi - et ta cã: b x1 x2 a S x x c P a T×m x1; x2 theo m Thay x1, x2 vµo biĨu thøc thø ta tìm đợc m Chọn giá trị m thoả mÃn (*) 115 tổng hợp lý thuyết cách giải dạng tập - toán Bài toán 14 : Tìm hai số u v biết tổng u + v = S vµ tÝch u.v = P cđa chóng Ta cã u vµ v lµ nghiƯm cđa phơng trình: x2 - Sx + P = (*) Giải phơng trình (*) ta tìm đợc hai số u v cần tìm Bài toán 15 : Tìm biểu thức liên hệ nghiệm pt không phụ thuộc vào tham số b1 : Tìm đk để pt cã nghiƯm : ( ’) b2 : Sư dơng hƯ thøc Vi – Ðt b3 : Khư tham số ta đợc biểu thức cần tìm Bài toán 16 : Tìm tham số để phơng trình bậc hai tơng đơng với TH : pt cïng v« nghiƯm TH : pt cïng cã nghiƯm th× tỉng , tÝch cđa 2pt b»ng 1 0 0 S1 S2 P P Bài toán 17 : Chøng minh : cã Ýt nhÊt ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiƯm b1 : TÝnh vµ + b2 : Chøng minh : vµ Khi ®ã biĨu thøc ( ) phải có biĨu thøc pt trªn cã Ýt nhÊt pt cã nghiÖm b3 : KL Bài toán 18 : Tìm đk để phơng trình : ax2 + bx + c = (1) vµ a’x2 + b’x + c’ = (2) cã Ýt nhÊt nghiÖm chung ax bx c b1 : Gäi x = x0 nghiệm chung pt Khi ta cã hÖ pt a’x b’x c’ b2 : T×m x0 theo m b3 : Thay biĨu thøc x0 vµo pt ta tìm đợc tham số b 4: Thử lại KL Nội dung 6: giải phơng trình Bài toán 1: Giải phơng trình trùng phơng ax4 + bx2 + c = Đặt t = x2 (t0) ta có phơng trình : at2 + bt + c = Giải phơng trình bậc hai ẩn t sau thay vào tìm ẩn x Bảng tóm tắt at + bt + c = ax4 + bx2 + c = vô nghiệm vô nghiệm nghiệm âm vô nghiệm nghiệm kép âm vô nghiệm nghiệm dơng nghiệm đối nghiệm dơng nghiệm : cặp nghiệm đối Bài toán 2: Giải phơng trình dạng : A( x Đặt x x 1 ) B ( x ) C 0 x x = t x2 - tx + = Suy t2 = ( x x )2 = x 1 x t 2 x x Thay vào phơng trình ta cã: A(t2 - 2) + Bt + C = At2 + Bt + C - 2A = 116 tổng hợp lý thuyết cách giải dạng tập - toán Giải phơng trình ẩn t sau vào x = t giải tìm x x Bài toán 3: Giải phơng trình dạng : A( x Đặt x x 1 ) B ( x ) C 0 x x = t x2 - tx - = Suy t2 = ( x x )2 = x 1 x t 2 x x Thay vào phơng trình ta cã: A(t2 + 2) + Bt + C = At2 + Bt + C + 2A = Giải phơng trình ẩn t sau vào x = t giải tìm x x Bài toán 4: Giải phơng trình bậc cao Dùng phép biến đổi đa phơng trình bậc cao dạng: + Phơng trình tích + Phơng trình bậc hai Nội dung 7: giải hệ phơng trình Bài toán 1: Giải hệ phơng trình * phơng pháp giải: + Phơng pháp đồ thị + Phơng pháp cộng + Phơng pháp + Phơng pháp đặt ẩn phụ Bài toán 2: Tìm tham số để hệ pt có nghiệm cho trớc * phơng pháp giải: B1 : Thay nghiệm vào pt hệ B : Giải hpt ta tìm đợc tham số B : KL Bài toán 3: Tìm tham số để hệ pt có nghiệm thỏa mÃn : x = kyy * phơng pháp giải: Cách : B1 : T×m x, y theo tham sè B : Thay x, y vừa tìm đợc vào biểu thức (*) B : Giải pt ta tìm đợc tham số KL Cách : B1 : Thay x = kyy vµo pt cđa hƯ B : Giải hpt ta tìm đợc tham số KL * Chó ý : Víi C¸ch ta cã thể giải đợc tập sau : Tìm tham số để hệ pt có nghiệm thỏa mÃn : mx + ny = ky T×m tham sè ®Ĩ hƯ pt cã nghiƯm tháa m·n : mx2 + ny2 = ky ax by c a ' x b ' y c ' x x xm xm TQ : Tìm tham số để hệ pt cã nghiÖm tháa m·n : a.xm + byn = c ( m, n Z )y Một số toán ta làm theo cách dễ dàng cách : xm C Chẳng hạn : Tìm tham số ®Ó hpt 2 x y 5 x y 1 3m cã nghiÖm tháa m·n : y = 3x x Bài toán 4: Tìm tham số để hệ phơng trình tơng đơng với * phơng pháp giải: B1 : Giải hệ pt B : Thay nghiƯm cđa hpt võa t×m đợc vào hpt B : Giải hpt ta tìm đợc tham số KL 117 tổng hợp lý thuyết cách giải dạng tập - toán Nội dung 8: giải phơng trình vô tỉ Bài toán 1: Giải phơng trình dạng f ( x) g ( x) (1) Ta cã Gi¶i (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp nghiệm (1) Bài toán 2: Giải phơng trình d¹ng f ( x) h( x) g ( x) Điều kiện có nghĩa phơng trình : Với điều kiện thoả mÃn ta bình phơng hai vế để giải tìm x Nội dung 9: giải phơng trình chứa giá trị tuyệt đối Bài toán: Giải phơng trình dạng f ( x) g ( x) Phơng pháp 1: f ( x) g ( x) Phơng pháp 2: Xét TH * NÕu f(x) f(x) = g(x) * NÕu f(x) < - f(x) = g(x) Phơng pháp 3:Với g(x) ta có f(x) = g(x) f ( x) g ( x) g ( x ) 0 f ( x) g ( x) ( 2) (3) f ( x) 0 0 h ( x ) 0 g ( x) g ( x ) 0 g ( x) f ( x) Nội dung 10: giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Phơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn - Biến đổi hàm số y = f(x) cho: y = k - A 2n , n Z y k Do ®ã ymax = k A = - Biến đổi hàm số y = f(x) cho: y = k + A2n , nZ y k Do ®ã ymin = k A = Phơng pháp 2: Dựa vào bất đẳng thức : Cô si - Bunhiacopxki BĐT cô si: * Cho số không âm x, y ta có : x + y * Cho sè kh«ng ©m x, y, z ta cã : x + y xyz xy x y x.y + z 3 x.y.z hay x.y.z hay DÊu “ = xảy x = y = z BĐT Bunhiacopxki * Cho cặp sè (a; b) vµ (x; y) ta cã : (a.x + b.y)2 (a2 + b2)(x2 + y2) * Cho cặp số (a; b; c) (x; y; z) ta cã : (a.x + b.y + cz)2 (a2 + b2 + c2)(x2 + y2+ z2 ) DÊu “ = xảy x y z f a b 118 c tæng hợp lý thuyết cách giải dạng tập - toán Phần II: hình học A Kiến thức cần nhớ Hệ thức lợng tam giác vuông b2 = a.b' ; c2 = a.c' h2 = b'.c' a.h = b.c a2 = b2 + c2 A b c B h c' 1 2 2 h b c b' C H a TØ số lợng giác góc nhọn < sin < tan < coss < sin cos tan sin2 + cos2 = tan.cot = cot cos cos sin cot sin HÖ thức cạnh góc tam giác vuông b = a.sinB = a.cosC c = a.sinC = a.cosB b = c.tanB = c.cotC c = b.tanC = b.cot B Đờng tròn - Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đợc đờng tròn - Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đờng tròn có tâm đối xứng; có vô số trục đối xứng - Quan hệ vuông góc đờng kính dây : Trong đờng tròn + Đờng kính vuông góc với dây qua trung điểm dây + Đờng kính qua trung điểm dây không qua tâm vuông góc với dây - Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: Trong đờng tròn: + Hai dây cách tâm + Hai dây cách tâm + Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn - Liên hệ cung dây: Trong đờng tròn hay hai đờng tròn nhau: + Hai cung căng hai dây + Hai dây căng hai cung + Cung lớn căng dây lớn + Dây lớn căng cung lớn - Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn: Số điểm chung Vị trí tơng đối - Đờng thẳng đờng tròn cắt Hệ thức liên hệ d R dR - Vị trí tơng đối hai đờng tròn: Số điểm chung Vị trí tơng đối - Hai đờng tròn cắt Hệ thức liên hệ d R R - r < OO' < R + r - Hai đờng tròn tiÕp xóc + TiÕp xóc ngoµi OO' = R + r + TiÕp xóc OO' = R - r - Hai đờng tròn không giao + (O) vµ (O') ë ngoµi OO' > R + r + (O) ®ùng (O') OO' < R - r + (O) (O') đồng tâm OO' = Tiếp tuyến đờng tròn - Tính chất tiếp tuyến : vuông góc với bán kính qua tiÕp ®iĨm - DÊu hiƯu nhËn biÕt tiÕp tun: + Đờng thẳng đờng tròn có điểm chung + Khoảng cách từ tâm đờng tròn đến đờng thẳng bán kính + Đờng thẳng qua điểm đờng tròn vuông góc với bán kính ®i qua ®iĨm ®ã * TÝnh chÊt cđa tiÕp tuyến cắt A MA, MB hai tiếp tuyến cắt thì: + MA = MB + MO phân giác góc AMB O + OM phân gi¸c cđa gãc AOB M * TiÕp tun chung cđa đờng tròn: đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn đó: Tiếp tuyến chung Tiếp tuyến chung B d d d' O O' O O' d' Góc với đờng tròn Loại góc Hình vẽ A B Góc tâm Công thức tính số ®o AOB sd AB O 120 tỉng hỵp lý thut cách giải dạng tập - toán A B Gãc néi tiÕp AMB sd AB O M x Gãc t¹o bëi tia tiếp tuyến dây cung xBA sd AB A B O B A Gãc cã đỉnh bên đờng tròn AMB ( sd AB sdCD ) M O C D M AMB ( sd AB sdCD ) D C Gãc cã ®Ønh ë bên đờng tròn O A B Chú ý: Trong đờng tròn - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Góc nội tiếp nhỏ 900 cã sè ®o b»ng nưa sè ®o cđa gãc ë tâm chắn cung - Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn góc vuông ngợc lại góc vuông nội tiếp chắn nửa đờng tròn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn - Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d Rn - Độ dài cung tròn n0 b¸n kÝnh R : l 180 DiƯn tÝch hình tròn - Diện tích hình quạt tròn - Diện tích hình tròn: S = R2 - Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n0: S R n lR 360 Các loại đờng tròn Đờng tròn ngoại tiếp tam giác Đờng tròn nội tiếp tam giác Đờng tròn bàng tiếp tam giác 121 tổng hợp lý thuyết cách giải dạng tËp - to¸n A A A O B C O F B B E J C C Tâm đờng tròn giao ba đờng phân giác Tâm đờng tròn giỏo tam giác đờng trung trực Tâm đờng tròn bàng tiếp góc A giao điểm hai đờng phân giác góc B C giao điểm đờng phân giác góc A đờng phân giác B (hoặc C) 10 Mt s hình không gian * Hình trụ : Sxq = 2rh ; Stp = 2rh + r2;V = Sh = r2h * H×nh nãn: Sxq = 2rl; Stp = 2rl + r2; V = r 2h 3 * Hình cầu Smặt cầu = 4R2 = d; V = R3 * H×nh nãn cơt: Sxq = (r1 + r2)l; V = h(r12 r22 r1 r2 ) 11 Tø gi¸c néi tiÕp: DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tø giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có đỉnh kề nhìn cạnh chứa đỉnh lại dới góc B dạng tập D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng - Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba - Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng kh¸c - Hai gãc b»ng tỉng hc hiƯu cđa hai gãc theo thứ tự đôi - Hai góc cïng phơ (hc cïng bï) víi gãc thø ba - Hai góc nhọn tù có cạnh tơng ứng song song vuông góc - Hai góc so le trong, so le đồng vị - Hai góc vị trí đối đỉnh - Hai góc cân - Hai góc tơng ứng hai tam giác đồng dạng - Hai góc nội tiếp chắn cung chắn hai cung Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng - Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thứ ba - Hai cạnh tam giác cân tam giác - Hai cạnh tơng ứng hai tam giác - Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông) - Hai cạnh bên hình thang cân - Hai dây căng hai cung đờng tròn đờng Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng song song - Chứng minh hai đờng thẳng song song với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh chúng tạo với cát tuyến hai góc nhau: + ë vÞ trÝ so le trong; ë vÞ trÝ so le + vị trí đồng vị - Là hai dây chắn chúng hai cung đờng tròn - Chúng hai cạnh đối hình bình hành 122 tổng hợp lý thuyết cách giải dạng tập - toán Dạng 4: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc - Chúng song song với hai đờng thẳng vuông góc khác - Chứng minh chúng chân đờng cao tam giác - Đờng kính qua trung điểm dây cung căng dây vuông góc với dây - Chúng phân giác hai góc kề bù Dạng 5: Chứng minh hai tam giác * Hai tam giác thờng: - Trờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Trờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c) * Hai tam giác vuông: - Có cạnh huyền góc nhọn - Có cạnh huyền cạnh góc vuông - Cạnh góc vuông đôi Dạng 6: Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy - Chứng minh chúng ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác (hoặc phân giác phân giác hai góc kia) - Vận dụng định lí đảo định lí Talet Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng * Hai tam giác thờng: - Có hai góc đôi mét - Cã mét gãc b»ng xen gi÷a hai cạnh tơng ứng tỷ lệ - Có ba cạnh tơng ứng tỷ lệ * Hai tam giác vuông: - Có mét gãc nhän b»ng - Cã hai c¹nh gãc vuông tơng ứng tỷ lệ Dạng 8: Chứng minh đẳng thức hình học Giả sử phải chứng minh đẳng thức: MA.MB = MC.MD (*) - Chøng minh: MAC MDB MAD MCB - Nếu điểm M, A, B, C, D nằm đờng thẳng phải chứng minh tích tích thứ ba: MAE ~ MFB MA.MB ME.MF MA.MB MC.MD MCE ~ MFD MC.MD ME.MF Tức ta chứng minh: Trờng hợp ®Ỉc biƯt: MT2 = MA.MB ta chøng minh : MTA MBT dùng hệ thức lợng tam giác vuông Dạng 9: Chứng minh tứ giác nội tiÕp * DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp : - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc đỉnh góc bên đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm, điểm tâm đờng tròn qua điểm - Tứ giác có đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại dới góc = - Dïng hÖ thøc : MA.MB = MC.MD đồng dạng góc = nhan nội tiếp Dạng 10: Chứng minh MT tiếp tuyến đờng tròn (O; R) - Chứng minh : OT MT t¹i T (O; R) - Chøng minh khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng MT bán kính - Dùng góc nội tiếp Dạng 11: Các toán tính toán độ dài cạnh, độ lớn góc - Dựa vào hệ thức lợng tam giác vuông 123 tổng hợp lý thuyết cách giải dạng tập - toán - Dựa vào tỷ số lợng giác - Dựa vào hệ thức cạnh góc tam giác vuông - Dựa vào công thức tính độ dài, diện tích, thể tích 124 ... - Hai dây căng hai cung đờng tròn đờng Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng song song - Chứng minh hai đờng thẳng song song với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng... (hc cïng bï) víi gãc thø ba - Hai gãc cïng nhän hc cïng tï cã cạnh tơng ứng song song vuông góc - Hai góc so le trong, so le đồng vị - Hai góc vị trí đối đỉnh - Hai góc cân - Hai góc tơng ứng... kính dây : Trong đờng tròn + Đờng kính vuông góc với dây qua trung điểm dây + Đờng kính qua trung điểm dây không qua tâm vuông góc với dây - Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: Trong đờng tròn:
