Trng THPT Nam Tin Hi THI HC Kè II NM: 2009-2010 T Toỏn Mụn: Toỏn- Khi 11 I-PT LG Thi Gian: 90 Phỳt Cõu 1: Gii cỏc phng trỡnh sau õy: a) 2Cos2x 3 Cosx + 1 = 0 b) Sin2x = Tanx c) Sin 4 x + Sin 2 x = 2. d) 16Cos 4 x 2Cos 2 x = 5 e) 5 7Sinx = 2Cos 2 x f) Cos2x = Sin 2 x Cõu 2: Gii cỏc phng trỡnh: a) 13 =+ SinxCosx b) Sinx + Cosx = 1 c) 2 321 + =+ CosxSinx d) 05 2 2 2 3 =+ x Cos x Sin e) 5Cos2x 12Sin2x = 13 Cõu 3: Gii cỏc phng trỡnh: a) 3Cos 2 x - Sin 2 x - Sin2x = 0 b) Cos 2 x + 3Sin 2 x + 3 Sin2x = 1 c) 2Sin 3 x = Cosx d) 2Sin 2 x 5SinxCosx + 3Cos 2 x = 0 Cõu 4 1, ( ) 3 tan tan 2sin 6cos 0x x x x + + = 2, 2 tan 2 cot 8cosx x x+ = 3, ( ) 2 2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3 cosx x x x x+ + = + 4, 2 2 2 2 1 1 1 1 2 cos sin tan cotx x x x + + = 5, 4 2 4cos cos 2 2cos cos8x x x x= + 6, ( ) ( ) cos 1 tan sin cos sinx x x x x + = 7, 2 2 2sin 2sin tan 4 x x x = ữ 8, 2 tan cot 7 cot 2x x x+ + = 9, sin 3 sin 2 sin 4 4 x x x = + ữ ữ Câu 4. Giải phơng trình: a. 2sin 3 x - cos2x - sinx = 0. b. 2sin 2 x - sinx.cosx - 10cos 2 x = 0. Cõu 5 Gii phng trỡnh ' 0y = trong trng hp 3sin 2 4 os2 10y x c x x= + + II - New ton Câu1 : Cho biểu thức (1-3x) n a) Viết khai triển của biểu thức trên với n = 6 b) Biết tổng tất cả các hệ số của lũy thừa của x trong khai triển ( ) n x31 là ( 2048) . Tìm n Cõu 2 : Gii h: 2 3 3 2 22 66 x y y x A C A C + = + = Câu 3 : Giỏ bên phải có 4 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh .Giỏ bên trái có 5 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh. Lấy 3 viên bi trong đó 2 viên từ giỏ bên phải, 1 viên từ giỏ trái một cách ngẫu nhiên. a.Tính b.Tính xác suất sao cho : * Ba viên bi lấy ra cùng màu * Ba viên bi lấy ra không cùng màu -III-Gii hn Bi 1 : Tỡm cỏc gii hn sau: a) 2 1 2 1 lim 2 + x x x x ( 1 im ) b) 2 2 2 lim 2 + + x x x x ( 1 im ) Bi 2: Tớnh cỏc gii hn sau: a) ( ) 3 lim 4 1 →+∞ + + x x x b) 1 2 9 lim 1 − → − − x x x c) 2 2 5 3 lim 2 → + − − x x x Bài 3: Tính các giới hạn sau: a) ( ) 4 lim 7 3 x x x →−∞ + − b) 1 5 3 lim 1 x x x + → − − c) 2 5 9 4 lim 5 x x x → − − − Bài 4 : Tìm các giới hạn sau : a) 2 2 1 x 2 2x 7x 3 lim 2x x → − + − b) x 1 4x 5 3 lim x 1 + → + − − c) 2 x x 4x 5 lim 2x 3 →−∞ + + + d) 2 x lim 2 4x x 3x →+∞   − − +   Câu5 Tính các giới hạn sau (3đ) a) x 0 lim → 2 2 4 4 3 x x x + + + b)       − n n 5 43 lim c) 1 1 2 1 + − −→ x x Lim x d) x xxx x 11 lim 2 0 ++−+ → Câu 6 Tìm các giói hạn sau : a) 3 2 x 2 x 6x 4 lim x 4 → − + − b) x 0 2 1 1 lim 3x x → + − c) 2 2 x 2x 3x 3 lim 4 3x →+∞ − + − d) 2 x lim x 2x 2 x →−∞   − + +   Bài 6’: Tính các giới hạn sau 3 4 5 3 3 2 x 0 x 1 x 1 x 0 2 1+ x - 8 - x 2x -1+ x - 2 2x+2 - 7x+1 1- 2x - 1+3x 1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ; x x -1 x -1 x → → → → ( ) 9 → → → → → 2 7 33 2 3 3 2 x 1 x 0 x 0 2 3 2 4 3 x 7 x 1 x +2009 1- 2x - 2009 2 5 - x - x +7 1+2x 1+3x 1+4x -1 5)lim ; 6)lim ; 7)lim ; x -1 x x x+2 - x+20 2x -1+ x - 3x+1 8)lim ; ; )lim . x+9 - 2 x - 2 + x - x+1 → − − + − 3 1 2 2 1. 5 3 11) lim 1 x x x x → + − + − − 3 2 2 3 2 2 12) lim ; 2 x x x x x → + + + − − 1 4 5 3 1 5 13) lim 1 x x x x Câu 7 1) Hàm số ( ) 2 1 khi x 1 1 2x khi x = 1 x f x x  − ≠  = −    xét tính liên tục của f(x) tại x = 1 2) Cho hàm số ( ) 2 4 2 2 5 2 x khi x f x x khi x  − ≠  = −   =  Xét tính liên tục của hàm số tại 0 2x = 3) Cho hàm số 2 3 1 2 ( ) 2 1 2  − + ≠  = = −   − =  x x khi x y f x x khi x . Xét tính liên tục của hàm số tại x 0 = 2. 4) Xét tính liên tục của hàm số sau trên toàn tập xác định của nó: ( ) 2 3 2 2 2 3 2 x x nÕu x f x x x nÕu x  − + >  = −   − ≤  5): Xét tính liên tục của hàm số sau trên toàn tập xác định của nó: ( ) 2 6 3 3 3 3 x x nÕu x f x x x nÕu x  − − >  = −   + ≤  6) : Xác định các giá trị của m để hàm số có giới hạn khi x 2. 2 2 x 2x 8 khi x 2 f (x) x 2 m m khi x 2 + −  ≠  = −   − =  7) Cho hàm số : 2 2 x x 6 khi x 2 x 5x 6 f (x) 2x 1 m khi x 2 x 3 − −  >−  + +  =  +  + ≤− −   Xác định m để hàm số có giới hạn khi x 2. Bài 4: Chứng minh rằng phương trình: 3 8 5 0x x− − = có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng ( ) 1;4− Bài 4: Chứng minh rằng phương trình: − − = 3 2 5 1 0x x có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng ( ) −1;2 Bài 4: Chứng minh rằng phương trình: − − = 3 2 5 1 0x x có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng ( ) 2;1− Bài 4: Chứng minh rằng phương trình: − − = 3 2 10 7 0x x có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng ( ) 2;0− Bài 4: Chứng minh rằng phương trình: − − = 3 2 5 1 0x x có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng ( ) −1;2 Câu 4:Chứng minh rằng phương trình : 3 2x 6x 1 0− + = có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-2;2). Câu 4:Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm : ( ) ( ) 2 3 m 1 x m 2 x 2 0 + − − + = HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠI SỐ K11 HỌC KÌ II BAN CƠ BẢN I. CẤP SỐ CỘNG 1. Định nghĩa: (u n ) là cấp số cộng ⇔ u n+1 = u n + d, ∀ n ∈ N* (d: công sai) 2. Số hạng tổng quát: 1 ( 1) n u u n d= + − với n ≥ 2 3. Tính chất các số hạng: 1 1 2 k k k u u u − + + = với k ≥ 2 4. Tổng n số hạng đầu tiên: 1 1 2 ( ) . 2 n n n n u u S u u u + = + + + = = 1 2 ( 1) 2 n u n d   + −   VD1 : Cho dãy số (u n ) với u n =9-5n. a. Chứng minh (u n )là cấp số cộng. b. Tính u 100 và S 100 . Bài giải. a. u n+1 -u n =-5 (không đổi). vậy dãy số là cấp số cộng với u 1 =9-5.1=4 và công sai d=-5. b. ( ) 100 1 1 100 100 u =u +99d=-491. u +u .100 S = =-24350 2 BÀI TẬP TỰ GIẢI Baøi 1: Trong các dãy số (u n ) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và công sai của nó: a. u n = 3n – 7 b. 3 2 5 n n u + = c. 2 n u n= d. 3 n n u = e. 7 3 2 n n u − = f. U 1 = 1 và U n+1 = 3 + U n với 1n∀ ≥ g. U 1 = 3 và U n+1 = U n –n với 1n∀ ≥ HD: Áp dụng định nghĩa hoặc công thức tính chất các số hạng của CSC Baøi 2: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: a.    = =+ 14s 0u2u 4 51 b.    = = 19u 10u 7 4 c. 1 5 3 1 6 10 17 u u u u u  + − =  + =  d. 2 5 3 4 6 10 26 u u u u u  + − =  + =  e. 3 14 15 18 u u  = −  =  f. 7 3 2 7 8 . 75 u u u u  − =  =  g. 7 15 2 2 4 12 60 1170 u u u u  + =   + =   h. 1 3 5 1 2 3 12 8 u u u u u u  + + = −  =  HD: Áp dụng công thức số hạng tổng quát để đưa hệ về dạng hai pt hai ẩn Bài 3: Cho cấp số cộng thỏa đẳng thức sau. Tìm x a . 2 +7 +12 + +x = 245 HD : sử dụng công thức tính tổng. Bíêt 245s,xu,5d,2u nn1 ==== Ta có :    =−+ =+ )2(245.2)5)1n(4(n )1(245.2)x2(n pt (2)=> n và pt (1)=> x b. (2x +1) +(2x+6) + (2x+11) +… +(2x+96) =1010 c. 1+6+11+16+… +x = 970 d. (x+1) +(x+4) +….+(x+28) =155 TOÁN ĐỐ 1. Cho một CSC có 5 số hạng . biết rằng số hạng thứ 2 bằng 3 và số hạng thư 4 bằng 7 . Hãy tìm các số hạng còn lại của CSC đó . 2. Một CSC có 7số hạng mà tổng của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 bằng 28 , tổng của số hạng thứ 5 và số hạng cuối bằng 140 .hãy tìm CSC đó . 3. Cho một một CSC có 7số hạng có 7số hạng với công sai dương và số hạng thứ 4 bằng 11 .hãy tìm các số hạng còn lại của CSC đó ,biết rằng hiệu của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 bằng 6 . 4. Viết 6 số xen giữa 2 số 3 và 24 để được một CSC có 8 số hạng .Tính tổng các số hạng của csc 5. Viết 5 số hạng xen giữa 2 số 25 và 1 để được một CSC có 7số hạng .số hạng thứ 50 của cấp số này là bao nhiêu ? 6. Cho một CSC có 5 số hạng . biết rằng số hạng thứ 2 bằng 3 và số hạng thư 4 bằng 7 .hãy tìm các số hạng còn lại của CSC đó . 7. Một CSC có 7số hạng mà tổng của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 bằng 28 , tổng của số hạng thứ 5 và số hạng cuối bằng 140 .hãy tìm CSC đó . 8. Tìm 4 số biết: 4 số đó lập thành 1 csc có tổng bằng 5 và tổng bình phương bằng 245. 9. Cho 4 số nguyên lập thành một cấp số cộng có tổng bằng 20, tích bằng 384. Tìm 4 số đó. Bài 5 : (Tính tổng) a. Tổng tất cả các số hạng của một CSC có số hạng đầu bằng 102 ,số hạng thứ hai bằng 105 và số hạng cuối bằng 999 . b. Tổng tất cả các số hạng của một CSC có số hạng đầu bằng 1 3 ,số hạng thứ hai bằng 1 3 − và số hạng cuối bằng -2007. c. CSC (U n ) có U 2 +U 5 =42 và U 4 +U 9 =66 .Hãy tính tổng 346 số hạng đầu tiên của (U n ) d. CSC (U n ) tăng có 3 3 1 15 302094U U+ = và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585 .hãy tìm số hạng đầu và công sai của CSC đó . II. CẤP SỐ NHÂN 1. Định nghĩa : u n+1 = u n . q , n ∗ ∀ ∈Ν . 2. Công thức số hạng tổng quát : U n = u 1 . q n-1 , 2n∀ ≥ . 3. Tính chất của csn 2 k k -1 k +1 u = u .u , 2k∀ ≥ . 4. Công thức tính tổng : S n = u 1 + u 2 + … +u n . Khi đó : s n = 1 (1 ) 1 n u q q − − Vd : Cho Cấp số nhân 2,6,18,54,162, . Tính U 1 ,q,U 10 ,S 10 ? Giải: Ta có: 1 9 9 10 1 10 10 10 1 u 2; q 3 u u q 2.3 1 q S u . 3 1 1 q = = => = = − = = − − Vd : Xác định số hạng đầu tiên và công bội của một cấp số nhân trong mỗi trường hợp sau: a, U 4 - U 2 =54 và U 5 - U 3 =108. b, U 1 + U 2 + U 3 =35 và U 4 + U 5 + U 6 =280. Giải: a. Ta có : { 3 4 2 1 1 4 2 5 3 1 1 1 u u 54 u .q u .q 54 u u 108 u .q u .q 108 u 9 q 2  − = − =  ⇒   − = − =   = ⇔ = Dạng 2: Chứng minh một dãy số là một cấp số nhân Để chứng minh (U n ) là một cấp số nhân ta có thể dùng các cách chứng minh sau: - Định nghĩa - Công thức số hạng tổng quát Vd : Cho dãy số (U n ) được xác định bởi U 1 =2, U n+1 =3+4U n . CMR: Dãy số (V n ) xác định bởi V n =U n +1 là cấp số nhân. Giải: Từ đề ta có: n n n 1 n 1 n n 1 n v u 1 v u 1 4(u 1) v ta có 4 v + + + = + => = + = + = Vậy (v n ) là CSN Dạng 3: Tìm điều kiện để 3 số lập thành một cấp số nhân Để a, b, c lập thành một cấp số nhân điều kiện là: ac=b 2 Vd: Tìm x để 3 số x - 2, x - 4, x + 2 lập thành một cấp số nhân. Giải: (x – 4) 2 = (x – 2)(x + 2)<=>8x=20 <=>x= 2 5 TOÁN ĐỐ 1. Ba số dương lập cấp số cộng có tổng bằng 21. Thêm lần lượt 2, 3, 9 vào 3 số đó ta được cấp số nhân. Tìm 3 số của cấp số cộng. 2. Cho 2 số 2 và 54. Điền vào giữa 2 số ấy 2 số sao cho 4 số mới lập cấp số nhân. 3. Cho 2 số 3 và 48. Xen giữa 3 số để được cấp số nhân. 4. Tìm cấp số nhân có tổng 4 số hạng đầu bằng 15, tổng bình phương bằng 85. 5. Cho cấp số cộng và cấp số nhân cùng có 3 số hạng. Số hạng đầu của chúng bằng 3, các số hạng thứ 3 giống nhau. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng nhiều hơn số hạng thứ 2 của cấp số nhân là 3. Tìm 2 cấp số ấy. 6. Ba số dương có tổng là 114 có thể coi là 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số nhân hoặc là u 1 , u 4 , u 25 của 1 cấp số cộng. Tìm 3 số ấy. 7. Cho 1 dãy số gồm 4 số nguyên. Ba số hạng đầu lập cấp số cộng, 3 số hạng cuối lập cấp số nhân. Tổng số hạng đầu và số hạng cuối bằng 37, tổng 2 số hạng giữa bằng 36. Tìm 4 số ấy. Dạng 4: Tính tổng Tính tổng: { n n 50 a. S 1 4 16 64 65536 b. S 9 99 999 . 99 .9 = + + + + + = + + + + Giải: a. 65536 .1641S n ++++= là tổng của CSN có 9n65536u,4q,1u n1 =⇒=== vậy 3 262114 q1 q1 uS n 19 = − − = Bài 4. Cho dãy số (u n ) có u n =2 n-1 . a. Chứng minh (u n ) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu u 1 và công bội q của cấp số nhân đó. b. Tính S 10 . Bài giải: a. Ta có 2 u u n 1n = + (không đổi). Vậy (u n ) là cấp số nhân. Số hạng đầu u 1 =2 0 =1; công bội q=2 b. q1 q1 uS 10 110 − − = . Bài 5. Cho cấp số nhân (u n ) thỏa: 1 5 2 6 u +u = 51 u +u = 102    . a. Tìm số hạng đầu u 1 và công bội q của cấp số nhân đó. b. Tính S 10 . Bài giải. a. ( ) ( ) 4 1 1 5 4 1 2 6 1 u 1+ q = 52 u +u = 51 q= 2 u = 3 u +u = 102 u q 1+q = 102     ⇔ ⇔        b. ( ) ( ) 10 1 10 10 u 1- q S = = 3 2 - 1 1- q . Bài 6. Cho cấp số nhân (u n ) thỏa: 5 1 4 2 u - u = 15 u - u = 6    . a. Tìm số hạng đầu u 1 và công bội q của cấp số nhân đó. b. Tính S 10 . Bài giải. a. ( ) ( )     = = ⇒= + ⇒    =− =− ⇔    =− =− 2 1 q 2q 15 6 1q q 61qqu 151qu 6uu 15uu 2 2 1 4 1 24 15 + 1 12 15 1q 15 u2q 44 1 = − = − =⇒= . + 16 1 2 1 15 1q 15 u 2 1 q 44 1 −= −       = − =⇒= . b. + q=2 và u 1 =1 thì ( ) 12 q1 q1u S 10 10 1 10 −= − − = . + 2 1 q = thì và u 1 =-16 ( ) ( ) 12 2 16 q1 q1u S 10 9 10 1 10 −−= − − = . Bài 7. Cho cấp số nhân (u n ) thỏa:    =+− =+− 20uuu 10uuu 653 542 a. Tìm số hạng đầu u 1 và công bội q của cấp số nhân đó. b. Tính S 10 . Bài giải. a.    = = ⇒    =+ =+− ⇔    =+− =+− 1u 2q 20quququ 10quququ 20uuu 10uuu 1 5 1 4 1 2 1 4 1 3 11 653 542 b. ( ) ( ) 12 q1 q1u S 10 10 1 10 −= − − = Câu III: Tìm cấp số nhân ( n u ) .Biết 1 1, 5= =u q .Tính 11 u . ( 1 điểm ) 1) Tìm các số hạng của một cấp số nhân gồm năm số hạng, biết 3 3u = và 5 27u = IV- Đạo hàm tiếp tuyến Câu 1 (2 điểm) 1) Tính đạo hàm của hàm số a) 5 3 4 2 3y x x x= + − + b) 1 2 3 x y x − = + 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 3 y x= . Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 2) Cho 3 2 3 2y x x= − + . Tìm x để ' 0y > Câu 2: (3đ) a) Cho hàm số y = x 3 + 2x .Tính y’(1) b) y = sin 3 2x. Tìm y’ c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x 2 - x tại điểm (2; 2) Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số y = 2 2 sin( os ). os(sin )c x c x x ( 1 điểm ) Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số y = 2 .tanx x ( 1 điểm ) Câu 5: Cho hàm số 1 2 2 − = + x y x a) Tính f ’ (0). ( 1 điểm ) b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 2 2 − = + x y x biết hoành độ tiếp điểm x 0 = 0. ( 1 điểm ) V Hình học Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a. a) CMR (SAC) ⊥ (SBD). ( 0.5 điểm ) b) CMR ∆ SCD vuông . ( 0.5 điểm ) Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với ( ABC ). Đáy ABC là tam giác vuông tại C. Biết AC = 2a , SA = a. a) Tính góc giữa ( SBC ) và ( ABC ). ( 1 điểm ) b) Gọi O là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ O đến ( SBC ) theo a. ( 1 điểm ) Bài 3 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với ( ABC ). Đáy ABC là tam giác vuông tại C. Biết AC = 2a , SA = a. a) Tính góc giữa SC và ( ABC ). ( 1 điểm ) b) Tính khoảng cách từ A đến ( SBC ) theo a. ( 1 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, có cạnh ( ) SA ABCD⊥ . Chứng minh rằng: 1) Mặt phẳng ( ) ( ) SAB ABCD⊥ 2) ( ) CD SAD⊥ BÀi 4 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC a) Chứng minh ( ) BC SAB⊥ b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH SC⊥ Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, ( ) SA ABCD⊥ và SA a= a) Tính góc giữa đường thẳng SB và mp ( ) ABCD b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC BÀi 6 Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a .SA ⊥ (ABCD), SA=a 3 a) Chứng minh rằng các mặt bên là các tam giác vuông b) Chứng minh BD ⊥ SC c) Xác định và tính góc giữa mặt (SCD) và mặt đáy Bài 7 Cho hình chóp S.ABC có SA = a và SA ⊥ (ABC).Đáy là tam giác ABC có AB = AC; BC = 2a , · 0 BAC 60= , M là trung điểm của BC.Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên AC , SC. a) Chứng minh BC ⊥ (SAM). b) Kẻ AI ⊥ SM.Chứng minh AI ⊥ (SBC).Tính AI. c) Kéo dài EF cắt đường thẳng SA tại K.Chứng minh SC ⊥ KB. d) Tính diện tích tam giác CEF theo a. Bài 8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.SA ⊥ (ABCD) và SA = a. a) Chứng minh tam giác SBC vuông và DB ⊥ (SAC). b) Tính SD,SC. c) Gọi I là trung điểm của SD.Chứng minh AI ⊥ (SCD). d) Tính diện tích tam giác IAC. . Trng THPT Nam Tin Hi THI HC Kè II NM: 2009-2010 T Toỏn Mụn: Toỏn- Khi 11 I-PT LG Thi Gian: 90 Phỳt Cõu 1: Gii cỏc phng trỡnh sau. )1(245.2)x2(n pt (2)=> n và pt (1)=> x b. (2x +1) +(2x+6) + (2x +11) +… +(2x+96) =1010 c. 1+6 +11+ 16+… +x = 970 d. (x+1) +(x+4) +….+(x+28) =155 TOÁN ĐỐ 1.