HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT 1/ Hình chóp tam giác đều > Hình chóp tam giác đều: ∗ Đáy là tam giác đều ∗ Các mặt bên là những tam giác cân > Đặc biệt: Hình tứ diện đều có: ∗ Đáy là tam giác đều ∗ Các mặt bên là những tam giác đều > Cách vẽ: ∗ Vẽ đáy ABC ∗ Vẽ trung tuyến AI ∗ Dựng trọng tâm H ∗ Vẽ SH ⊥ (ABC) • Ta có: ∗ SH là chiều cao của hình chóp ∗ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: · SAH α = . ∗ Góc mặt bên và mặt đáy là: · SI H β = 2/ Hình chóp tứ giác đều > Hình chóp tứ giác đều: ∗ Đáy là hình vuông ∗ Các mặt bên là những tam giác cân > Cách vẽ: ∗ Vẽ đáy ABCD ∗ Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC & BD ∗ Vẽ SH ⊥ (ABCD) • Ta có: ∗ SH là chiều cao của hình chóp ∗ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: · SAH α = . 1 h β α I C A H S B β α I H D A B C S ∗ Góc mặt bên và mặt đáy là: · SI H β = 2/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy . CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG I/ Các cơng thức về khối đa diện Thể tích khối hộp chữ nhật: V= abc ( a,b,c là 3 kích thước) Thể tích khối lập phương : V = a 3 (a là cạnh khối lập phương) Thể tích khơi chóp: V = Bh 3 1 ( B diện tích đáy, h chiều cao) Thể tích khối lăng trụ: V = Bh ( B diện tích đáy,h chiều cao) Chú ý: - Nếu hai khối đa diện đồng dạng theo tỉ số k thì thể tích tương ứng tỉ lệ theo tỉ số k 3 II/ Bài tập: 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Tính thể tích của khối chóp, biết: 2 β α A C B S ϕ β α D A B C S ∗ SA ⊥ (ABC) ∗ Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: · SBA α = ∗ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: · SCA β = ∗ SA ⊥ (ABCD) ∗ Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: · SBA α = ∗ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: · SCA β = a) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên bằng 3cm. b) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên hợp với đáy 1 góc 60 0 . c) Cạnh đáy bằng 2cm, mặt bên hợp với đáy 1 góc 60 0 . 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Tính thể tích của khối chóp, biết: a) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên bằng 2cm. b) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên hợp với đáy 1 góc 60 0 . c) Cạnh đáy bằng 2cm, mặt bên hợp với đáy 1 góc 60 0 . 3. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh huyền bằng a 2 , SA vuông góc với (ABC) .Tính thể tích khối chóp, biết: a) SB hợp với đáy một góc 30 0 . b) (SBC) hợp với đáy một góc 45 0 . 4. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD) .Tính thể tích khối chóp, biết: a) SC hợp với đáy một góc 45 0 . b) (SBC) hợp với đáy một góc 30 0 . 5. Cho hình chóp S.ABC . Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2 MA . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp M.SBC và M.ABC . 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD và O là tâm của đáy ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh đáy CD. a) Chứng minh rằng CD vuông góc với mặt phẳng (SIO). b) Giả sử SO = h và mặt bên tạo với đáy của hình chóp một góc α . Tính theo h và α thể tích của hình chóp S.ABCD. 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a . a) Chứng minh BD vuông góc với đường thẳng SC. b) Tính thể tích khối chóp S.BCD theo a . 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a, cạnh bên là 3a . a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB 9. Tính thể tích của khối chóp S.ABC cho biết AB=BC=CA= 3 ; góc giữa các cạnh SA,SB,SC với mặt phẳng (ABC) bằng 0 60 . 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, biết cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA=a 2 3 a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh mp(SAI) vuông góc với mp(SBC). Tính thể tích của khối chóp SAIC theo a . c) Gọi M là trung điểm của SB Tính AM theo a 11. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết SA vuông góc với mặt đáy và SA=AC , AB=a và góc · 0 45ABC = . Tính thể tích khối chóp S.ABC 12. Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có canh bằng 2 6 .Điểm M,N là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng.Tính thể tích khối chóp SAMN 13. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . b) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a c) Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối chóp .Hãy kể tên 2 kchóp đó 14. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đáy AB=a và góc SAB=60 o . Tính thể tích hình chóp SABCD theo a 15. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hìnhvuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a. Tính đường cao và thể tích khối chóp theo a. 16. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a . a) Tính thể tích khối LP theo a b) Tính thể tích của khối chóp A. A’B’C’D’ theo a . 17. Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a . a) Tính thể tích khối lăng trụ theo a . b) Tính thể tích của khối chóp A’. ABC theo a . 18. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB . Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng 45 o . Tính thể tích của khối lăng trụ này . CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN I/Tóm tắt lý thuyết: 1/Công thức tính diện tích và thể tích khối nón 4 S xq = R.l. π với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh V= = π 2 ñ R ñ 1 1 .cao 3 3 .hs với R là bán kính đáy, h là chiều cao của hình chóp. 2/ Công thức tính diện tích và thể tích khối trụ S xq = 2 R.l.π với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh V= = π 2 S d.cao R .h ñ với R là bán kính đáy, h là chiều cao của hình trụ. 3/ Công thức tính diện tích và thể tích khối cầu: 3 4 4 V .R 3 = π = π MC 2 S R với R là bán kính của hình cầu. II/ BÀI TẬP: 1- KHỐI NÓN 19. Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a. a) Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón b) Tính thể tích của khối nón 20. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. a) Tính diện tích xung quanh và của hình nón b) Tính thể tích của khối nón 21. Một hình nón có đường sinh là l=1 và góc giữa đường sinh và đáy là 45 0 a) Tình diện tích xung quanh của hình nón b) Tính thể tích của khối nón. 22. Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM bằng 30 0 và cạnh IM = a. khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay. b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay 23. Cho hình nón đỉnh S đường cao SO, A và B là hai điểm . Thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ điểm O đến AB bằng a và SAO = 30 0 , SAB = 60 0 . a) Tính độ dài đường sinh và diện tích xung quanh theo a b) Tính thể tích của khối nón 5 24. Một khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp một khối nón. Tính thể tích của khối nón đó. 25. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và góc SAB = α ( α > 45 0 ). Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đtròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD. 26. Cho hình nón có bán kính đáy là R,đỉnh S .Góc tạo bởi đường cao và đường sinh là 60 0 . a) Hãy tính diện tích thiết diện cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc nhau. b) Tính diện tích xung quanh của mặt nón và thể tích của khối nón. 2/- Khối trụ 27. Một khối trụ có bán kính r = 5cm, khoảng cách hai đáy bằng 7cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục cách trục 3cm. a) Tính diện tích của thiết diện và diện tích xung quanh b) Tính thể tích khối trụ 28. Thiết diện chứa trục của khối trụ là hình vuông cạnh a a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ b) Tính thể tích khối trụ 29. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một htrụ trònxoay a) Tính d tích xung quanh của hình trụ. b) Tính thể tích của khối trụ 30. Một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4 nội tiếp một khối trụ. Tính thể tích khối trụ đó 31. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c nội tiếp trong một khối trụ. a) Tính thể tích của khối trụ. b) Tính diện tích xung quanh của hình trụ 32. Một khối trụ có chiều cao bằng 20cm và có bán kính đáy bằng 10cm. Người ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 30 0 . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện. 33. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng 3R ; 6 A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 30 0 . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của h trụ. b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng. 34. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông. a) Tính diện tích xung quanh của h trụ. b) Tính thể tích của khối trụ tương đương. 35. Một hình trụ có diện tích xung quanh là S,diện tích đáy bằng diện tích một mặt cầu bán kính bằng a. Hãy tính a) Thể tích của khối trụ b) Diện tích thiết diện qua trục hình trụ 36. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông ABCD xung quanh trục MN ta được hình trụ tròn xoay . Hãy tính thể tích của khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ nói trên. 3/ KHỐI CẦU 37. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và )( ABCSA ⊥ . a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A, B, C, S cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính 2 SC R = . b) Cho SA = BC = a và 2aAB = . Tính bán kính mặt cầu 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, )( ABCDSA ⊥ và 3aSA = . Gọi O là tâm hình vuông ABCD và Klà hình chiếu của Btrên SC a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm điểm S, D, A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB. b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên. 39. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D. 40. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bằng 6 và đường cao h = 1 . Hãy tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . 41. Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi một với SA = 1cm,SB = SC = 2cm .Xác định tâm và tính bán kính của 7 mt cu ngoi tip t din , tớnh din tớch ca mt cu v th tớch ca khi cu ú . 42. Cho hỡnh lng tr tam giỏc u ABC.ABC cú tt c cỏc cnh u bng a .Tớnh th tớch ca hỡnh lng tr v din tớch ca mt cu ngoi tip hỡnh lng tr theo a . 43. Tớnh t s th tớch ca hỡnh lp phng v th tớch ca hỡnh tr ngoi tip hỡnh lp phng ú. 44. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a. SA vuụng gúc vi mt phng (ABCD),SA= 2a. Tớnh din tớch mt cu ngoi tip hỡnh chúp S.ABCD V AH vuụng gúc SC.Chng minh nm im H,A,B,C,D nm trờn mt mt cu. 45. Cho hỡnh chúp t giỏc S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, cnh SA = 2a v SA vuụng gúc vi mt phng ỏy ABCD. a) Hóy xỏc nh tõm v bỏn kớnh ca mt cu ngoi tip hỡnh chúp ú. b) Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD. 46. Cho ABC vuông tại B. SA (ABC). a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm: S, A, B, C b) Cho AB = 3a; BC = 4a; SA = 5a. Tính bán kính R của mặt cầu đó 5 2 ( ) 2 a R = 47. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. BI TP NNG CAO 1. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng B. Cnh SA vuụng gúc vi ỏy. Bit SA=a, SB=b.Tớnh khong cỏch t A n (SBC) 2. Cho khi chúp tam giỏc u S.ABC cú ỏy l tam giỏc u cnh a, cỏc cnh bờn to vi ỏy mt gúc 0 60 . Hóy tớnh th tớch ca khi chúp ú. 8 3. Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác cân AB=AC=5a, BC=6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 0 60 . Hãy tính thể tích của khối chóp đó. 4. Cho hình chóp S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD, lần lượt tại B’, C’, D’. Biết rằng AB=a, SB' 2 = SB 3 . a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD. b) Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’. 5. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi (H) là hình bát diện đều có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện. Tính tỉ số (H) ABCD V V . 6. Cho hai đoạn thẳng AB và CD chéo nhau, AC là đường vuông góc chung của chúng. Biết AC=h, AB=a, CD=b và góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 0 60 . Hãy tính thể tích của tứ diện ABCD. 7. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà trung đoạn của nó bằng 6 còn góc giữa hai mặt bên đối diện bằng 0 60 . Qua CD, dựng mặt phẳng ( α ) vuông góc với mp(SAB), cắt SA, AB lần lượt tại 1 P và P. Tính thể tích khối chóp S.CD 1 P P. 8. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và · ASB=2 ϕ .Tính thể tích khối chóp. 9. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh C và ( )SA ABC⊥ , SC=a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất. 10. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) bằng 2a. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp nhỏ nhất. 11. Cho khối chóp S.ABC có ( )SA ABC⊥ ; đáy là tam giác cân tại A, độ dài trung tuyến AD bằng a, cạnh bên SB tạo với đáy một góc α và tạo với mặt bên (SAD) một góc β . Tính thể tích khối chóp. 12. Biết thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng V. Tính thể tích khối tứ diện AC’B’D’. 9 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD, α là góc giữa hai đường thẳng đó. Chứng minh rằng ABCD 1 V = AB.CD.d.sinα 6 . 14. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cát SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’. 15. Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau: AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c. 16. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, AA’=c. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B’C’ và C’D’. Mặt phẳng (AEF) chia khối hộp đó thành hai khối đa diện (H) và (H’), trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh A’. Tìm thể tích của (H) và (H’). 17. Cho tứ diện ABCD và M kà điểm trong tứ diện đó. Gọi A B C D h ,h ,h ,h lần lượt là khoảng cách từ A, B, C, D đến các mặt đối diện và A B C D m , m , m , m lần lượt là khoảng cách từ M đến (BCD), (CDA), (DAB), (ABC). Chứng minh rằng C A B D A B C D m m m m + + + 1 h h h h = . 18. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=2a, AA’=a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM=3MD. a) Tính thể tích của khối chóp M.AB’C. b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C). 19. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, AA’=c. Gọi M, N là trung điểm của A’B’, B’C’.Tính tỉ số thể tích khối chóp D’.DMN và thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. 20. Tính thể tích khối lăng trụ có chiều cao h, đáy là ngũ giác đều nội tiếp trong một đường tròn bán kính bằng r. 21. Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A’D bằng 2 và độ dài các đường chéo của mặt bên bằng 5. a) Hạ AK ⊥ A’D ( 'K A D∈ ). Chứng minh rằng AK=2 10 . đáy,h chiều cao) Chú ý: - Nếu hai khối đa diện đồng dạng theo tỉ số k thì thể tích tương ứng tỉ lệ theo tỉ số k 3 II/ Bài tập: 1. Cho hình chóp tam giác đều. tích khối chóp S.ABC theo a b) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh mp(SAI) vuông góc với mp(SBC). Tính thể tích của khối chóp SAIC theo a . c) Gọi M là