THPT Lê Hồng Phong-Thanh hoá Một số dạng toán cực trị trong không gian Dạng 1: Cho khối đa diện (T),M là điểm chuyển động trên cạnh AB nào đó của khối đa diện và (P) là mặt phẳng thay đổi qua M. Xác định vị trí của M để thiết diện tạo bởi (P) và khối đa diện có diện tích nhỏ nhất hoặc lớn nhất Ph ơng pháp chung Dựng thiết diện(phơng pháp giao tuyến gốc) Xác định hình dạng thiết diện(dựa vào tính chất của mặt phẳng (P) và hình dạng khối T) Tìm cực trị Chọn đối số: [ ] 1;0 = x MB MA x Lập hàm số: Lập công thức tính diện tích theo x và các kích thớc cho trớc S= S(x) Khảo sát chiều biến thiên 1. Cho tứ diện ABCD, M là điểm bất kỳ thuộc AB (P) là mặt phẳng bất kỳ qua M và // AC và BD. Xác định vị trí của M để thiết diện tạo bởi mp(P) và tứ diện có diện tích lớn nhất. 2. Cắt hình lập phơng bằng một mặt phẳng (P) đi qua một đờng chéo của hình lập phơng. Phải chọn mp(P) nh thế nào để thiết diện thu đợc có diện tích nhỏ nhất. Dạng 2: Cho khối đa diện (T)có một số điểm thay đổi và một số điểm cố định Xác định vị trí hình học của các đỉnh thay đổi để khối (T) có thể tích nhỏ nhất hoặc lớn nhất Ph ơng pháp chung TH1:- Nếu khối đa diện có một kích thớcx thay đổi thì biến số chính là kích thớc thay đổi đó -Lập công thức tính thể tích V=V(x)(xem x nh đã biết- Tìm tập xác định V(x) Dx ) -Khảo sát chiều biến thiên TH2: Nếu sự thay đổi của đối số ít nhất là hai kích thớcthì việc giải toán theo trình tự -Chọn biến x, y là độ dài cạnh thay đổi -Tìm mối liên hệ giữa các biến x, y. Có thể sử dụng hệ thức lợng trong tam giác, có thể dùng tam giác đồng dạng hoặc dùng phơng pháp so sánh (So sánh một đại lợng q thông qua x,y bằng 2 cách để đa ra hệ thức f(x,y)=0) - Lập công thức tính thể tích V=V(x,y) -Tìm cực trị 1. Cho hình chóp S.ABCD dấy ABCD là một hình vuông cạnh a,SA vuông góc với đáy và SA= 2a , M và N là hai điểm chuyển động trên BC và CD sao cho góc MAN=45 0 . Xác định vị trí của M,N để chóp S.ABCD có thể tích lớn nhất hoặc bé nhất. 2. (Đề 16) Cho tam giác nhọn ABC, đờng thẳng (d) đi qua A và vơng góc với mp(ABC) . Trên (d) lấy điểm S với SA=x, Gọi I là trực tâm của tam giác SBC, K là trực tâm của tam giác ABC, đờng thẳng IK cắt (d) tại Q. a. Chứng minh rằng AK cắt SI tại một điểm P, SKPQSBCIK và )( . b. Giả sử tam giác ABC đều cạnh a. Tính V của hình chóp S.QBC theo a và x. Xá định x để V nhỏ nhất. 3. (Đề 18) Trong mp(P) cho tam giác ABC có A=90 0 , C=60 0 ; BC=2a. Dựng các đờng thẳng Bx,Cy vuông gốc với (P). a. Xác địng điểm M trên Bx sao cho mặt cầu đờng kính BM tiếp xúc với Cy. b. L là điểm di động trên Bx. Hỏi L ở vị trí nào để trên Cy có thể tìm đợc điểm N sao cho tam giác BLN có góc vuông ở N ? c. Trong các vị trí của L nói ở câu b) Hãy xác định điểm L sao cho hình chóp A.BLNC có thể tích nhỏ nhất. 4. (Đề 36) CHo hai điểm A, B đối xứng nhau qua mp(P) , I là giao điểm của AB và mp(P), O là điểm nằm ngoài (P) có hình chiếu vuông góc xuống mp(P) là H. M là một điểm chạy trên đờng tròn đờng kính HI vẽ trong (P). a. Chứng minh IM là đờng vuông góc chung của AB và OM. b. Cho AB= 2a; HM=x; MI=y. Tính thể tích khối tứ diện OMAB. Xác định vị trí của M để thể tích đó lớn nhất. c. Chứng minh rằng hai điểm A,B cách đều đờng thẳng OM. 5. (Đề 147) Trong mp(P) cho tam giác OAB với OA=OB; AB=2a và đờng cao OH=h. Trên đờng thẳng (d) vuông góc với (P) tại O lấy điểm M với OM=x. Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của A lên MB và OB; N là giao điểm của đờng thẳng EF và (d) . a. Chứng minh: MBMANAMB và . b. Tính BF, BE và thể tích tứ diện ABè theo a, h và x. 1 THPT Lê Hồng Phong-Thanh hoá c. Tìm vị trí của M thuộc (d) sao cho tứ diện MNAB có thể tích nhỏ nhất. Dạng 3: Trong không gian cho hai đờng thẳng chéo nhau a và b ( ba ), AB là đoạn vuông góc chung, M và N là hai điểm chuyển động trên a và b sao cho giữa M và N thoả mãn một điều kiện cho trớc. Gọi f là một đại lợng hình học liên quan đến tứ diện ABMN. Xác định vị trí của M và N sao cho f đạt GTLN-GTNN Ph ơng pháp chung CM tứ diện ABMN có các mặt là các tam giác vuông Chọn biến = = BNy AMx Từ mối liên hệ hình họcgiữa M,Ntìm mối liên hệ giữa x, y là g(x,y)=0 - Tính f qua x, y Tìm cực trị 1. Cho hai đờng thẳng chéo nhau a và b ba , AB là đoạn vuông góc chung, M và N là hai điểm chuyển động trên a và b sao cho giữa M và N sao cho AM+BN=2k(k là độ dài cho trớc). a. Xác định vị trí của M và N sao cho bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN đạt GTNN b. CMR: Khi bán kính mặt cầu ngoai tiếp tứ diện nhỏ nhấtthì tứ diện ABMN có thể tích lớn nhất 2. Cho hai đờng thẳng chéo nhau a và b ba , AB là đoạn vuông góc chung sao cho AB=2k(k là độ dài cho trớc), M và N là hai điểm chuyển động trên a và b sao cho sao cho AM+BN=MN. a. Xác định vị trí của M, N sao diện tích toàn phần tứ diện ABMN đạt GTNN b. Xác định vị trí của M, N sao MN luôn tiếp xúc với mặt cầu đờng kính AB Dạng 4: Cho hình chóp đều S.A 1 A 2 . . .A n . Xác định hình dạng của hình chóp để tỷ số R r đạt max Ph ơng pháp chung Gọi O 1 , O 2 là tâm mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp Chon biến : a cạnh dáy, góc tạo bởi mặt bên và đáy Lập hàm tính r, R dẫn đến R r f = )( Tìm cực trị ,đặt [ ] 1;0 2 tan = xx 1. Cho hình chóp đều S.ABC. Xác định hình dạng của hình chóp để tỷ số R r đạt max. 2. Cho hình chóp đều S.ABCD. Xác định hình dạng của hình chóp để tỷ số R r đạt max. 3. (Đề 14) S.ABC là một hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a, đờng cao SH= h. a. Tính theo a và h các bán kính r, R của các hình cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp b. Giả sử a cố định còn h thay đổi, Xác định h để tỉ số R r là lớn nhất. Dạng 5: Trong không gian cho khối đa diện (T) và hai điểm M N chuyển động thoả mãn điều kiện ràng buộc cho trớc. Xác định vị trí của M, N sao cho MN đạt min hoặc max 1. Cho hình lập phơng ABCDA'B'C'D' cạnh =a, M và N là hai điểm chuyển động trên hai đờng chéo AD' và BD sao cho AM=BN. Xác định vị trí của M, N sao cho MN min, max. 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a và M là trung điểm của BC, N là trung điểm của SD, SA vuông góc vớiđáy và SA= 2a. P và Q là hai điểm chuyển động trên các đoạn thẳng AM và CN sao cho CN CQ AM AP = . Xác định vị trí của P, Q sao cho PQ min, max. 3. (Đề 140) Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Trong mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với (P) dựng tam giác đều ABE. Lấy điểm M thay đổi trên đoạn AB. Đặt BM=x. Từ E kẻ đờng vuông góc với MC(N thuộc MC) . Gọi F và O theo thứ tự là trung điểm của AB và CE. a. Tìm quỹ tích điểm N khi M chuyển động trên đoạn AB. b. Tính MO theo a và x. c. Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của MO. Dạng 6: Một số bài toán khác 2 . M. Xác định vị trí của M để thi t diện tạo bởi (P) và khối đa diện có diện tích nhỏ nhất hoặc lớn nhất Ph ơng pháp chung Dựng thi t diện(phơng pháp giao. sát chiều biến thi n 1. Cho tứ diện ABCD, M là điểm bất kỳ thuộc AB (P) là mặt phẳng bất kỳ qua M và // AC và BD. Xác định vị trí của M để thi t diện tạo