    A MỞ ĐẦU I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI “…Với máy tính điện tử, dạng đề thi học sinh giỏi toán xuất hiện: kết hợp hữu suy luận toán học với tính toán máy tính điện tử Có toán khó đòi hỏi phải nắm vững kiến thức toán (lí thuyết đồng dư, chia hết, …) sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà trình giải phải xét loại trừ nhiều trường hợp Nếu không dùng máy tính thời gian làm lâu Như máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài, dạng toán thích hợp kỳ thi học sinh giỏi toán kết hợp với máy tính điện tử” (Trích lời dẫn Tạ Duy Phượng - Viện toán học) - Trong năm qua việc sử dụng máy tính cầm tay(MTCT) sử dụng rộng rãi học tập, thi cử Nó giúp cho học sinh nhiều việc tính toán tập giải tay - Một dạng tập chương trình THCS dùng MTCT để giải “các toán đa thức” mà hầu hết thi giải toán MTCT có - Trong thực tế, bồi dưỡng em đội tuyển trường, huyện sử dụng MTCT để dạy giải “Một số toán đa thức” phần lớn em nắm kiến thức sau việc vận dụng ,cũng kó trình bày giải chưa hợp lý, xác Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang Vì nhận thấy giúp cho em học sinh có kó sử dụng MTCT để giải toán nói chung đa thức nói riêng cách thành thạo xác cần thiết Làm học sinh nắm cách giải toán liên quan đến đa thức đặc biệt đề thi giải toán MTCT diễn hầu hết tỉnh thành nước Do chọn đề tài:“Giải số toán đa thức bậc THCS MTCT ” II.NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI: Nhiệm vụ chính: Nâng cao hiệu hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để giải toán liên quan đến đa thức Đối với giáo viên: - Có nội dung ôn tập cho học sinh lồng ghép tiết giảng dạy với hỗ trợ MTCT đặc biệt cho đội tuyển đạt hiệu - Định hướng dạng toán phương pháp giải toán đa thức MTCT Đối với học sinh: - Nắm sở lý luận phương pháp giải toán đa thức - Vận dụng linh hoạt, có kó thành thạo III.PHƯƠNG PHÁP – CƠ SỞ – THỜI GIAN TIẾN HÀNH NGHIÊN CỨU  Phương pháp: Đan xen việc giải toán MTCT tiết dạy( đưa thêm số tập có số phức tạp,kết hợp nhiều phép tính,…) - Sinh hoạt ngoại khoá thực hành giải toán MTCT trường THCS Bình Nghi.( Theo kế hoạch phận chuyên môn nhà trường duyệt) - Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán MTCT trường - Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán MTCT Huyện -  Cơ sở – Thời gian tiến hành nghiên cứu: Năm học: 2009 – 2010 - Học sinh trường THCS Bình Nghi.(160 học sinh lựa chọn khối 7,8,9 từ 5/10/2009 đến 1/11/2009) Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang - Đội tuyển HSG giải toán MTCT trường THCS Bình Nghi ( Từ 2/11/2009 đến 15/11/2009) - Đội tuyển HSG giải toán MTCT Huyện Tây Sơn ( Từ 14/12/2009 đến 5/01/2010) B.KẾT QUẢ I TÌNH TRẠNG SỰ VIỆC: - Học sinh giải tập đa thức MTCT - Nhìn chung số em giải nhờ tham khảo đáp án, chưa đưa hướng giải chung cho dạng tập Thống kê việc sử dụng MTCT trường THCS Bình Nghi năm học 2009 – 2010 chưa thực đề tài LỚ P SL BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC SL TL 30 40 90 10 23 16,7% 25% 25,6% CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC SL TL 25 30 67 83,3% 75% 74,4% II NỘI DUNG – GIẢI PHÁP: A KI N TH C C N V N D N G TRONG CÁC BÀI TOÁN A TH C : n h lý Bezout : “ D phép chia a th c f(x) cho nh th c a f(a)” H qu : - N u f(a) = , a th c f(x) chia h t cho nh th c x – a - D phép chia a th c f(x) cho (ax + b) l f ổ ỗ ỗ ç è bư ÷ ÷ ÷ Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang x – - N u a th c P(x) = a nx n + an-1 x n-1 +….+a x + a ( n  N) có n nghi m x , x …,x n a th c P(x) phân tích c thành nhân t : P(x) = a(x – x )(x – x ) ….(x – x n-1 )(x – x n) Sô đồ Horner: Để tìm thương số dư chia đa thức P(x) (từ bậc trở lên) cho (x - c) trường hợp tổng quát P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 chia cho (x – c) ta có sơ đồ: an an- an - … a1 a0 c bn-1 = an bn -2 = bn -3 = … b0 = cb1 +a1 r = cb0 + a0 cbn-1+ an -1 cbn - 2+ an -2 Vaäy: P(x)=q(x)(x - c) + r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x + b0 vaø r = c(c(…(c(can + an-1)) )) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0 B GIỚI THIỆU CÁC PHÍM CHỨC NĂNG PHỤC VỤ VIỆC GIẢI TOÁN CỦA CHỦNG LOẠI MTCT CASIO: - Các loại máy sử dụng trường phổ thông hầu hết dòng máy casio fx: 500MS,500ES;500VN-Plus;570MS;570ES - Tuỳ theo cách sử dụng nhìn chung có hai cách dành cho hai dòng máy:500ES;500VN-Plus;570ES 500MS,570MS dòng máy 500ES;500VN-Plus;570ES việc nhập liệu vào máy kết truy xuất hiển thị giống phép toán sách giáo khoa - Các phím chức , hàm bố trí dạng hiển thị menu thông dụng - Trong phạm vi đề tài xem học sinh biết cách sử dụng MTCT C CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG : Dạng 1:Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta được: P(x)=Q(x) (ax+b) + m + r Muốn P(x) chia hết cho x + b a b m + r = hay m = -r = - P( − a ) Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang  Sử dụng hệ định lý Bezout chức giải phương trình hệ phương trình MTCT để giải Ví dụ 1: Tìm m a th c f(x) = 4x4 – 5x3 + m2 x2 – mx – 80 chia h t cho x – Gi i : t g(x) = 4x4 – 5x3 – 80 ta có f(x) = g(x) +m2x2 – mx f(x)  (x – )  f(2) = hay g(2) +4m2 – 2m = Ta có g(2) = –56  f(2) = 4m2 – 2m = 56  4m2 – 2m – 56 = Gi i ph n g trình n m , ta c m1 = m2 = –3,5 (*) vào EQN chọn phương trình bậc hai ẩn : nhập vào máy a =4 ; b=- ; c= -56  x1 = 4; x2 =- 3,5 Ngh a hai a th c f1(x) = 4x4 – 5x3 + 16 x2 – 4x – 80 f2(x) = 4x4 – 5x3 + 12,25 x2 +3,5 x – 80 u chia h t cho x – Bài t p t n g t : Bài 1:Cho a th c f(x) = x5 – 3x4 +5 x3 – m2x2 + mx + 861 Tìm m HD: f(x)  (x + 3) t g(x) = x5 – 3x4 +5 x3 + 861 ta có f(x) = g(x) - m2x2 + mx Gi i ph n g trình n m , ta c : 16 m = m = − Bài 2: (Sở GD – ĐT TP Hồ Chí Minh 2003) Tìm giá trị m biết giá trị đa thức f(x) = x4 – 2x3 + x2 +(m - 3)x+ 2m -5 taïi x = - 2,5 0,49 HD: Đây toán tìm m để đa thức f(x) chia cho x + 2,5 có số dư 0,49 Ta có: f(x) – 0,49  (x + 2,5) ⇒ Tìm giá trị m biết đa thức x4 – 2x3 + x2 +(m - 3)x+ 2m - 4,51 chia heát cho x + 2,5 Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang Đáp số: 209,105 Ví dụ : Tìm a b cho hai a th c f(x) = 4x3 – 3x2 + 2x + 2a + 3b g(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x –3a + 2b chia h t cho (x – 3) Gi i: f(x) , g(x) chia h t cho (x – 3) ch f(3) = g(3) = t A(x) = 4x3 – 3x2 + 2x B(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x Ta có f(x) = A(x) + 2a + 3b g(x)=B(x) –3a +2b f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b  f(3) =  2a + 3b = –87 g(3) = B(3) –3a + 2b = 318–3a +2b  g(3) =  –3a +2b = –318 ì 2a +3b =- 87 ï ï Ta có h ph n g trình : í - 3a + 2b =- 318 ï ï ỵ Vào MODE EQN g i ch n g trình gi i h ph n g trình b c nh t hai n ta c nghi m ( x = 60 ; y = –69) hay a = 60 , b = –69 Bài t p t n g t : Bài 1: (Bộ GD – ĐT, 2005) Cho biết đa thức P(x) = x4 +mx3 -55x2 +nx –156 chia hết (x – 2) chia hết cho (x – 3) Hãy tìm giá trị m, n nghiệm đa thức Gi i: P(x) chia h t cho (x – 2) ch P(2) = t A(x) = x4 – 55x2 – 156 Ta có P(x) = A(x) + 8m + 2n P(2) = A(2) + 8m + 2n = -360 + 8m + 2n  P(2) =  8m + 2n = 360 Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang P(3) = A(3) +27m + 3n= -570 + 27m + 3nP(3) =  27m + 3n = 570 ì 8m + 2n = 360 ï ï Ta có h ph n g trình : í 27m +3n = 570 ï ï ỵ ( n = 172; m = 2; Bài 2:Tìm m n x1 = 2; x = 3; x3 ≈ 2,684658438; x = −9,684658438 ) hai a th c P(x) Q (x) chia h t cho (x +4 ) P(x) = 4x4– 3x3 + 2x2 – x + 2m – 3n Q(x) = 5x5 – 7x4 + 9x3 – 11x2 + 13x – 3m + 2n HD : Tương tự ví dụ Đáp số: m = –4128,8 ; n = –2335,2 Dạng : Tìm dư phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta P(x)=Q(x)(ax+b) + r, b b r ∈ R (vì ax + b bậc 1) Thế x = − a ta P( − a ) = r ( Bezout) b a Như để tìm số dư chia P(x) cho nhị thức ax+b ta cần tính r = P( − ) Ví dụ 3: (Sở GD - ĐT TPHCM, 1998) Tìm số dư phép chia: x14 − x9 − x + x + x + x − 723 x −1,624 Gi i: Đặt P(x) = x14 − x − x + x + x + x − 723 số dư : r =P(1,624) = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723 Qui trình ấn máy : Ấn phím: 624 SHIFT STO X ALPHA X x14 − ALPHA X x − ALPHA X x + ALPHA X x + ALPHA X x + ALPHA X − 723 = Đáp số: 85,92136979 Ví dụ 4: Tìm số dư phép chia: 3x + 5x3 − 4x + 2x − 4x − Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang r = Gi i: Đặt P(x) = 3x + 5x3 − 4x + 2x − 5    5    5    5  số dư : r =P( ) =   +   -   +   –   Qui trình ấn máy : Ấn phím: SHIFT STO X ALPHA X x + ALPHA X x − ALPHA X x + ALPHA X − = Đáp số: r= 87 256 Bài t p t n g t : Baøi 1: (Sở GD - ĐT Đồng Nai, 1998) x − 6,723x + 1,857x − 6, 458x + 4,319 Tìm số dư phép chia x + 2,318 Gi i: Số dư : r = (-2,318) – 6,723(-2,318) + 1,857(-2,318)2 - 6,458(-2,318) + 4,319 Qui trình ấn máy : Ấn phím: −2 318 SHIFT STO A ALPHA A A − 6.723 ALPHA A A + 1.857 ALPHA A A − 6.458 ALPHA A + 4.319 = Đáp số: 46,07910779 Bài 2: (Sở GD - ĐT Cần Thơ, 2003) Cho P( x ) = x + 5x − 4x + 3x + 50 Tìm phần dư r1, r2 chia P(x) cho x – x – 3.Tìm BCNN(r 1,r2)? Gi i: Số dư : r1 = + 5.2 – 4.2 + 3.2 + 50 Số dư : r2 = 34 + 5.33 – 4.32 + 3.3 + 50 Qui trình ấn máy : Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang r = Ấn phím: SHIFT STO B = ALPHA B B4 + ALPHA B B3 − ALPHA B B2 + ALPHA B + 50 = Đáp số: r1 = 96 ;r2 =239 ;BCNN(r1,r2) = 22944 Dạng3 : Tìm đa thức thương dư chia đa thức cho đa thức Bài toán : Chia đa thức a3x3 + a2x2 + a1x + a0 cho x – c ta thương đa thức bậc hai Q(x) = b2x2 + b1x + b0 số dư r Vậy a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = (b2x2 + b1x + b0)(x - c) + r = b2x3 + (b2-b1c)x2 + (b1-b0c)x + (r + b0c) Ta lại có công thức truy hoài Horner: b2 = a3; b1= b2c + a2; b0= b1c + a1; r = b0c + a0 Vaäy: r = a0 +ca1 + c a2 + c a3 Tương tự cách suy luận trên, ta có sơ đồ Horner để tìm thương số dư chia đa thức P(x) (từ bậc trở lên) cho (x - c) trường hợp tổng quát P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 chia cho (x – c) Trước tiên thực phép chia P(x)=q(x)(x - c)+r theo sơ đồ Horner để q(x) r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x + b0 ta bảng sau: c an bn-1 = an an- bn -2 = cbn-1 + an -1 an - bn -3 = cbn - 2+ an -2 … … a1 b0 = cb1 +a1 a0 r = cb0 + a0 Do đó: r = c(c(…(c(can + an-1)) )) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0 Ví dụ 5: Tìm thương số dư phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – cho x – Giaûi Ta coù: c = 5; a7 =1; a6 = 0; a5 = -2; a4 = -3; a3 = a5 = 0; a1 = 1; a0 = -1; b6 = a7 = Qui trình ấn máy SHIFT STO M × ALPHA M + = ( ) × ALPHA M − = (23) × ALPHA M + (−) = (112) × ALPHA M + = (560) × ALPHA M + = (2800) × ALPHA M + = (14001) × ALPHA M + (−) = (7004) Vaäy : x7 – 2x5 – 3x4 + x – = = (x - 5)(x6 + 5x5 + 23x4 + 112x3 + 560x2 + 2800x + 14001) + 7004 ( Ta sử dụng biến Ans để tìm hệ số số dư) Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang Ví dụ 6: Phân tích x4 – 3x3 + x – theo bậc x – Trước tiên thực phép chia P(x)=q1(x)(x - c)+r0 theo sơ đồ Horner để q1(x) r0 Sau lại tiếp tục tìm qk(x) rk-1 ta bảng sau: Tổng quát: P(x) = rn(x-c)n + rn-1(x-c)n-1 +…+ r2(x-c)2 + r1(x-c) + r0 3 3 -3 -2 x4-3x2+x-2 1 1 12 19 24 91 51 55 q1(x)=x3+ 3x2 + 6x +19, r0 = 55 q2(x)=x2+ 6x + 24, r1 = 91 q3(x)=x + 9, r2 = 51 q4(x)=1 = a0, r3 = 12 Vaäy :x4 – 3x3 + x – = (x-3)4+ 12(x-3)3+ 51(x-3)2 + 91(x-3) + 55 Dạng4: Phân tích đa thức thành nhân tử N u khơng có s hỗ tr c a MTCT vi c phân tích a th c thành nhân t tốn khó Tuy nhiên sử dụng chức giải phương trình MTCT để tìm nghiệm, sau sử dụng hệ định lý Bezout để giải “Giả sử đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 ( a n ≠ ) có n nghiệm x1;x2,…,xn P(x) = an(x - x1)(x - x2)…(x - xn)” Ví dụ 7: Phân tích a th c sau thành nhân t : 105x2 + 514x – 304  Gi i: Tìm chức giải phương trình bậc hai: Nh p a = 105 , b = 514 , c = –304 Tìm c nghi m c a a th c : x1 = 38 , x =15 V y a th c 105x2 + 514x – 304 c phân tích thnh ổ ổ ổ ổ ỗ ç ÷ ÷ ÷ ÷ 105çx - ÷x + 38 ữ 15.7ỗx - ữx + 38 ữ (15x - 8)(7x +38) = = ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ 15 ÷ 7÷ 15 ø 7ø è ø è ø è è Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang 10 Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp giá trị x, y vào đa thức để tính • Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đa thức biến) n n −1 Vieát P(x) = an x + an −1x + + a1x + a dạng • P(x) = (a x+ a n n −1 = ((a x+ a n n −1 = (((a x+ a n ) x n- + a ) x+ a n −1 n −2 n −2 ) x+ a x n- + + a x+ a )x n −2 n- +a ) x+ a n −3 n −3 x )x n- + a x+ a n- +a n −4 x n- + a x+ a = ( ((a x+ a n = ( ((a x+ a n n −1 n −1 ) x+ a ) x+ a n −2 ) x+ a m −2 n −3 ) x+ a ) x+ ) x + a x+ a n −3 ) x+ ) x+ a ) x+ a Vaäy P(x ) = ( (an x + an −1 )x + an −2 )x + )x + a0 Đặt bn-1 = bnx0 + an; bn-2 = bn-1x0 + an-1; …; b1= b0x0 + a0; bo=a0 Suy ra: P(x0) = bn Từ ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ Giải máy: - Gán giá trị x0 vào biến nhớ M - Thực dãy lặp: bk-1 ALPHA M + ak Ví dụ 8: (Phòng GD - ĐT TÂY SƠN, 2009) Tính C = −1,32 x + 3,1 − x − 7,8 + 6,4 − 7,2 Với x = +3 Quy trình: + SHIFT STO X −1,32LPHA X x + ( 3,1 −2 ) ALPHA X − 7.8 +3 = 6, −7,2  C = -101,0981355 Ví dụ : (Sở GD TP HCM, 1996) Tính A = Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans n phím: 8165 = 3x − 2x + 3x − x x = 1,8165 4x − x + 3x + ( Ans x − Ans x + Ans x − Ans + ) ÷ ( Ans x − Ans x + Ans + ) = Đáp số : 1.498465582 Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang 12 Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X n phím: 8165 SHIFT STO X ALPHA X x − ALPHA X x + ALPHA X x − ALPHA X + ALPHA X x − ALPHA X x + ALPHA X + = Đáp số: 1.498465582 Phương pháp dùng sơ đồ Horner tương đối phức tạp hiệu ,đối với máy fx-500 MS;fx-500 ES nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS;fx-570 ES giá trị biến x nhanh cách bấm CALC , máy hỏi X? khai báo giá trị biến x ấn phím = xong Để kiểm tra lại kết sau tính nên gán giá trị x0 vào biến nhớ khác biến Ans để tiện kiểm tra đổi giá trị Ví dụ 10: Tính A = 3x − 2x + 3x − x x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321 4x − x2 + 3x + Khi ta cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X: ( −) 235678 SHIFT STO X Dùng phím mũi tên lên lần (màn hình lại biểu thức cũ) ấn phím = xong Bài t p t n g t : Bài 1: (Bộ GD – ĐT ,2006) Tính giá trị biểu thức  5x + y x − y  x − 25 y B = +  x − xy x + xy  x + y    với x = 1,257; y = 4,523 Đáp số : B = 7,955449483   x + xy + y C= + + 2  16 x 4x − y ( 2x + y)  ( 2x − y) 2 với x = 0,36; y = 4,15 Đáp số : C = 0,788476899 Dạng 5.2 : Tính giá trị đa thức giá trị biến( đa thức chưa xác định) Ví dụ 11 : (Phòng GD - ĐT TÂY SƠN, 2009) Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang 13 Đa thức P(x) = x5+ ax 4+ bx3+ cx 2+ dx + e có giá trị 11;14;19;26;35 x nhận giá trị là: 1;2;3;4;5 a) Tính P(11) P(15) b) Tìm số dư r chia P(x) cho 10x – Gi i : a) Rõ ràng n u ta th 1,2,3,4,5 ch xác n h h s t , vi c l i gi i h ph n g trình b c nh t n mà máy CASIO không th gi i quy t c Gi i b ng tay r t v t v Bài tốn có th gi i quy t nh sau :  Xét a th c ph k(x) = x + 10 Ta có : k(1) = 11 ; k(2) = 14 ; k(3) = 19 ; k(4) = 26; k(5) = 35 t g(x) = P(x) – k(x) Ta có : g(1) = P(1) – k(1) = g(2) = P(2) – k(2) = g(3) = P(3) – k(3) = g(4) = P(4) – k(4) = g(5) = P(5) – k(5) = T ó suy 1,2,3,4,5 nghi m c a g(x) M t khác g(x) a th c b c (Cùng b c v i P(x) k(x) b c mà g(x) = P(x) – k(x) ) có h s cao nh t T ó suy g(x) phân tích c thành nhân t : g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) mà g(x) = P(x) – k(x)  P(x) = g(x) + k(x) V y P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 + 10 P(11) = 30371;P(15)=240475  Vn ây tìm c a th c ph k(x) = x2 + 10 ? Ta gi s k(x) = ax2 + bx + c gán cho k(x) nh n giá tr k(1) = 11 k(2) = 14 , k(3) = 19 (nh n giá tr c a P(x) ã cho) Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang 14 ì a + b + c =11 ï ï ï ï : í 4a + 2b + c =14 ï ï ï 9a + 3b + c =19 ï ï ỵ ta có h ph n g trình nh p h s vào máy tìm c nghi m a = , b = , c = 10  k(x) = x2 + 10 Th ti p th y k(4) = 26 k(5) = 35 V y k(x) = x2 + 10 a th c ph c n tìm T t nhiên th k(4) ≠ 26 ho c k(5) ≠ 35 bu c ph i tìm cách gi i khác Ở câu b) việc tìm số dư đơn giản toán dạng Quy trình: Dư phép chia P(x) cho 10x -3 laø P( 10 ) ( ALPHA X − 1)( ALPHA X − 2)( ALPHA X − 3)( ALPHA X − 4)( ALPHA X − 5) + ALPHA X x + 10 CALC…X?  10  r = - 45,78407 Bài t p t n g t : Baøi 1:(Thi khu vực 2002, lớp 9) a) Cho a th c P(x) = x +ax +bx +cx +dx + e Bi t P(1) = ; P(2) = ; P(3) = ; P(4) = 16 ; P(5) = 25 Tính giá tr c a P(6) ; P(7) , P(8) , P(9) HD: Ta gi s k(x) = ax2 + bx + c cho gán cho k(x) nh n giá tr k(1) = 1; k(2) = , k(3) = (nh n giá tr c a P(x) ã cho) ì a + b + c =1 ï ï ï ï ta có h ph n g trình : í 4a + 2b + c = ï ï ï 9a + 3b + c = ï ỵ nh p h s vào máy tìm c nghi m a = , b = , c =  k(x) = x2 Th ti p th y k(4) = 16 k(5) = 25 V y P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 P(6) = 36;P(7)=49;P(8) = 64;P(9)=81 b) Cho a th c Q(x) = x + mx + nx + px + q bi t Q(1) = , Q(2) = , Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang 15 Q(3) = 9, Q(4) =11 Tính giá tr Q(10) , Q(11) Q(12) , Q(13) HD: Ta gi s k(x) = ax2 + bx + c cho gán cho k(x) nh n giá tr k(1) = 1; k(2) = , k(3) = (nh n giá tr c a P(x) ã cho) ì a +b +c =5 ï ï ï ï ta có h ph n g trình : í 4a + 2b + c = ï ï ï 9a + 3b + c = ï î nh p h s vào máy tìm c nghi m a = , b = , c =  k(x) = 2x + Th ti p th y k(4) = 11 V y P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)+ 2x + P(10) = 23;P(11)=25;P(12) = 27;P(13)=29 c) Cho a th c f(x) = 2x +ax +bx +cx +dx + e Bi t f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 7, f(4)= 13, f(5) = 21 Tính f(34,567) HD: Ta gi s k(x) = ax2 + bx + c cho gán cho k(x) nh n giá tr k(1) = 1; k(2) = , k(3) = (nh n giá tr c a P(x) ã cho) ì 16a + 4b + c =13 ï ï ï ï ta có h ph n g trình : í 25a + 5b + c = 21 ï ï ï 9a + 3b + c = ï ỵ nh p h s vào máy tìm c nghi m a = , b = -1 , c =  k(x) = x2 – x + Th ti p th y k(1) = k(2) = V y P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 – x +1 P(34,567) = (34,567)2 - 34,567 + = 1161,310489 d) Cho a th c f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang 16 Bi t f(1) = –1 ; f(2) = –1 ; f(3) = ; f(4) = ; f(5) = 11 Hãy tính f(15) f(16), f(18,25) HD: Ta gi s k(x) = ax2 + bx + c cho gán cho k(x) nh n giá tr k(1) = -1; k(2) = -1 , k(3) = (nh n giá tr c a P(x) ã cho) ì a + b + c =- ï ï ï ï ta có h ph n g trình : í 4a + 2b + c =- ï ï ï 9a + 3b + c =1 ï ỵ nh p h s vào máy tìm c nghi m a = , b = -3 , c =  k(x) = x2 – 3x + Th ti p th y k(4) = k(5) = 11 V y P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 – 3x +1 P(15) = (15)2 – 3.15 + = 181;P(15) = (16)2 – 3.16 + = 209; P(18.25) = (18.25)2 – 3.18.25 + = 278 Vận dụng linh hoạt phương pháp , kết hợp với máy tính giải nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả nhẩm nghiệm không Do yêu cầu phải nắm vững phương pháp vận dụng phép biến đổi cách hợp lí , logic Bài toán sau ví dụ mà nhiều học sinh dễ nhầm lẫn trình giải Ví dụ 12: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005 Bi t P(1) = , P(2) = 11 , P(3) = 14 , P(4) = 17 Tính P(15) Gi i : Xét a th c ph k(x) = 3x + Ta có k(1) = ; k(2) = 11 ; k(3) = 14 ; k(4) = 17 t g(x) = P(x) – k(x) Ta có g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = hay g(x) có nghi m , , , T ó suy g(x) phân tích c thành nhân t : Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang 17 g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) mà g(x) = P(x) – k(x)  P(x) = g(x) + k(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) + 3x + P(15) = 24074!  Chúng ta làm theo qui trình phương pháp vừa đưa kết nhận đáp án sai Vậy nhầm lẫn bước nào? Ở toán đặt đa thức g(x) = P(x) – k(x) kết nhận a th c b c (Cùng b c v i P(x) k(x) b c mà g(x) = P(x) – k(x) ) có h s cao nh t Nên kết sai đa thức g(x) tìm đa thức bậc Vậy ta cần giải toán nào? a th c g(x) ph i có h s cao nh t h s cao nh t c a P(x) nên g(x) c phân tích thành nhân t nh sau g(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) Vn cịn l i tìm s I nh th ? Vì g(x) = P(x) – k(x)  P(x) =g(x) + k(x) Hay P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x +  H s t c a P(x) I.(–1)(–2).(–3).(–4) + = 132005 hay 24I = 132000  I = 132000:24 = 5500 V y P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x +  P(15) = 132492410 Ví dụ 13:(Bộ GD – ÑT,2005) Cho a th c P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005 Biết x nhận giá trị 1,2,3,4 giá trị tương ứng đa thức P(x) 8,11,14,17 Tính giá trị đa thức P(x) với x = 11,12,13,14,15 HD: Ta gi s k(x) = ax2 + bx + c cho gán cho k(x) nh n giá tr Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang 18 k(1) = 8; k(2) = 11 , k(3) = 14 (nh n giá tr c a P(x) ã cho) ì a +b +c =8 ï ï ï ï ta có h ph n g trình : í 4a + 2b + c =11 ï ï ï 9a + 3b + c =14 ï ỵ nh p h s vào máy tìm c nghi m a = , b = , c =  k(x) = 3x + Th ti p th y k(4) = 17 V y P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x +  H s t c a P(x) I.(–1)(–2).(–3).(–4) + = 132005 hay 24I = 132000  I = 132000:24 = 5500 V y P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + Ñaùp aùn: P(11) = 27775417; P(12)= 43655081; P(13) = 65494484 P(14) = 94620287; P(15) = 132492410 Bài t p t n g t : Baøi 1:Cho a th c f(x) = 2x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 115197 Bi t f(1) = –1 , f(2) = 1, f(3) = , f(4) = Tính f(12) HD: Ta gi s k(x) = ax2 + bx + c cho gán cho k(x) nh n giá tr k(1) = 8; k(2) = 11 , k(3) = 14 (nh n giá tr c a P(x) ã cho) ì a + b + c =- ï ï ï ï ta có h ph n g trình : í 4a + 2b + c =1 ï ï ï 9a + 3b + c = ï ỵ nh p h s vào máy tìm c nghi m a = , b = , c = -3  k(x) = 2x - Th ti p th y k(4) = V y P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 2x -  H s t c a P(x) I.(–1)(–2).(–3).(–4) - = 115197 hay 24I = 115200  I = 115200:24 = 4800 Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang 19 V y P(x) = (x + 4800)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 2x - Đáp số: 38111061 Bài tập tổng hợp: Bài 1: (Sở GD – ĐT Bắc Ninh, 2005) Cho đa thức bậc :f(x) = x4 +bx3 +cx2 + dx + 43 có f(0) = f(-1); f(1)= f(-2); f(2) = f(-3) Tìm b,c,d Với b,c,d vừa tìm ,Hãy tìm tất số nguyên n cho f(n)= n4 +bn3 +cn2 + dn + 43 số phương HD: Ta coù: f(0) = f(-1) ⇒ b − c + d = 1(1) f(1)= f(-2) ⇒ 3b − c + d = 5(2) f(2) = f(-3) ⇒ 7b − c + d = 13(3) ì b - c + d =1 ï ï ï ï Giải hệ pt : í 3b - c + d = ï ï ï 7b - c + d =13 ï ỵ Đáp số: b = 2; c = 2; d = Khi xác định b, c, d ta có đa thức f(x) = x4 +2x3 +2x2 + x + 43 để tìm n cho f(n) số phương ta làm sau : n Vì f(n)= n4 +2n3 + 2n2 + dn + 43=(n2 + n + 1)(n2 + n) +43 > 0, ∀ Gán n vào biến nhớ X thực dãy tăng ,giảm biến nhớ để tìm f (n) kết nhận số nguyên ta xác định n để f(n) số phương Đáp số : n = -7; - 2; 1; Bài 2: Cho f(2x – 3) = x3 + 3x2 – 4x + a) Xác n h f(x) b) Tính f(2,33) Gi i: a) t t = 2x –  x= t +3 Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang 20  f(t) = f(x) æ+ ÷ + ỉ + - ổ + ử+ ữ ữ ỗt ỗt çt ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø ỉ + 3ư x ÷ + ỉ + - ỉ + ử+ ữ ữ ỗx ỗx =ỗ ữ ữ ữ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ø ç ç è è ø è ø b)f(2,33) Qui trình n phím : ( 2.33 + 3) ¸ shift STO A alpha A x + alpha A x - alpha A + = Đáp số :34,57410463 Bài 3: Cho a th c P(x) = 13 82 32 x x + x x + x 630 21 30 63 35 a) Tính f(–4) , f(–3) , f(–2) , f(–1) ,f(0) , f(1) , f(2) ,f(3) , f(4) b) Ch ng minh r ng v i m i x Z P(x) nh n giá tr nguyên Gi i : a) Tính c f(–4) = f(–3) = f(–2) = f(–1) = f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = b) Suy –4 ,–3 , –2 ,–1 , , , 2, , nghi m c a c a P(x)  P(x) P(x) = c phân tích thành nhân t nh sau : 630 (x – 4)(x – 3) (x – (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + ) V i x Z (x – 4)(x – 3) (x – (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + ) s nguyên liên ti p Trong ó có s chia h t cho , s chia h t cho 5, s chia h t cho s chia h t cho t A = (x – 4)(x – 3) (x – (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + ) Vì C L N(2,5) =  A  10 C LN(7,9) = 1 A  63 C LN(10 ,63) =  A  630  A 630 m t s nguyên hay P(x) nh n giá tr nguyên v i m i x Z Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang 21 Bài 4: (Thi khu vực 2001, lớp 8) Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m a Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + b Với m vừa tìm câu a tìm số dư r chia P(x) cho 3x-2 phân tích P(x) tích thừa số bậc c Tìm m n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n vaø P(x) chia hết cho x-2 d Với n vừa tìm phân tích Q(x) tích thừa số bậc HD: a) t g(x) = 6x3 - 7x2 – 16x ta có P(x) = g(x) + m P(x)  (2x + )  − g( P( − ) +m=0 − P( ) = -12 + m =  m = 12 Đáp số: m = 12 b)Ta coù: P(x) = 6x – 7x – 16x + 12 Ta có ) = -12  ) = hay g( −  Số dư r = P( ) = c)P(x) , Q(x) chia h t cho (x – 2) ch P(2) =Q(2) = t A(x) = 6x3 – 7x2 - 16x B(x) = 2x3 - 5x2 – 13x Ta có f(x) = A(x) + m g(x)=B(x) + n P(2) = A(2) + m= -12 + m  P(2) =  m = 12 Q(2) = B(2) + n = -30 + n Q(2) =  n = 30 d)Tìm chức giải phương trình baäc ba Nh p a = , b =- , c = - 13, d = 30 Tìm x1 =- , x = 3,x = 2 V y a th c Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + 30 c nghi m c a a th c : c phân tích thành ổ 5ử 2ỗx + ữx - 3) ( x- 2) = ( 2x + 5) ( x - 3) ( x- ) ữ ( ỗ ữ ỗ ố 2ứ Bài 5: (Thi khu vực 2002, lớp 9) Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m vaø Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n a Tìm giá trị m, n để đa thức P(x) Q(x) chia hết cho x – b Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) – Q(x) có nghiệm Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang 22 HD: P(x) , Q(x) chia h t cho (x – 2) ch P(2) =Q(2) = t A(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x B(x) = = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x Ta có f(x) = A(x) + m g(x)=B(x) + n P(2) = A(2) + m= 46 + m  P(2) =  m = - 46 Q(2) = B(2) + n = 40 + n Q(2) =  n = - 40  R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x –  R(x) = ⇔ x3 – x2 + x – = ⇔ (x – 2)( x2 + x + 3) = có nghiệm x = Bài 7: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) a Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m Tìm số dư pheùp chia P(x) cho x – 2,5 m = 2003 Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5 P(x) có nghiệm x = Tìm m? b Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e Bieát P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51 Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11) HD: a) Dựa vào ví dụ 1;3 b)Dựa vào ví dụ 11 Bài 8: (Sở GD - ĐT Cần Thơ 2002) 89 Cho f(x)= x3 + ax2 + bx + c Bieát f( ) = 108 ; f(− ) = − ; f( ) = 500 Tính giá trị gần f( ) ? HD: Dựa vào tập 1(Bài tập tổng hợp) Bài 9: (Sở GD - ĐT Lâm Đồng, 2005) Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang 23 HD : t g(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x + ta có P(x) = g(x) – m P(x)  (x – 13 )  P(13) = hay g(13) – m = Ta có g(13) = 1834775  P(13) = 1834775 – m =  m = 1834775 Đáp số: m = 1834775 Bài 10: (Thi khu vực 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d Bieát P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tính: a Các hệ số b, c, d đa thức P(x) Đáp số : b = - ; c = 2; d = - 15 b Tìm số dư r1 chia P(x) cho x – Đáp số : r1 = c Tìm số dư r2 chia P(x) cho 2x +3 Đáp số : r2 = −28,125 Bài 11: (Sở GD - ĐT Hải Phòng, 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Bieát P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41 Tính: a Các hệ số a, b, c đa thức P(x) b Tìm số dư r1 chia P(x) cho x + c Tìm số dư r2 chia P(x) cho 5x +7 d Tìm số dư r3 chia P(x) cho (x+4)(5x +7) Bài 12: (Sở GD - ĐT Thái Nguyên, 2003) a Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d Bieát P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 42 Tính P(2002)? b Khi chia đa thức 2x + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – ta thương đa thức Q(x) có bậc Hãy tìm hệ số x2 Q(x)? HD: a) Tương tự ví dụ 11 Đáp số: P(2002)= 1598401602004 b)Ta lập bảng 2 2 -7 1 1 10 16 18 20 13 34 45 124 81 -12 2x4+8x3 - 7x2+ 8x -12 56 q1(x)=x3+ 10x2 + 13x +34, r0 = 56 q2(x)=x2+1 6x + 45, r1 = 124 q3(x)=x + 18, r0 = 81 q4(x)=1 = a0, r0 = 20 Vậy hệ số x2 đa thức Q(x) có bậc 10 Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang 24 C KẾT LUẬN 1.Khái quát cục : Qua thực tế dạy – học sử dụng MTCT để giải toán, thầy trò cần nắm vững chu trình tổng quát : Đề Dạng Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang 25 Xử lí thông tin Chức MTCT Các phép biến đôỉ toán học Kết Muốn đạt kết cao giải toán đa thức MTCT cần nắm vững số vấn đề: Tính phím, chủng loại máy,… Dạng bài, kiểu bài, …  định hướng Các phép biến đổi, thuật toán,…  Dãy lệnh cho máy Trình bày làm(lộ trình tập yêu cầu viết qui trình kết quả) Đề tài: “Một số kinh nghiệm giải toán đa thức bậc THCS MTCT ” giúp định hướng cho học sinh dạng tập đa thức phương pháp giải dạng toán Giúp cho học sinh tự tin việc giải dạng tập đa thức cách sáng tạo, phối hợp nhịp nhàng tư phương tiện bổ trợ, sử dụng có hiệu khai thác hết chức MTCT • Kết khảo sát năm học 2009– 2010 LỚ P BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC TỐT KHÁ - TBÌNH HẠN CHẾ SL SL TL SL TL SL TL 30 40 90 10 18 55 33,3% 45% 61,1% 18 22 25 60% 55% 27,8% 0 6,7% 0% 0% Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp Trường THCS Võ Xán Trang 26 ... Điệp Trường THCS Võ Xán Trang 26  Trường THCS Bình Nghi:  Kì thi HSG giải toán MTCT cấp huyện: 1.Nguyễn Lực - lớp trường THCS Bình Nghi giải KK - HSG- MTCT  Kì thi HSG giải toán MTCT cấp Tỉnh:... hướng cách giải tập đa thức MTCT - Có tài liệu việc giải toán MTCT đan xen tiết dạy khoá sử dụng buổi sinh hoạt ngoại khoá giải toán MTCT - Học sinh nắm phương pháp giải, vận dụng hợp lý, sáng. .. sinh có kó sử dụng MTCT để giải toán nói chung đa thức nói riêng cách thành thạo xác cần thiết Làm học sinh nắm cách giải toán liên quan đến đa thức đặc biệt đề thi giải toán MTCT diễn hầu hết