  2 sin  x   1    sin x cos x   sin  x    sin x  cos x  4    2 sin(x  )   2 sin  x    sin x cos x 4 sin x cos x      sin(x  ) 0 x   k   4     sin  x      0   sin x cos x 0   sin 2x 0  sin x cos x      2sin x cos x 1  sin 2x 1        x   k  sin 2x sin            x   k     sin 2x 1  2x   k2  x   k 3 5 C1 sin x  cos x 2(sin x  cos x ) (k  Z)  sin x  sin x 2 cos x  cos x  sin x (1  sin x ) cos x (2 cos x  1)  sin x cos x cos x cos x  cos 2x 0  cos 2x 0  cos 2x 0            x   m  x   k  x   m (m  Z)  3 4  tgx 1  sin x cos x  tg x 1 3 5 3 2 5 C2 sin x  cos x 2(sin x  cos x )  (sin x  cos x )(sin x  cos x ) 2(sin x  cos x )  sin x cos x  cos x sin x sin x  cos x  sin x(cos x  sin x ) cos x(cos x  sin x ) 2 2   (cos x  sin x )(cos x  sin x ) 0   cos x  sin3 x 0   cos x  sin x 0  cos x sin x  cos x  sin x 0 2     cos x  sin x 0  cos x  sin x 0  cos x 0  x   k (k  Z)  cos x sin x sin x cos 2 x  cos 3x   cos 2x  cos 4x  cos 6x    (cos 4x  cos 2x)  (1  cos 6x) 0 2  cos 3x cos x  cos 3x 0  cos 3x (cos x  cos 3x ) 0  cos 3x cos x cos x 0       cos x 0  cos x 0  cos 3x 0  x   k  x   k  x  k 6 8 sin x  cos x  (sin x  cos x ) (k  Z)  sin x  sin x 2 cos x  cos x  sin x(1  sin x ) cos x(2 cos x  1)  sin x cos 2x cos x cos 2x    x   m  cos 2x 0 cos x 0  x   m        cos x 0     tgx 1  sin x cos x  tg x 1  x   k  sin x  cos x  sin x  cos x    sin x  cos x  sin x  cos x  (m  Z) 4   sin 2x   sin 2x  sin x  cos x 4  cos x 2  cos 2x 1  sin 2x 0  x k  13 cos 2 x 13  (cos x )  (sin x )  cos 2 x 6 cos x  sin x  13  (cos x  sin x )(cos x  sin x  sin x cos x )  cos 2x 1 13  cos 2x(1  sin 2x  sin 2x )  cos 2x  cos 2x (8  sin 2 x ) 13 cos 2 x cos x 0 cos x 0 cos x 0       2  sin x  13 cos x  (  cos x )  13 cos x    cos x  13 cos x  0     cos 2x 0  cos x   cos x 6 (loaïi)  x   k  x   k (k  Z)  3tgx 2 sin 2x (*) Đặt t  tgx 4t  (*)   3t   3t  t  t  0  (t  1)(3t  2t  1) 0  t   tgx   x   k 1 t sin x  cos x   tgx  3tgx cos x  cos x 3tgx   cos x(3tgx  2) 3tgx   cos x 1     x k 2  x   k tgx    tg     sin  x  (k  Z) tg       sin x (*) C1 Ta coù : sin  x   sin x  cos x 4      2 sin3  x   (sin x  cos x)3  sin  x    (sin x  cos x)3 4     2 (*)  2 (sin x  cos x )  sin x  (sin x  cos x ) 4 sin x Vì cos x 0 không thỏa mãn phương trình Chia hai vế phương trình cho cos x 0 ta coù :   k (k  Z) C2 (*)  (sin x  cos x ) 4 sin x  (sin x  cos x )(sin x  cos x ) 4 sin x  (sin x  cos x )(1  sin x cos x ) 4 sin x   cos x  sin x  sin x cos x  sin x cos x 0  cos x( sin x  1)  sin x(2 cos x  3) 0  cos x(cos x  2)  sin x(cos x  2) 0 ( tgx  1) 4 tgx (1  tg x )  (tgx  1)(3tg x  1) 0  tgx   x    (cos x  2)(cos x  sin x ) 0   cos 2x 2 (loaïi)  x   k (k  Z)  tgx  sin 2 x )  sin x 2  2  sin x  sin x   sin x  cos x   cos( x  ) cos 3      x  k  x  k (k  Z) 12 4(sin x  cos x )  sin x 2  4(1  10 2(sin x  cos x) sin x  cos x  cos8 x  cos6 x sin x  2sin x 8 6  cos6 x(2 cos2 x  1) sin x(1  sin x)  cos6 x cos 2x sin x cos 2x  cos 2x 0     sin x cos x  cos 2x 0    tg x 1    x  m   cos 2x 0  x   m  (m  Z) 11  tgx 1     x   k  s in x  cos8 x 2(sin10 x  cos10 x)  cos 2x  cos10 x  cos8 x  2sin8 x  sin x  cos 2x 0 5  cos8 x(2 cos2 x  1)  sin x(1  2sin x)  cos 2x 0  cos8 x cos 2x  sin8 x cos 2x  cos 2x 0 4  cos 2x 0 5  k  8  cos 2x  cos x  sin x   0   x   sin x cos x   vô nghiệm 4   0  4(1  cos 2 x )  4(1  cos x )  0   cos 2x   cos 2x  0  cos 2x  cos 2x  0 2 12 sin x  cos x      cos 2x  cos  cos2x    (loaïi)  2x   k2  x   k (k  Z) 3 13 tg x  tg x  0        tg2 x 1  tg2 x 3  tgx  tg     tgx  tg     x   k  x   k (k   4  3 14 cos x 2  cos x  cos4 2x  cos2 2x  0  cos2 2x 1  cos2 2x 2  (loaïi) k (k  Z) 2 15 cos 2 x  sin x  0  (1  sin x )  sin x  0  sin 2x 0  2x k  x     sin x  sin x  sin x  0  sin x 1  cos x 0  x   k (k  Z) 2 2 16 cos2 x cos2 2x   cos x (2 cos x  1)  0  cos x 4 cos x  cos x   0   cos4 x 5cos2 x  cos2 x 0  cos2 x   (loaïi)  cos x 0  x   k (k  Z) 4 17 cos x  3 cos 2x  cos x  3(2 cos x  1)  cos x  3(4 cos x  cos x  1)  cos x 1  sin x 0  sin x 0 2  1   cos x  cos x  0   2 cos x   cos x   cos x    5      sin x 0  cos 2x  cos   x  k  x   k2 (k  Z) với cos   5 2 sin x  tg x  (1) cos x  18 Điều kiện : sin x 2  sin x cos x  sin x 2 cos x C1 (1)  sin x  cos x  2(1  cos x ) cos x   cos x 2 cos x  cos x  cos x   cos x 2 cos x  cos4 x  cos2 x  0  cos2 x  (loaïi)  cos2 x   cos x 1  cos x     k  cos 2x 0  x   k  x   (k  Z) 2tg x ( )   tg x 2  2tg x  tg x  tg x 2  2tg x C2  tg x     tg4 x  tg2 x  0  tg2 x 1  tg x  (loaïi)  tgx 1 tg     x   k (k  Z)  4 19 sin x  13 cos 2x  0  sin x  13(1  sin x )  0  sin x  26 sin x  0 1  4sin x  13sin x  0  sin x   sin x 3  (loaïi)  2sin x    cos 2x  2     cos 2x  cos  2x   k 2  x   k (k  Z) 3 4 20  sin x  cos x 0   3(1  cos x )  cos x 0   3(1  cos x  cos x )  cos x 0  0   cos x 0  cos x 0  cos x 6 cos x   cos x   2(1  cos 2x ) 3  cos 2x 1  cos x 3       cos x 0  cos2x  cos  x   k  2x   k2  x   k  x   k (k  Z) 3 2 21 tg x  cot g x 2  tg x  tg x 2 (1) Điều kiện : tgx 0 2 (1)  tg x  2tg x  0  ( tg x  1) 0     tg2 x 1  tgx 1 tg     x   k (k  Z)  4  (1) Điều kiện : cos x 0 22 4tg x  cos x (1)  4tg x 1  tg2 x   4tg x  tg x  0  tg2 x 1  tg2 x      tgx 1 tg     x   k  4 8 23 sin x  cos x  (loaïi) (k  Z) 1  (sin x )  (cos x )   (sin x  cos x )  sin x cos x  8 1 1 1   (1  sin2 2x)2  2(sin x cos x)4    sin 2x  sin 2x   sin 2x   8 2  1   sin 2 x  sin 2x  sin x    sin 2 x  sin x  sin x 1 8  sin 2x  8sin 2x  0  sin 2x 1  sin 2x 7  (loaïi)   k (k  Z)  cos 2x 0  x   k  x   2 24 2(1  sin 2x )  5(sin x  cos x )  0  2(sin x  cos x )  5(sin x  cos x )  0     sin x  cos x 1  sin x  cos x   (loaïi)  sin  x    sin 4     3   x    k2  x    k2  x   k2  x   k2 (k  Z) 4 4 (  sin x )  12 (sin x  cos x )   25  5(sin x  cos x )  12(sin x  cos x )  0       sin x  cos x 1  sin x  cos x   sin  x    sin  sin  x    sin  4 4     3  x  k2  x   k2  x    k2  x     k2 (k  Z 4 2 cos x  cos x sin x  sin x  26     cos x   15 0   5 cos x   cos x        cos x   0 28  cos x    cos x    cos x    27  cos x  2           cos x   2   cos x      cos x  2   cos x   cos x   cos x   cos x   cos x  1   cos x 0 (1)   cos x 2 (2) Điều kieän : cos x 0 cos x cos x (1)   cos2 x 0  cos2 x  (vô nghiệm) (2)  cos x  cos x  0  (cos x  1) 0  cos x 1  x k 2 (k  Z) 2 29 cos x  1 cos x  cos x cos x 2  1        cos x    cos x    cos x     cos x    0 cos x  cos x cos x   cos x    1  cos x   (1)  cos x  2 (2) Điều kiện : cos x 0 cos x cos x (1)  cos x  cos x  0 (vô nghiệm) (2)  cos x  cos x  0  (cos x  1) 0  cos x 1  x k 2 (k  Z) 2 1       2  cos x  30 cos x      cos x    2  cos x   1 cos x  cos x  cos x  cos x    2 1       cos x     cos x    0  [cos x  cos x  1] 0  cos x  cos x  0 cos x  cos x     cos x  cos x  0  cos x  1 1  (loaïi)  cos x  cos   x   k2 (k  Z) 2   31  cos x        cos x    0 cos x  cos x   2             cos x       cos x    0   cos x     cos x    0 cos x  cos x  cos x  cos x        1  cos x   (1)  cos x   (2) Điều kiện : cos x 0 cos x cos x  (1)  cos x  cos x  0   cos x    cos x   cos   x    k 2   (loaïi) (k  Z)   (2)  cos2 x  3cos x  0  cos x  cos  cos x  (loaïi)  x   k2 (k  Z) 3  Vậy nghiệm phương trình : x   k 2 v x   k 2 (k  Z)   32  sin x    sin x     sin x   0 sin x         sin x     sin x    0 sin x   sin x   1  sin x   (1)  sin x  2 (2) Điều kiện : sin x 0 sin x sin x (1)  sin x  sin x  0 (vô nghiệm)  (2)  sin x  sin x  0  (sin x  1) 0  sin x 1  x   k 2 (k  Z)   33  sin x      sin x      0 sin x  sin x   2             sin x       sin x    0   sin x     sin x    15 0 sin x  sin x  sin x  sin x         sin x   (1)  sin x   (2) Điều kieän : sin x 0 sin x sin x (1)  sin x  sin x  0 (vô nghiệm) (2)  2sin x  5sin x  0  sin x  2(loaïi)  sin x   x   7  k2  x   k2 (k  Z) 6   sin     6 2 34 C1 : tg x  cot g x  2( tgx  cot gx ) 6 (*) Điều kiện : sin x cos x 0  sin 2x 0  x  k (k  Z) (*)  ( tgx  cot gx )   2( tgx  cot gx ) 6  (tgx  cot gx )  2(tgx  cot gx )  0  tgx  cot gx 2 (1)  tgx  cot gx  (2) (1)  tgx  (2)      tg x  tgx  0  ( tgx  1)2 0  tgx 1  tg  x   k (k  Z) tgx 4 sin x cos x     sin x  cos x  sin x cos x   sin x 1  sin 2x  sin( ) cos x sin x  2x   7  7  k2  2x   k2  x   k  x   k (k  Z) 6 12 12   7  k  x   k (k  Z) 12 12 2 2 2 C2 : Đặt t  tgx  cot gx  t (tgx  cot gx)  tg x  cot g x  tgx cot gx  tg x  cot g x  2  t 2 2 tg x cot g x  4  t 4  t 2   t  Vậy nghiệm phương trình : x   k  x  2  Khi t 2  tgx  cot gx 2  tgx  tgx 2  tg x  2tgx  0  (tgx  1) 0  tgx 1  tg    x   k (k  Z) 4  Khi t   tgx  cot gx     2sin 2x 1  sin 2x   2x  sin x cos x    sin x  cos x  sin x cos x cos x sin x   sin     6  7  7  k2  2x   k2  x   k  x   k (k  Z) 6 12 12  Vậy nghiệm phương trình cho : x   k  x   7  k  x   k (k  Z) 12 12 2 35 tg x  cot g x  5(tgx  cot gx )  0 (*) Điều kiện : sin x cos x 0  sin 2x 0  x  k (k  Z) (*)  (tgx  cot gx)   5(tgx  cot gx )  0  ( tgx  cot gx )  5( tgx  cot gx)  0  tgx  cot gx  (1)  tgx  cot gx  (2) (1)  tgx  (2)    tg x  tgx  0 tgx (vô nghiệm) sin x cos x     sin x  cos x  sin x cos x   sin x 1  sin 2x  sin( ) cos x sin x  2x   7  7  k2  2x   k2  x   k  x   k (k  Z) 6 12 12 Vậy nghiệm phương trình cho : x  36  7  k  x   k (k  Z) 12 12  cot g x  4(tgx  cot gx )  0 (1) cos x Điều kiện : sin x cos x 0  sin 2x 0  x  (1)  k (k  Z)  cot g x  4(tgx  cot gx )  0  3(1  tg x )  cot g x  4(tgx  cot gx )  0 cos x  3(tg x  cot g x )  4(tgx  cot gx)  0  3[( tgx  cot gx)  2]  4(tgx  cot gx)  0  3( tgx  cot gx )  4( tgx  cot gx )  0 (*) 2 2 Đặt : t  tgx  cot gx  t (tgx  cot gx)  tg x  cot g x  tgx cot gx  tg x  cot g x  2 tg x cot g x  4  t 4  t 2   t 2  t  (*)  3t  4t  0  t   t  Khi : t    2x  37 (loaïi) sin x cos x    sin x  cos x  sin x cos x  sin 2x  cos x sin x    k2  x   k (k  Z)  2tg x  5( tgx  cot gx )  0 (1) sin x k (k  Z) (1)  2(1  cot g x )  tg x  5( tgx  cot gx )  0  2(tg x  cot g x )  5(tgx  cot gx)  0  2[( tgx  cot gx)  2]  5( tgx  cot gx)  0  2( tgx  cot gx )2  5( tgx  cot gx ) 0 (*) 2 2 Đặt : t  tgx  cot gx  t (tgx  cot gx)  tg x  cot g x  tgx cot gx Điều kiện : sin x cos x 0  sin 2x 0  x   tg x  cot g x  2 tg x cot g x  4  t 4  t 2   t 2  t  (*)  2t  5t 0  t  Khi t   t 0 (loaïi) sin x cos x     2(sin x  cos x )  sin x cos x  sin 2x  sin  cos x sin x  2x   k2       x   k  x    k (k  Z) 2  2x     k2 38 (sin x  cos x)  2(1  sin 2x)  sin x  cos x   (sin x  cos x)  0 2(sin x  cos x)  sin x  cos x  0   đặt t sin x  cos x  cos  x   điều kiện: t  4  Phương trình trở thaønh :  t  2t  t  0  (t  2)(t +1) =  t = 39 2(sin x  cos x) tgx  cot gx sin x cos x  2(sin x  cos x)    2(sin x  cos x)sin x cos x 1 cos x s inx   đặt t sin x  cos x  cos  x   điều kiện: t  4  Phương trình trở thaønh :  t  t  0  (t  2)(t + 2t +1) =  t = 40 sin3 x  cos3 x sin 2x  sin x  cos x  (sin x  cos x)(1  sin x cos x) 2sin x cos x  sin x  cos x  t2   đặt t sin x  cos x  cos  x    sin x cos x  điều kiện: t  4  Phương trình trở thành : t  2t  t  0  (t  1)(t + 2t  5) =  t =  t =  (loaïi )  t = 41 cos x  1 10  sin x   cos x sin x   10  (sin x  cos x)    sin x cos x    t2   đặt t sin x  cos x  cos  x    sin x cos x  4  điều kiện: t  Phương trình trở thành : 3t  10t  3t  10 0  (t  2)(3t  4t  5) =  t =  t =  19  19  t= (loaïi) 3 42 (cos 4x  cos2x) 5  sin 3x VT (cos 4x  cos2x)2 (2sin 3x sin x)2 sin 3x sin x 4 VP 5  sin 3x 4 Vậy phương trình tương đương với heä : sin2 3x sin x 1 sin x 1 cos x 0     x   k2   sin 3x  sin 3x  sin 3x  43 (cos 4x  cos2x) 5  sin 3x VT (cos 4x  cos2x)2 (2sin 3x sin x)2 sin 3x sin x 4 VP 5  sin 3x 4 Vậy phương trình tương đương với hệ : sin2 3x sin x 1 sin x 1 cos x 0     x   k2   sin 3x  sin 3x  sin 3x  44 sin x  cos x  2(2  sin 3x)   VT sin x  cos x  sin  x    VP  2(2  sin 3x)  4  Vậy phương trình tương đương với hệ :       x   k2   sin  x   1  x   k2    vô nghiệm 4   2  sin 3x 1 sin 3x 1  x    m2   Vậy phương trình cho vô nghieäm 45 sin13 x  sin14 x 1  sin13 x  sin14 x sin x  sin x Vì cos x 1  cos13 x cos2 x ; sin x 1  sin14 x sin x Vậy sin13 x  sin14 x 1 Dấu đẳng thức xảy khi:   cos13 x cos2 x cos2 x(cos11 x  1) 0 x   k cos x 0 cos x 1 m       x   14    2 12  sin x sin x sin x(sin x  1) 0 sin x 1 sin x 0  x k2 46 sin x  cos x  (2  sin 3x ) (1)   VT sin x  cos x  cos  x    4  VP  (2  sin 3x )  (2  1)         cos  x    cos  x   1      4 Vaäy (1)    2(2  sin 3x)  2  sin 3x 1      cos  x   1 4   sin 3x 1  (1) (2)   k 2  x   k 2 ( k  Z) 4 (1)  x  3  3   k6  sin  1 vào (2) ta có : sin 3x sin    Vậy phương trình vô nghiệm 47 (cos x  cos x ) 5  sin 3x VT ( sin 3x sin x ) 4 sin 3x sin x 4 VP 5  sin 3x 5  4 (1)    sin x 1 Vaäy (1)  54sin sin33xxsin4x 4  sinsin 3x3xsin x 1  sinsin 3xx 1  3sin x  4sin x  (2) 2 2  sin 3x 3   thoûa mãn vào (2) ta có :  Khi sin x   x   k 2 (k  Z) sin x   1   không thỏa vào (2) ta có :  Vậy nghiệm phương trình : x   k 2 (k  Z) Khi sin x 1  x   k 2 (k  Z) 48  sin 2 x sin x  cos x (1) VT   sin 2 x  Dấu xảy  sin2x =  x  k (k  Z) (*) VP sin x  cos x   sin x  cos x  Dấu xảy  sin x cos x   tgx  (**) 2 Thế (*) vào (**) không thỏa nên phương trình vô nghiệm 49 sin 2x  cos 2x  sin x  cos x 4 (1) (1)  3 sin x  cos x  sin x  cos x 2 2 2          cos sin 2x  sin cos 2x  sin sin x  cos cos x 2  sin  2x    cos  x   2 (*) 6 3 6 3       Vì sin  2x   1 cos  x   1 nên (*) 6 3      sin  2x   1       cos  x    1    3    sin  2x   1     x    k2    2     sin 1 sin    k4  1        x   k2   x    k2  x    k2    Vậy nghiệm phương trình : x   k 2 (k  Z) 10   3  x   2k  x     2k  x     2k Trong  góc có sin   4 2 73 Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1997 cos4 x  sin x cos 2x  cos4 x  sin x cos4 x  sin x  sin x  sin x 0  s inx 0  sin x(sin2 x  1) 0    x  k   sin x 0 (vô nghiệm) 74 Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1997 x 3x x 3x cos x.cos cos  sin x.sin s in  2 2 1 cos x(cos x  cos2x)  sin x(cos x  cos2x)  2 2  cos x  cos x cos 2x  sin x cos x  sin x cos 2x 1  cos x cos 2x  sin x cos 2x sin x  sin x cos x  cos 2x(cos x  sin x) sin x(sin x  cos x)  (cos x  sin x)(cos2x  sin x) 0  (cos x  sin x)(1  2sin x  sin x) 0  (cos x  sin x)(2sin x  sin x  1) 0    5  tgx   sin x   sin x   x   k  x   2k  x   2k  x   2k 6 75 Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1998  sin 3x  sin 2x  s in x 0  cos 6x  cos2x   sin2 2x 0  (cos 2x  cos 6x)  sin 2x 0 2 2  sin 4x sin 2x  sin 2x 0  2sin 2x cos 2x  sin 2x 0  sin 2x(2 cos 2x  1) 0 k   sin 2x 0  cos 2x   x   x   2k 2 76 Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B naêm 1998 2(cot g2x  cot g3x) tg2x  cot g3x Điều kiện : sin 2x  ; sin 3x 0 ; cos 2x 0  cos 2x cos3x  sin 2x cos3x 2(cot g2x  cot g3x) tg2x  cot g3x       sin 2x sin 3x  cos 2x sin 3x  2sin x cos x 2sin x(cos 2x  cos2 x)   0  sin x 0 (loaïi) ñk sin 2x sin 3x sin 3x cos2x sin 2x sin 3x cos2x sin 2x 0 Vậy phương trình vô nghiệm 77 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 1997  sin x sin 2x  sin 3x 6 cos3 x  2sin x cos x  3sin x  4sin x 6 cos3 x  tg3 x  2tg2 x  3tgx  0  (tgx  2)(tg2 x  3) 0  tgx 2 tg  tgx    x   k  x   k 78 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 1998 15 Xác định a để hai phương trình sau tương đương cos x cos 2x 1  cos2x  cos3x cos2 x  cos3x a cos x  (4  a)(1  cos 2x) Giaûi  cos x cos 2x 1  cos2x  cos3x  cos3x  cos x 2cos x  cos3x  cos x 2c os2 x  cos x 0  cos x 1/  cos2 x  cos3x a cos x  (4  a)(1  cos 2x)  cos2 x  (4 cos3 x  3cos x) a cos x  2(4  a) cos2 x  cos3 x  (4  2a) cos2 x  (a  3) cos x 0  cos x(2 cos x  1)(2 cos x  a  3)  a  cos x 0  cos x   cos x  2 Hai phương trình sau tương đương a a a a   1   1 0    a   a   a 3  a 4 2 2 79 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 2001 Xác định a để phương trình sau có nghiệm : sin x  cos6 x a sin 2x Giaûi sin x  cos6 x a sin 2x   sin 2x a sin 2x   3sin 2x 4a sin 2x (*) Đặt : t  sin 2x  t 1 (*)  3t  4at  0 Với t 0 ta có f(0)    phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện t1   t Như , phương trình cho có hai nghiệm phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn t1   t 1  f(1) 0  4a  0  a 1/ 80 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối B sin 3x  cos2 4x sin 5x  cos2 6x  cos 6x  cos 6x  cos10x  cos12x    2 2  (cos12x  cos10x)  (cos8x  cos6x) 0  cos x(cos11x  cos 7x) 0  cos x sin 9x sin 2x 0 k k  sin 2x 0  cos 9x 0  x   x  81 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối D Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm phương trình : co s3x  cos2x  3cos x  0 Giaûi cos3x  cos2x  3cos x  0  4cos x  3cos x  4(2 cos x  1)  3cos x  0   4cos3 x  8cos2 x 0  cos2 x(cos2 x  2) 0  cos x 0  cos x 2 (loaïi)  x   k Vì x   0;14  k 0  k 1  k 2  k 3  16  3 5 7 Vậy nghiệm phương trình là: x   x   x   x  2 2 82 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối A Tìm x thuộc đoạn x   0;2 nghiệm phương trình : cos3x  sin 3x    sin x   cos2x  (*)  2sin 2x   Giải Điều kieän :  2sin 2x 0  sin 2x  1/ (a) (*)   sin x  2sin x sin 2x  cos3x  sin 3x  (cos 2x  3)(1  2sin 2x)   sin x  cos x  cos3x  cos3x  sin 3x  (cos 2x  3)(1  2sin 2x)   sin x  sin 3x  cos x  (cos 2x  3)(1  2sin 2x)  5cos x   sin 2x  (cos 2x  3)(1  2sin 2x)  5cos x cos 2x   5cos x 2 cos2 x   cos2 x  5cos x  0  cos x 2 (loaïi)  cos x 1/ (thỏa đk (a))   5  x   2k Vì x   0;2  nghiệm phương trình là: x   x  3 83 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2003 khối D x  x  sin    tg2 x  cos2 0 (*) 2 4  Điều kiện : cos x 0  x   k      cos  x    cos   x   cos x sin x  cos x 2    (*)  tg x  0    0 2 2 cos x  sin x sin x  cos x sin x  cos x      0  sin x  (1  cos x)(1  sin x) 0 2 2(1  sin x)  sin x  (1  cos x)(1  cos x)  (1  cos x)(1  sin x) 0  (1  cos x)(sin x  cos x) 0   cos x   tgx   x   2k  x   k 84 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2003 khối B cotgx  tgx  sin 2x  (*) sin 2x Điều kiện : sin 2x   x  k cos x sin x 2 cos 2x   sin 2x    4sin 2x  sin x cos x sin 2x sin 2x sin 2x 2  cos 2x  4sin 2x 2  cos 2x  2(1  cos 2x) 1  cos 2x  cos 2x    cos 2x 1 (loại)  sin 2x 0 sin2x 0     x   k  cos 2x  1/ (*)  84 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2004 khối B 17 5sin x  3(1  sin x)tg x (*)  Điều kiện : cos x 0  x   k sin x sin x (*)  5sin x  3(1  sin x)  5sin x   3(1  sin x) cos2 x  sin x 3sin x  5sin x    (5sin x  2)(1  sin x) 3sin x  2sin x  3sin x  0  sin x  5  sin x  (loaïi)  s inx   x   2k  x   2k (thoûa mãn đk) 6 85 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2004 khối D (2 cos x  1)(2sin x  cos x) sin 2x  sin x  (2 cos x  1)(2sin x  cos x) 2sin x cos x  sin x  cos x  0  (2 cos x  1)(2sin x  cos x) sin x(2 cos x  1)     sin x  cos x 0    x   2k  x   k 86 Đại Học Dân Lập Văn Lang năm 1997 khối B & D  cos x 1/  tgx   3cos x  cos2x  cos3x  2sin x sin 2x  3t  2t   4t  3t  4(4  t )t (t cos x)  t 0  cos x 0   2t  2t 0      x   k  x   2k  t   cos x  87 Đại Học Thủy Sản năm 1997 khoái A cos4 x x  sin sin 2x 2 x x  sin sin 2x  cos x 2sin x cos x 2  cos x 0   5    x   k  x   2k  x   2k 6  s inx 1/  cos2 88 Trung Học Kỹ Thuật Y Tế naêm 1997 (2sin x  1)(2sin 2x  1) 3  cos2 x  2sin x sin 2x  2sin x  2sin 2x  3  4(1  sin x)  8sin2 x cos x  2sin x  4sin x cos x 4sin x  sin x 0  4sin x cos x   cos x 2sin x  x k  sin x 0      x    2k  x    2k  x  5  2k  x  5  2k 4sin x cos x  2(sin x  cos x)    6    5 5  x k  x   2k  x   2k  x   2k  x   2k 6 89 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối A 18 5 Cho phương trình : cos x sin x  sin x cos x sin 4x  m (*) Biết x  nghiệm (*) Hãy giải phương trình (*) trường hợp Giải 4 4sin x cos x(cos x  sin x) sin 4x  m  2sin 2x cos2x sin 4x  m  sin2 4x  sin 4x  m 0 (1) Vì x  nghiệm phương trình (*) nên x  nghiệm phương trình (1) Nghóa : sin 4x sin  0 từ (1)  m 0  sin 4x 0 k  k  x  x  Vậy phương trình trở thành : sin 4x  sin 4x 0    sin 4x 1 90 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối D Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm 4 6 Cho phương trình : 4(sin x  cos x)  4(sin x  cos x)  sin 4x m Giaûi     4(sin x  cos4 x)  4(sin x  cos6 x)  sin2 4x m    sin 2x     sin 2x   sin2 2x m     2  4t  3t m (t sin 2x  t 1) Đặt : f(t) 4t  3t  f / (t) 8t  3;f / (t) 0  t 3/  f(3/ 8)  / 16 Lập bảng xét dấu đạo hàm đoạn  0;1 ta có : f(0) 0 ; f(1) 1 m 1 16 91 Đại Học Luật TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối A Cho phương trình : cos 4x cos2 3x  asin x a) Giải phương trình a 1 Vậy phương trình có nghiệm :    b) Xác định tham số a để phương trình cho có nghiệm x khoảng  0;   12  Giaûi  cos 6x   cos 2x  2  a a) cos 4x c os 3x  asin x  cos 2x    2    cos 2x  1  cos 2x  cos 2x  a(1  cos 2x)  a(t  1) 4t  4t  3t  (t cos 2x)  a(t  1) (t  1)(4t  3) Khi a 1 phương trình trở thành : k (t  1) (t  1)(4t  3)  t 1  cos 2x 1  2x k  x  2 2 b) cos 4x c os 3x  asin x  a(t  1) (t  1)(4t  3) (*) (t cos 2x)     x   0;    x    2x    cos 2x   12  12     (*)  a 4t  f(t)  f / (t) 8t  với t   ;1  vaø f     19  t 1 3  0 ; f  1 1    ;1  ta thấy phương trình có nghiệm  a  Lập bảng xét dấu đạo hàm khoảng    92 Đại Học Ngoại Thương năm 1997 khối D 2tgx  cot gx   sin 2x 2sin x cos x   3 (1) cos x sin x sin x cos x sin x  Điều kiện : sin x cos x    cos x 0   2sin x  cos2 x  sin x cos x    sin x  sin x cos x   sin x  sin x cos x  sin x 0 (loaïi)     tgx   x   k  sin x  cos x 93 Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1994 4sin 2x  6sin x   3cos 2x 0 (*) cos x Điều kiện : cos x  (*)  4(1  cos2 2x)  3(1  cos2x)   3cos2x 0  cos 2x  3cos 2x  0  cos2 x 0  cos2x    cos2x 0  cos x 0 (loaïi)           x   k  cos2x  1/  cos2x  1/  cos 2x  1/  cos2x  1/ 94 Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1996 Tìm nghiệm phương trình : sin thỏa mãn bất phương trình : x  cos4 x cos 2x (1)  log (2  x  x ) 0 (2) Giaûi  sin x  cos4 x cos 2x    cos 2x 1  x k  sin 2x cos 2x  cos2 2x  cos 2x  0 2  x  x    log (2  x  x ) 0  log (2  x  x )    12   x  2  x  2  x  x     x        x 0 x  x 0    x 0    k   k 0 Vậy x 0 Nghiệm (1) thỏa (2)     k 0 95 Đại Học Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh năm 1994  cos3x 1  sin 3x 1  sin 3x 0    2 cos 3x 1  sin 3x  3sin 3x sin 3x  /  4sin 3x  sin 3x 0 20 ... khối D năm 2000 s in2x  4(cos x  sin x) m a) Giải phương trình m 4 b) Với giá trị m phương trình có nghiệm? Giải a) Khi m 4 , phương trình có dạng : s in2x  4(cos x  sin x) 4  (1  sin... 0 Với t 0 ta coù f(0)    phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện t1   t Như , phương trình cho có hai nghiệm phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn t1   t 1  f(1) 0  4a ... đoạn  0;1 ta có : f(0) 0 ; f(1) 1 m 1 16 91 Đại Học Luật TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối A Cho phương trình : cos 4x cos2 3x  asin x a) Giải phương trình a 1 Vậy phương trình có nghiệm : 