Sử dụng mát tính casio fx 500MS để giải một số bài toán về đa thức I. Đặt vấn đề. - Trong vài năm học sinh cấp THCS đã đợc làm quen với cách sử dụng MTBT trong SGK. Ngoài ra các quận, huyện, tỉnh và thành phố đã tiến hành thi giải toán trên máy tính CASIO, trên cơ sở đó tuyển chọn học sinh tham gia kỳ thi cấp khu vực hàng năm. - Bài viết này trớc hết muốn giới thiệu một dạng toán thờng xuất hiện trong các kỳ thi, từ cấp cơ sở đến cấp khu vực. Những bài toán liên quan đến đa thức. - Phần tính toán minh họa dựa trên máy tính CASIO fx - 500MS. II. Một số bài toán. Bài 1: Cho đa thức P(x) = 6x 3 - 7x 2 - 16x + m a) Tìm m để đa thức P(x) chia hết cho 2x + 3 b) Với m vừa tìm ở câu a, tìm số d khi chia P(x) cho x - 1,125 Sơ l ợc cách giải: a) Từ đt suy ra: P(x) = (2x + 3).q(x) (đúng với mọi x) => 6x 3 - 7x 2 - 16x + m = (2x + 3). q(x) (đúng với mọi x) => m = (2x + 3). q(x) - (6x 3 - 7x 2 - 16x) (đúng với mọi x) = (2x + 3). q(x) - h(x) Vậy m = 0.q 2 3 - h = 2 3 2 3 h Tính trên máy biểu thức - h 2 3 1) Nhớ số 2 3 vào ô A - 3 a b/c 2 shift Sto A 2) ẩn tiếp - ( 6 SUHA A x 3 - 7 SUHA A x 2 - 16 SUHA A ) = Kết quả: m = 12 b) Ta có P(x) = 6x 3 - 7x 2 - 16x + 12 Khi đó số d r trong phép chia P(x) cho x - 1,125 là P(1,125). Thực hiện quy trình trơng tự nh trên ta đợc: r = P(1,125) = - 6,31640625 Bài 2: Cho đa thức f(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + ax 2 + bx + c Biết rằng đa thức f(x) chia hết cho đa thức (x 2 - 1) (x - 2) Hãy xác định a, b, c. Lời giải sơ l ợc: - Từ at suy ra f(x) = (x - 1) (x + 1) (x - 2). q(x) => f(1) = f(-1) = f(2) = 0 Suy ra ta có hệ phơng trình bậc nhất ba ẩn a, b, c =++ =+ =++ 024 6 0 cba cba cba - Quy trình giải hệ phơng trình. 1) Vào chơng trình 1 1 1 0 1 1 1 6 4 2 1 0 Kết quả a = 1, b = -3, c = 2 Bài 3: Cho đa thức: Q(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d. Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11 Tính Q(10); Q(11); Q(12); Q(13) Lời giải sơ l ợc: - Để ý rằng Q(1) = 5 - 1.2 + 3; Q(2) = 7 = 2.2 + 3 Q(3) = 9 = 3.2 + 3; Q(4) = 11 = 4.2 + 3 - Xét đa thức R(x) = Q(x) - (2x + 3) (1) Ta có R(1) = R(2) = R(2) = R(4) = 0 => 1; 2; 3; 4 là các nghiệm của đa thức R(x). Mặt khác R(x) là đợc thức bậc 4 có hệ số của x 4 là 1 nên R(x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) (2) Từ (1) và (2) suy ra: Q(x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) + (2x + 3) - Vậy Q(10) = 10 - 1) (10 - 2) (10 - 3) (10 - 4) + (2.10 + 3) = = = = 1 = = = = = = = = = 9 . 8 . 7 . 6 + 2 . 10 + 3 = 3047 Tơng tự Q(11) = 5065 Q(12) = 7947 Q(13) = 11909 Bài 4: Giả sử (1 + x + x 2 ) 24 = a 0 + a 1 .x + a 2 .x 2 + + a 48 x 48 Hãy tính S = a 0 + a 1 + a 2 + + a 48 Sơ l ợc lời giải: - Đặt f(x) = (1 + x + x 2 ) 24 Suy ra S = f(1) = 3 24 - Ta có S = 3 24 = 3 20 . 3 4 = 3489784401 x 81 = (34867 . 10 5 + 84401) x 81 = 34867 x 81 x 10 5 + 84401 x 81 - Sử dụng máy tính để tính 34867 x 81 và 84401 x 81 để từ đó suy ra S = 282429536841 Bài 5: Cho đa thức f(x) = 2.x 2 + 3.x 3 + 4.x 4 + + n.x n Biết rằng f(2) = 2 n + 37 . Tìm n? Sơ l ợc lời giải: - Ta có f(2) = 2.2 2 + 3.2 3 + 4. 2 4 + + n.2 n => f(2) = 2f(2) - f(2) = (2.2 3 + 3.2 4 + 4.2 5 + + n.2 n+1 ) - (2.2 2 + 3.2 3 + 4.2 4 + + n.2 n ) = n.2 n+1 - 2 2 - (2 2 + 2 3 + 2 4 + + 2 n ) = n.2 n-1 - 2 2 - A (1) Mặt khác: A = 2A - A = 2 n+1 - 2 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra: f(2) = 2 n+1 (n - 1) (3) - Từ (3) và từ at ta có: 2 n+1 (n - 1) = 2 n + 37 => n - 1 = 2 36 => n = 2 36 + 1 - Sử dụng máy tính và tính tơng tự nh bài 4 ta đợc: n = 2 30 . 2 6 + 1 = 68719476737 Bài 6: Cho đa thức f(x) = x 5 + x 2 + 1 có 5 nghiệm x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 . Ký hiệu P(x) = x 2 - 2 Tính M = (Px 1 ); (Px 2 ); (Px 3 ); (Px 4 ); (Px 5 ) Sơ l ợc lời giải: - Đa thức bậc 5 có 5 nghiệm x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 và có hệ số của x 5 là 1 nên f(x) có dạng. f(x) = (x - x 1 ) (x - x 2 ) (x - x 3 ) (x - x 4 ) (x - x 5 ) => f (a) = (a - x 1 ) (a - x 2 ) (a - x 3 ) (a - x 4 ) (a - x 5 ) - Xét M = (Px 1 ); (Px 2 ); (Px 3 ); (Px 4 ); (Px 5 ) = (x 2 1 - 2) (x 2 2 - 2) (x 2 3 - 2) (x 2 4 - 2) (x 2 5 - 2) = ( )( )( )( )( ) 22222 54321 xxxxx ( )( )( )( )( ) 22222 54321 +++++ xxxxx = f( 2 ) . f(- 2 ) = ( ) ( ) ( ) ++ + + 122122 2525 = 3 2 - ( 2 ) 10 = - 23 Bài 7: Cho đa thức f(x) = x 2 - x - 1 Đặt S n = x n 1 + x x 2 với x 1 , x 2 là các nghiệm của đa thức f(x). a) Lập quy trình tính S n theo S n - 1 và S n - 2 (n 2) b) áp dụng quy trình đó tính S 19 . Sơ l ợc lời giải: a) Vì a.c = - 1 < 0 => f(x) có 2 nghiệm x 1 , x 2 áp dụng hệ thức viét: x 1 + x 2 = 1 và x 1 x 2 = -1 => S 1 = 1; S 2 = 3 - Ta có S n - S n - 1 - S n - 2 = 0 (n 2) Thật vậy: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 1 111 +++ nnnnnn xxxxxx = ( ) ( ) 1 2 1 22 2 1 1 11 + nnnnnn xxxxxx = ( ) ( ) 11 2 2 2 2 11 2 1 2 1 + xxxxxx nn = 00.0. 2 2 2 1 =+ nn xx Suy ra, S n = S n - 1 + S n - 2 III. Kết luận. - Để giải các bài toán, học sinh phải nắm vững và vận dụng nhuần nhuyễn những kiến thức cơ bản liên quan đến đa thức. Do đó muốn tìm ra đáp số của bài toán, học sinh trớc hết phải giỏi toán. - Những bài toán mà phần tính toán liên quan đến quy trình bấm phím liên tục (nh bài 7 chẳng hạn) là những bài đòi hỏi sự sáng tạo của học sinh khi thao tác trên máy tính CASIO. Quy trình ở bài 7 là quy trình đơn giản nhng hạn chế ở chỗ nếu n càng lớn thì vận dụng gặp khó khăn. - Cuối cùng rất mong sự góp ý của các đồng nghiệp quan tâm đến vấn đề này. . (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) (2) Từ (1) và (2) suy ra: Q(x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) + (2x + 3) - Vậy Q(10) = 10 - 1) (10 - 2) (10 - 3) (10 -. dạng. f(x) = (x - x 1 ) (x - x 2 ) (x - x 3 ) (x - x 4 ) (x - x 5 ) => f (a) = (a - x 1 ) (a - x 2 ) (a - x 3 ) (a - x 4 ) (a - x 5 ) - Xét M = (Px 1