CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CHỦ ĐỀ; CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ Người viết: Vâ Hoa Th¬m Giáo viên trường THCS Toµn th¾ng Mở đầu: Đối với cấp THCS Các bài toán về cực trị chủ yếu chỉ xét các biểu thức chứa biến đơn giản, các hàn số không quá phức tạp. Do vậy trong phạm vi bài viết này tôi chỉ đưa ra vài phương pháp giải hay gặp để các bạn tham khảo.(Các ví dụ minh họa chỉ giải vắn tắt) Phần I: Giới thiệu một số phương pháp giải 1) Phương pháp tìm cực trị dựa vào lũy thừa bậc chẵn sau khi biến đổi hàm số y = f(x) sao cho được: + y = M - g(x) 2n (n ∈ Z) Khi đó y ≤ M : y max = M khi và chỉ khi g(x) =0 + y = m + h(x) 2k (k ∈ Z) Khi đó y ≥ m : y min = m khi và chỉ khi h(x) =0 Ví dụ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) Giải: Ta có: y = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) ⇔ y = (x 2 +5x +4) (x 2 +5x +6) ⇔ y = (x 2 +5x +4) [ ] ( 2 5 4) 2x x+ + + ⇔ y = (x 2 +5x+4) 2 +2(x 2 +5x+4) + 1-1 ⇔ y = (x 2 +5x+4+1) 2 -1 ⇔ y = (x 2 +5x+5 ) 2 -1 ⇒ y ≥ -1 vậy y Min = -1 ⇔ x 2 +5x+5 =0 ⇔ x = 5 5 2 − ± Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số S = x 6 +y 6 biết x 2 +y 2 =1 Giải: Ta có: x 2 +y 2 =1 ⇔ y 2 =1- x 2 và y 6 =(y 2 ) 3 ⇒ S = x 6 +(1- x 2 ) 3 = 3(x 2 - 1 2 ) 2 + 1 1 4 4 ≥ Vậy S = 1 4 tại x 2 = 1 2 ⇔ x = 2 2 hoặc x = - 2 2 Mặt khác: x 2 + y 2 = 1 ⇒ x 2 ≤ 1 ⇔ -1 ≤ x ≤ 1 ⇒ S Max ⇔ (x 2 - 1 2 ) đạt Max ⇔ x = 1 Hoặc x = 0 Vậy: S Min = 1 4 ; S Max = 3( 1 2 ) 2 + 1 4 = 1 Ví dụ 3 Tìm giá nhỏ nhất của biểu thức A= 2x 2 +2xy +y 2 – 2x+2y +1 Giải Ta có: A= 2x 2 +2xy +y 2 – 2x+2y +1 ⇔ A= (x+y+1) 2 +(x- 2) 2 – 4 ≥ -4 ⇒ A Min = - 4 ⇔ x-2 = 0 và x+y+1 = 0 ⇔ x=2 và y = -3. 2) Phương pháp tìm cực trị dựa vào tập giá trị hàm số Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 2 6 1 2 1 x x x + + + Giải: Hàm số xác định với mọi giá trị của x vì x 2 +1 ≥ 1 với mọi x Gọi y 0 = 2 6 1 2 1 x x x + + + ⇔ y 0 (x 2 +1) = x 2 +6x+1 (Luôn có nghiệm) ⇔ y 0 (x 2 +1) - x 2 - 6x- 1= 0 (Luôn có nghiệm) ⇔ (y 0 - 1)x 2 - 6x +y 0 – 1= 0 (Luôn có nghiệm) * Với y 0 = 1 thì x = 0 được giá trị thích hợp * Với y 0 ≠ 1 : ∆ = 9- (y 0 -1) 2 ≥ 0 ⇔ (y 0 -1) 2 ≤ 9 ( 1)yo − ≤ 3 ⇔ -3 ≤ y 0 -1 ≤ 3 ⇔ -2 ≤ y 0 ≤ 4 Vậy: y Min =-2 y max = 4 3. Phương pháp tìm cực trị dựa vào tính chất bất đẳng thức a. Dựa vào bất đẳng thức couxi (Giáo viên tự tìm hiểu BĐT cou xi ) Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y = 3x (3-2x) Giải : Ta có: y = 3x (3-2x) = 3 2 .2x (3-2x) Dựa vào tính chất bất đẳng thức Couxi, chọn a = 2x ; b = 3- 2x khi đó a + b =3 Do đó y Max = ( 2 a b+ ) 2 = ( 3 2 ) 2 = 9 4 ⇔ x = y = 3 2 b. Dựa vào bất đẳng thức Bunhicopxky (Giáo viên tự tìm hiểu BĐT Bunhicopxky) Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y = 6 x− + 2x + ( Với y > 0) Giải: Điều kiện 6-x ≥ 0; x+2 ≥ 0 ⇔ -2 ≤ x ≤ 6 Vì y > 0 nên y 2 = ( 6 x− + 2x + ) 2 Dựa vào bất đăng thức Bunhicopxky chọn a = 1; c = 6 x− ; b=1; d= 2x + ⇒ y 2 = (1+1)(6-x +x+2) = 2.8 = 16 y 2 = 16 ⇒ y = 4 ⇔ -4 ≤ y ≤ 4 vì y > 0 nên ta có 0 ≤ y ≤ 4 vậy y Max = 4 ⇔ 6 x− = 2x + ⇔ x=2 KL: y Max = 4 khi x=2 4. Phương pháp tìm cực trị bằng cách đặt ẩn phụ Ví dụ: Với giá trị nào của x thì biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất P (x) = 4 4 16 3 56 2 80 365 2 2 5 x x x x x x + + + + + + (1) Giải: Chia tử thức cho mẫu thức ở biểu thức (1)ta được: P (x) = 4x 2 + 8x + 20 + 256 2 2 5x x+ + = 4(x 2 +2x+5) + 256 2 2 5x x+ + Đặt X= x 2 +2x+5 ta được P (x) = 4X+ 256 X Mặt khác X= x 2 +2x+5 = (x+1) 2 +4 ≥ 4 với mọi x ⇒ X > 0 ⇒ 4X > 0 Và 256 X > 0 với mọi x Vậy P (x) đạt giá trị nhỏ nhất khi 4X = 256 X ⇔ X= 8 tức là x 2 +2x+5 =8 ⇔ x 2 +2x - 3 = 0 ⇔ x=1 và x= -3 Vậy với x= 1 hoặc x= -3 thì biểu thức P (x) đạt giá trị nhỏ nhất Phần II: Một số bài tập tự giải Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A (x) = 2x 2 -8x +1 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B (x) = 2 15 16 3 x x x + + với x > 0 Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M (x) = 3 2 6 10 2 2 3 x x x x + + + + Bài 4: tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S (x) = 8 2 2x x + với x >0 Bài 5: Tìm các giá trị x; y; z sao cho biểu thức P (x) = x 2 + y 2 +z 2 đạt giá trị nhỏ nhất biết x +y +Z = 1995 Bài 6: Tìm các giá trị m; p sao cho biểu thức Q (x) = m 2 -4mp+5p 2 +10m-22p+28 đạt giá trị nhỏ nhất Ngày 5/8/2010