Tr ờng THCS Đoàn Th ợng 1 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 Năm học 2010-2011 Môn : Toán Câu 1:(1,5 điểm) Cho a Z , chứng minh rằng a 5 - a chia hết cho 30. Câu 2 : (2 điểm) Cho P = ( ) 1 122 1 2 + + ++ x x x xx xx xx a. Rút gọn P b.Tìm giá trị lớn nhất của P. c. Tìm x để biểu thức Q = P x2 nhận giá trị là số nguyên Câu 3:(2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có các cạnh là a , b , c .Kẻ đờng cao AD . Kẻ DE , DF tơng ứng vuông góc với AB và AC .Đặt BE = m; CF = n ; AD = h. Chứng minh rằng : a) 3 m c n b = ữ b) 3h 2 + m 2 + n 2 = a 2 Câu 4(3 điểm): Giải các phơng trình : a. 721 =++++ xxx b. 381257 2 +=+ xxxx c. ( ) 191611441 =+++ xxxx Câu 5(2 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn một trong các đẳng thức sau : a. 723 + yxxy = 0 b. xyyxyxxy ++=+++ 222 212 Câu 6:(1,5 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng : 1 a b c a c b b c a c b a + + < Câu 7 (1,5 điểm) Cho 3 đờng thẳng (d 1 ): y = ( ) ( ) 51 22 + mxm với 1 m (d 2 ): y = 1 + x (d 3 ): y = 3 + x a. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì d 1 luôn đi qua một điểm cố định . b. Chứng minh rằng (d 1 ) // (d 3 ) thì (d 1 ) (d 2 ) c. Xác định m để 3 đ ờng thẳng (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ) đồng quy. Câu 8(3 điểm) Cho hai đờng tròn (O) (O , ) tiếp xúc ngoài tại A . Gọi AB là đờng kính của đờng tròn (O), AC là đờng kính của đờng tròn (O , ) , DE là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn D thuộc (O), E thuộc (O , ), K là giao điểm của BD và CE a) Tứ giác ADKE là hình gì ? vì sao ? b) CMR: AK là tiếp tuyến chung của hai đ ờng tròn (O) và (O , ). c) Gọi M là trung điểm của BC CMR: MK DE Câu 9 (2 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 9124441 22 ++++ xxxx b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 4 24 2 ++ xx x Câu 11 (1,5 điểm) Cho đờng tròn tâm I bán kính r nội tiếp tam giác ABC . CMR: IA+IB+IC 6r .** * . Đáp án đề 1 Câu 1: (1,5 điểm) a 5 -a = a(a 4 -1) = a(a 2 -1)(a 2 +1) = a(a-1)(a+1)(a 2 -4+5) = a(a-1)(a+1) ( )( ) [ ] 522 ++ aa = a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1) (0.5đ) Hạng tử thứ nhất chia hết cho 5 vì là tích của năm số nguyên liên tiếp . Hạng tử thứ hai cũng chia hết cho 5 do đó : a 5 -a 5 (0.25đ) Ta thấy: a 5 -a = a(a-1)(a+1)(a 2 +1) Do (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 2 và 3 , tức là chia hết cho 6 vì (2,3) = 1 (0.5đ) a 5 -a vừa chia hết cho 5 , vừa chia hết cho 6 mà (5,6) =1 nên a 5 -a 30 (0.25đ) Câu 2 (2 điểm) Câu a ,c mỗi câu 0,75 điểm, câu b 0,5 điểm a) Điều kiện để P có nghĩa là x > 0, x 1 (0,25đ) P = ( )( ) ( ) ( )( ) 1 11212 1 11 + + + ++ ++ x xx x xx xx xxxx (0,25đ) = ( ) 122121 +=++ xxxxxx (0,25đ) b) P = x- x +1= 4 3 4 3 2 1 2 + x P đạt GTNN là 4 3 khi x= 4 1 (0,5đ) c)Q = M x x xx x P x 2 1 1 2 1 22 = + = + = (0,25đ) Với x > 0 và x 1 . á p dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số d ơng M = 2011 1 <<>+ Q x x (0,25đ) Tìm đ ợc Q nguyên khi và chỉ khi Q = 1 2 537 = x (0,25đ) Câu 3 (2 điểm) Mỗi câu 1 điểm a) 3 2 2 6 3 2 2 2 2 2 2 3 . . . . c c c BD a c BD c b b b DC a b DC b c BD c m c c m c b DC b n b b n b c m b n = ì = ì = ì ữ = ì = ì = ì ữ ữ = ữ b) a 2 = (BD + DC) 2 = BD 2 + 2 BD.DC + DC 2 = m.c +2h 2 + n.b = m(EA + m) + n(AF + n) +2h 2 = m 2 + n 2 +2h 2 + m.EA +n.AF = m 2 + n 2 + 2h 2 + ED 2 + FD 2 = m 2 + n 2 +2h 2 + AF 2 + FD 2 = m 2 + n 2 + 2h 2 + h 2 = m 2 + n 2 + 3h 2 (đpcm) Câu 4 (3 điểm) mỗi câu 1 điểm a) Đặt 721 =++++ xxx (1) Xét 4 tr ờng hợp : x > 0 : (1) x = 3 4 -1 x 0: (1) x = 4 Loại (0,25đ) B A F C D E m n h -2 x < -1: (1) x=-6 Loại (0,25đ) x < - 2: (1) x= 3 10 (0,25đ) Vậy nghiệm của ph ơng trình là : x = 3 4 ; x= 3 10 (0,25đ) b) Điều kiện 5 x 7 (0,25đ) á p dụng BĐT CôSi cho hai số không âm ta có ( ) ( ) 2 2 15 2 17 1517 = + + + + xx xx Đẳng thức xảy ra = = 15 17 x x x= 6 (0,25đ) Mặt khác : x 2 -12x +38 = ( ) 226 2 + x .Đẳng thức xảy ra x= 6 (0,25đ) Vậy ph ơng trình có nghiệm x= 6 (0,25đ) c) ( ) ( ) 13121 22 =+ xx 21 x + 31 x = 1 (1) (0,25đ) Nếu 1 x < 5 thì x = 5 loại (0,25đ) 5 x 10 từ (1) 0x=0 ph ơng trình vô số nghiệm x >10 từ (1) x = 10 loại (0,25đ) Vậy ph ơng trình có nghiệm 5 x 10 (0,25đ) Câu 5 (2 điểm) mỗi câu 1 điểm a) xy+3x-2y-7= 0 (x-2)(y+3)= 1 (0,25đ) =+ = 13 12 y x hoặc =+ = 13 12 y x (0,25đ) Do đó : = = 2 3 y x hoặc = = 4 1 y x (0.25đ) Hai cặp số cần tìm là : (1;-4) và (3;-2) (0,25đ) b) 2y 2 x +x+y+1 = x 2 +2y 2 +xy (1) 2y 2 (x-1) - x(x-1) - y(x-1) +1=0 ( ) (0,25đ) Vì x= 1 không phải là nghiệm nên chia cả hai vế cho x-1 ta có ( ) 2y 2 - x-y+ 1 1 x = 0 (2) (0,25đ) Để (1) nguyên thì 1 1 x phải nguyên . Nên x-1 = 1 = = 0 2 x x (0,25đ) Thay x = 2 và x= 0 vào (2) ta có y nguyên khi y= 1 Vậy ph ơng trình đã cho có hai nghiệm nguyên (2;1) và (0;1) (0,25đ) Câu 6 (1,5 điểm) Đặt ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 a b c a c b a b b c c a M b c a c b a b a c b a c a b b c c a c a b a b c b c a ab bc ac abc a c b c b a abc = + + = + + = + + = + + = (0,5đ) Vì a ,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a c b b c a b a c < < < 1 1M abc abc < ì = (0,75đ) Vậy M < 1 (đpcm) (0,25đ) Câu 7 (1,5 điểm) Mỗi câu 0.5 điểm a) y= (m 2 -1)x+(m 2 -5) = m 2 (x+1)-x-5 (0,25đ) Với mọi m khi x=-1 thì y = -4 Vậy (d 1 ) luôn đi qua điểm cố định là (-1;-4) (0,25đ) b) Vì (d 1 ) // (d 3 ) = 35 11 2 2 m m m = 0 (d 1 ): y = -x+5 (0,25đ) Hai đ ờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có (-1).1 = -1 nên (d 1 ) (d 2 ) (0,25đ) c) Hai đ ờng thẳng (d 2 ),(d 3 ) có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau tại M . Tìm toạ độ M : x+1 = -x +3 x = 1 . Vậy M(1;2) (0,25đ) Để (d 1 ),(d 2 ),(d 3 ) đồng quy tại M thì d 1 phải đi qua M m = 2 (0,25đ) Câu 8(2,5 điểm) mỗi câu 0.5 điểm a)Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có 0 1 = 2 B ' 1 O = 2 C Mà 0 1 + 1 0 = 180 o B + C = 90 o K = 90 o Trong BDA có OD = 2 1 AB BDA vuông D = 90 o T ơng tự : E = 90 o Tứ giác ADKE có K = D = E = 90 o ADKE là hình chữ nhật b) Có A 1 + A 2 = D 1 + D 2 = 90 o AK BC Vậy AK là tiếp tuyến chung của hai đ ờng tròn c) MKC cân tại M K 1 = C EKD = KEA E 1 = EKA Mà C + EKA = 90 o Từ đó : K 1 + E 1 = 90 o MK DE Câu 9(2 điểm ) mỗi câu 1 điểm a) 32219124441 22 ++=++++ xxxxxx xx 2321 ++= xx 2321 ++ = 4 (0,25đ) (0,5đ) Vậy GTNN là 4 + 032 021 x x 2 3 2 1 x (0,25đ) b) P= 5 2 1 4 1 1 4 2 2 2 24 2 + = ++ = ++ x x x x xx x (0,5đ) GTLN của P là 5 1 khi x = 2 (0,5đ) Câu 11(1,5 điểm) Học sinh không vẽ hình không chấm điểm C A M B C I r B C K D O A M O E O A 1 2 1 1 1 2 1 1 §Æt BC = a , AC = b, AB = c KÎ BB ’ ,CC ’ vu«ng gãc víi AI Ta cã : ∆ IMA : ∆ BB ’ A ' AI IM AB BB = ⇒ c.r = IA.BB ’ T ¬ng tù b.r = IA.CC ’ Nªn: (b+c)r = IA(BB ’ + CC ’ ) ≤ IA . a ⇒ c ba r IC b ca r IB a cb r IA + ≥ + ≥ + ≥ ;; ⇒ 6 ≥       ++       ++       +≥ ++ a c c a b c c b b a a b r ICIBIA ⇒ IA+IB+IC ≥ 6r B . 180 o B + C = 90 o K = 90 o Trong BDA có OD = 2 1 AB BDA vuông D = 90 o T ơng tự : E = 90 o Tứ giác ADKE có K = D = E = 90 o ADKE là hình. 1 = EKA Mà C + EKA = 90 o Từ đó : K 1 + E 1 = 90 o MK DE Câu 9( 2 điểm ) mỗi câu 1 điểm a) 322 191 24441 22 ++=++++ xxxxxx xx 2321 ++= xx 2321 ++ =