PHÒNG GD&ĐT BÌNH SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG PTCS BÌNH TRUNG VÒNG TRƯỜNG LỚP 9 THCS Năm học 2009-2010 Đề Thi Môn : TOÁN Ngày thi: 23/10/2009 Bài 1(4đ) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có 2.7 n + 1 là bội của 3 2) Số 19 k +5 k +1995 k +1996 k với k là số chẵn có phải là số chính phương không? Vì sao? Bài 2(4đ) 1) Phân tích thành nhân tử: a 3 +b 3 +c 3 -3abc 2) Cho 1 1 1 0 a b c + + = và abc ≠ 0 . Chứng minh rằng biểu thức: 2 2 2 bc ac ab M a b c = + + không phụ thuộc vào a,b,c Bài 3 (4đ) 1) Cho: 1 1 1 1 . 1 2 2 3 3 4 120 121 1 1 1 2 35 A B = + + + + + + + + = + + + Hãy so sánh A và B 3) Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 2( ) p a p b p c a b c + + ≥ + + − − − với p là nửa chu vi tam giác đó Bài 4 (8đ): 1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đường cao BE và AD. Gọi H là trực tâm và G là trọng tâm tam giác ABC. a) Chứng minh rằng : tgB.tgC = AD HD b) Chứng tỏ rằng HG//BC ⇔ tgB.tgC = 3 2) Cho hình bình hành ABCD, qua đỉnh D kẻ một đường thẳng cắt các đường thẳng AC, AB, BC tại M,N,K . Chứng minh rằng : a) DM 2 = MN . MK b) 1 DM DM DN DK + =  Hết  1 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG NĂM HỌC 06-07 (Phần Số Học Và Đại Số) Bài 1(4đ) 1) 7  1(mod 3) =>7 n  1 (mod 3) =>2.7 n  2 (mod 3) =>2.7 n +1  3 (mod 3) 0(mod 3) =>2.7 n +1 = 3k=> 2.7 n +1 là bội của 3 2) 19  -1(mod 4)=>19 k  (-1) k (mod 4) 19 k  1(mod 4) (do k chẵn) 5  1(mod 4)=> 5 k  1(mod 4) 1995  -1(mod 4)=>1995 k  (-1) k (mod 4) 1995 k  1(mod 4) (do k chẵn) 1996  0 (mod 4)=> 1996 k  0(mod4) =>19 k +5 k +1995 k +1996 k  3(mod 4) 19 k +5 k +1995 k +1996 k = 4k+3 (k∈Z) =>19 k +5 k +1995 k +1996 k không thể là số chính phương Bài 2(4đ): 1) a 3 +b 3 +c 3 -3abc = =(a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 ) +c 3 - (3abc+3a 2 b+3ab 2 ) =(a+b) 3 +c 3 -3ab(a+b+c) =(a+b+c) 2 2 ( ) ( ) 3a b a b c c ab   + − + + −   =(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-ac-bc) 2) Theo câu a nếu ta có a+b+c = 0 thì a 3 +b 3 +c 3 -3abc = 0=> a 3 +b 3 +c 3 = 3abc áp dụng kết qủa trên nếu 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 0 3. a b c a b c abc + + = => + + = ta có: 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 ( ) . 3( 0) bc ac ba abc abc abc M a b c a b c abc abc abc a b c abc = + + = + + = + + = = ≠ =>Kết luận 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.75 Bài 3(4đ) 1 1 1 . 1 2 2 3 3 4 1 120 121 1 2 2 3 . 120 121 121 1 10 A = + + + + + + + + = − + − + − + = − = 1 1 1 . 2 35 2 2 2 . 2 1 2 2 2 35 2 2 2 . 1 1 2 2 35 35 1 1 1 2( . 1 2 2 3 35 36 2(6 1) 10 B B B = + + + = + + + = + + + + + + => > + + + + + + > − = Vậy B >A 2) Chứng minh được : 1 1 4 x y x y + ≥ + p dụng bđt trên ta có: 1 1 4 4 2p a p b p a b c + ≥ = − − − − 1 1 4 4 2p b p c p b c a + ≥ = − − − − 1 1 4 4 2p c p a p c a b + ≥ = − − − − 1 1 1 1 1 1 2( ) 4( ) p a p b p c a b c + + ≥ + + − − − 1 1 1 1 1 1 2( ) p a p b p c a b c + + ≥ + + − − − (Học sinh có thể chứng minh bằng cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa) Bài 4 (8đ): 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.75 0.5 0.25 2 0.25 1) a) tìm được tgB= AD BD ,tgC= AD CD => tgB.tgC= 2 . AD BD CD . .BDH ADC BD CD AD DH∆ ∆ => =: =>tgB.tgC= AD DH b) cm được : 3 AM GM = ( M là trung điểm của BC) ∆ ADM có HG//BC // 3 . HG DM AM AH GM HD tgB tgC <=> <=> = <=> = (nếu học sinh chứng minh hai chiều thì chiều thứ nhất 0.75đ, chiều ngược lại 0,75đ) 2) a) cmđược 2 (1), (2) . . . MD AM MD CM MK MC MN MA MD DM MA CM MK MN MC MA MD MK MN = = => = = Từ (1) => (1') MK MC MK MC MK MD AM MC KD AM MC = => = + + + Từ (2)=> (2') MD MC MD MC MN MD AM MC ND AM MC = => = + + + Từ (1’,2’) => MK DM DK DN = 1 DM DM MK DM DK DN DK DK DK DK => + = + = = 3 . chẵn) 199 6  0 (mod 4)=> 199 6 k  0(mod4) => 19 k +5 k + 199 5 k + 199 6 k  3(mod 4) 19 k +5 k + 199 5 k + 199 6 k = 4k+3 (k∈Z) => 19 k +5 k + 199 5 k + 199 6. 19  -1(mod 4)=> 19 k  (-1) k (mod 4) 19 k  1(mod 4) (do k chẵn) 5  1(mod 4)=> 5 k  1(mod 4) 199 5  -1(mod 4)=> 199 5 k  (-1) k (mod 4) 199 5