A Phần mở đầu I Lời nói đầu Phát triển toàn diện nhân cách cho trẻ mục tiêu xà hội Nhân cách ngời đợc hình thành qua trình giáo dục Vì giáo dục học sinh việc làm cần thiết Nó tảng vững từ bớc đầu để trẻ hoàn thiện nhân cách ngời Mọi trẻ em sinh có quyền đợc chăm sóc bảo vệ, đợc giáo dục học hành Nghị Trung Ương II Đảng đà sáng suốt đa giáo quốc sách hàng đầu Chính Đảng nhân dân ta đà không ngừng quan tâm bớc đổi trình dạy học cách rõ rệt, để tạo tiền đề đa đất nớc tiến vào thời kỳ công nghiệp hóa - đại hóa đất nớc Nh đà biết, môn toán có vị trí quan trọng trờng phổ thông, đời sống, khoa học công nghệ đại Các kiến thức phơng pháp toán học công cụ thiết yếu giúp học sinh học tập tốt môn khoa học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu lĩnh vực Môn toán có khả to lớn phát triển trí tuệ học sinh thông qua việc rèn luyện thao tác (phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hóa ), lực lĩnh hội khái niệm trừu tợng, lực suy luận lôgíc sử dụng ngôn ngữ xác, đồng thời rèn luyện phẩm chất trí tuệ nh linh hoạt, độc lập, sáng tạo v.v Tuy nhiên, từ thực tế công tác giảng dạy trờng THCS Định Hải Yên Định, nhận thấy nhiều học sinh học toán kém, học sinh lời học không nắm đợc kiến thức đà đành, có nhiều học sinh chịu khó học thuộc nhng không làm đợc làm sai tập Nguyên nhân em không chịu đề cập toán theo nhiều cách khác nhau, không chịu nghiên cứu khảo sát kĩ chi tiết kết hợp chi tiết theo nhiều cách khác, không sử dụng hết kiện toán; vận dụng cha thành thạo phơng pháp suy luận giải toán, sử dụng tập đà giải áp dụng phơng pháp giải cách máy móc thiếu linh hoạt; không chịu suy nghĩ tìm cách giải khác cho toán mở rộng lời giải tìm đợc cho toán khác bị hạn chế việc rèn luyện lực giải toán II Thực trạng chứng minh hai đoạn thẳng lớp 7a trờng THCS Định Hải Yên Định lớp chứng minh đoạn thẳng đa số học sinh gắn chúng vào tam giác chứng minh cho hai tam giác mà không đề cập hay sử dụng định lí hay tính chất khác Vì không gắn đợc đoạn thẳng vào tam giác học sinh không chứng minh đợc chứng minh đợc dài dòng Chứng minh hai đoạn thẳng có ý nghĩa quan trọng viƯc chøng minh c¸c tam gi¸c b»ng nhau, chøng minh hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi.v.v Do tÝnh cÊp thiÕt cđa vÊn ®Ị cïng víi thùc tiƠn đơn vị công tác, nhận thấy vệc Chứng minh hai đoạn thẳng vấn đề cần thiết Đây nội dung khó học sinh lớp Vì xét thấy cần tìm hiểu đề tài tr ờng đa số phơng pháp hệ thống tập tự rút trình công tác nhằm giúp cho việc dạy học giải toán nói chung chứng minh hai đoạn thẳng nói riêng đạt kết cao B Phần nội dung I Các giải pháp thực Khảo sát lớp thực nghiệm Lớp 7a trờng THCS Định Hải Yên Định năm học 2008 2009 Tổng số học sinh: 37 Khả Xếp loại Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Khả Khả thiết Khả nêu phân tích đề lập kiện để lời giải đúng, tìm lời giải chÝnh x¸c SL 12 % 10.8 18.9 32.4 21.6 16.2 SL 11 11 % 8.1 16.2 29.7 16.2 29.7 SL 11 % 8.1 16.2 29.7 21.6 24.3 Khả trình bày toán đẹp SL 12 8 % 8.1 16.2 32.4 21.6 21.6 Phơng pháp giải Việc giải toán nh việc giải công việc thờng tiến hành theo bớc: Bớc 1: Tìm hiểu đề toán Bớc 2: Tìm lời giải Bớc 3: Thực giải Bớc 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải tìm đợc bớc cần phải làm gì? suy nghĩ nh nào? lại suy nghĩ làm nh vậy? Tùy theo dạy cụ thể mà giáo viên nên đa phơng pháp chứng minh phù hợp Sau phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng nhau: Các phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng Sử dụng hai đoạn thẳng có số đo 2 Sử dụng định nghĩa trung điểm đoạn thẳng, định nghĩa đờng trung tuyến tam giác, định nghĩa đờng trung trực đoạn thẳng Sử dụng tính chất tia phân giác góc, tính chất đờng trung trực đoạn thẳng Sử dụng tính chất đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông, tính chất cạnh đối diện với góc 300 tam giác vuông Sư dơng tÝnh chÊt cđa träng t©m, tÝnh chÊt giao điểm ba đờng phân giác, tính chất giao ®iĨm cđa ba ®êng trung trùc Sư dơng đoạn thẳng thứ ba làm trung gian Sử dụng sù b»ng cđa hai tam gi¸c Sư dơng tính chất tam giác cân Sử dụng tính chất hình bình hành (sử dụng cho lớp 8) 10 Sử dụng định ly đờng trung bình tam giác (thuận đảo) (sử dụng cho lớp 8) 11 Sử dụng đoạn thẳng cho trớc biến đổi 12 Sử dụng đoạn thẳng ®êng trßn (sư dơng cho líp 9) 13 Sư dơng đoạn thẳng địng ly Talét (sử dụng cho lớp 8) 14 Chứng minh phản chứng 15 Sử dụng định ly đờng thảng qua điểm cạnh bên (đờng chéo) hình thang, song song với đáy qua trung điểm cạnh bên, đờng chÐo (sư dơng cho líp 8) 16 Sư dơng b×nh phơng chúng (có thể sử dụng định ly Pitago, tam giác đồng dạng, hệ thức lợng tam giác, đờng tròn để đa bình phơng chúng nhau) II Một số biện pháp đà thực hớng dẫn học sinh chứng minh hai đoạn thẳng Để hình thành kĩ cho học sinh việc truyền đạt phơng pháp chứng minh giáo viên cần đa hệ thống tập đa rạng từ dễ đến khó để học sinh rèn luyện Ngoài giáo viên cần yêu cầu học sinh chứng minh nhiều cách khác để học sinh có so sánh Sau toán chứng minh hai đoạn thẳng nhau: Các toán chứng minh hai đoạn thẳng Bài Cho gãc nhän xOy Ta dùng vỊ phÝa ngoµi cđa gãc xOy tia Ox vuông góc với Ox Oy vuông góc với Oy Lấy điểm A Ox lấy điểm C Oy Sau lấy Ox điểm B Oy điểm D cho OA = OB vµ OD = OC Chøng minh AD = BC y' GT xOy < 900; Ox'  Ox ; D y Oy '  Oy C OB OA ; OD OC KL AD  BC x O A B x' Gi¶i Ta cã: AOD 90  xOy    BOC 90  xOy   OA OB A OD  B OC OD OC       AOD BOC  AOD BOC (c  g  c)  AD BC (cạnh tơng ứng) Bài Cho tam giác ABC Gọi E trung điểm cạnh AC Đờng thẳng qua E song song với cạnh BC, cắt cạnh AB điểm F; đờng thẳng qua E song song với cạnh AB cắt cạnh BC điểm D Chứng minh F trung điểm AB D trung điểm BC A GT KL EA = EC, FE // AB, FD // AB FA = FB; DB = DC F E B C D Gi¶i: Ta cã: EF // BC  Eˆ Cˆ ED // AB E A (đồng vị) (1) (đồng vị) (2) E trung điểm AC nên EA = EC (3) Tõ (1) (2) vµ (3) suy FAE DEC ( g  c  g )  FA = DE (4) Ta cã: EF ED FD // BC  // AB  chung  FBD DEF ( g  c  g )  FB  DE ˆ F ˆ F ˆ D ˆ D (so le (so (5) Tõ (4) vµ (5) suy FA = FB §iĨm F  AB mà FA = FB suy F trung điểm AB Chứng minh tơng tự, ta có điểm D trung điểm cạnh BC trong) le   trong)     Bµi Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đờng cao AH Từ H kẻ HD AB HE AC Chøng minh: DE = AH, KA = KH, KD = KE ¢= 900, AH  BC A GT HD  AB, HE  AC E KL DE = AH, KA = KH K KD = KE D C B H Giải: Hai tam giác vuông DAE EHD có cạnh huyền DE chung hai góc ADE, HED b»ng (so le trong, AD // EH) Cho ta AE = DH vµ AD = EH Hai tam giác vuông ADH EHD có AD = EH DH chung nªn chóng b»ng nhau, cho ta AH = DE Ta cã ˆ  Hˆ A 1 (so le trong) ˆ Eˆ  D (so le trong) AD = EH (chøng minh trªn) Suy AKD HKE  KA  KH vµ KD  KE Bài Cho tam giác cân ABC có AB = AC Một điểm M thuộc cạnh AB điểm N thuéc c¹nh AC cho BM = CN Chøng tỏ tam giác AMN cân A GT AB = AC, BM = CN KL  AMN c©n M B Giải Điểm M AB nên: AM + MB = AB  AM = AB - MB §iĨm N  AC nªn: AN + NC = AC  AN = AC - NC Ta cã AB = AC (Tam gi¸c ABC cân A) Và MB = NC (gt) Suy AM = AN Vậy tam giác AMN tam giác cân A N C Bài Cho tam giác ABC Trên cạnh BC có điểm D cho BD BC Trên cạnh AB cã mét ®iĨm E cho mét ®iĨm F cho GT CF  AC AE AB cạnh AC có Chứng minh tam giác DEF tam giác ABC ®Òu A 1 BD  BC , AE  AB , CF  AC 3 KL E DEF F B D C Giải Ta cã: 1 BD  BC , AE  AB , CF  AC 3 mµ  ABC nên ta có ba cạnh nhau: AB  AC  BC (1) Suy ra: BD  AE CF (2) Mặt khác ta lại có: AF AC  CF CD  BC  BD BE  AB AE Kết hợp với (1) (2) ta suy ra: AF CD  BE XÐt c¸c tam gi¸c AEF, BDE, CFD ta thÊy BD  AE CF AF CD BE B C A nên chóng b»ng (trêng hỵp c – g – c) AEF BDE CFD  EF  DF  ED Tam giác DEF có ba cạnh nên tam giác Bài Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho BD = BA Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = BC Gäi K lµ giao điểm AE A CD Chứng minh DK = KC Cho tam giác ABC, tia đối cña tia BA lÊy D B E C K D GT BD = BA LÊy E trªn BC cho BE = BC K giao điểm AE CD KL DK = KC Giải Xét ACD, ta có CB đờng trung tuyến Điểm E thuộc đoạn CB CE = CB nên E trọng tâm ACD Do AK đờng trung tuyến ACD, CK = KD Bài Cho ABC cân A, D trung điểm BC Gọi E F chân đờng vuông góc kẻ từ D đến AB vµ AC Chøng minh r»ng DE = DF Tam giác ABC cân A D trung điểm BC GT E F chân đờng vuông góc kẻ từ D đến AB AC KL DE = DF A E F Giải C B Cách (Đa sè häc sinh thêng sư dơng) D  ABC c©n A nên B C Xét hai tam giác vuông BDE CDF Có BDE = CDF (c¹nh hun gãc nhän)  DE = DF (c¹nh tơng ứng) Cách ABC cân A nên đờng trung tuyến AD đờng phân giác Theo tính chất tia phân giác góc, D thuộc tia phân giác góc A nên cách hai cạnh góc đó, DE = DF Bài Cho tam giác ABC vuông A Các tia phân giác góc B C cắt I Gọi D E chân đờng vuông góc kẻ từ I đến AB AC DB CD (gt)   ˆ ˆ B C  Chøng minh AD = AE Tam giác ABC vuông A Phân GT giác góc B C cắt I D E chân đờng vuông góc kẻ từ I đến AB AC KL AE = AD A E D I B C Giải Cách AI phân giác góc A nên ID = IE (1) Các tam giác vuông ADI, AEI có nên tam giác vuông cân, AD = ID, AE = IE (2) Tõ (1) vµ (2) suy AD = AE C¸ch (häc sinh thêng sư dụng) AI phân giác góc A nên ID = IE Suy hai tam giác vuông ADI AEI (cạnh huyền cạnh góc vuông) Suy AD = AE Cách AI phân giác gãc A nªn ID = IE  ID  IE (1) DAI EAI 45 XÐt hai tam giác vuông ADI AEI Có AE AI  EI ; AD  AI  DI (Pitago) (2) Tõ (1) vµ (2)  AE  AD  AE  AD Bài Cho tam giác ABC, kẻ phân giác AD góc A Đờng thẳng song song với AB vẽ qua điểm D, cắt cạnh AC điểm E Đờng thẳng song song với BC kẻ qua điểm E cắt cạnh AB điểm F Chứng minh AE = BF AD phân giác góc A A GT Dx // AB; Dx c¾t AC ë E E Ey // BC; Ey c¾t AB ë F F KL AE = BF B D Giải AD phân giác góc A nªn DE // AB  ˆ A ˆ A ˆ D ˆ A (so le trong) VËy ˆ Aˆ  D Cho ta AE = DE AED cân, đỉnh E (1) C EF // BC  EFD FDB (so le trong) ED // AC (so le trong)  BFD FDE KÕt hỵp víi FD cạnh chung, ta suy BFD EDF BF = ED (2)  Tõ (1) vµ (2) suy AE = BF Bài 10 Cho góc xOy, điểm A nằm góc xOy Vẽ điểm B cho Ox trung trùc cđa AB VÏ ®iĨm C cho Oy lµ trung trùc cđa AC Chøng minh r»ng OB = OC x C GT Oy lµ trung trùc cđa AB Ox lµ trung trùc AC KL OB = OC A y O Giải B Oy đờng trung trực AB OA = OB (1) Ox đờng trung trùc cña AC  OA = OC (2) Tõ (1) vµ (2)  OB = OC Bµi 11 Cho tam giác ABC cân A, đờng trung tuyến AM Đờng trung trực AC cắt đờng thẳng AM D Chøng minh r»ng DA = DB GT A Tam gi¸c ABC cân A Trung tuyến AM Trung trực AC cắt AM D D KL DA = DB Giải B M C Tam giác ABC cân A, AM trung tuyến nên AM ®êng trung trùc cđa BC D lµ giao ®iĨm cđa đờng trung trực BC AC nên D cịng thc ®êng trung trùc cđa AB VËy DA = DB C KÕt ln chung KÕt qu¶ cđa viƯc vËn dơng s¸ng kiÕn Qua mét thêi gian ¸p dụng giải pháp phơng pháp nói chất lợng học sinh lớp đà đợc nâng lên rõ rệt Cụ thể nh sau: Khả Xếp loại Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Khả Khả thiết Khả nêu phân tích đề lập kiện để lời giải đúng, tìm lời giải xác SL 10 12 % 21.6 27 32.4 13.5 5.4 SL 10 11 % 21.6 27 29.7 13.5 8.1 SL 11 % 18.9 24.3 29.7 16.2 10.8 Khả trình bày toán đẹp SL 10 % 16.2 24.3 27 21.6 10.8 Qua trình áp dụng phơng pháp, kinh nghiệm thân vào trình dạy học môn toán nói chung giải toán chứng minh hai đoạn thẳng nói chung đà rút số học cho để góp phần tích cực việc nâng cao hiệu việc dạy học toán giáo viên cần làm tốt vấn đề sau: Khi lập kế hoạch phải dự tính trớc đợc lỗi mà học sinh thờng mắc phải, từ có cách chữa lỗi Trong dạy không nên áp đặt nặng nề, không nên gay gắt em thờng mắc lỗi phải nhẹ nhàng để học sinh thấy yên tâm Đối với toán có cấu trúc giống trình giải học sinh thờng dễ nhầm lẫn máy móc toán với toán khác Vì phải giúp em so sánh phân biệt dạng toán Phải giúp học sinh hiểu toán cách giao việc cho em thông qua gợi ý lập hệ thống câu hỏi Do yêu cầu giáo viên phải nắm kiện đề bài, phải tóm tắt đề toán theo cách ngắn gọn, dễ hiểu Đa nhiều cách giải toán trình tự bớc, phép tính phải xác khoa học Chú ý kiểm tra kết học sinh hớng dẫn em thật khó khăn, tuyệt đối không đợc làm thay học sinh Vì thông qua chứng minh đoạn thẳng lớp 7, rèn luện cho học sinh ý thức vợt khó, tính cẩn thận, lực lĩnh hội khái niệm 10 trừu tợng, lực suy luận lôgíc sử dụng ngôn ngữ xác, đồng thời rèn luyện phẩm chất trí tuệ nh linh hoạt, độc lập, sáng tạo v.v ý kiến đề xuất Qua trình giảng dạy để giúp em học sinh có chất lợng học tập tốt có vài đề xuất nh sau: - Các cấp lÃnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ nhà trờng có đủ sở vật chất cho giáo viên giảng dạy sinh hoạt chuyên môn - Chuyên môn nhà trờng cần tổ chức sinh hoạt chuyên môn thờng xuyên trao đổi để tìm phơng pháp dạy học có hiệu tổ chức dạy mẫu áp dụng phơng pháp - Cần tạo điều kiện, thời gian để giáo viên có điều kiện tham khảo tài liệu - Giáo viên cần học hỏi đồng nghiệp giúp đỡ đồng nghiệp để thân đồng nghiệp tiến vững vàng chuyên môn - Phụ huynh cần quan tâm đến việc học tập em đặc biệt tạo điều kiện để em có thật nhiều thời gian tự học nhà - Giáo viên chủ nhiệm cần phối kết hợp tốt với nhà trờng phụ huynh việc giáo dục đạo đức cho học sinh giúp em định hớng đợc việc học Đây sáng kiến nhỏ tôi, đúc kết dợc qua thực tế giảng dạy Thời gian nghiên cứu eo hẹp nên chắn nhiều sai sót Rất mong đợc quan tâm góp ý cấp lÃnh đạo, chuyên môn nhà trờng đồng nghiệp nh bạn độc giả quan tâm để rút kinh nghiệm hoàn thành tốt năm học sau Yên Định, ngày tháng năm 2009 Ngời thực Lê Xuân Trờng 11 ... phơng pháp chứng minh phù hợp Sau phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng nhau: Các phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng Sử dụng hai đoạn thẳng có số đo 2 Sử dụng định nghĩa trung điểm đoạn thẳng, định... Ngoài giáo viên cần yêu cầu học sinh chứng minh nhiều cách khác để học sinh có so sánh Sau toán chứng minh hai đoạn thẳng nhau: Các toán chứng minh hai đoạn thẳng Bµi Cho mét gãc nhän xOy Ta dùng...dòng Chứng minh hai đoạn thẳng có ý nghÜa quan träng viƯc chøng minh c¸c tam gi¸c nhau, chứng minh hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi.v.v