Chuyên đề: Đại số tổ hợp – Bài toán đếm QUY TẮC CỘNG Ví dụ 1: Trong một cái hộp đựng 10 bi màu vàng, 5 viên bi màu đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một viên bi bất kỳ trong hộp đó? Ví dụ 2: Một học sinh có thể chọn bài thực hành máy tính từ một trong ba danh sách tương ứng có 20, 30, 50 bài thực hành (các bài trong ba danh sanh này không trùng nhau). Hỏi học sinh đó có bao nhiêu cách chọn bài thực hành? Ví dụ 3: Một thư viện có 15 đầu sách toán, 14 đầu sách lý, 20 đầu sách hoá. Hỏi một học sinh có bao nhiêu cách mượn một quyển sách trong thư viện? Ví dụ 4: Một lớp học có 24 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Hỏi giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một học sinh làm lớp trưởng thì có bao nhiêu cách, biết rằng các học sinh đều có khả năng làm lớp trưởng? Ví dụ 5. Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau? NGUYÊN LÍ BÙ TRỪ Các quy tắc: a. Với hai tập hữu hạn A và B bất kì, ta có: N(A∪B) = N(A) + N(B) – N(A∩B) b. Nếu X là tập hữu hạn bất kì và A là tập con của X thì: N(X\A) = N(X) – N(A). Bài 1. Lớp 11A5 có 25 học sinh giỏi toán, 13 học sinh giỏi văn và 8 học sinh giỏi cả toán và văn. Hỏi trong lớp 11A5 có bao nhiêu học sinh, nếu mỗi sinh viên hoặc giỏi toán hoặc giỏi văn hoặc giỏi cả hai môn? Bài 2. Bao nhiêu số nguyên không lớn hơn 1000 chia hết cho 7 và 11? Bài 3. Giả sử khối lớp 10 có 1807 học sinh. Trong số này có 453 học sinh chọn học thêm môn toán, 567 chọn học thêm môn văn và 299 học cả hai môn toán và văn. Có bao nhiêu học sinh không theo học toán cũng không học văn? QUY TẮC NHÂN Ví dụ 1. Từ Thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ Thành phố B đến thành phố C có 4 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi: a) Từ Thành phố A đến thành phố C, biết rằng để đến C thì phải qua B. b) Từ Thành phố A đến thành phố C và quay ngược lại Thành phố A, biết rằng để đến C thì phải qua B. Ví dụ 2. Một phòng đọc của một trường THPT có 3 đầu sách Toán, 2 đầu sách báo, 6 đầu sách Lý. Hỏi một học sinh có bao nhiêu cách chọn ra một bộ gồm: 1 quyển toán, 1 quyển Lý, 1 quyển báo? Ví dụ 3. Cho tập: E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Hỏi: a) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau?c) Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau? b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số và 3 số đó đều lẻ và khác nhau? Ví dụ 4. Cho các số: 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có: a) Một chữ số b) Hai số c) Hai số khác nhau d) Không quá 3 chữ số. HOÁN VỊ Bài 1. Cho A = {1, 2, 3, 4}. Số hoán vị của các phần tử của tập A là bao nhiêu? Bài 2. Từ tập E = { } 7,6,5,4,3,2,1,0 lập các số gồm 7 chữ số khác nhau. Hỏi: a) Có bao nhiêu số? c) Có bao nhiêu số nhỏ hơn : 432.000 b) Có bao nhiêu số chẵn, lẻ? d) Có bao nhiêu số trong đó 2, 3, 4 đứng cạnh nhau e) Có bao nhiêu số bắt đầu bằng : 312 f) Có bao nhiêu số bắt đầu bằng số : 2. HÀ QUANG HUY·- THPT NGÔ SỸ LIÊN Trang 1 Chuyên đề: Đại số tổ hợp – Bài toán đếm Bài 3. a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 11 học sinh vào 11 chiếc ghế giống nhau xếp thành một dãy. b) Có bao nhiêu cách sắp xếp 11 học sinh vào 11 chiếc ghế giống nhau xếp thành hình chữ C. c) Có bao nhiêu cách sắp xếp 11 học sinh vào 11 chiếc ghế giống nhau xếp thành hình tròn. Bài 4. 10 học sinh cùng ngồi trên một hàng ghế dài, chơi trò đổi chỗ. Cho rằng một lần đổi chỗ mất 1 phút. Hỏi thời gian họ đổi chỗ hết cho nhau là bao nhiêu? CHỈNG HỢP Bài 1. Từ tập E = { } 7,6,5,4,3,2,1,0 , Hỏi có thể lập được bao nhiêu số: a) Có 4 chữ số khác nhau. c) Chẵn (lẻ ) có 4 chữ số khác nhau. b) Có 3 chữ số khác nhau và số tận cùng là 2 hoặc 5. d) Có 3 chữ số khác nhau, nhỏ hơn 264 Bài 2. Một hộp bi có 7 viên bi có màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra: a) 3 viên bi b) 4 viên bi c) 5 viên bi d) 6 viên bi. Bài 3. Có 8 vận động viên chạy thi và đánh số từ 1 đến 8 . Ban tổ chức sẽ trao 3 huy chương Vàng, Bạc, Đồng cho 3 người lần lượt về đích thứ nhất, thứ nhì, thứ ba. Hỏi Ban tổ chức có bao nhiêu cách trao: a) Huy chương Vàng, Bạc, Đồng vận động viên đều có cơ hội như nhau? b) Huy chương biết vận động viên số 5 sẽ cán đích trước; các vận động viên khác đều có cơ hội như nhau. Bài 4. Có bao nhiêu cách chọn ra một lớp trưởng, một bí thư, một lớp phó học tập từ một lớp có 45 học sinh. Biết tất cả các học sinh đều có khả năng đảm nhận được một trong 3 chức vụ trên? Bài 5. Có bao nhiêu cách chọn và sắp thứ tự 5 cầu thủ đá bón luân lưu 11m, biết rằng cả 11 cầu thủ (kể cả thủ môn) đều có khả năng như nhau? Bài 6. Có bao nhiêu cách chọn bốn cầu thủ khác nhau trong mười cầu thủ của đội bóng quần vợt để chơi bốn trận đấu đơn, các trận đấu là có thứ tự? ĐS: 5040 cách chọn. Bài 7. Giả sử rằng có tám vận động viên chạy thi. Người thắng sẽ nhận được huy chương vàng, người về đích thứ hai nhận huy chương bạc, người về đích thứ ba nhận huy chương đồng. Có bao nhiêu cách trao các huy chương này nếu tất cả tám động viên này đều có khả năng như nhau? ĐS: 336 cách Bài 8. Từ các chữ số 1, 2, 5, 7, 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276? Bài 9. Có bao nhiêu thứ tự có thể xảy ra trong cuộc thi chạy giữa năm vận động viên? Bài 10. Bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì và ba trong cuộc đua có 12 con ngựa, nếu mọi thứ tự tới đích đều có thể? Bài 11. Có một trăm vé đánh số từ 1 đến 100 được bán cho 100 người khác nhau. Người ta sẽ trao 4 giải thưởng kể cả giải đặc biệt. Hỏi 1. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng? 2. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng, nếu người giữ vé 47 trúng giải đặc biệt? 3. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng, nếu ngưởi giữ vé 47 không trúng thưởng? 4. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng, nếu người giữ vé 47 trúng một trong các giải? 5. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng, nếu ba người giữ vé 19, 47 và 73 trúng thưởng? 6. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng, nếu bốn người giữ vé 19, 47, 73 và 97 trúng thưởng? 7. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng, nếu không ai trong bốn người giữ vé 19, 47, 73 và 97 trúng thưởng 8. 19, 47,73 và 97 trúng thưởng, nếu một trong bốn người giữ vé 19, 47, 73 và 97 trúng giải đặc biệt? HÀ QUANG HUY·- THPT NGÔ SỸ LIÊN Trang 2 Chuyên đề: Đại số tổ hợp – Bài toán đếm TỔ HỢP Bài 1. Một lớp có 45 học sinh trong đó có 30 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm chọn 3 người đi lao động. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra: a) Ba học sinh bất kỳ b) 1 nam, 2 nữ c) Ba học sinh và ít nhất phải có 1 học sinh nam. Bài 2. Một lớp học có 14 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra: a) Sáu học sinh trong lớp b) 4 Nam, 2 Nữ c) 5 học sinh và ít nhất phải có 1 học sinh Nam Bài 3. Một lớp học có 30 học sinh trong đó có 3 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 người để tham gia đội văn nghệ của trường biết rằng phải có ít nhất một cán bộ lớp. Bài 4. Một hộp đựng4 bi đỏ, 5 bi trắng, 6 bi vàng. Người ta chọn 4 viên bi trong hộp hỏi có bao nhiêu cách chọn ra đủ cả ba màu? Bài 5. Có 20 đội bóng đá tham gia thi đấu tính điểm. Thể lệ cuộc thi là bất kì 2 đội nào cũng chỉ gặp nhau một lần. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? Bài 6. Có bao nhiêu cách chọn 5 trong số 10 cầu thủ của một đội bóng đi thi đấu tại một trường khác? (252) Bài 7. Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, các cầu đều khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 4 quả trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu? Bài 8. Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp 2 số nguyên dương nhỏ hơn 100? Bài 9. Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp 5 chữ từ bảng chữ cái tiếng Anh? Bài 10. Một tập hợp 10 phần tử có bao nhiêu tập con với phần tử lẻ? Bài 11. Một đội bóng có 13 cầu thủ: a. Có bao nhiêu cách chọn 10 cầu thủ để thi đấu? b. Trong 13 cầu thủ có 3 là nữ. Có bao nhiêu cách chọn 10 cầu thủ để thi đấu nếu ít nhất có 1 cầu thủ là nữ Bài 12. Một câu lạc bộ có 25 thành viên. a) Có bao nhiêu cách chọn 4 thành viên vào uỷ ban thường trực? b) Có bao nhiêu cách chọn chủ tich, phó chủ tịch , thư kí và thủ quỹ? Bài 13. Tổ bộ môn toán học của một trường đại học có 7 cán bộ nữ và 9 cán bộ nam. a) Có bao nhiêu cách chọn một hội đồng có 5 thành viên, trong đó có ít nhất một cán bộ là nữ? b) Có bao nhiêu cách chọn một hội đồng có 5 thành viên, trong đó có ít nhất một nữ và một nam? Bài 14. Giả sử một tổ bộ môn có 10 nam và 15 nữ. a) Có bao nhiêu cách chọn một hội đồng gồm 6 uỷ viên trong đó, số nam bằng số nữ? b) Có bao nhiêu cách chọn một hội đồng gồm 6 hội viên trong đó, số nam ít hơn số nữ? Bài 15. Có bao nhiêu cách chọn 12 nước trong liên hiệp quốc vào một hội đồng nếu 3 nước được bầu từ nhóm 45 nước, 4 nước được bầu từ 57 nước, các nước khác được bầu từ 69 nước còn lại? HÀ QUANG HUY·- THPT NGÔ SỸ LIÊN Trang 3 Chuyên đề: Đại số tổ hợp – Bài toán đếm BÀI TOÁN LẬP SỐ 1. Với 4 chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt? ĐS: 64 số 2. Với 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số phân biệt? (27216 số) 3. Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu chữ số chẵn có năm chữ số khác nhau. ĐS: 60 4. Từ 7 chữ số 0, 1, … , 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau? (1260) 5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó hai chữ số kề nhau phải khác nhau? ĐS: 59049 số 6. Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số khác nhau? 7. Có 5 miếng bìa ghi một trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 3 miếng bìa từ 5 miếng bìa đặt lần lượt cạnh nhau từ trái sang phải được số gồm 3 chữ số. Có thể lập được bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số và trong đó có bao nhiêu số chẵn? 8. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số, trong mỗi số có một chữ số xuất hiện hai lần, còn các số còn lại xuất hiện một lần? 9. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau? 10. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau? 11. Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu sau đó sắp xếp ngẫu nhiên thành một hàng. a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành? b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành? 12. Có bao nhiêu chữ số chẵn có 6 chữ số khác nhau đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ? 13. Có 10000 chiếc vé xổ số được đánh dấu từ 00000 đến 99999. Có bao nhiêu vé gồm 5 chữ số khác nhau? BÀI TOÁN LẬP SỐ CHIA HẾT 1. Chữ số 0,1, 3, 5,7, có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên: a) chẵn gồm 4 chữ số khác nhau? b) có 3 chữ số khác nhau & chia hết cho 5 c) có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9? d) có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 3? 3. Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 10? 4. Từ các chữ số1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta lập tất cả các số gồm 9 chữ số khác nhau a) Có bao nhiêu số được thành lập?b) có bao nhiêu số chia hết cho 5? C) Có bao nhiêu số chẵn 5. Với các chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hếtt cho 3? BÀI TOÁN LẬP SỐ NHỎ HƠN HAY LỚN HƠN 1. Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau có bốn chữ số < 10000 được thành lập từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4? 2. Từ các chữ số 1, 3, 4, 7 người ta thành lập số n. Hỏi có bao nhiêu số n: a) n gồm 3 chữ số? b) n gồm 3 chữ số khác nhau c) n là một số thuộc khoảng (100, 400) 3. (Y’97) Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600.000? ĐS: 36960 4. Có bao nhiêu số nguyên, dương với các chữ số phân biệt, nhỏ hơn 10000? ĐS: 5274 số 5. Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt thoả mãn điều kiện: a) Mỗi số nhỏ hơn 40000 b) Mỗi số nhỏ hơn 45000 ĐS: a. 72 số b. 90 số 6. Với 5 chữ số 1, 2, 5, 7, 8. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số phân biệt thoả mãn điều kiện: HÀ QUANG HUY·- THPT NGÔ SỸ LIÊN Trang 4 Chuyên đề: Đại số tổ hợp – Bài toán đếm a) Là một số chẵn b) Là một số nhỏ hơn hoặc bằng 278 c) Là một số chẵn và nhỏ hơn hoặc bằng 278 BÀI TOÁN TÍNH TỔNG 1. Cho 4 chữ số 1, 2, 3, 4. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau. Tính tổng các số đó? 2. Tìm tổng của các số được tạo bởi hoán vị 5 số: {1, 3, 5, 6, 7}? 3. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau. Hãy tính tổng của tất cả các số tự nhiên nói trên? BÀI TOÁN LẬP SỐ - TỔNG CÁC CHỮ SỐ LÀ CHẴN HOẶC LẺ 1. Có bao nhiêu chữ số chẵn có 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ? 2. (SP Vinh’00) Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi là một số chẵn? 3. Có bao nhiêu số khác nhau có 7 chữ số mà tổng các chữ số là số chẵn? 4. (TN’00) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ? (45000) 5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau mà tổng của các chữ số của mỗi số bằng 12? BÀI TOÁN BẮT ĐẦU BẰNG CHỮ SỐ 6. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Hỏi: a) Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau? b) Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và bắt đầu bởi chữ số 5? 7. các số gồm 5 chữ số khác nhau, lập lên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số. a) Bắt đầu bởi chữ số 5. b) Bắt đầu bởi 23 c) Không bắt đầu bởi 345. 8. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được: a) Bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau? b) Bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 3? 9. Cho tập E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Tìm số các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho: a) Các chữ số đều khác nhau b) Chữ số đầu tiên là chữ số 3 c) Không tận cùng bằng chữ số 4 10. Tìm các số tự nhiên có 5 chữ số được lấy từ tập E = { } 7,6,5,4,3,2,1,0 , thoả mãn điều kiện: a) Các chữ số khác nhau b) Chữ số đầu tiên là 4 c) Không tận cùng là 5 d) Phân biệt chẵn và lẻ. BÀI TOÁN ĐẾM SỐ PHƯƠNG ÁN 11. Có 10 tem thư khác nhau và 8 bì thư cũng khác nhau, người ta muốn chọn ra 4 tem thư và 4 bì thư để dán 4 tem thư đó lên 4 bì thư đã chọn. Biết rằng mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách như vậy 12. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau, người ta chọn ra 3 tem thư và 3 bì thư để dán 3 tem thư đó lên 3 bì thư đã chọn. Biết rằng mỗi bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách? C 3 5 .C 6 3 .3! 13. Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ, chọn thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 14. Trong 100 vé số có 2 vé trúng thưởng. Nếu mua 12 vé số thì có bao nhiêu trường hợp: a) Không vé nào trúng thưởng? b) Có ít nhất một vé trúng thưởng? c) Có đúng một vé trúng thưởng? ĐS: a. C 98 12 b. 12 98 12 100 CC − c. 11 98 1 2 .CC HÀ QUANG HUY·- THPT NGÔ SỸ LIÊN Trang 5 Chuyên đề: Đại số tổ hợp – Bài toán đếm 15. Có 12 cái bánh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chúng vào 6 chiếc hộp giấy khác nhau, mỗi chiếc hộp chỉ có 2 cái bánh. ĐS: 90858768 BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI ƯỚC SỐ Các số sau có bao nhiêu ước: 210, 231, 1155, 360 BÀI TOÁN TRONG ĐÓ PHẢI CÓ MẶT CHỮ SỐ NÀO ĐÓ 1. Cho các chữ số 0, 2, 4, 5, 6, 8, 9. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số: a) Có 3 chữ số khác nhau. b) Có 4 chữ số khác nhau và có chữ số 5. 2. Cho 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số: a) có 5 chữ số khác nhau. b) có 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt số 5? 3. (NN’00) Hỏi từ 9 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó có mặt chữ số 1? 4. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập thành bao nhiêu số mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5? 5. Có bao nhiêu số gồm 10 chữ số, trong đó có bốn chữ số 2 và sáu chữ số 1? 6. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và trong đó có chứa chữ số 4? 7. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể thành lập được bao nhiêu số có 10 chữ số được chọn từ 8 chữ số trên trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần? 8. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có 5 chữ số trong đó các chữ số khác nhau. Hỏi: a) Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2? b) Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6 9. Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 như sau: Trong mỗi số được viết có một chữ số được xuất hiện 2 lần, còn các số còn lại được xuất hiện 1 lần. Hỏi có bao nhiêu số như vậy? 10. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số. Trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số có mặt đúng một lần? 11. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, ta có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số và trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, còn mỗi số khác nhau có mặt đúng một lần. ĐS: 5880 số 12. Có bao nhiêu số có 7 chữ số được viết bởi duy nhất 3 chữ số 1, 2, 3 trong đó chữ số 2 xuất hiện 2 lần? 13. Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1? ĐS: 115920 số 14. a) Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1? b) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần? 15. Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ cả 3 chữ số trên? 16. Cho tập E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau trong mỗi trường hợp: a) Là số chẵn b) Một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 1. ĐS: a. 3000 số b. 2280 số 17. Với tập E = {0, 1, 2, 3, 4, 5} có thể lập được bao nhiêu: a) Số gồm 5 chữ số phân biệt. (600) b) Số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt (312) c. Số gồm 5 chữ số phân biệt, trong đó có chữ số 0. (480) HÀ QUANG HUY·- THPT NGÔ SỸ LIÊN Trang 6 Chuyên đề: Đại số tổ hợp – Bài toán đếm 18. Với tập E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và: a) Là số chẵn b) Trong đó có chữ số 7 ĐS: a. 1080 số b. 1800 số c. 240 số c) Trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn luôn là chữ số 1 BÀI TOÁN CHỌN TỔ 1. Một tổ sinh viên có 20 em, trong đó có 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp, 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập một nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp, 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm? ĐS: 19600 cách 2. Một tàu điện có 3 toa dừng lại ở một ga. ở sân ga có 15 khách đợi tàu. Hỏi khi tàu đến có mấy cách lên tàu của 15 hành khách đó, sao cho toa đầu có 6 người, toa thứ 2 có 7 người? 3. Một chi đoàn có 20 đoàn viên trong đó 10 nữ. Tổ công tác có 5 người, ó bao nhiêu cách chọn nếu tổ cần ít nhất 1 nữ? ĐS: 15252 cách 4. Một lớp học có 40 học sinh, cần cử ra một ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 3 uỷ viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban cán sự lớp? 5. Cần chia một lớp học gồm 40 học sinh thành 4 tổ, mỗi tổ có 10 người. Hỏi có bao nhiêu cách chia tổ? 6. Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Người ta chọn ra 3 học sinh đi dự đại hội. a) Có bao nhiêu cách chọn ? b) Có bao nhiêu cách chọn gồm 1 nam và 2 nữ? c) Có bao nhiêu cách chọn, trong đó có ít nhất một nam? 7. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác có 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách? ĐS: 90 cách 8. Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người đi dự đại hội đoàn trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp? 9. Người ta muốn tổ chức một thí nghiệm nông nghiệp trên ba yếu tố: giống lúa (có 3 loại giống), phân bón (có 2 loại phân bón) và chế độ tưới nước (có 3 chế độ). Có bao nhiêu cách bố trí thí nghiệm? 10. Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nữ và 10 học sinh nam. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho: a) Có đúng 2 nam trong 5 người đó? b) Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ? c) có ít nhất 2 nam và ít nhất 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 11. Nam được tặng 1 bó hoa có 8 bông hồng nhung và 6 bông hồng bạch. Nam muốn chọn ra 10 bông sao cho có nhiều nhất 6 bông hồng nhung và ít nhất 3 bông hồng bạch. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 12. Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người làm nhiệm vụ ở địa điểm B, 4 người ở lại trực đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công? 13. Một bộ bài tú lơ khơ có 52 quân, mỗi chất có 13 quân. Cần lấy ra từ bộ bài mỗi chất 8 quân trong đó có 1 quân cơ, 3 quân rô và không quá 2 quân pic. Hỏi có bao nhiêu cách lấy? 14. Trong 16 em học sinh có 3 em học sinh giỏi, 5 học sinh khá, 8 học sinh trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá 15. Một tập thể có 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình, người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau: a) Trong tổ phải có cả nam và nữ? b) Có 1 tổ trưởng 5 tổ viên, An và Bình không đồng thời có mặt trog tổ. HÀ QUANG HUY·- THPT NGÔ SỸ LIÊN Trang 7 Chuyên đề: Đại số tổ hợp – Bài toán đếm 16. Một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ. Thầy giáo cần chọn ra 5 em tham dự lễ mít tinh tại trường với yêu cầu có cả nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 17. Một ban chấp hành thanh niên có 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Người ta muốn chọn một ban thường trực 3 người, trong đó phải có ít nhất một nữ. Có bao nhiêu cách chọn ban thường trực? (130) 18. Một hộp đựng 6 quả cầu xanh đánh số thứ tự từ 1 đến 6; 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5; 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4. a) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu cùng màu? 3 quả cầu cùng số? b) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác màu? 3 quả cầu khác màu và khác số? 19. Trong một hộp chứa 100 sản phẩm có 90 sản phẩm đạt yêu cầu và 10 sản phẩm không đạt yêu cầu. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 10 sản phẩm: a) Có bao nhiêu kết quả khác nhau? ĐS: 10 100 C b) Có bao nhiêu bộ 10 sản phẩm trong đó có 8 sản phẩm đạt yêu cầu?ĐS: 2 10 8 90 .CC 20. Một lớp học có 20 người có 12 Nam và 8 Nữ, giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra 5 người để làm cán bộ lớp và trong đó phải có ít nhất là 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách như vậy? 21. Một nhóm học sinh gồm 10 nam và 6 nữ. Chọn một tổ gồm 8 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để có nhiều nhất 5 nữ? 22. Có 2 giáo viên toán và 10 giáo viên sử. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một ban công tác gồm 8 người mà trong đó phải có ít nhất một giáo viên toán? 23. Một tổ có 7 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Thầy chủ nhiệm chọn một nhóm 6 học sinh để dự thi nấu cơm sao cho trong nhóm có không ít hơn 2 nữ. Hỏi thầy chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn? 24. Một nhóm học sinh gồm 4 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 trong đó có ít nhất 1 nam và 1 nữ. Có bao nhiêu cách 25. Có 9 viên bi xanh, 6 đỏ, 4 vàng đôi một khác nhau. a) Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi đỏ? b) Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ? 26. Một người muốn chọn 6 bông hoa từ 3 bó hoa để cắm vào lọ. Bó thứ nhất có 10 bông hồng, bó thứ 2 có 6 bông thược dược và bó thứ 3 có 4 bông cúc. a) Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn? b) Nếu chọn đúng 2 bông hồng, 2 bông thược dược và 2 bông cúc thì có bao nhiêu cách chọn? 27. Ba bạn A, B, C đều đến nhà bạn D mượn sách. Bạn D có 9 quyển sách khác nhau, trong đó có một quyển tiểu thuyết. Bạn A muốn mượn 2 quyển trong đó có 1 cuốn tiểu thuyết, bạn B nuốn mượn 2 quyển và bạn C muốn mượn 3 quyển. Hỏi bạn D có bao nhiêu cách cho mượn? 28. Có 5 nhà toán học nam,3 nhà toán nữ, 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác 3 người có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách? 29. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ. Người ta chọn ra một bó hoa gồm 7 bông? a) Có bao nhiêu cách chọn một bó hoa trong đó có đúng một bông hồng đỏ? b) Có bao nhiêu cách chọn một bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ? 30. Xét các biển số xe là dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ caí được lấy từ 26 chữ cái A, B, …, Z. Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0, 1…, 9. a. Có bao nhiêu biển số xe trong đó có ít nhất một chữ cái khác chữ cái O và các chữ số khác nhau? b. Có bao nhiêu biển xe có 2 chữ cái khác nhau đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó giống nhau HÀ QUANG HUY·- THPT NGÔ SỸ LIÊN Trang 8 Chuyên đề: Đại số tổ hợp – Bài toán đếm 31. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không có đủ 3 màu? BÀI TOÁN SẮP XẾP ĐỨNG LIỀN NHAU 1. (Mở’98) Một tổ học sinh gồm 10 người, trong đó có 2 nữ, 8 nam ngồi vào 10 chiếc ghế đặt quanh một bàn tròn. Hỏi: a) Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi khác nhau? ĐS: 9! = 103680 cách b) Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi khác nhau để hai bạn nữ ngồi cạnh nhau? ĐS: 23040 2. Cho tập các chữ số E = {1, 2, … , n}. Có thể lập được bao nhiêu số gồm n chữ số phân biệt sao cho các chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau? ĐS: (n – 2).(n – 1)! cách 3. (HVQY’00) Xếp 4 bi đỏ có bán kính khác nhau và ba bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống. a) có mấy cách xếp khác nhau? b) Có bao nhiêu cách xếp: 4 bi đỏ cạnh nhau và 3 bi xanh cạnh nhau? 4. (ĐHCT’00) Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó gồm 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên vào một bàn dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau? 5. (HH’99) Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho: a) Bạn C ngồi chính giữa b) Bạn A, E ngồi ở hai đầu ghế. 6. Có n học sinh nam và n học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn. Có bao nhiêu cách xếp để không có 2 học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau? 7. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thành lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã lập có bao nhiêu số mà cả hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau. 8. Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau được thành lập bằng cách dùng 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 sao cho 2 chữ số chẵn không nằm liền nhau? 9. Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau. Trong đó có 2 cuốn toán, 4 cuốn văn, 6 cuốn anh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các cuốn đó lên kệ dài, nếu những cuốn có cùng môn học được xếp kề nhau? 10. Có bao nhiêu cách xếp đặt 3 người Pháp, 2 người Nga ngồi trên một ghế dài sao cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau? 11. Một hội nghị bàn tròn có các phái đoàn các nước Việt Nam 3 người, Lào 5 người, Campuchia 2 người, Thái Lan 3 người, Trung Quốc 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch thì ngồi cạnh nhau? 12. Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và bốn chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu: a) Năm chữ số 1 được xếp kề nhau (120) b) Các chữ số được xếp tuỳ ý. (3024) 13. Xếp 3 quyển sách văn, 4 sách sử, 2 sách địa và 5 sách công dân vào một kệ theo từng môn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp? 14. Có 6 học sinh, trong đó có 2 học sinh A& B được xếp ngồi vào 6 chỗ đã được ghi số thứ tự trên 1 bàn dài a) Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này ngồi vào bàn? b) Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này sao cho 2 học sinh A và B không ngồi cạnh nhau? 15. Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau: HÀ QUANG HUY·- THPT NGÔ SỸ LIÊN Trang 9 Chuyên đề: Đại số tổ hợp – Bài toán đếm a) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi gần nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau? b) 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau? BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TAM GIÁC 1. Trên mặt phẳng cho thập giác lồi. Xét tất cả các tam giác mà 3 đỉnh của nó là 3 đỉnh của thập giác. Hỏi trong số tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà cả 3 cạnh của nó đều không phải là cạnh của thập giác? 2. Trong một mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của H. a) Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của H. b) Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H? c) Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H? 3. Cho 2 đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất có 10 điểm. Trên đường thẳng thứ 2 có 20 điểm. Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho? 4. Cho 7 điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. a) Có bao nhiêu đường thẳng mà mỗi đường thẳng đi qua 2 trong 7 điểm nói trên? (21) b) Có bao nhiêu tam giác với các đỉnh là 3 trong 7 điểm nói trênBài 10. (35) 5. a) Có bao nhiêu đường chéo trong một đa giác lồi n cạnh? (C 2 n – n) b) Một đa giác lồi có bao nhiêu cạnh để số đường chéo bằng 35? (C 2 n – n = 35 ⇔ n = 10) 6. Cho đa giác lồi n cạnh. Tìm số giao điểm của các đường chéo (không tính giao điểm là các đỉnh của đa giác). Biết rằng không có 3 đường chéo nào đồng quy. 7. Có bao nhiêu đường chéo trong một hình thập giác lồi? 8. Cho ∆ABC, xét tập 4 đthẳng song 2 AB, 5 đthẳng song 2 với BC, 6 đthẳng song 2 với CA. Hỏi các đthẳng này tạo được bao nhiêu tam giác, bao nhiêu hình thang (không kể các hình bình hành) với đkiện không có 3 đường nào của họ đthẳng đồng quy? BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TẬP CON 1. Cho A là một tập hợp có 10 phần tử. a) Có bao nhiêu tập con của A? b) Có bao nhiêu tập con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn.? 2. Tập hợp E = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Hỏi có bao nhiêu tập con chứa số 9? 3. Cho X = {a, b, c, d, e}. Hãy lập tất cả các tập con của X thoả mãn: a) Chứa phần tử ? b) Không chứa phần tử a, có bao nhiêu tập con thu được trong mỗi tập đó? BÀI TOÁN GỒM CÁC CHỮ SỐ TĂNG DẦN HAY GIẢM DẦN 1. Có bao nhiêu số từ 100 đến 999 gồm 3 chữ số theo thứ tự tăng dần hay giảm dần? 2. Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. HÀ QUANG HUY·- THPT NGÔ SỸ LIÊN Trang 10