CHỦ ĐỘNG GIẢM THIỂU SỐ BIẾN TRONG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Trong quá trình giải toán - một trong các hướng làm đơn giản bài toán là làm giảm thiểu số biến ,yếu tố tham gia bài toán Bài 1: " Với a > 0 , b > 0 - chứng minh : 4ab (3- a ) - 4a ( 1+ b 2 ) ≤ b " 1+ b 2 ≥ 2b (bđt Cô Si ) ⇒ -4a (1+ b 2 ) ≤ -4a.2b (vì a > 0 ) . Ta đi cminh bđt chặt hơn bđt ban đầu : 4ab (3- a ) - 4a.2b ≤ b ⇔ 4a (3- a ) - 8a. ≤ 1 ( là bđt chỉ có 1 biến) ⇔ 4a 2 - 4a +1 ≥ 0 ⇔ (2a- 1 ) 2 ≥ 0 (đúng ) . Vậy bđt ban đầu được cminh . Dấu "=" xảy ra ⇔ b 2 = 1, 2a -1= 0 (a > 0 ,b > 0)⇔ a= 1/2 , b =1 Bài 2 :Cho x, y, z > 0 và x+y +z = 1. Chứng minh : x+ 2y + z ≥ 4(1- x) (1 - y) (1- z) Nhận xét : Bđt cần cminh tương đương 1+ y ≥ 4 (1- x) (1-y) (1-z) .Ta có x,z có vai trò như nhau nên có lẽ dấu bằng xảy ra khi x = z → ta mạnh dạn đánh giá : 4 (1- x) (1-z) ≤ [(1-x )+ (1-z)] 2 (dấu bằng xảy ra khi x = z ) = ( 1+ y ) 2 (suy từ gt x+y +z = 1) ** . Từ gthiết ta có x,y,z ∈ (0,1) ** ⇒ 4(1- x) (1 - y) (1- z) ≤ ( 1+ y ) 2 (1-y) 1 Ta cminh bđt chặt hơn bđt ban đầu : ( 1+ y ) 2 (1-y) ≤ 1+y ( bđt chỉ theo một biến ) ⇔ 1-y 2 ≤ 1 ( vì 0 < y < 1) .Bđt cuối cùng là đúng ⇒ bđt ban đầu được cminh . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = z ,y =1 ( x+y +z = 1) ⇔ x = z = 0 , y = 1 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = 0 b0,a våïi ab ba ba ab 22 22 >> + + + Đặt x = ab ba 22 + , Ta có a > 0, b > 0 ⇒ ab ba 22 + ≥ 2 ⇒ x ≥ 2 Khi đó M = x + 1/x = f (x) vứi x ≥ 2 ( M là biểu thức theo 1 biến x ) f '(x) = 1 - 1/x 2 > 0 với x ≥ 2 ⇒ f(x) tăng trên [2; +∞) ⇒ min M = minf(x) = f(2) = 5/2 Bài 4: a,b,c∈ (0,1] -chứng minh : ( )( )( ) c1b1a1 3 1 cba 1 −−−+≥ ++ (đề thi hs giỏi lớp 12 - Quảng nam ) Giữa 2 biểu thức a+b+c và (1-a) (1-b) (1-c) có bđt liên hệ : ( )( )( ) ( ) 3 cba3 3 c1b1a1 c1b1a1 3 ++− = −+−+− ≤−−− 2 (bđt Cô Si ) Ta đi cminh bđt chặt hơn bđt ban đầu : cba 1 ++ ≥ + 3 1 ( ) 3 3 cba3       ++− (♦ ) (đã làm giảm đi một số biến "1-a'' ,''1-b'' , ''1-c '' ) Đặt S = a+b+c , 0 < S ≤ 3 .Bđt (♦ ) viết lại : ( ) ( ) 3 3 S3SS39 3 S3 S3 S3 −≥−⇔       − ≥ − ( ) ( ) [ ] *** 0S3S9S3 2 ≥−−−⇔ là bđt chỉ theo một biến . Vì 3-S ≥ 0 , để cminh *** ta cminh 9 - S(3-S) 2 ≥ 0 với 0 <S ≤ 3. Ta có : S(3-S) 2 = 3 2 3 )S3)(S3(S2 2 1 )S3(S2 2 1       −−+ ≤− = 4 ( bđt Cô si) ⇒ 9 - S(3-S) 2 ≥ 9 - 4 > 0 ⇒.*** được cminh ⇒ bđt (♦ ) được cminh ⇒ bđt ban đầu được cminh . Dấu '' = ''xảy ra ⇔1-a =1-b = 1-c , S = a+b+c = 3 ⇔ a = b = c =1 @ Bài tập đề nghị : 1/ Chứng minh với mọi x ta có : | sin 3 x +cosx | < 5/4 2/ Chứng minh với 0 < x < π/2 thì 3x - x 3 < x2sin 2 3/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 3 P = sin 2 C sin 2 B sin 2 A 4 5 . CHỦ ĐỘNG GIẢM THIỂU SỐ BIẾN TRONG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Trong quá trình giải toán - một trong các hướng làm đơn giản bài toán là làm giảm thiểu số biến. hướng làm đơn giản bài toán là làm giảm thiểu số biến ,yếu tố tham gia bài toán Bài 1: " Với a > 0 , b > 0 - chứng minh : 4ab (3- a ) - 4a (