Trang PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Phương trình ẩn  bậc phương trình Ví dụ : Phương trình ẩn x a) x   x   bậc b) x  x  0  bậc hai c) x  x  3x 0  bậc ba  Bậc phương trình số mũ cao ẩn  Thay ẩn x ẩn khác ta có phương trình theo ẩn Ví dụ : Phương trình ẩn y, t, z a) y   y   bậc b) t  3t  0  bậc hai c) z  z  3z 0  bậc ba Nghiệm phương trình  tập nghiệm phương trình Ví dụ : Trong số 3, 2, 1, 0, 1, 2, Số nghiệm phương trình sau: a)  x     x  1 4 x  b) t  3t  0 c)  y  1    y  5  y    d) m  m  3 3m  Bài giải x  x     x  1 4x  3 19 14 2 14 10 1 9 6 4 2 1 Vậy : Phương trình có nghiệm x 2 , nghĩa S  2 t 3 2 1 2 0 t  3t  Vậy : Phương trình có hai nghiệm t  , t  , nghĩa S   2,  1 y 3 2 1  y  1    y  23 18 13 3  y  2  23 18 13 3 6 11 10 12 20 2 7 Vậy : Phương trình nhận tất số 3, 2, 1, 0, 1, 2, làm nghiệm nên phương trình có nhiều nghiệm m 3 2 1 m  m  3 19 14 9 4 11 3m  14 10 6 10 2 Vậy : Phương trình không nhận nhận tất số 3, 2, 1, 0, 1, 2, làm nghiệm nên phương trình khơng có nghiệm Ghi nhớ :  Giá trị x m làm cho hai vế phương trình có giá trị x m nghiệm phương trình  Một phương trình khơng có nghiệm có một, hai, ba nghiệm có nhiều nghiệm Trang  Tập hợp tất nghiệm phương trình gọi tập nghiệm phương trình, ký hiệu S  Phương trình khơng có nghiệm gọi phương trình vơ nghiệm, nghĩa S   Phương trình nghiệm với giá trị ẩn gọi phương trình có vơ số nghiệm, nghĩa S R Các phép biến đổi phương trình  Phép chuyển hạng tử từ vế sang vế phương trình mà đổi dấu phép biến đổi tương đương  Khi ta nhân (hoặc chia) hai vế phương trình với số ( biểu thức ) khác O phương trình tương đương  Phép bình phương, phép khai phương, phép biến đổi tỷ lệ thức phép biến đổi không tương đương LUYỆN TẬP Bài tập : Trong số 3, 2, 1, 0, 1, 2, Số nghiệm phương trình sau: a)  x  1    x  7 x  b) t  4t  0 c) y    y  1  y  d) m  m  1 2  m  3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Phương trình bậc ẩn a) Định nghĩa : Phương trình dạng ax  b 0, a 0 gọi phương trình bậc ẩn b b) Cách giải : ax  b 0  ax  b  x  : phương trình có nghiệm a Ví dụ : Giải phương trình a) 3x    x  4  x  1 b)  x   x  8 x  x   3x  5 x  3x  x  21  x 2x     c) d) x     5 Bài giải a) 3x    x  4  x  1  x   x 8 x   x 8 x  x 0  x 0 b)  x   x  8 x  x     x  x 8 x  16 x  22 x 5  x  22 3x  5 x  3x      10  3x  5   x   4  3x    4.20 c) 32  30 x  50  25 x  10 12 x   80  x 32  x  x  21  x 2x  d) x    30  x  1  15  x   12   x    x  3    30 x  30  15 x  30 12  12 x  10 x  15  67 x   x  67 Ví dụ : Giải phương trình 4x  x  x  1  x  3  3x    3 a) 0,5 x  b) 3 x 1 x  x  x  109  x 107  x 105  x 103  x        0 c) d) 99 98 97 96 91 93 95 97 Trang Bài giải 4x  x x 4x  x   3     35 x  14  x  1 10 x  70 7 56  35 x  56 x  14 10 x  70  81x  56  x  81 x  1  x  3 x   b)     x  1  x  3   x   2.5 3 2  x  15 x   x  10   15 x 15  x  x 1 x  x  x  x 1 x2 x 3 x4    1  1  1  1 c)  99 98 97 96 99 98 97 96 x   99 x   98 x   97 x   96 x  100 x  100 x  100 x  100         99 98 97 96 99 98 97 96 1      x  100      0  x  100  99 98 97 96  109  x 107  x 105  x 103  x     0 d) 91 93 95 97 109  x 107  x 105  x 103  x 1  1  1   0  91 93 95 97 200  x 200  x 200  x 200  x    0  x 200  91 93 95 97 Phương trình tích A  x  B  x  0  A  x  0 B  x  0 Ví dụ : Giải phương trình a)  x  1   x  0 b)  1,3 x  2,6   0,  x  0 a) 0,5 x  c)   x   x  x  1 0 d)  x  2   x   x  1 0 Bài giải x 3 b)  1,3x  2,6   0,  x  0  1,3x  2,6 0 0,  x 0  x 2 x 0, 2 2 c)   x   x  x  1 0    x   x  1 0   x 0  x  1 0 a)  x  1   x  0  x  0  x 0  x  x  d)  x     x   x  1 0  x  0  x 0 x  0  x 2 x  x  Ví dụ : Giải phương trình a)  x  3  x  1  x  3  x   b)  x  x    x    x c) x  x 0 d)  x  1  x  3  x  x  e) x  x  0 f) x  x   x  1  x  1 2 g)  x  3   x  1 0 h)  x  x    x   Trang Bài giải a)  x  3  x  1  x  3  x     x  3  x   x   0   x  3   x  0  x  0  x 0  x 3 b)  x  x    x      x    x   x    x     x    x   x   0  x  0 x  0  x  x  c) x  x 0  x  x   0  x 0 x  2 d)  x  1  x  3  x  x   x  x   x  x   x  3x 0  x  x  3 0  x 0 x  e) x  x  0  x  x  x  0  x  x  1   x  1 0   x  1  x   0  x  x  f) x  x   x  1  x  1  x  x  2 x  x   x  x  0  x  x  x  0  x  x  1   x  1 0   x  1  x   0  x 1 x 4 2 g)  x  3   x  1 0    x  3   x  1    x  3   x  1  0   x   x  1  x   x  1 0   x    x   0  x 4 x  2 2 e)  x  x     x   0   x  x   x    x  x   x   0 2   x  x  12   x  3x   0  x  x  12 0 x  x  0   x  3  x   0  x  1  x   0  x 3 , x 4 , x 1 , x 2 Ghi nhớ 1:  Phương trình dạng  ax  bx  c   mx  nx  p   ax 2 2  bx  c    mx  nx  p  0 sử dụng đẳng thức a  b  a  b   a  b  để biến thành phương trình tích  Phương trình bậc hai ax  bx  c 0 có nghiệm x m đa thức ax  bx  c phân tích thành tích  x  m  nhân với đa thức bậc  Phương trình bậc ba ax  bx  cx  d 0 có nghiệm x m đa thức bậc ba ax  bx  cx  d phân tích thành tích  x  m  nhân với đa thức bậc hai  Các giá trị x m thường : 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3 Ghi nhớ : Khi gặp phương trình bậc hai ax  bx  c 0 khơng dị nghiệm x m ta biến đổi sau : 2  b c  b   b  c  b ax  bx  c 0  a  x  x   0  a  x  x         0 a a a  2a   2a  a    Trang  b  b  4ac   a  x     0 2a  4a    b  4ac  0   b  4ac  4a ax  bx  c 0 vô nghiệm b  4ac  0   b  4ac 0 4a ax  bx  c 0 có nghiệm kép   b  b  4ac  x   : Phương trình bậc hai    2a  4a  b b    x   0  x  2a : Phương trình bậc hai 2a    b  b  4ac  b  4ac   a  x     0  b  4ac   2a  4a  4a    2   b  4ac   b   a  x       0 áp dụng đẳng thức a  b  a  b   a  b  để    2a   2a    biến đổi phương trình tích :  b   b  4ac     b   b  4ac    x       x       0     2a   2a a a         Khi phương trình bậc hai ax  bx  c 0 có hai nghiệm phân biệt : b  4ac  b  b  4ac x x 2a 2a Ví dụ : Giải phương trình a) x  x  0 b) x  x  0 c) x  14 x  0 Bài giải a) x  x  0  x  x   0   x  1  0 : phương trình vơ nghiệm b 2  1 1   1  b) x  x  0   x  x   0   x  x     0   x   0 4  2  2     x  : Phương trình có nghiệm kép 2  14 5  7  7 5  14 x         0 c) x  14 x  0   x  x   0   x  2.3 3        2 2     49 15   64  7  8    0    x     3 x     0    x       0 9                       1     x         x       0   x    x   0  x  x         3   Ví dụ : Giải phương trình a) x  3x  x 0 b) x  x  x  0 2 c) x  3x 1  x d)  x  1  x  3  x  x  Bài giải Trang a) x  3x  x 0  x  x  3x  1 0  x 0 x  x  0  x 0 x  x  x  0  x 0 x  x  1   x  1 0  x 0  x  1  x  1 0  x 0 x 1 x  2 b) x  x  x  0  x  x  1   x  1 0   x  1  x  1 0  x  c) x  3x 1  x  x  3x  3x  0   x  1  x  x  1 0 2   x  1  x  x  1  x  x  1 0   x  1  x  x  1 0   x  1  x  1 0  x 1 x  2 d)  x  1  x  3  x  x   x  3x  x   x  x   x  x  x  0  x  x  x  x  x  0 2  x  x  1  x  x  1   x  1 0   x  1  x  x   0   x  1  x  x  x   0   x  1  x  x  3   x  3  0   x  1  x  3  x   0  x 1 x 3 x  Phương trình chứa ẩn mẫu Cách giải :  Tìm điều kiện xác định phương trình  Quy đồng mẫu thức phương trình bỏ mẫu thức  Giải phương trình vừa nhận  So sánh giá trị ẩn vừa tìm, giá trị thỏa mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho Ví dụ : Giải phương trình x x2  4 x  a) b) x2 x 2  x    x  3  2x  x  x 2 c) d)  3 x 3 x2 x 3 Bài giải x 4 a) x2 Vì x  0  x 2 phương trình khơng xác định nên điều kiện xác định x 2 x 11 4  x  4 x   x  11  x  x2 11 Nghiệm x  thỏa mãn điều kiện x 2 nên nghiệm phương trình cho x2  x  b) x Điều kiện x 0 x2   x   x  2 x  x  x  x Nghiệm x  thỏa mãn khác O nên nghiệm phương trình cho Trang  x    x  3  3 x2 x 3 Điều kiện x  x   x    x  3  3   x    x  3   x  3  x   3  x    x  3 x2 x 3 2   x  x     x  x   3  x  x   c)  x  x  30  x  x  12 3 x  15 x  18  x  36  x   x  Nghiệm x  9 thỏa mãn điều kiện nên phương trình cho có nghiệm  2x  x2  x 2 d) x 3 Điều kiện x  3  2x  x2  x 2   x  x  x  3x 2 x   x  x 3 Nghiệm x  không thỏa mãn điều kiện, phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ : Giải phương trình x 1 2x   0   a) b) x  x x x x 1 x  x x 9 2x 2 x    c) d)  3x  x  x  x  x 1 2 1  1  e)  x     x    x  x  Bài giải  0 a) x  x2  x  Điều kiện x  0 x  x  0  x 2 x  x   0  x  x   x  0  x  x  0  x  x  x  0 x  x x  x  x     x   0   x    x  1 0  x 2 x  Giá trị x 2 khơng thỏa mãn điều kiện nên phương trình có nghiệm x  x 1 2x    b) x x 1 x  x Điều kiện x 0 x  x 1 2x      x  1  x  1  x 2 x   x   x  x  0 x x 1 x  x  x  x 0  x  x  3 0  x 0 x 3 Giá trị x 0 không thỏa mãn nên phương trình có nghiệm 2 x  c) 3x  2 Điều kiện x  0  x  Trang 2 x   x  x  0  x  x  x  0  x  x  1   x  1 0 3x    x  1  x   0  x 1 x  : phương trình có hai nghiệm x 9 2x   d)  x  x3  x  x  Điều kiện x 1 x 9 2x 1    x    x  x  1  x  2 x  x  1 x  x  x  x 1  x   x  x   x   x  x 0  x  x  x  0  x  x  x  x  x  0  x  x  1  x  x  1   x  1 0 2   x  1  x  x   0   x  1  x  x  3x   0   x  1  x  x     x    0   x  1  x    x  3 0  x  x 2 x 3 2 1  1  e)  x     x    x  x  Điều kiện x 0 2 2 1  1 1  1    x     x      x      x    0 x  x x  x   2         x        x      0 x   x                       x        x         x        x       0 x   x     x   x        1  1 1     x    x     x    x    0   x   x 0 x x  x x x   x 1 0  x 0 x  0  x 0 x x Vì x 0 khơng thỏa mãn điều kiện nên phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ : Giải phương trình ( Phương pháp đặt ẩn phụ ) 1 a)  x  1  x  0 b) x   x  x x Bài giải a)  x  1  x  0 ta nhận thấy dựa vào ẩn phụ y 2 x  nên ta biến đổi 2 2  x  1  x  0   x  1  x   0   x  1   x  1  0 Đặt y 2 x  ta y  y  0 ta thấy phương trình có nghiệm y  nên ta biến đổi sau : y  y  y  0  y  y  1   y  1 0   y  1  y  1 0  y  y   y   x    x  Trang 1 3  x    x   x  2 1 b) x   x  x x Điều kiện x 0 1 1 Đặt y  x  suy y  x  2.x   x   y  x x x x 2 Phương trình cho trở thành y  y   y  y  0  y  y  y  0  y  y  1   y  1 0   y  1  y   0  y  y 2 Trở lại với ẩn x : y   x    x  x  0 : phương trình vô nghiệm x y 2  x  2  x  x  0   x  1 0  x 1 x Vậy phương trình cho có nghiệm x 1 Phương trình có hệ số chữ Giải biện luận phương trình : ax  b 0 , (1)  Biến đổi phương trình dạng ax  b , (1)  Nếu a 0 phương trình (1) có dạng : 0.x  b ; o Nếu b 0 phương trình có vơ số nghiệm x o Nếu b 0 phương trình vơ nghiệm b  Nếu a 0 phương trình có nghiệm x  a Ví dụ : Giải biện luận phương trình a) m  x  1  x  b) m  mx  3 2  x  3  y  c) m   mx  x  a)   b) d)  mx  3 m  3x  m  Bài giải m  x  1  x   2mx  m  x   2mx  x m    2m  1 x m  1 Nếu 2m  0  m  (a) có dạng : 0.x   phương trình vơ nghiệm 2 m 3 Nếu 2m  0  m  phương trình (a) có nghiệm x  2m  m  mx  3 2  x  3  m x  3m 4 x    m   x 3m    m    m   x 3  m    m1 2  m  0  Nếu  m    m   0    :  m  0  m2  o m 2 (b) có dạng 0.x 3    nên phương trình cho vơ nghiệm o m  (b) có dạng 0.x 3    nên phương trình cho có vơ số nghiệm Trang 10  m 2  Nếu  m    m   0   phương trình (a) có nghiệm m  3 m  2 x   m  2  m  2 m  2 c) m   mx   x   2m  m x  x    m  1 x 2m  2m  Vì m  0, m nên phương trình ln có nghiệm x  m 1 d)  mx  3 m  3x  m   3mx  3mx  m  0.x 9  m Ta có :  m 0    m    m  0  m1 3 ; m2   Nếu m1 3 ; m2  (d) có dạng 0.x 0 nên phương trình cho có vơ số nghiệm  Nếu m  ; m 3 phương trình cho vơ nghiệm LUYỆN TẬP Bài tập : Giải phương trình a) x    x  5  x  1 x  x  3x    7 c) x 1 2x   x   3 e) x 1 x  x  x     g) 79 78 77 76 Bài : Giải phương trình a)  x  3  x   0 c)  x    x  x  3 0 e)  x    3x  1  x    x   g) x  x 0 i)  x  x 0 k) x  x  x 0 m) x  3x  3x  0 o)  x  x  3   x  Bài : Giải phương trình x 1 3 a) 2 x  x    x  3 c)  3 x2 x 3  0 e) x x x  2 x  g) 3x  b)  3x   x  6 x   x   x  x  3 x  d) x      x  1  x  3  x  2 f) 19  x 17  x 15  x 13  x     0 h) 91 93 95 97  2,  1, x   0, 25  0,75 x  0 d)  x  3  3x  1  x  3 0 f) x    x   x  3 h)  x    x  3  x  x  j) x  3x   x  1  x  1 b) l) x   x 0 2 n)  x      x  0 p) b) d) f) d) x 2  3x    x  x  3 x2 1 x  x 2  3x  x  x 3 x x 2x    x x 1 x  x x  x   x  1   4x 4x2 x:   2x2  2x x2 1  2x x2  Trang 11 1       i)   :  0  x  4x  x  4x    x  x   2 x  1 x3  x  1      x     j)  k)     0 x  x 1  x  2x 1  x2   x  x x 1   x  Bài : Giải biện luận phương trình a)  x  m  1  mx b) 2m  2mx  3  x  c) m  3x  m   3  mx  1 d) m x  x  GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Lập phương trình  Chọn ẩn đặt điều kiện thích hợp cho ẩn;  Biểu diễn đại lượng chưa biết khác theo ẩn đại lượng biết;  Biểu thị mối liên quan đại lượng phương trình Giải phương trình Trả lời  Kiểm tra xem nghiệm phương trình nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn đáp số tốn Để lại nghiêm cứu lớp ! ... 98 97 96 1      x  10 0      0  x  10 0  99 98 97 96  10 9  x 10 7  x 10 5  x 10 3  x     0 d) 91 93 95 97 10 9  x 10 7  x 10 5  x 10 3  x ? ?1  ? ?1  ? ?1   0  91 93 95 97... x ? ?1 Phương trình có hệ số chữ Giải biện luận phương trình : ax  b 0 , (1)  Biến đổi phương trình dạng ax  b , (1)  Nếu a 0 phương trình (1) có dạng : 0.x  b ; o Nếu b 0 phương trình. ..  0 c) y    y  1? ??  y  d) m  m  1? ?? 2  m  3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Phương trình bậc ẩn a) Định nghĩa : Phương trình dạng ax  b 0, a 0 gọi phương trình bậc ẩn b b) Cách giải