Dạng 6 Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức Chuyên đề: Hàm số Nội dung  Dạng 6. Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức: • Dạng 6A: Bất đẳng thức về hàm số mũ, log • Dạng 6B: Bất đẳng thức về hàm số lượng giác • Dạng 6C: Sử dụng đạo hàm bậc cao Dạng 6A Bất đẳng thức về hàm số mũ, logarit Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, log  Bài tập mẫu Chứng minh rằng nếu x > 0 thì e x > 1 + x. Giải Xét hàm số f(x) = e x – (1 + x). Ta có f ’(x) = e x – 1 > 0 ∀x > 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến trên R. Do đó nếu x > 0 => f(x) = e x – 1 – x > 0 => e x > 1 + x ∀x > 0 (đpcm).  Lưu ý • Bài toán: chứng minh rằng f(x) > 0 thoả mãn với mọi x trong khoảng (a ; b). • Cách giải thường gặp: - Sử dụng đạo hàm để xét biến thiên của hàm số. - Nếu hàm số đồng biến trong khoảng (a ; b) thì ∀x∈ (a ; b) => f(a) < f(x) < f(b) - Nếu hàm số nghịch biến trong khoảng (a ; b) thì ∀x∈ (a ; b) => f(b) < f(x) < f(a). Từ đó suy ra đpcm. Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, log  Bài tập tương tự Chứng minh rằng nếu x > 0 thì Giải Xét hàm số Ta có ,suy ra hàm số f(x) nghịch biến khi x > 0 (thực chất hàm số nghịch biến trên R). Do đó nếu (đpcm). Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, log   + + <  ÷   2 x ln 1 x x. 2   = + + −  ÷   2 x f(x) ln 1 x x 2 + = − = − < ∀ >   + + + +  ÷   2 2 2 1 x x f '(x) 1 0 x 0 x x 1 x 2 1 x 2 2     > ⇒ = + + − < = ⇒ + + < ∀ >  ÷  ÷     2 2 x x x 0 f(x) ln 1 x x f(0) 0 ln 1 x x x 0 2 2  Bài tập tương tự (tt) • Lưu ý. Ta có các bất đẳng thức sau: > + + + + ∀ > ∈   + + + + < ∀ > ∈  ÷   2 n x 2 n x x e 1 x . x 0,n N * 2 n! x x ln 1 x . x x 0,n N* 2 n! Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, log Dạng 6B Bất đẳng thức về hàm số lượng giác  Bài tập mẫu Chứng minh rằng nếu thì sinx < x < tanx Giải  Xét hàm số , suy ra hàm số f(x) đồng biến trên R. Do đó nếu thì f(x) = x – sinx > f(0) = 0 =>sinx < x  Xét hàm số suy ra hàm số f(x) đồng biến trong . Do đó nếu thì g(x) = tanx – x > g(0) = 0 => tanx > x Vậy nếu thì sinx < x < tanx Dạng 6B. Bất đẳng thức về hàm số lượng giác π < <0 x 2 = − ⇒ = − = ≥ ∀ 2 x f(x) x sinx f '(x) 1 cosx 2sin 0 x 2 π = − ⇒ = − = > ∀ < < 2 2 1 g(x) tanx x g'(x) 1 tan x 0 x : 0 x cos x 2 π    ÷   0; 2 π < <0 x 2 π < <0 x 2 π < <0 x 2  Bài tập tương tự Chứng minh rằng nếu thì sinx + tanx > 2x. Giải Xét hàm số Nếu thì Suy ra hàm số f(x) đồng biến trong . Do đó nếu thì f(x) = sinx + tanx – 2x > f(0) = 0 => sinx + tanx > 2x (đpcm). Dạng 6B. Bất đẳng thức về hàm số lượng giác π < <0 x 2 = + − ⇒ = + − 2 1 f(x) sinx tan x 2x f '(x) cos x 2 cos x π < <0 x 2 < < ⇒ >   ⇒ = + − > + − = − >  ÷   2 2 2 2 2 0 cos x 1 cos x cos x 1 1 1 f '(x) cos x 2 cos x 2 cosx 0 cos x cos x cos x π    ÷   0; 2 π < <0 x 2 . giác • Dạng 6C: Sử dụng đạo hàm bậc cao Dạng 6A Bất đẳng thức về hàm số mũ, logarit Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, log  Bài tập mẫu Chứng minh rằng