Khối đa diện 1 Cho lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 có đáy là tam giác đều cạnh a. Mp(ABC 1 ) tạo (BCC 1 B 1 ) góc α. Gọi I,J là hình chiếu của A lên BC và BC 1 . a) Chứng minh góc AJI = α b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ. 2 Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ đáy ABCD có góc A và góc C bằng 90 0 cạnh BD=a, góc ABD=α, góc CBD=β. Mặt chéo AA’C’C là hình thoi có góc A’AC=60 0 và vuông góc đáy. Tính thể tích lăng trụ. 3 Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có đáy là hình thoi cạnh a, góc A bằng 60 0 . Chân đường vuông góc hạ từ B 1 xuống (ABCD) trùng với giao điểm 2 đường chéo AC,BD. Biết BB 1 =a. a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy. b) Tính thể tích khối hộp. 4 Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 cạnh a. M là trung điểm AB. a) Chứng minh AC 1 vuông góc (A 1 BD). b) Tính tỷ số thể tích hai phần của hình lập phương bị chia bởi (MB 1 D 1 ). 5 Cho hình hộp ANCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có 6 mặt là hình thoi cạnh a, các cạnh xuất phát từ A đôi một tạo với nhau góc α (nhọn). a) Chứng minh hình chiếu của A 1 lên lên (ABCD) thuộc AC. b) Tính thể tích khối hộp. 6 Cho hình chóp SABC có 2 mặt bên SAB và SAC vuông góc đáy ABC. AB=AC. D là trung điểm BC, AD=a. SB tạo với đáy góc α. SB tạo với mặt (SAD) góc β. a) Chứng minh 2 2 2 2 SB SA AD BD= + + b) Tính thể tích khối chóp SABC. 7 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc đáy. Gọi H là trung điểm AB. M di động trên canh BC. a) Chứng minh SH vuông góc (ABCD). Tính thể tích S.ABCD. b) Tìm tập hợp hình chiếu của S lên DM. c) Tính khoảng cách từ S đến DM theo a và x=CM 8 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc đáy, góc hợp bởi SC và (SAB) là α. Chiếu của A trên SB,SC,SD là B’,C’,D’. a) Chứng minh A,B’,C’,D’ đồng phẳng. b) Tính tỷ số thể tích của 2 khối chóp SABCD và AA’B’C’D’. 9 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, SA vuông góc ABCD, cạnh SC hợp với đáy góc α và hợp với mặt bên (SAB) góc β. Tính SC và thể tích khối chóp. 10 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi, góc A bắng α (nhọn). Hai mặt bên (SAB), (SAD) vuông góc đáy. Hai mặt bên còn lại hợp với đáy góc β. Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp. Khối cầu 1 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a. 2 Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M,N,P,Q là các trung điểm của 4 cạnh bên. Chứng minh 8 điểm A,B,C,D,M,N,P,Q cùng thuộc một mặt cầu. Tính bán kính mặt cầu đó. 3 Tứ diện ABCD có AB=CD=c, AC=BD=b, AD=BC=a. a) Tính thể tích tứ diên. b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. c) CMR có mặt cầu nội tiếp tú diện. 4 Cho tứ diện SABC, SA=a, SB=b, SC=c. Ba cạnh SA, SB,SC đôi một vuông góc nhau. G là trọng tâm ABC. I là tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC. a) Tính thể tích tứ diện SABC. b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trên. c) Chứng minh S,G,I thẳng hàng. 5 Cho mặt cầu đường kính AB=2R. Cắt mặt cầu bằng mp vuông góc AB sao cho AH=x (0<x<2R) ta được thiết diện là đường tròn (T). Gọi MNPQ là hình vuông nội tiếp (T). a) Tính theo R,x bán kính của (T), cạnh hình vuông MNPQ, AM, BM. b) Tính thể tích khối đa diện hợp bởi 2 khối chóp AMNPQ và BMNPQ. Tính x để thể tích đó lớn nhất. Khối trụ 1 Trên đường tròn đáy của một hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy R, người ta lấy các điểm A,B. Tính khoảng cách đường thẳng AB và trục của hình trụ khi: a) AB=x b) Góc giữa AB và mặt đáy là α. 2 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a và đường cao SA=2a. MNPQ là thiết diện song song đáy. M thuộc SA và AM=x. Xét hình trụ có đường tròn đáy qua M,N,P,Q và đường sinh MA. a) Tính theo a,x diện tích MNPQ. b) Tính thể tích khối trụ. c) Xác định vị trí M để khối trụ có thể tích lớn nhất. 3 Cho hình trụ có trục OO’, bán kính đáy R. Một điểm S cố định cách OO’ một khoảng a. Một đường thẳng d di động nhưng luôn luôn qua S và cắt mặt trụ tại M,N. a) Chứng minh trung điểm I của MN thuộc mặt trụ cố định. b) Giả sử d tạo với OO’ góc α (không đổi). Chứng minh SM.SN không đổi. 4 Cho hình trụ có trục OO’=2R, bán kính đáy R. Gọi A là một điểm trên đường tròn (O). B là một điểm trên đường tròn (O’). OA vuông góc O’B. a) Chứng minh tứ diện O.ABO’ có các mặt bên là những tam giác vuông. b) Gọi (P) là mp qua AB và song song OO’. Tính khoảng cách (P) và OO’. c) Chứng minh (P) là tiếp diện của mặt trụ có trục OO’, bán kính đáy là 2 2 R . Khối nón 1 Cho khối nón đỉnh S, chiều cao h, bán kính đáy R. Mặt phẳng (P) qua S cắt khối nón theo thiết diện (T). Xác định (P) để (T) có diện tích lớn nhất. 2 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy a và góc ở đáy mặt bên là α. Tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón nội tiếp hình chóp. 3 Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h và góc ASB bằng α. Tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp. 4 Một hình nón có chiều cao h và bán kính đáy R. Một thiết diện hình nón qua đỉnh và cách tâm đáy một khoảng d. Tính diện tích thiết diện. Ôn tổng hợp 1 Một hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc (ABCD). Mặt phẳng qua A, vuông góc SC cắt SB,SC,SD tại B’,C’,D’. a) Chứng minh ABC’D’ nội tiếp được trong môt đường tròn. b) Giả sử góc của SC và (SAB) là x. AB=BC. Tính tỷ số thể tích SABC’D’ và SABCD. 2 Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao 3R . A và B’ là 2 điểm lần lượt thuộc 2 đường tròn đáy sao cho góc giữa AB’ và trục hình trụ bằng 30 0 . Tính : a) Diện tích thiết diện hình trụ tạo bởi mp(P) chứa AB và song song trục hình trụ. b) Góc giữa 2 bán kính đáy lần lượt qua A,B’. c) Khoảng cách AB’ và trục hình trụ. 3 Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn (O,R). Góc ở đỉnh bằng 60 0 . AB là đường kính cố định của đáy. a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón. b) C và D là 2 đei63m trên đường tròn đáy và ở cùng một phía đối với AB. Góc BAC bằng α (<45 0 ). Góc BAD bằng 45 0 . Tính góc giữa (SAB) và (SCD). 4 Cho một khối cầu bán kính R và một khối nón nội tiếp trong khối cầu đó. Chiều cao khối nón là x (0<x<2R). a) Tính diện tích xung quanh và thể tích V của khối nón. b) Tìm x để V đạt lớn nhất. . ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc đáy. Gọi H là trung điểm AB. M di động trên canh BC. a) Chứng minh SH vuông góc (ABCD) S.ABCD. b) Tìm tập hợp hình chiếu của S lên DM. c) Tính khoảng cách từ S đến DM theo a và x=CM 8 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc đáy,