Chuyên đề hình 8 : phơng pháp diện tích Ngời viết : Tạ Phạm Hải Giáo viên trờng THCS Thị trấn Hng hà - Thái bình A.Bài tập hình thành ph ơng pháp Bài tập 1 : Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi M là một điểm bất kì trên đáy BC . Gọi H , K thứ tự là hình chiếu của M trên AB , AC và BI là đờng cao của tam giác ABC. Chứng minh : MH + MK = BI Giải: Cách 1 : Gọi N là hình chiếu của M trên đường cao BI ta dễ dàng chứng minh được tứ giác MNIK là hình chữ nhật và suy ra được NI = NK . Lại có HBM = NMB ( hai tam giác vuông có chung cạnh huyền BM , HBM = NMB và cùng là hai góc nhọn ) nên MH = BN Vậy ta có MH + MK = NB + NI = BI ( đpcm ) N I K H B C A M Cách 2 : Nối AM và gọi S là diện tích của tam giác ABC , ta có : S = S ABM + S ACM = 0,5.MH.AB + 0,5.MK.AC = 0,5.AC.( MH + MK ), Vì AB = AC mà S = 0,5 BI.AC nên 0,5 BI.AC = 0,5.AC.( MH + MK ). Vậy MH + MK = BI ( đpcm ) Bài tập 2 : Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) , hai đờng chéo cắt nhau tại O. Qua O kẻ đ- ờng thẳng song song với hai đáy cắt các cạnh bên AD , BC thứ tự ở E và F. Chứng minh : EO = FO Giải : Cách 1 : Vì OF // AB nên OF CO AB CA = ; Vì OE // AB nên OE DE AB DA = ( Hệ quả ĐL Ta lét ) Vì OE // DC nên CO DE CA DA = (Hệ quả ĐL Ta lét ) Vậy OF OE AB AB = OF = OE ( đpcm) Cách 2 : Đặt AD 1 = BC 1 = h 1 ; E E 1 = FF 1 = h 2 . Ta thấy : S ABC = S ABD , S AOD = S COB ( có chung S AOB ) S AOE + S DOE = S BFO + S CFO 0,5.EO.h 1 + 0,5EO.h 2 = 0,5.FO.h 1 + 0,5.FO.h 2 EO.( h 1 + h 2 )/2 = FO.( h 1 + h 2 )/2 EO = FO ( đpcm ) Nhận xét : Trong cách giải 2 của các bài tập trên , ta đã giải quyết bài toán hoàn toàn dựa vào việc xét diện tích của các hình mà công thức tính diện tích của chúng có F E O D C A B C 1 D 1 E 1 F 1 liên quan tới các hệ thức cần phải chứng minh .Cách giải quyết bài toán dựa vào việc xét diện tích của các hình có liên quan nh trên đợc gọi là phơng pháp diện tích . Để rèn luyện cách giải này ta cần chú ý một vài đặc điểm sau : 1. Không phải bài tập hình nào cũng giải đợc bằng phơng pháp diện tích 2. Có những bài tập chỉ giải đợc nhờ phơng pháp diện tích 3. Có những bài cần kết hợp cách giải thông thờng với việc xét diện tích. Sau đây là các ví dụ minh họa nhận xét trên : Ví dụ 1 : Cho tam giác đều ABC cạnh a và M là một điểm bất kì ở trong tam giác . Gọi d a , d b , d c thứ tự là khoảng cách từ M đến các cạnh BC , AC, AB . Chứng minh rằng tổng : d a + d b + d c có giá trị không phụ thuộc vào cách chọn điểm M trong tam giác ABC Giải : Gọi hình chiếu vuông góc của M trên AB , AC , BC thứ tự là F , E , D . Khi đó dặt MD , ME , MF thứ tự là d a , d b , d c và nối M với A , B , C . Ta có S AMB + S BMC + S AMC = S ABC 2S AMB + 2S BMC + 2S AMC = 2S ABC Hay AB.MF + BC.MD + AC.ME = BC.AH BC.d c + BC.d a + BC.d b = BC.h BC(d a + d b + d c ) = BC.h d a + d b + d c = h Vì h không đổi nên từ đó ta có điều phải chứng minh . Ví dụ 2 : Trong tam giác ABC lấy tùy ý điểm O. Goi d a , d b , d c thứ tự là khoảng cách từ O đến các cạnh BC , AC , AB và gọi h a , h b ,h c thứ tự là các đờng cao hạ xuống BC , AC , AB . Chứng minh rằng : 1 a b c a b c d d d h h h + + = Giải tóm tắt : Từ hình vẽ trên ta có : 1 AOB BOC AOC ABC ABC ABC ABC ABC S S S S S S S S + + = = 1 a b c a b c d d d h h h + + = ( Vì sao ? Bạn hãy tự giải thích ) Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC . Tìm điểm M trong tam giác sao cho biểu thức : K = MA.BC + MB.AC + MC.AB đạt giá trị nhỏ nhất. B C A O P Q R E D F H F D E B C A M Giải : Gọi E , F thứ tự là hình chiếu của B , C trên đường thẳng AM và gọi S 1 ; S 2 ; S 3 thứ tự là diện tích các tam giác AMB , AMC , BMC . Ta có : AM.BE + AM.CF AM.BD + AM.CD hay 2.S 1 + 2.S 2 AM.( BD + CD ) = AM.BC. Dấu bằng xảy ra khi AM BC Tương tự ta có : 2.S 1 + 2.S 3 BM.AC , dấu bằng khi BM AC 2.S 2 + 2.S 3 CM.AB , dấu bằng khi CM AB D A B C F E M Cộng các bất đẳng thức trên ta có MA.BC + MB.AC + MC.AB 4S ABC , dấu bằng xảy ra khi M là trực tâm của ABC. Vậy giá trị nhỏ nhất của K là 4S ABC khi M là trực tâm của tam giác ABC Các ví dụ 1, 2, 3 là các bài chỉ giải bằng phơng pháp diện tích là thuận lợi ! Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC có các đờng cao AD , BE , CF cắt nhau tại H . Chứng minh rằng : Nếu BC + AD = AC + BE = AB + CF thì tam giác ABC là tam giác đều Giải : Trớc hết cần nhận xét rằng đẳng thức kép BC + AD = AC + BE = AB + CF có các vế tơng tự nhau đều là tổng của cạnh đáy và đờng cao tơng ứng với cạnh đáy đó , vì vậy ta chỉ cần xét một trờng hợp rồi tơng tự cho các trờng hợp còn lại . Chẳng hạn ta xét BC + AD = AC + BE Ta có BC + AD = AC + BE ( BC + AD ) 2 = ( AC + BE) 2 BC 2 + AD 2 + 2.BC.AD = AC 2 + BE 2 + 2.AC.BE (1) Mà 2.BC.AD = 2.AC.BE = 4.S ABC nên từ (1) ta có BC 2 + AD 2 = AC 2 + BE 2 BC 2 BE 2 = AC 2 AD 2 CE 2 = CD 2 CE = CD . Từ đó V CBE = V CAD CB = CA vậy ABC cân tại C . Hoàn toàn tơng tự ta có ABC cân tại A và B nên nó là tam giác đều ở ví dụ 4 ta đã giải quyết bằng cách kết hợp cách giải thông thờng với việc xét diện tích ; Rõ ràng là tổng của cạnh đáy và đờng cao tơng ứng của tam giác đã gợi cho ta nghĩ tới việc bình phơng hai vế để tạo ra diện tích ! Phơng pháp diện tích thờng cho các lời giải đẹp , ngắn gọn , bất ngờ đầy thú vị . Việc nắm thành thạo phơng pháp này ngay từ lớp 8 sẽ rất thuận lợi khi học hình học ở các lớp trên . Bài viết này mới chỉ đa ra một khởi đầu đơn giản mà thôi . E D A B C Bài tập luyện tập ph ơng pháp Bài tập 1 : Cho tam giác ABC và điểm O bất kì trong tam giác . Qua O kẻ đờng thẳng song song với AB cắt BC , AC thứ tự ở E , D ;kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB , BC thứ tự ở F , K ; kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AB , AC thứ tự ở M , N . Chứng minh : Bài tập 2 : Cho tam giác ABC và điểm O bất kì trong tam giác . Vẽ các tia AO , BO , CO thứ tự cắt các cạnh BC , AC , AB tại D , E , K . Chứng minh : Bài tập 3 : Cho tam giác có hai cạnh là a và b . Tổng chiều cao ứng với hai cạnh ấy bằng chiều cao ứng với cạnh thứ ba . Tính cạnh thứ ba đó theo a và b . Giải : Gọi chiều cao ứng với các cạnh a , b thứ tự là h a , h b .Gọi cạnh thứ ba là c và chiều cao ứng với nó là h c .Theo bài ra ta có : h a + h b = h c (1) .Gọi diện tích tam giác ABC là S ,ta có 2S = ah a = bh b = ch c . Từ đó suy ra h a = 2S/a ; h b = 2S/b ; h c = 2S /c , thế vào (1) ta đợc : 2S/a + 2S/b = 2S/c 1/a + 1/b = 1/c .Vậy c = ab / ( a + b ) Bài tập 4 : Cho điểm P nằm trong tam giác ABC . Chứng ming rằng tổng các khoảng cách từ P tới ba cạnh tam giác không nhỏ hơn chiều cao nhỏ nhất và không lớn hơn chiều cao lớn nhất của tam giác ABC Bài tập 4 : Cho ABC nhọn , vẽ các đờng cao BD và CE.Gọi K , L thứ tự là hình chiếu của B , C trên đờng thẳng ED . Chứng minh rằng : a ) EL = DK b ) S BEC + S BDC = S BKLC Gợi ý giải : 1.Gọi N , M thứ tự là trung điểm của ED và BC thì từ EMD cân tại M suy ra MN KL nên MN là đờng trung bình của hình thang vuông BKLC , KN = NL mà ND = NE , do đó ta có KN + ND = NL + NE hay KD = EL 2. Gọi F , R , Q thứ tự là hình chiếu của E , N , D trên BC . Dễ thấy NR = ( FE+ DQ ) : 2 . S BEC + S BDC = BC.( FE + DQ ) : 2 = NR.BC Qua N kẻ đờng thẳng Qua N kẻ đờng thẳng song song với BC cắt các đờng thẳng BK và CL thứ tự ở T và P , ta có tứ giác BTPC là hình bình hành có diện tích bằng BC.NR Mặt khác dễ chứng minh đợc KTN = PLN ( g c g ) nên dễ suy ra diện tích hình bình hành BTPC bằng S BKLC . Vậy ta có S BEC + S BDC = S BKLC ( đpcm ) P R F QM N K L A B C D E T Bài tập 6 : Bên trong tam giác ABC lấy điểm M và gọi D , E , F thứ tự là giao điểm của MA , MB , MC với các cạnh đối của các góc A , B , C .Chứng minh rằng : Tổng S = và tích P = đạt giá trị nhỏ nhất khi M là trọng tâm của tam giác ABC . Gợi ý giải : Ta có : = = Tơng tự : Cộng ba đẳng thức trên ta đợc phơng hớng giải quyết bài toán. Bài tập 7 : Chứng minh rằng : a ) Nếu a , b là độ dài hai cạnh của ABC thì S ABC ( a 2 + b 2 ) : 4 b) Nếu a , b , c , d là độ dài các cạnh và x , y là độ dài các đờng chéo của tứ giác ABCD thì S ABCD ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) : 4 và S ABCD ( x 2 + y 2 ) : 4 Gợi ý giải : a ) S ABC = ah / 2 ab/2 ( a 2 + b 2 ) / 4 . Dấu bằng xảy ra khi ABC vuông cân tại góc chen giữa hai cạnh a , b b ) Chia tứ giác thành hai tam giác bởi một đờng chéo. Đẳng thức xảy ra khi tứ giác ABCD là hình vuông ; ý sau S ABCD = ( x 2 + y 2 ) : 4 khi hai đờng chéo của tứ giác vuông góc với nhau . Bài tập 8 : Cho ABC có các cạnh là a , b , c và các đờng cao tơng ứng với chúng là h a , h b , h c . Cho a > b . 1. Chng minh h a < h b 2. Chng minh a + h a b + h b Bài tập 9 : Cho AD , BE , CF là ba doạn thẳng đồng quy tại điểm M trong tam giác ABC ở đó D BC ; E AC ; F AB . Chứng minh rằng : 1. 2. M A B C D E F Bài tập 10 : Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) . Gọi M , N thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AB , CD . Vẽ đờng thẳng song song với hai đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD , BC thứ tự tại E , F , cắt MN tại O .Chứng minh EO = FO . phơng pháp diện tích 2. Có những bài tập chỉ giải đợc nhờ phơng pháp diện tích 3. Có những bài cần kết hợp cách giải thông thờng với việc xét diện tích. . .Cách giải quyết bài toán dựa vào việc xét diện tích của các hình có liên quan nh trên đợc gọi là phơng pháp diện tích . Để rèn luyện cách giải này ta cần