Chuyªn ®Ị gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hƯ ph¬ng tr×nh Chuyªn §Ị Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp hƯ ph¬ng tr×nh: A. Tãm t¾t lÝ thut; B íc 1 - Chän Èn sè vµ ®Ỉt ®iỊu kiƯn thÝch hỵp cho Èn sè; - BiĨu diƠn c¸c ®¹i lỵng cha biÕt theo Èn vµ c¸c ®¹i lỵng ®· biÕt. - Tõ ®ã lËp hƯ ph¬ng tr×nh biĨu thÞ sù t¬ng quan gi÷a c¸c ®¹i lỵng. B íc 2 Gi¶Ø hƯ ph¬ng tr×nh, ph¬ng tr×nh thu ®ỵc. B íc 3 (Tr¶ lêi). KiĨm tra xem trong c¸c nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh, ph¬ng tr×nh nghiƯm nµo tho¶ m·n ®iỊu kiƯn cđa Èn, nghiƯm nµo kh«ng råi tr¶ lêi. C¸c bµi to¸n gi¶i b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hƯ ph¬ng tr×nh ngßai c¸c bíc c¬ b¶n ®· häc trong ch¬ng tr×nh cÇn nhí thªm: - Khi ®Ỉt Èn cÇn cã ®¬n vÞ vµ ®iỊu kiƯn cđa Èn. - §¹i lỵng nµo ®Ỉt Èn th× coi nh ®· biÕt. D¹ng 1: C¸c bµi to¸n chun ®éng. - Víi bµi to¸n chun ®éng cÇn nhí chØ cã mèi quan hƯ 3 ®¹i lỵng S, v, t víi c«ng thøc S = v.t - Bµi to¸n chun ®éng th«ng thêng gåm cã hai chun ®éng hc hai giai ®äan cđa cïng mét chun ®éng. - Khi gi¶i bµi to¸n nµy cÇn ®iỊn ®Çy ®đ c¸c ®¹i lỵng ( kĨ c¶ ®¹i lỵng cha biÕt ®· ®Ỉt lµ Èn ) trong quan hƯ S =v.t vµ tõ mèi quan hƯ ®· cho sÏ cã ph¬ng tr×nh, hƯ ph¬ng tr×nh. • Chó ý: Xu«i dßng níc hc xu«i giã th× céng vËn tèc cßn ngỵc th× trõ vËn tèc: VD: Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B c¸ch nhau 300 km . ¤ t« thø nhÊt mçi giê ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai 10 km nªn ®Õn B sím h¬n « t« thø hai 1 giê . TÝnh vËn tèc mçi xe « t« . Hướng dẫn : Gọi vận tốc của ôtô thứ nhất là x (km/h. ĐK x > 0). Ta có : Vận tốc của ô tô thứ hai là : x – 10 (km/h). Do ôtô thứ nhất đến B sớm hơn ôtô thứ hai 1 giờ ta có phương trình : 1 x 300 - 10-x 300 = Giải ra ta được: x = - 50 (loại) ; x = 60. Đáp số : Vận tốc ôtô thứ nhất : 60 km/h Vận tốc ôtô thứ hai: 50 km/h Bài 1 : Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 50 km/h. Sau khi ®i ®ỵc 2/3 qu·ng ®êng víi vËn tèc ®ã, v× ®êng khã ®i nªn ngêi l¸i xe ph¶i gi¶m vËn tèc mçi giê 10 km trªn qu·ng ®êng cßn l¹i. Do ®ã « t« ®Õn B chËm 30 phót so víi dù ®Þnh. TÝnh qu·ng ®- êng AB. Gi¸o viªn so¹n: Vò Thµnh Trung 1 Chuyªn ®Ị gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hƯ ph¬ng tr×nh Hướng dẫn : Gọi x là quảng đường AB (Km. ĐK x > 0). Theo giả thiết của bài toán ta có phương trình : 2 1 5040 3. x 50 . 3 2 +=+ xx . Giải ra ta được: x = 300 (tmđk). Vậy quảng đường AB là : 300km. Bài 2 : Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Ịn B trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh . NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 35 km/h th× ®Õn chËm mÊt 2 giê. NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 50 km/h th× ®Õn sím h¬n 1 giê . TÝnh qu·ng ®êng AB vµ thêi gian dù ®Þnh ®i lóc ®Çu . H íng dÉn : Gäi quảng đường AB là x (km), thời gian dự đònh là y(giờ) ĐK : x > 0, y > 0. Theo bài ra ta có hệ pt :    = =+ x 1) -50(y x 2)y (35 suy ra : 35y + 70 = 50y -50 ⇔ y = 8 (TMĐK) Thay vào hệ ta được x = 350 (TMĐK). Đáp số : Quảng đường AB : 350 (km). Thời gian dự đònh đi : 8 (giờ). • C¸c ®Ị thi vµo 10 THPT ( TØnh B¾c Giang ) Bµi 1 : ( N¨m häc 2001-2002) Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A vµ dù ®Þnh ®Õn B vµo mét giê ®· ®Þnh. Khi cßn c¸ch B 30 km, ngêi ®ã nhËn thÊy r»ng ®Õn B mn nưa giê nÕu gi÷ nguyªn vËn tèc ®ang ®i. Do ®ã ngêi ®ã t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h vµ ®Õn B sím h¬n nưa giê so víi giê ®· ®Þnh. TÝnh vËn tèc lóc ®Çu cđa ngêi ®i xe ®¹p. HD: Gäi vËn tèc dù ®Þnh cđa ngêi ®i xe ®¹p lµ x ( km/h) ( §K x >0 ) Theo bµi ra ta cã PT: 30 1 30 1 2 5 2x x − = + + Bµi tËp 2 ( N¨m häc 2002-2003) Mét ¤t« ®i qu·ng ®êng dµi 150 km víi vËn tèc dù ®Þnh. Nhng khi ®i ®ỵc 2 3 qu·ng ®êng xe bÞ háng ph¶i dõng l¹i sưa 15 phót. §Ĩ ®óng giê dù ®Þnh xe ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h trªn qu·ng ®êng cßn l¹i. TÝnh vËn tèc dù ®Þnh ®i. HD: Gäi vËn tèc dù ®Þnh ®i cđa ¤t« lµ x ( km/h) ( §K x > 0 ) §ỉi 15 phót = 1/4 h Theo bµi ra ta cã PT: 150 2 150 1 1 150 . . 3 4 3 10x x x = + + + 150 100 1 50 4 10x x x = + + + Gi¸o viªn so¹n: Vò Thµnh Trung 2 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình Bài tập 2.1: Một Ôtô đi quãng đờng dài 120 km với vận tốc dự định. Nhng khi đi đ- ợc 1 3 quãng đờng xe bị hỏng phải dừng lại sửa 20 phút. Để đúng giờ dự định xe phải tăng vận tốc thêm 8 km/h trên quãng đờng còn lại. Tính vận tốc dự định đi. HD: Gọi vận tốc dự định của ôtô là x (km/h) ( x>0 ) Ta có phơng trình 120 40 1 80 3 8x x x = + + + C2: 80 80 1 8 3x x = + Bài tập 2.2: Một Ôtô đi quãng đờng dài 100 km với vận tốc dự định. Nhng khi đi đ- ợc 2 5 quãng đờng, xe tăng vận tốc thêm 5 km/h nên đến B sớm hơn dự định 10 phút. Tính vận tốc ban đầu của Ôtô. Bài tập 2.3: Một Môtô đi quãng đờng dài 90 km với vận tốc dự định. Nhng khi đi đợc 1 3 quãng đờng xe bị hỏng phải dừng lại sửa 20 phút. Để đúng giờ dự định xe phải tăng vận tốc thêm 6 km/h trên quãng đờng còn lại. Tính vận tốc dự định đi. Bài tập 2.4 Một Ôtô đi quãng đờng dài 150 km với vận tốc dự định. Nhng khi đi đợc 1 2 quãng đờng xe bị hỏng phải dừng lại sửa 10 phút. Để đúng giờ dự định xe phải tăng vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đờng còn lại. Tính vận tốc dự định đi. Bài tập 3 ( Năm học 2003-2004) Một ôtô đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 165 km. Trong một thời gian nhất định sau khi đi đợc 1h ôtô phải dừng lại 10 phút để mua xăng. Do vậy để đến B đúng hẹn ôtô phải tăng vận tốc thêm 5km/h. Tính vận tốc ban dầu và thời gian dự định của ôtô. HD: Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) ( ĐK 0 < x < 165 ) Theo bài ra ta có phơng trình 165 1 165 1 6 5 x x x = + + + => x = 55 Thời gian dự định 165: 55 = 3 (h) Bài tập 4: ( 2007- 2008) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 50 km. Một canô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B, rồi ngợc dòng trở lại bến A. Thời gian cả đi và về tổng cộng hết 4h10. Hãy tìm vận tốc của canô trong nớc yên lặng, biết vận tốc của nớc chảy là 5 km/h. HD: Đổi 4h10 = 25 6 (h) Gọi vận tốc của canô trong nớc yên lặng là x ( km/h) ( ĐK x>5) Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung 3 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình Theo bài ra ta có phơng trình: 50 50 25 5 5 6x x + = + => x = 25 Các bài tập tự luyện: Bài 1: Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng một lúc từ A đến B. Vận tốc của họ hơn kém nhau 3km/h nên họ đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi ngời. Biết rằng quãng đờng AB dài 30 km. HD: Gọi vận tốc của ngời đi chậm là x (km/h) ( x>0 ) Theo bài ra ta có phơng trình: 30 x - 30 3x + = 1 2 => x = 12 Bài 2. Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài 120 km. Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nếu để đến B đúng giờ xe phải tăng vận tốc 2 km/h trên quãng đờng còn lại. Tính thời gian xe chạy. HD: Gọi vận tốc dự định của xe là x (km/h) (x>0 ). Đổi 3 phút = 1 20 (h) Theo bài ra ta có phơng trình: 2 120 60 1 60 20 2 2 2400 0 x x x x x = + + + + = x= 48 ; x = -50 (loại ) Thời gian xe chạy là 120 1 48 20 = 2 giờ 27 Bài 3. Hai vật chuyển động trên một đờng tròn có đơng kính 2m , xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm . Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động ngợc chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật. Lời Giải Gọi vận tốc của Vật I là x ( m/s).(x> 0). Gọi vận tốc của Vật II là y ( m/s).(y> 0), (x>y). Sau 20 s hai vật chuyển động đợc quãng đờng là 20x, 20y ( m ). Vì nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau do đó ta có phơng trình: 20x 20y = 20 Sau 4 s hai vật chuyển động đợc quãng đờng là 4x, 4y ( m ). Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung Quãng đ- ờng (km) Vận tốc Km/h Thời gian(h) Ngời đi chậm 30 x 30 x Ngời đi nhanh 30 x + 3 30 3x + 4 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình Vì nếu chúng chuyển động ngợc chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau do đó ta có phơng trình: 4x + 4y = 20 Theo bài ra ta có hệ phơng trình: =+ = 2044 202020 yx yx Giải hệ PT ta đợc: = = 2 3 y x ; Vậy vận tốc của hai vật là: 3 (m/s) và 2 (m/s). Bài 4. Một ngời dự định đi từ A đến B với thời gian đẵ định. Nếu ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Nếu ngời đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ. Tính vận tốc, thời gian dự định đi và độ dài quãng đờng AB. Lời Giải : Gọi vận tốc dự định đi từ A đến B của ngời đó là x ( km/h).(x> 0). Gọi thời gian dự định đi từ A đến B của ngời đó là y (h).(y> 0). Ta có độ dài của quãng đờng AB là x.y. Vì nếu ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ do đó ta có PT (1): (x + 10).(y-1) =xy. Vì nếu ngời đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ do đó ta có PT (2) (x - 10).(y+2) =xy. Theo bài ra ta có hệ phơng trình: =+ =+ xyyx xyyx )2)(10( )1)(10( ;giải hệ phơng trình ta đợc = = 4 30 y x Vậy vân tốc dự định là 30 km/h, thời gian dự định là 4 giờ, Quãng đờng AB là 120 km. Baứi 5 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Giải : Gọi vận tốc của xe thứ hai là x (km/h). ĐK x > 0. Theo gt bài ra ta có pt : 5 1 6 108 x 108 = + x x 2 + 6x 3240 = 0 ( ' = 57 ) Giải ra ta đợc : x = - 60 (loại) ; x = 54. Đáp số : Vận tốc xe thứ nhất là : 60 (km/h) Vận tốc xe thứ hai là : 54 (km/h) Bài 6: Một ca nô xuôi dòng 42km rồi ngợc dòng trở lại là 20km mát tổng cộng 5giờ. Biết vận tốc của dòng chảy là 2km/h. Tìm vận tốc của ca nô lúc dòng nớc yên lặng. Giải : Gọi x là vận tốc của ca nô lúc nớc yên lặng ( km/h ; ĐK : x > 2) Theo gt bài toán ta có pt : 5 2 -x 20 2 x 42 =+ + 5x 2 - 62x + 24 = 0 ( ' = 29) Giải ra ta đợc : x = 5 2 (loại) ; x = 12. Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung 5 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình Đáp số : Vậy vận tốc của ca nô lúc nớc yên lặng : 12 (km/h). Bài 7: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một xuồng máy đi xuôi dòng từ bến A đến bến B, nghỉ 30 phút tại bến B rồi quay trở lại đi ngợc dòng 25 km để đến bến C. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất cả là 8 giờ. Tính vận tốc xuồng máy khi nớc yên lặng, biết rằng vận tốc nớc chảy là 1 km/h. ( Huế 2007-2008) Giải: + Gọi x (km/h) là vận tốc của xuồng khi nớc yên lặng. Điều kiện: x > 1. + Thời gian xuồng máy đi từ A đến B: 60 (h) 1x + , thời gian xuồng ngợc dòng từ B về C : 25 (h) 1x + Theo giả thiết ta có phơng trình : 60 25 1 8 1 1 2x x + + = + + Hay 2 3 34 11 0x x + = Giải phơng trình trên, ta đợc các nghiệm: 1 11x = ; 2 1 3 x = + Vì x > 1 nên x = 11 . Vậy vận tốc của xuồng khi nớc đứng yên là 11km/h. Bài 8 Mt xe la i t Hu ra H Ni. Sau ú 1 gi 40 phỳt, mt xe la khỏc i t H Ni vo Hu vi vn tc ln hn vn tc ca xe la th nht l 5 km/h. Hai xe gp nhau ti mt ga cỏch H Ni 300 km. Tỡm vn tc ca mi xe, gi thit rng quóng ng st Hu - H Ni di 645 km. ( Huế 2006-2007 ) Giải: Gi x (km/h) l vn tc ca xe la th nht i t Hu n H Ni. Khi ú, x > 0 v vn tc ca xe la th hai i t H Ni l: x + 5 (km/h). Theo gi thit, ta cú phng trỡnh: 300 5 345 5 3x x + = + ( ) ( ) 2 900 5 5 1035 5 22 1035 0x x x x x x + + = + = Gii phng trỡnh ta c: 1 23x = (loi vỡ x > 0) v 2 45 0x = > . Vy vn tc xe la th nht l: 45 km/h v vn tc xe la th hai l: 50 km/h B i 9: Mt ngi i xe mỏy t A n B vi vn tc trung bỡnh 30km/h. Khi n B, ngi ú ngh 20 phỳt ri quay tr v A vi vn tc trung bỡnh 25km/h. Tớnh quóng ng AB, bit rng thi gian c i ln v l 5 gi 50 phỳt. HD: Gi di quóng ng AB l x km (x > 0). Ta cú phng trỡnh: x x 1 5 5 30 25 3 6 + + = . Gii ra ta c: x = 75 (km) Bi 10: Hai canụ cựng khi hnh mt lỳc v chy t bn A n bn B. Canụ I chy vi vn tc 20km/h, canụ II chy vi vn tc 24km/h. Trờn ng i, canụ II dng li 40 phỳt, sau ú tip tc chy vi vn tc nh c. Tớnh chiu di quóng sụng AB, bit rng hai canụ n bn B cựng 1 lỳc. HD: Gi chiu di quóng sụng AB l x km (x > 0) Ta cú phng trỡnh: x x 2 20 24 3 = . Gii ra ta c: x = 80 (km) Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung 6 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình Bi 11: Mt ụtụ d nh i t tnh A n tnh B vi vn tc trung bỡnh 40km/h. Lỳc u ụtụ i vi vn tc ú, khi cũn 60km na thỡ i c mt na quóng ng AB, ngi lỏi xe tng thờm vn tc 10km/h trờn quóng ng cũn li, do ú ụtụ n tnh B sm hn 1gi so vi d nh. Tớnh quóng ng AB. HD: Gi di quóng ng AB l x km (x > 120) Ta cú phng trỡnh: x x x 60 : 40 60 : 50 1 2 2 40 + + = ữ ữ . Gii ra ta c: x = 280 (km) Bi 12: Mt tu thy chy trờn mt khỳc sụng di 80km, c i ln v mt 8gi 20phỳt. Tớnh vn tc ca tu thy khi nc yờn lng, bit rng vn tc ca dũng nc l 4km/h. HD: Gi vn tc ca tu thy khi nc yờn lng l x km/h (x > 0) Ta cú phng trỡnh: 80 80 1 8 x 4 x 4 3 + = + . Gii ra ta c: 1 4 x 5 = (loi), x 2 = 20 (km) Bi 13: Mt ca nụ v mt bố g xut phỏt cựng mt lỳc t bn A xuụi dũng sụng. Sau khi i c 24 km ca nụ quay tr li v gp bố g ti mt a im cỏch A 8 km. Tớnh vn tc ca ca nụ khi nc yờn lng bit vn tc ca dũng nc l 4 km / h. HD: Gi vn tc canụ khi nc yờn lng l x km/h (x > 4) Ta cú phng trỡnh: 24 16 2 x 4 x 4 + = + . Gii ra ta c x 1 = 0 (loi), x 2 = 20 (km/h) Bi 14: Mt ngi i xe p t tnh A n tnh B cỏch nhau 50 km. Sau ú 1 gi 30 phỳt, mt ngi i xe mỏy cng i t A v n B sm hn 1 gi. Tớnh vn tc ca mi xe, bit rng vn tc xe mỏy gp 2,5 ln vn tc xe p. HD: Gi vn tc xe p l x km/h (x > 0) Ta cú phng trỡnh: 50 50 (1,5 1) x 2,5x = + + . Gii ra ta c: x = 12 (tha món) Bài 15. Mt ngi d nh i xe p t nh n ni lm vic cỏch nhau 30km vi vn tc khụng i. Tuy nhiờn sau khi i na on ng thỡ xe b h phi dng li mt 20 phỳt, do ú phi tng tc thờm 3km/h on ng cũn li v n ni lm vic chm hn so vi d nh l 10 phỳt. Tớnh vn tc d nh lỳc ban u ca ngi i xe p. ( Tiền Giang 2007) B ài 16: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 50 km. Một canô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B, rồi ngợc dòng trở lại bến A. Thời gian cả đi và về tổng cộng hết 4 h10. Hãy tìm vận tốc của canô trong nớc yên lặng, biết rằng vận tốc của nớc chảy là 5km/h. ( Bắc Giang 2007 -2008 ) Dạng 2: Toán về công việc chung riêng Cần nhớ: 1) Cần phân biệt rõ thời gian của ngày toán học và ngày lao động. Một ngày tóan học là 24 giờ còn ngày lao động có số giờ thay đổi. VD: Đội A lao động 8 giờ một ngày. Đội B lao động 9 giờ một ngày. 2) Quan hệ giữa thời gian làm riêng và làm chung với cùng một công việc là : 1 2 1 1 1 c t t t + + = 3) Riêng với bài toán vòi nớc chảy vào1 bể ta cũng dùng hai phơng trình cơ bản trên nhng cần chú ý: Vòi chảy vào dùng dấu (+), vòi chảy ra dùng dấu (-) Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung 7 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình VD1: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong mấy giời thì xong? Giải : Gọi x, y (giờ) lần lợt là thời gian mỗi ngời làm một mình hoàn thành công việc. ĐK x, y > 0. Theo gt bài ra ta có hpt : =+ =+ 4 1 y 63 16 1 y 11 x x = = 48 y 24 x (TMĐK) Đáp số : Ngời thứ nhất hoàn thành công việc trong : 24 giờ. Ngời thứ hai hoàn thành công việc trong : 48 giờ. VD2: Hai vũi nc cựng chy vo mt b thỡ sau 1 gi 20 phỳt b y. Nu m vũi th nht chy trong 10 phỳt v vũi th hai trong 12 phỳt thỡ y 2 5 b. Hi nu mi vũi chy mt mỡnh thỡ phi bao lõu mi y b. HD: Gi thi gian chy mt mỡnh y b ca vũi I, II ln lt l x, y phỳt (x, y > 80) Ta cú h: 80 80 1 x 120 x y 10 12 2 y 240 x y 15 + = = = + = Bài tập 1.1.Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm trong 3 giờ, ngời thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm đợc 25% khối lợng công việc. Hỏi mỗi ngời thợ làm một mình công việc đó trong bao lâu. Lời Giải: Gọi thời gian để Ngời thứ nhất làm một mình xong công việc là x, ( giờ), x > 16. Gọi thời gian để Ngời thứ hai làm một mình xong công việc là y, ( giờ), y > 16. Trong 1 giờ Ngời thứ nhất và ngời thứ hai làm đợc khối lợng công việc tơng ứng là: x 1 , y 1 . Vì hai ngời làm chung trong 16 giờ thì xong KLCV do đó ta có phơng trình ( 1) : x 1 + y 1 = 16 1 Sau 3 giờ Ngời thứ nhất làm đợc 3. x 1 ( công việc ) Sau 6 giờ Ngời thứ hai làm đợc 6. y 1 (công việc ) Vì ngời thứ nhất làm trong 3 giờ, ngời thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm đợc 25% khối lợng công việc do đó ta có phơng trình: x 3 + y 6 = 4 1 . Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung 8 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình Theo bài ra ta có hệ phơng trình: =+ =+ . 4 163 16 111 yx yx , giải hệ phơng trình ta đợc: = = 48 24 y x Vậy thời gian để Ngời thứ nhất làm một mình xong công việc là: 24 ( giờ ). Thời gian để Ngời thứ hai làm một mình xong công việc là: 48 ( giờ) . ------------------------------------------------------------------------------ Bài tập 1.2.Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành một công việc đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm công việc khác, tổ thứ hai làm một mình phần công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai nếu làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc. Lời Giải: Gọi thời gian tổ hai làm một mình hoàn thành công việc là x, ( giờ), x> 12. Trong 1 giờ tổ hai làm đợc khối lợng công việc: x 1 ( KLCV ). Sau 4 giờ hai tổ đẵ là chung đợc khối lợng công việc là: 12 4 = 3 1 ( công việc ) Phần công việc còn lại tổ hai phải làm là: 1 - 3 1 = 3 2 ( công việc ) Vì tổ hai hoàn thàmh khối lợng công việc còn lại trong 10 giờ nên ta có phơng trình: 3 2 : x = 10. Giải PTBN ta đợc x= 15. Vậy thời gian tổ hai làm một mình hoàn thành khối lợng công việc là: 15 giờ. Bài 1.3 : Hai đội công nhân I và II đợc giao sửa một đoạn đờng. Nếu cả hai đội cùng làm thì sau 4 giờ là hoàn thành công việc. Nếu đội I làm một mình trong 2 giờ, sau đó đội II tiếp tục làm một mình trong 3 giờ thì họ đã hoàn thành đợc 7 12 công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì sẽ hoàn thành công việc sau bao lâu? Bài 1.4: Hai bạn Sơn và Hùng cùng làm một công việc trong 6 giờ thì xong. Nếu bạn Sơn làm 5 giờ và Hùng làm 6 giờ thì cả hai bạn chỉ hòan thành đợc 9 10 công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi bạn hoàn thành công việc đó trong bao lâu? ( Bắc Giang 2007 -2008 ) VD 3: Hai tổ học sinh tham gia lao động nếu làm chung sẽ hoàn thành công việc trong 4 giờ. Nếu mỗi tổ làm một mình thì tổ 1 cần ít thời gian hơn tổ 2 là 6 giờ. Tính xem mỗi tổ làm một mình thì bao lâu sẽ hòan thành công việc ? ( Bắc Giang 2000- 2001) HD: Gọi thời gian làm một mình xong công việc của tổ 2 là x ( giờ ) ( x> 4) +Thời gian làm một mình xong công việc của tổ 1 là x+6 ( giờ) + Trong 1h: - Tổ 1 làm đợc: 1 6x + ( công việc) - Tổ 2 làm đợc: 1 x ( công việc) - Cả hai tổ làm đợc: 1 4 ( công việc ) Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung 9 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình Theo bài ra ta có phơng trình: 1 1 1 6 4x x + = + => 2 2 24 0x x = x=6; x=-4 ( lọai) Bài 2.1.: Hai đội công nhân làm chung một công việc thì sẽ hoàn tất sau 12 ngày. Nếu làm riêng thì thời gian để hoàn tất công việc nói trên của đội I nhiều hơn thời gian của đội II là 10 ngày. Tính thời gian mỗi đội làm riêng hoàn tất công việc nói trên ? HD:Gọi thời gian làm một mình xong công việc của đội II là x ( ngày ) (x> 12 ) Theo bài ra ta có phơng trình: 1 1 1 10 12x x + = + Bài 2.2 Hai lớp 9 A và 9B cùng tu sửa khu vờn thực nghiệm của nhà trờng trong 4 ngày thì xong. Nếu mỗi lờp tu sửa một mình, muốn hòan thành công việc ấy thì lớp 9A cần ít thời gian hơn lớp 9B là 6 ngày. Hỏi mỗi lớp làm một mình cần thời gian là bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc ? ( Bắc Giang 2002-2003) Bài 2.3 * Có hai vòi nớc ngời ta mở vòi thứ nhất cho nớc chảy đầy một bể cạn rồi khóa lại. Sau đó mở vòi thứ hai cho nớc chảy ra hết với thời gian lâu hơn so với vòi I chảy là 4 h. Nếu cùng mở cả 2 vòi thì đầy sau 19h15 . Hỏi vòi thứ nhất chảy trong bao lâu mới đầy bể khi vòi II khóa lại. HD: 19h15 = 77 4 (h) Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là x(h) ( x> 0) Thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là x + 4 (h) Theo bài ra ta có phơng trình 1 1 4 4 77x x = + => x = 7; x = -11 (loại ) Vậy thời gian vòi I chảy đầy bể là 7 (h) Bài 2.4 * Có hai vòi nớc, vòi I chảy vào và vòi 2 chảy ra. Thời gian 1 mình vòi I chảy đầy bể nhiều hơn thời gian vòi 2 chảy cạn bể là 2 (h). Bể đang chứa 1 3 nớc và nếu mở cả hai vòi cùng một lúc thì trong 8 (h) bể cạn. Hỏi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể khi vòi II khóa? HD: Gọi thời gian vòi I chảy đầy bể là x (h) ( x> 2) Theo bài ra ta có phơng trình 1 1 1 8. 8. 2 3x x = . GPT : x= 8 (h) Bài 2.5 ( Nghệ An 2008-2009) Hai ngời thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà trong 2 ngày thì xong công việc. Nếu ngời thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ và ngời thứ hai làm tiếp trong 1 ngày thì xong công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình thì bao lâu xong công việc? Dạng 3 toán năng suất Cần nhớ: Nếu cùng làm chung một công việc thì PT năng suất là: Năng suất I + Năng suất II + .= Năng suất chung Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung 10 . c«ng thøc S = v.t - Bµi to¸n chun ®éng th«ng thêng gåm cã hai chun ®éng hc hai giai ®äan cđa cïng mét chun ®éng. - Khi gi¶i bµi to¸n nµy cÇn ®iỊn ®Çy ®đ c¸c