Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi CHUYÊN ĐỀ : DIỆN TÍCH Hình học 9 A/. PHẦN I Kiến thức cơ bản : 1) Tiên đề về diện tích : Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích đa giác là một số dương. 2) Diện tích đa giác có các tính chất sau : +Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau. +Nếu một đa giác được chia thành những đa giác nhỏ không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó. +Hình vuông cạnh có độ dài bằng 1 thì diện tích là 1 - Hình vuông đó được gọi là hình vuông đơn vị. I. DIỆN TÍCH TỨ GIÁC : 1) Cho tứ giác ABCD. Gọi AB = a , BC = b , CD = c , DA = d , AC = d 1 , BD = d 2 , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp và p = (a + b + c + d) . Ta có : d a b c d1 d2 m I A D B C a) S ABCD = S ABC + S ADC = S ABD + S CBD . +Tổng các góc trong của tứ giác A + B + C + D = 360 0 = 2π +Tổng bình phương của các cạnh : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 22 2 2 1 4mdd =+ Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 1 α Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9 (m là độ dài đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai đường chéo) b) S ABCD = d 1 d 2 sinα (α là góc tạo bởi hai đường chéo d 1 , d 2 ) *Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O: R) a b d c d1 d2 O A B C D c) S ABCD = +Tổng hai góc đối diện A + C = B + D = 180 0 = π +Tích các đườngchéo : d 1 d 2 = ac + bd. p = (a + b + c + d) * Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O; r). d a b c r M O A B C D d) S ABCD = p.r +Tổng hai cạnh đối diện : a + c = b + d 2)Diện tích các tứ giác đặc biệt : a)Diện tích hình chữ nhật : Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 2 Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9 A a B b d S ABCD = a.b d = D C b)Diện tích hình vuông A a B S ABCD = a 2 a d d = a S ABCD = d 2 D C *Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất . c)Diện tích hình thang : A a B h S ABCD = (a + b).h M m N S ABCD = m.h D H b C d)Diện tích hình bình hành : A B S ABCD = a.h h d 1 d 2 d 1 2 + d 2 2 = 2(a 2 + b 2 ) D H a C e)Diện tích hình thoi : A h S ABCD = d 1 d 2 = a.h D d 2 B d 1 2 +d 2 2 = a 2 d 1 a H C Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 3 Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9 II.DIỆN TÍCH TAM GIÁC Cho tam giác ABC có BC = a , AC = b , AB = c, đường cao thuộc cạnh BC là AH = h a , r là bán kính đường tròn nội tiếp , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và p = . Ta có các công thức sau : 1) S ABC = a.h a c b h B C A H Chứng minh : Kẻ đường cao AH, ta có : ∆ABH vuông tại H nên S ABH = AH.BH (1) S ACH = AH.CH (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được : S ABH + S ACH = AH.BH + AH.CH S ABC = AH.(BH + CH) = AH.BC Hay S ABC = a.h Tương tự ta cũng có : S ABC = b.k = S ABC = c.l (k là chiều cao ứng với cạnh AC, l là chiều cao ứng với cạnh AB) 2)Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O; r) S ABC = p.r Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 4 Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9 a c b r r r O B C A E D F Chứng minh : S ABC = S AOB + S BOC + S COA Mà : S AOB = r.c S BOC = 2 1 r.a S COA = 2 1 r.b Cộng vế theo vế, ta được : S AOB + S BOC + S COA = r.c + 2 1 r.a + 2 1 r.b S ABC = r.(c + a + b) = r. = p.r ( p = : nửa chu vi ) 3)Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) S ABC = a c b h O B C A H D Chứng minh : Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 5 Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9 Kẻ đường cao AH và đường kính AD. S ABC = a.h Xét ∆ABH vuông tại H và ∆ADC vuông tại C có : ABH = ADC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) => ∆ABH ~ ∆ADC => = => AH = = Vậy S ABC = a.h = .a . = 4) S ABC = (Công thức Hêrông) Chứng minh : a c b h c' b' B C A H Giả sử B và C đều nhọn. Kẻ đường cao AH (AH ⊥ BC) - đặt AH = h BC = BH + CH hay a = b’ + c’ (1) Để không mất tính tổng quát ta giả sử b > c => b’ > c’ ∆ABH vuông tại H : AH 2 = AB 2 - BH 2 hay h 2 = c 2 - c’ 2 ∆ACH vuông tại H : AH 2 = AC 2 - CH 2 hay h 2 = b 2 - b’ 2 => c 2 - c’ 2 = b 2 - b’ 2 <=> b 2 - c 2 = b’ 2 - c’ 2 <=> b 2 - c 2 = (b’ + c’).(b’ - c’) b 2 - c 2 = a.(b’ - c’) => b’ - c’ = (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :      − =− =+ a cb cb acb 22 '' '' Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 6 Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9 Giải hệ phương trình :      − =− =+ a cb cb acb 22 '' '' <=>      −+ = =+ a cba b acb 222 '2 '' <=>        +− = −+ = a cba c a cba b 2 ' 2 ' 222 222 Do đó h 2 = b 2 - b’ 2 = b 2 - ( ) 2 2 222 2 2 222 4 2 a cba b a cba −+ −=         −+ = ( ) ( ) ( ) 2 222 2 2 2 22222 4 2 4 4 a cbaab a cbaba −+− = −+− = ( ) ( ) 2 222222 4 2.2 a cbaabcbaab +−−−++ = ( ) [ ] ( ) [ ] 2 222222 4 2.2 a babaccbaba +−−−++ = ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 22 2 4 . a baccba −−−+ = ( )( )( )( ) 2 4a bacbaccbacba +−−+−+++ = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 222 a acbabcbaccbacba −++−++−++++ (Đặt a + b + c = 2p) = ( )( )( ) ( )( )( ) 22 4 16 4 2222222 a cpbpapp a apbpcpp −−− = −−− = ( )( )( ) 2 4 a cpbpapp −−− => h = ( )( )( ) ( )( )( ) cpbpapp a a cpbpapp −−−= −−− 24 2 Vậy S ABC = 2 1 a.h = 2 1 a. ( )( )( ) cpbpapp a −−− 2 = ( )( )( ) cpbpapp −−− NHỮNG ĐIỂM CẦN CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH ĐỂ GIẢI TOÁN : Ta đã biết, khi biết độ dài một số yếu tố của một hình ta có thể tính được diện tích hình đó bằng những công thức mà ta đã biết. Ngược lại các công thức tính diện tích cho ta các quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng. Sử dụng công thức tính diện tích các hình có thể giúp ta so sánh độ dài các đoạn thẳng. Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 7 Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9 Để so sánh hai độ dài đoạn thẳng nào đó bằng phương pháp diện tích, ta chú ý các điểm sau : 1)Xác định quan hệ diện tích giữa các hình. 2)Sử dụng các công thức tính diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài. 3)Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh. Khi giải bài toán bằng phương pháp diện tích ta cần nắm vững : +Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích của các hình. +Sử dụng tính chất : -Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số hai đáy tương ứng bằng tỉ số hai diện tích. Ngược lại, nếu hai tam giác có cùng đáy thì tỉ số hai chiều cao tương ứng bằng tỉ số hai diện tích. -Nếu hai tam giác có cùng chung đáy và có cùng diện tích thì đỉnh thứ ba thuộc đường thẳng song song với đáy. -Đường trung bình trong một tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích tỉ lệ với 1 : 3 -Đường trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau. -Ba tam giác có chung đỉnh là trọng tâm của một tam giác còn đáy là ba cạnh thì có diện tích bằng nhau. -Nếu một tam giác và một hình bình hành có cùng đáy và cùng chiều cao thì diện tích tam giác bằng nửa diện tích hình bình hành. B/.PHẦN II I.CÁC BÀI TOÁN MẪU : Bài 1 : Cho tam giác đều ABC. Từ một điểm O ở trong tam giác, ta kẻ OH ⊥ AB, OK ⊥ AC, OI ⊥ BC. Chứng minh rằng khi O di động trong tam giác thì tổng OH + OK + OI không đổi. Giải Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 8 Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9 H I K A B C O Gọi cạnh của tam giác đều ABC là a và chiều cao là h, thì S ABC = a.h và AB = BC = CA = a Ta có S ABC = S AOB + S BOC + S COA S AOB = AB.OH S BOC = BC.OI S COA = BC.OI Cộng vế theo vế ta được : a.h = AB.OH + BC.OI + BC.OI <=> a.h = a.OH + a.OK + a.OI <=> a.h = a(OH + OK + OI) <=> h = OH + OK + OI . Mà h : không đổi => OH + OK + OI không đổi +Nếu O thuộc cạnh của tam giác đều thì bài toán trên vẫn đúng. +Nếu thay tam giác đều bằng một đa giác đều thì tổng khoảng cách từ điểm O bất kỳ nằm trong đa giác đến các cạnh của đa giác vẫn không đổi. Bài 2 : Chứng minh định lý Py-ta-go : Trong một tam giác vuông bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Ta đã biết chứng minh định lý này bằng cách sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông. Ta sẽ sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh định lý này : Chứng minh Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 9 Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9 G F H M N D A B E K C Lấy các cạnh của tam giác ABC có Â = 90 0 làm cạnh dựng ra ngoài tam giác các hình vuông BCDE, ABFG , ACMN lần lượt có diện tích là : S BCDE =BC 2 = a 2 , S ABFG = AB 2 = c 2 , S ACMN = AC 2 = b 2 Ta phải chứng minh S BCDE = S ABFG + S ACMN hay a 2 = b 2 + c 2 Kẻ đường cao AH của ∆ABC kéo dài cắt DE tại K. + Ta chứng minh S ABFG = S BHKE . Nối AE và CF : ∆ABE = ∆CBF (c-g-c) => S ABE = S CBF (1) ∆FBC và hình vuông ABFG có chung cạnh đáy FB, đường cao ứng với đáy này là bằng AB => S CBF = S ABFG (2) ∆ABE và hình vuông BHKE có chung cạnh đáy là BE, đường cao ứng với cạnh đáy này bằng BH => S ABE = S BHKE (3) Từ (1), (2) và (3) => S ABFG = S BHKE (*) +Ta chứng minh S ACMN = S CDKH Nối BM và AD ∆BCM = ∆DCA (c-g-c) => S BCM = S DCA (4) ∆BCM và hình vuông ACMN có chung cạnh đáy CM và có đường cao bằng nhau và bằng AC => S BCM = S ACMN (5) ∆ACD và hình vuông CDKH có chung cạnh đáy là CD và có đường cao bằng nhau và bằng KD => S ACD = S CDKH (6) Từ (4), (5) và (6) => S ACMN = S CDKH (**) Cộng (*) và (**) vế theo vế, ta được : S BHKE = S ABFG S CDKH = S ACMN Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 10 [...]... chữ nhật => IG // EK hay IG // AC Bài 6 : Gợi ý : + Sử dụng tính chất diện tích : Nếu một đa giác được chia thành các đa giác nhỏ không có điểm chung trong, thì diện tích đa giác được chia bằng tổng diện tích các đa giác chia + Công thức tính diện tích tam giác Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN HH / 28 Chuyên đề BD.HSG Hình học 9 A... Chứng minh diện tích hình vuông ABCD gấp 5 lần diện tích tam giác BEC GT Hình vuông ABCD có AB = BC = CD = DA = a Và AM = MD , NC = ND KL SABCD = 5SBEC Giải Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN HH / 12 Chuyên đề BD.HSG Hình học 9 P B H C Q E A M N D Cách 1 : *Để chứng minh SHV/ABCD = 5S∆BEC Ta chuyển về tính S∆BEC = a2 Để tính diện tích... các cạnh nhỏ hơn 1 thì diện tích tam giác nhỏ hơn Phương pháp : *Nếu tam giác đều có cạnh bằng 1 thì diện tích là * Nếu tam giác đều có cạnh nhỏ hơn 1 thì diện tích nhỏ hơn Chứng minh : Giả sử tam giác ABC có cạnh AB lớn nhất , mà AB < 1 Trên nửa mặt phẳng chứa tam giác ABC có bờ là đường thẳng chứa cạnh AB ta dựng tam giác đều ABC’ có cạnh AB < 1 => SABC’ < Và AC ≤ AC’ , BC ≤ BC’ Từ C và C’ của ∆ABC.. .Chuyên đề BD.HSG Hình học 9 SBCDE = SABFG + SACMN Hay a2 = b2 + c2 Bài 3 : Cho tam giác ABC Trên phần kéo dài của các cạnh AB, BC và AC lấy các điểm D, E, F (B nằm giữa A và D ; C năm giữa B và E ; A nằm giữa C và F) sao cho BD = AB ; CE = BC và AF = AC Gọi s là diện tích của ∆ABC Tính diện tích ∆DEF theo s Giải GT ∆ABC có diện tích là s... Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN HH / 24 Chuyên đề BD.HSG Hình học 9 Vậy = = = Nên ∆CGH đồng dạng với tam giác có độ dài bằng ba đường trung tuyến AD, BE, CF của ∆ABC (ccc) và có diện tích là S’ => = 2 3   2 => S’ = SCGH (1) Ba đường trung tuyến trong tam giác chia tam giác đoành 6 phần có diện tích bằng nhau và bằng SABC, nghĩa là SDCG =... lấy điểm M, trên cạnh AB lấy điểm N sao cho AM = CN Chứng minh rằng đỉnh D của hình bình hành cách đều hai đường thẳng AM và CN *Phương pháp : Vận dụng về diện tích để chứng minh D C M K H A N B Chứng minh : Từ D kẻ DH ⊥ AM và DK ⊥ CN Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN HH / 19 Chuyên đề BD.HSG Hình học 9 +Xét ∆ACD và ∆AMD hai tam giác... = (1 - cos2A - cos2B - cos2C).SABC Bài 8 : Chứng minh định lý : Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN HH / 17 Chuyên đề BD.HSG Hình học 9 “Trong một tam giác chân đường phân giác trong của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.” Giải : Cách 1 : Vận dụng định lý Talét GT ∆ABC có... AC) => BAD = BEA => ∆ABE cân tại B => AB = BE ∆ADC có BE // AC (Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét ) => = Mà BE = AB , do đó = Vậy = Cách 2 : Giải bằng phương pháp diện tích : Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN HH / 18 Chuyên đề BD.HSG Hình học 9 A F E B H C D Kẻ đường cao AH ( AH ⊥ BC) và từ D kẻ DE ⊥ AB , DF ⊥ AC Theo tính chất tia phân... CHU VĂN AN HH / 14 Chuyên đề BD.HSG Hình học 9 A M B h D C ∆BCM vuông tại M, ta có : sin B = sinα = = => BC = ∆ADB vuông tại D, ta có : D là trung điểm của BC (vì ∆ABC cân tại A), nên BD = BC = = và tanB = tanα = hay = => AD = BD = = => SABC = BC.AD = = Bài 6 : Chứng minh rằng nếu một tam giác có số đo các cạnh nhỏ hơn 1 thì diện tích tam giác nhỏ... 2 (1) +Ta có G là trọng tâm của ∆ABC => = 2 (2) Từ (1) và (2) => = => IG // DM hay IG // BC Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN HH / 20 Chuyên đề BD.HSG Hình học 9 Cách 2 : Sử dụng diện tích tam giác : +Kẻ IK ⊥ BC Vì a = => 2a = b + c Và I là giao điểm của hai đường phân giác trong của ∆ABC, nên I là tâm đường đường tròn nội tiếp ∆ABC . học sinh giỏi CHUYÊN ĐỀ : DIỆN TÍCH Hình học 9 A/. PHẦN I Kiến thức cơ bản : 1) Tiên đề về diện tích : Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích đa. hơn 1 thì diện tích tam giác nhỏ hơn . Phương pháp : *Nếu tam giác đều có cạnh bằng 1 thì diện tích là * Nếu tam giác đều có cạnh nhỏ hơn 1 thì diện tích