PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CON LẮC LÒ XO Chủ đề 1: Nhận biết phương trình đao động Phương pháp: 1 – Kiến thức cần nhớ : – Phương trình chuẩn : x = Acos(ωt + φ) ; v = –ωAsin(ωt + φ) ; a = – ω 2 Acos(ωt + φ) – Một số công thức lượng giác : sinα = cos(α – π/2) ; – cosα = cos(α + π) ; cos 2 α = 1 cos2 2 + α cosa + cosb = 2cos a b 2 + cos a b 2 − . sin 2 α = 1 cos2 2 − α – Công thức : ω = 2 T π = 2πf 2 – Phương pháp : a – Xác định A, φ, ω……… – Đưa các phương trình về dạng chuẩn nhờ các công thức lượng giác. – So sánh với phương trình chuẩn để suy ra : A, φ, ω……… b – Suy ra cách kích thích dao động : – Thay t = 0 vào các phương trình x Acos( t ) v A sin( t ) = ω + ϕ   = − ω ω + ϕ  ⇒ 0 0 x v    ⇒ Cách kích thích dao động. 3 – Phương trình đặc biệt. – x = a ± Acos(ωt + φ) với a = const ⇒      – x = a ± Acos 2 (ωt + φ) với a = const ⇒ Biên độ : A 2 ; ω’ = 2ω ; φ’ = 2φ. Chủ đề 2: Liên hệ giữa lực tác dụng, độ giãn và độ cứng của lò xo. Cho lực kéo F và độ cứng k: Tìm độ giãn x? Phương pháp: PF dh −= độ lớn F dh = P ⇔ kx = mg k mg x =⇒ Chủ đề 3: Viết phương trình dao động điều hoà của con lắc lò xo hay một hệ dao động? Phương pháp: Phương trình có dạng: )cos( ϕω += tAx (1) * Tìm ω? + Khi biết k, m: áp dụng m k = ω + Khi biết T hay f: áp dụng f T π π ω 2 2 == * Tìm A? + Khi biết chiều dài quỹ đạo d: từ d = 2A 2 d A =⇒ + Khi biết năng lượng dao động W: từ A 2 1 2 1 W 22 ⇒== AmkA ω + Đề cho : cho x ứng với v ⇒ A = 2 2 v x ( ) . + ω - Nếu v = 0 (buông nhẹ) ⇒ A = x - Nếu v = v max ⇒ x = 0 ⇒ A = max v ω Biên độ : A Tọa độ VTCB : x = A Tọa độ vị trí biên : x = a ± A + Đề cho : a max ⇒ A = max 2 a ω + Đề cho : lực F max = kA. ⇒ A = max F k . + Đề cho : l max và l min của lò xo ⇒ A = max min l l 2 − . + Đề cho : l CB ,l max hoặc l CB , l mim ⇒ A = l max – l CB hoặc A = l CB – l min. * Tìm ϕ ? Nhờ điều kiện ban đầu của x: khi t = 0, x = x 0 Thay vào (1) ϕϕ ⇒=⇒ A x 0 cos * Tìm A, ϕ ( cùng 1 lúc)? Dựa vào điều kiện ban đầu của x, v Khi t = 0 thì x = x 0 , v = v 0 Thay vào )cos( ϕω += tAx và )sin(' ϕωω +−== tAxv ϕωϕ sin;cos 00 AvAx −==⇒ Giải hệ phương trình: => A và ϕ * Các trường hợp đặc biệt: * Nếu t = 0 : + x = x 0 , v = v 0 ⇒ 0 0 x Acos v A sin = ϕ   = − ω ϕ  ⇒ 0 0 x cos A v sin A  ϕ=     ϕ=  ω  ⇒ φ = ? + v = v 0 ; a = a 0 ⇒ 2 0 0 a A cos v A sin  = − ω ϕ   = − ω ϕ   ⇒ tanφ = ω 0 0 v a ⇒ φ = ? + x 0 = 0, v = v 0 (vật qua VTCB) ⇒ 0 0 Acos v A sin = ϕ   = − ω ϕ  ⇒ 0 cos 0 v A 0 sin ϕ=    =− >  ω ϕ  ⇒ ? A ? ϕ =   =  + x = x 0 , v = 0 (vật qua VTCB) ⇒ 0 x Acos 0 A sin = ϕ   = − ω ϕ  ⇒ 0 x A 0 cos sin 0  = >  ϕ   ϕ =  ⇒ ? A ? ϕ =   =  * Nếu t = t 1 : 1 1 1 1 x Acos( t ) v A sin( t ) = ω + ϕ   = − ω ω + ϕ  ⇒ φ = ? hoặc 2 1 1 1 1 a A cos( t ) v A sin( t )  = − ω ω + ϕ   = − ω ω + ϕ   ⇒ φ = ? Lưu ý : – Vật đi theo chiều dương thì v > 0 → sinφ < 0; đi theo chiều âm thì v < 0→ sinϕ > 0. – Trước khi tính φ cần xác định rõ φ thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác – sinx = cos(x – 2 π ) ; – cosx = cos(x + π) ; cosx = sin(x + 2 π ). – Các trường hợp đặc biệt : Chọn gốc thời gian t = 0 là : – lúc vật qua VTCB x 0 = 0, theo chiều dương v 0 > 0: Pha ban đầu φ = – π/2. – lúc vật qua VTCB x 0 = 0, theo chiều âm v 0 < 0 : Pha ban đầu φ = π/2. – lúc vật qua biên dương x 0 = A: Pha ban đầu φ = 0. – lúc vật qua biên dương x 0 = – A: Pha ban đầu φ = π. – lúc vật qua vị trí x 0 = A 2 theo chiều dương v 0 > 0: Pha ban đầu φ = – 3 π . – lúc vật qua vị trí x 0 = – A 2 theo chiều dương v 0 > 0: Pha ban đầu φ = – 2 3 π . – lúc vật qua vị trí x 0 = A 2 theo chiều âm v 0 < 0: Pha ban đầu φ = 3 π . – lúc vật qua vị trí x 0 = – A 2 theo chiều âm v 0 < 0: Pha ban đầu φ = 2 3 π Chủ đề 4: Cách vận dụng định luật bảo toàn cơ năng để tìm v? Phương pháp: Theo định luật bảo toàn cơ năng: W = W d + W t = const = W dmax = W tmax        −= = ⇒ ==+⇔ )( 2 1 2 1 2 1 2 1 22 max 22 max 22 xA m k v m k Av kAmvkxmv Chủ đề 5: Xác định thế năng W t và động năng W d của con lắc lò xo khi biết t (theo chu kỳ T)? Phương pháp: Li độ: )cos( ϕω += tAx Vận tốc: )sin(' ϕωω +−== tAxv + Thế năng đàn hồi: )1)((cos 2 1 )(cos 2 1 2 1 W 222222 t ϕωωϕω +=+== tAmtkAkx với m k = ω hay k = mω 2 + Động năng (hòn bi): )2)((sin 2 1 )(sin 2 1 2 1 W 222222 d ϕωωϕω +=+== tAmtkAmv Đổi t T t π ω 2 = Thí dụ: 48 2 8 ππ ω ==⇒= T T t T t Thế ωt vào (1), (2) => W d , W t Chủ đề 6: Hệ lò xo ghép nối tiếp - ghép song song và xung đối. Phương pháp: 1). Lò xo ghép nối tiếp: a) Độ cứng k của hệ : Hai lò xo có độ cứng k 1 và k 2 ghép nối tiếp có thể xem như một lò xo có độ cứng k thoả mãn biểu thức: 1 2 1 1 1 k k k = + (1) Chứng minh (1): Khi vật ở ly độ x thì : 1 2 1 2 F F F x x x = =   = +  với 1 1 1 2 2 2 F kx F k x F k x =   =   =  ⇔ 1 k = 1 1 k + 2 1 k hay k = 1 2 1 2 k k k k+ b) Chu kỳ dao động T – tần số dao động : + Khi chỉ có lò xo 1(k 1 ) : T 1 = 2π 1 m k ⇒ 1 1 k = 2 1 2 T 4 mπ + Khi chỉ có lò xo 2(k 2 ) : T 2 = 2π 2 m k ⇒ 2 1 k = 2 2 2 T 4 mπ m k 1 k 2 + Khi ghép nối tiếp 2 lò xo trên : T = 2π m k ⇒ 1 k = 2 2 T 4 mπ Mà 1 k = 1 1 k + 2 1 k nên T 2 = 2 1 T + 2 2 T hay Tần số dao động : 2 1 f = 2 1 1 f + 2 2 1 f 2). Lò xo ghép song song: a) Độ cứng k của hệ : Hai lò xo có độ cứng k 1 và k 2 ghép song song có thể xem như một lò xo có độ cứng k thoả mãn biểu thức : k = k 1 + k 2 (2) Chứng minh (2) : Khi vật ở ly độ x thì : 1 2 1 2 x x x F F F = =   = +  với 1 1 1 2 2 2 F kx F k x F k x =   =   =  ⇔ k = k 1 + k 2 b) Chu kỳ dao động T – tần số dao động : + Khi chỉ có lò xo1( k 1 ) : T 1 = 2π 1 m k ⇒ k 1 = 2 2 1 4 m T π + Khi chỉ có lò xo 2 ( k 2 ) : T 2 = 2π 2 m k ⇒ k 2 = 2 2 2 4 m T π + Khi ghép nối tiếp 2 lò xo trên : T = 2π m k ⇒ k = 2 2 4 m T π Mà k = k 1 + k 2 nên 2 1 T = 2 1 1 T + 2 2 1 T hay Tần số dao động : f 2 = 2 1 f + 2 2 f 3) Khi ghép xung đối công thức giống ghép song song Lưu ý: Khi giải các bài toán dạng này, nếu gặp trường hợp một lò xo có độ dài tự nhiên l 0 (độ cứng k 0 ) được cắt thành hai lò xo có chiều dài lần lượt là l 1 (độ cứng k 1 ) và l 2 (độ cứng k 2 ) thì ta có : k 0 l 0 = k 1 l 1 = k 2 l 2 Trong đó k 0 = 0 ES l = 0 const l ; E: suất Young (N/m 2 ); S: tiết diện ngang (m 2 ) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CON LẮC ĐƠN Chú ý: α nhỏ thì sin α = tg α = α rad và 2 1cos 2 α α −= m l 1 , k 1 l 2 , k 2 l 1 , k 1 m l 2 , k 2 Chủ đề 1: Viết phương trình dao động điều hoà của con lắc đơn? Phương pháp: + Li độ: )cos( 0 ϕω += tss + Li giác: )cos( 0 ϕωαα += t => Vận tốc: )sin(' 0 ϕωω +−== tssv + Hệ thức: l s ls 0 000 ; == αα * Tìm s 0 ? 00 α ls = hay 2 2 2 0 ω v sAs +== * Tìm ω? Xác định bởi g l = ω hoặc f T π π ω 2 2 == + Ghi chú: Giả sử n dao động        = = ⇒↔ t n f n t T st )( * Tìm ϕ ? Xác định nhờ điều kiện ban đầu (lúc t = 0) của s hay  Giả sử: lúc t = 0 con lắc ở vị trí s = s m ( m αα = ) Từ (1) ϕϕ ⇒=⇒ 0 cos s s m * Tìm ϕ và s 0 (cùng 1 lúc)? Dựa vào điều kiện ban đầu (t = 0) của s và v Giả sử lúc t = 0 thì s = s m và m vv = thay vào )cos( 0 ϕω += tss )sin(' 0 ϕωω +−== tssv Ta có hệ phương trình    −= = ⇒ ϕω ϕ sin cos 0 0 sv ss m m Giải => s m và ϕ Chủ đề 2: Xác định động năng W d , thế năng W t và cơ năng W của con lắc đơn khi biết góc lệch α ? Phương pháp: Chọn mốc thế năng là mặt phẳng nằm ngang qua vị trí cân bằng O. Xét vị trí bất kỳ A (góc lệch α , vận tốc v, độ cao h) * W t ? Áp dụng W t = mgh với h = HO = QO – QH = l - lcos α Vậy W t = mgl(1-cos α ) (1) * W d ? Xét cơ năng ở A và B: W A = W B  W dA + W tA = W dB + W tB Mà W dB = 0 nên W d = W tB – W tA = mgh B – mgh = mg(h B – h) = mgKH Với KH = QH – QK = lcos α - lcos α o => W d = mgl(cos α - cos α o ) (2) * W? Cơ năng toàn phần W = W d + W t Cộng (1) và (2) => W = mgl(1-cos α o ) = const (3) * Đặc biệt: 0 , αα nhỏ: ta có 2 1cos 2 α α −= , 2 1cos 2 0 0 α α −= (1) (1) => 2 t 2 1 W α mgl = (2) => )( 2 1 W 2 2 0d αα −= mgl (3) => 2 0 2 1 W α mgl = ( với l s 0 0 = α => 2 0 2 2 0 2 1 2 1 W sms l g m ω == Chủ đề 3: Xác định vận tốc (dài) v và lực căng dây τ của con lắc đơn? Phương pháp: 1. Vận tốc (dài) v? * Tìm W d (như trên): W d = mgl(cos α - cos α o ) (1) Mà 2 d 2 1 W mv = (2) Từ (1) và (2) suy ra: v 2 = 2gl(cos α - cos α o ) (3) a. Qua vị trí cân bằng O: max1cos0 ==→= αα Vậy (3) max)cos1(2 00 =−=→ α glv b. Trường hợp dao động bé: 0 , αα nhỏ: ta có 2 1cos 2 α α −= , 2 1cos 2 0 0 α α −= Vậy (3) )( 0 22 αα −=→ glv Khi qua O thì glv =→= 0 0 α c. Tới vị trí biên mincoscos 00 ==⇒= αααα Vậy (3) 0 =→ v 2. Lực căng dây τ ? - Ở vị trí bất kì A (góc lệch α ) các lực tác dụng gồm τ ,P Hợp lực: amPF =+= τ (định luật II Newton) - Chiếu lên AQ (hướng tâm Q) htN maP =−→ τ với      = = α cos 2 PP l v a N ht Vậy: ατ cos 2 mg l v m += (4) Thay (3) vào (4): )5)(cos2cos3( cos)cos(cos 2 0 0 αατ ααατ −=→ +−= mg mg l gl m * Đặc biệt: a. Qua vị trí cân bằng O: max1cos0 ==→= αα Vậy (5): max)cos23( 0 =−=→ ατ mg b. Tới vị trí biên B: mincoscos 00 ==⇒= αααα c. Trường hợp góc nhỏ: 0 , αα nhỏ: ta có 2 1cos 2 α α −= , 2 1cos 2 0 0 α α −= Vậy (5): ) 2 3 1( 2 2 0 α ατ −+=→ mg Vậy (5): mincos 0 ==→ ατ mg Chủ đề 4: Xác định chu kỳ con lắc ở độ cao h, độ sâu d khi dây treo không giản Phương pháp: 1) Gia tốc và chu kì đúng của con lắc tại mặt đất : * Gia tốc trọng trường ở mặt đất : g = 2 GM R ; R: bán kính trái Đất R=6400km * Chu kỳ con lắc dao động đúng ở mặt đất : T 1 = 2π l g (1) 2) Khi đưa con lắc lên độ cao h : * Gia tốc trọng trường ở độ cao h : g h = 2 GM (R h) + = 2 g h (1 ) R + . Chu hỳ con lắc dao động sai ở độ cao h : T 2 = 2π h l g (2) ⇒ 1 2 T T = h g g mà h g g = 2 1 h (1 ) R + ⇒ T 2 = T 1 (1 + h R ) Khi đưa lên cao chu kỳ dao động tăng lên. Độ biến thiên tuyệt đối (hay sự sai lệch thời gian trong một chu kì) : ΔT = T 2 – T 1 = T 1 h R > 0 Độ biến thiên tỉ đối của chu kì theo độ cao(hay sự sai lệch thời gian trong một giây) : 1 T T ∆ = h R 3) Khi đưa con lắc xuống độ sâu d : * Gia tốc trọng trường ở mặt đất : g = 2 GM R ; R: bán kính trái Đất R=6400km * Ở độ sâu d : g = g(1 – d R ) Chúng minh : P d = F hd ⇔ mg d = G 3 2 4 m[ (R d) ] 3 (R-d) π − . D : khối lượng riêng trái Đất ⇔ g d = G 3 3 2 3 4 R D.(R d) 3 (R d) R π − − = G 3 2 3 M(R d) (R d) R − − = 2 GM R (1 – d R ) ⇒ g d = g(1 – d R ) *Chu kỳ con lắc dao động ở độ sâu d : T 2 = 2π d l g (3) ⇒ 1 2 T T = d g g mà d g g = d 1 R − ⇒ T 2 = 1 T d 1 R − ≈ T 1 (1 + d 2R ) Khi đưa xuống độ sâu chu kỳ dao động tăng lên nhưng tăng ít hơn đưa lên độ cao Độ biến thiên tuyệt đối (hay sự sai lệch thời gian trong một chu kì) : ΔT = T 2 – T 1 = T 1 d 2R < 0 Độ biến thiên tỉ đối của chu kì theo độ sâu (hay sự sai lệch thời gian trong một giây) : 1 T T ∆ = d 2R . PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ SỰ TRUYỀN SÓNG CƠ, GIAO THOA, SÓNG DỪNG Chủ đề 1: Tính độ lệch pha giữa 2 điểm cách nhau d trên phương truyền sóng? Viết phương trình sóng ở một điểm? Phương pháp: 1. ϕ ∆ ? 1 chu kỳ T ↔ bước sóng λ ↔ độ lệch pha là 2 π Vậy 2 điểm cách nhau d ↔ độ lệch pha: λ π ϕ d2 =∆ 2. Viết phương trình sóng ở điểm M cách O là d? Giả sử: tAu ω cos 0 = , vì dao động ở M muộn hơn dao động ở O là λ π ϕ d2 =∆ , vậy: ) 2 cos( λ π ω d tAu M −=⇒ Chủ đề 2: Xác định trạng thái dao động ở 1 điểm M trong miền giao thoa của 2 sóng kết hợp (cùng pha)? Phương pháp: Đặt S 1 M = d 1 , S 2 M = d 2 + Tìm hiệu đường đi: 21 dd −= δ và bước sóng: ω π λ 2 v f v Tv === • Nếu p = k (nguyên) ⇒=⇔ λδ k M dao động với A = max • Nếu p = 2 1 + k ⇒+=⇔ λδ ) 2 1 (k M dao động với A = 0 Chủ đề 3: Lập biểu thức sóng tổng hợp ở 1 điểm M trong miền giao thoa cỉa 2 sóng? Phương pháp: Giả sử: S 1 , S 2 dao động cùng pha. ftAtAuu S πω 2coscos 21 ó === + Do sóng từ S 1 tới M ) 2 cos()(cos 11 1 λ π ωω d tA v d tAu M −=−=⇒ + Do sóng từ S 2 tới M ) 2 cos()(cos 22 2 λ π ωω d tA v d tAu M −=−=⇒ Vậy sóng tổng hợp ở M MMM uuu 21 +=⇒ áp dụng 2 cos 2 cos2coscos baba ba −+ =+ Kết quả: ) 2 (2cos) )( cos2 2112 λ π λ π dd T t dd Au M + − − =⇒ Có dạng )cos( MMM tAu ϕω +=⇒ Với biên độ: λ π )( cos2 12 dd AA M − = Chủ đề 4: Giao thoa với 2 nguồn kết hợp cùng pha: tìm số gợn sóng (hypecbol) trong miền giao thoa? số đường hypecbol đứng yên? Phương pháp: Xét 212121212121 SSddSSSSddMSS ≤≤−⇔≤−→∆ (*) 1.Gợn sóng hypecbol ↔ đường dao động với A max . Lúc đó: λδ kdd =−= 21 Vậy (*) λλ λ 2121 2121 SS k SS SSkSS ≤≤−⇔≤≤−⇒ + Kết quả: có bao nhiêu giá trị nguyên của k ↔ có bấy nhiêu gợn hypecbol O M x S 1 S 2 M d 1 d 2 S 1 S 2 M d 1 d 2 S 1 S 2 M d 1 d 2 ( trong đó có một gơn thẳng trung trực của S 1 S 2 ứng với k = 0) 2. Đường hypecbol đứng yên ↔ A = 0. Lúc đó λδ ) 2 1 ( 21 +=−= kdd Vậy (*) 2 1 2 1 ) 2 1 ( 2121 2121 −≤≤−−⇔≤+≤−⇒ λλ λ SS k SS SSkSS + Kết quả: suy ra các giá nguyên của k ↔ số đường đứng yên. Chủ đề 5: Giao thao sóng với 2 nguồn kết hợp cùng pha S 1, S 2 : tìm vị trí các điểm bụng (A max ) và các điểm nút (A = 0) trên đoạn thẳng S 1 S 2 ? Phương pháp: Gọi 21 SSM ∈∀ với S 1 M = d 1 , S 2 M = d 2 Ta có 2121 SSdd =+ (1) a. Điểm bụng: (A = max) λ kdd =−↔ 21 (2) Cộng (1) và (2) ⇒           ≤≤ += ⇒ 211 21 1 0 (*) 22 SSd k SS d λ Giới hạn của k + Kết quả: có bao nhiêu giá trị k nguyên ↔ có bấy nhiêu điểm bụng, thay vào (*)=> vị trí bụng b. Điểm nút: (A = 0) λ ) 2 1 ( 21 +=−↔ kdd (3) Cộng (1) và (3) ⇒           ≤≤ ++= ⇒ 211 21 1 0 (**) 2 ) 2 1 ( 2 SSd k SS d λ Giới hạn của k + Kết quả: có bao nhiêu k nguyên ↔ có bấy nhiêu điểm nút, thay vào (**)=> vị trí nút Chủ đề 6: Tìm các điểm trong miền giao thoa sóng, cùng pha hay ngược pha với hai nguồn kết hợp S 1, S 2 ? Phương pháp: Theo chủ đề 3: 0 2 1 == S S ϕϕ và λ π ϕ )( 21 dd M + −= Vậy độ lệch pha: λ π λ π ϕϕϕ )( ) )( (0 2121 11 dddd MSMS + = + −−=−=∆ (*) + Nếu dao động cùng pha S 1 , S 2 thì λπϕ kddk MS 22 21 1 =+⇒=∆ + Nếu dao động ngược pha S 1 , S 2 thì λπϕ )12()12( 21 1 +=+⇒+=∆ kddk MS Chủ đề 7: Điều kiện để có sóng dừng trên sợi dây đàn hồi hay cột không khí? Suy ra số bụng, số nút? Phương pháp: 1. Khi 2 đầu dây (hay 2 cột không khí) là cố định:  2 đầu cố định ≡ 2 nút  chiều dài l bằng chiều dài k múi sóng, mà một múi dài 2 λ Vậy, + Điều kiện về chiều dài: 2 λ kl =  * Số múi: λ l k 2 = * Số bụng = k * Số nút = k+1 S 1 M S 2 S 1 S 2 M d 1 d 2 + Điều kiện về tần số: Biết l v kf f v kl f v 22 =⇒=→= λ 2. Khi 1 đầu dây ( hay cột không khí) là cố định, đầu kia là tự do: + Đầu cố định ≡ nút + Đầu tự do ≡ bụng  + Điều kiện về chiều dài: 2 ) 2 1 ( λ += kl * Số múi nguyên k => (k+1) nút (k+1) bụng + Điều kiện tần số: l v kf f v kl f v 2 ) 2 1 ( 2 ) 2 1 ( +=⇒+=→= λ . pháp: Xét 2121 2121 2121 SSddSSSSddMSS ≤≤−⇔≤−→∆ (*) 1.Gợn sóng hypecbol ↔ đường dao động với A max . Lúc đó: λδ kdd =−= 21 Vậy (*) λλ λ 2121 2121 SS k SS. (0 2121 11 dddd MSMS + = + −−=−=∆ (*) + Nếu dao động cùng pha S 1 , S 2 thì λπϕ kddk MS 22 21 1 =+⇒=∆ + Nếu dao động ngược pha S 1 , S 2 thì λπϕ )12( )12(