CÁC CHU ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 11 CHỦ ĐỀ : CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN Tiết 1 BÀI TẬP CẤP SỐ CỘNG A. MỤC TIÊU: Qua tiết bài tập học sinh cần nắm được: 1. Về kiến thức: - Củng cố định nghĩa cấp số cộng, nắm được công thức tính số hạng tổng quát và tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng. - Tính chất các số hạng của cấp số cộng. 2. Về kỹ năng: - Thành thạo cách tính số hạng đầu và công sai của cấp số cộng… - Vận dụng vào việc giải các bài toán thường gặp liên quan đến cấp số cộng… 3. Về tư duy và thái độ: Biết phân tích, phán đoán và tích cực hoạt động làm bài tập B. CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC : 1. Giáo viên: - Chuẩn bị bài tập, 2. Học sinh: - Học sinh chuẩn bị một số bài tập ở nhà trong sách giáo khoa. - Chuẩn bị các phiếu học tập hoặc hướng dẫn hoạt động. - Chuẩn bị các bảng kết quả của mỗi hoạt động (để dùng máy chiếu Over head). C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC : Cơ bản dùng phương pháp gợi mở vấn đáp thông qua các hoạt động điều khiển tư duy, đan xen hoạt động nhóm. D. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC VÀ CÁC HOẠT ĐỘNG : 1. Kiểm tra bài cũ: Lồng vào các HĐ học tập của giờ học. 2. Bài mới: Giáo viên tổ chức lớp học thực hiện các hoạt động. HĐ1: Nhận biết một dãy số là cấp số cộng, tính được số hạng đầu và công sai. Bài 1, trang 97 (SGK). TL Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng 10p - Giáo viên yêu cầu 1 học sinh trả lời và nêu phương pháp giải bài toán này. - Gọi học sinh lên bảng giải bài tập. - Nhận xét về cách giải. Kết luận. - Nhận bài tập. - Định hướng cách giải bài toán. - Độc lập tiến hành giải toán. Phương pháp chung là xét hiệu: H = u n+1 - u n Nếu H là hằng số thì dãy số là cấp số cộng. Nếu H = f(n) thì dãy số không phải là cấp số cộng. (Sửa bài tập của học sinh). HĐ2: Vận dụng tính chất của cấp số cộng để giải bài toán dưới dạng hệ phương trình Bài 2a, trang 97 (SGK) TL Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng 1 Nguyễn Công Mậu CÁC CHU ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 11 10p - Giáo viên yêu cầu 1 học sinh phát biểu phương pháp giải bài toán này. - Gọi 1 học sinh lên bảng giải bài tập. - Giáo viên hướng dẫn (nếu cần). - Nhận xét và kết luận. - Hướng dấn học sinh làm câu 2b) - Nhận bài tập. - Định hướng cách giải bài toán.Học sinh tiến hành giải toán. Sử dụng công thức u n =u 1 +(n-1)d ta có hệ: 1 1 1 1 1 2 4 10 5 17 u u d u d u u d − − + + =   + + =  hay 1 1 2 10 2 5 17 u d u d + =   + =  Giải hệ ta được: u 1 =16; d = -3. HĐ3: Phát phiếu học tập cho học sinh. Chia học sinh làm 5 nhóm để giải bài 3, trang 97 (SGK). TL Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng 12p - Dự kiến nhóm HS (5 nhóm). - Giao nhiệm vụ và theo dõi các hoạt động của nhóm học sinh, hướng dẫn khi cần thiết. - Đánh giá kết qủa hoàn thành nhiệm vụ của từng nhóm học sinh. Chú ý sai lầm thường gặp. - Kết luận kết quả. - Học sinh nhận phiếu học tập. - Định hướng cách giải bài toán. - Độc lập tiến hành giải theo nhóm. - Thông báo kết quả cho GV khi đã hoàn thành nhiệm vụ. - Các nhóm giải thích lý do đưa ra kết quả (ghi cách giải của bài toán). Phát phiếu học tập sau: u 1 d u n n S n A. -2 55 20 B. -4 15 120 C. 3 4/2 7 7 D. 17 12 72 E. 2 -5 - 205 Phân công các nhóm điền kết quả vào các câu: Nhóm 1: A. B. Nhóm 2: B. C. Nhóm 1: C. D. Nhóm 1: D. E. Nhóm 1: E. A. HĐ4: Giải bài toán thực tế liên quan đến cấp số cộng. Bài 4, trang 98 (SGK). TL Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng 2 Nguyễn Công Mậu CÁC CHU ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 11 7p Giáo viên hướng dẫn học sinh phát hoạ hình vẽ của bài toán để phân tích và đề xuất cách giải bài toán. Gọi 1 học sinh lên bảng giải bài tập (hoặc có thể đứng tại chỗ) Học sinh vẽ hình, xác định các mối quan hệ. Thông qua các dấu hiệu nhận biết của cấp số cộng, thể hiện các mối quan hệ của các yếu tố trong hình vẽ bởi các công thức Học sinh giải bài toán Ghi tóm tắt bài giải: a) Gọi chiều cao của bậc thứ n so với mặt sân là h n , ta có: h n = 0,5 + n.0,18 b) Chiều cao mặt sàn tầng 2 so với mặt sân là: h 21 = 0,5 + 21 . 0,8 = 4,28 (m) 3. Củng cố :5p Hoạt động củng cố thực hiện đồng thời với việc giải bài tập, học sinh khắc sâu khái niệm cấp số cộng và tính chất của các số hạng cũng như công thức tính số hạng tổng quát và tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng. 4. Bài tập về nhà : Bài 1: Ba số có tổng là 114 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng hoặc coi là các số hạng thứ nhất, thứ hai và số hạng thứ 25 của một cấp số cộng. Tìm các số đó. (bài 4.8, trang 121, sách bài tập). Bài 2: Có thể có 1 tam giác vuông mà số đo các cạnh của nó lập thàn 1 cấp số cộng được không? Bài 3: Tìm m để phương trình: x 4 – (3m+5)x + (m+1) 2 = 0 có 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng. 5. Rút kinh nghiệm: Tiết 2+3 BÀI TẬP CẤP SỐ CỘNG I .MỤC ĐÍCH YÊU CẦU : * Kiến thức trọng tâm : Dựa vào định nghĩa, tính chất để tìm tổng các số hạng của một tổng và các bài toán nâng cao hơn . * Kỹ năng: Suy luận, tính toán . * Tư tưởng, liên hệ thực tế, giáo dục hướng nghiệp: II .PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Vấn đáp, phân tích gợi mở kết hợp hoạt động nhóm. III. CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ * Chuẩn bị của thầy :Soạn bài tập và phương pháp giải * Chuẩn bị của trò : Học lý thuyết và làm bài tập TIẾN TRÌNH TIẾT DẠY * Ổn định tổ chức: * Kiểm tra bài cũ: Nêu định nghĩa và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của CSC NỘI DUNG TL Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động cuả trò 5' Bài 5 : Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của một cấp số cộng dưới đây , biết . a/      = = 50 5 u u 10 1 GV : Muốn tính tổng n số hạng đầu tiên ta áp dụng CT nào ? GV : Vậy để tính tổng ta cần tìm các yếu tố nào ? GV :Đối với câu a vàb ta áp dụng CT nào ? Hãy áp dụng và tính ? Khi đó S 10 = 275 HS : Ap dụng CT S n = [ ] dnu n )1(2 2 1 −+ hoặc S n = ( ) n uu n + 1 2 HS hoạt động nhóm : Cần biết u 1 3 Nguyễn Công Mậu CÁC CHU ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 11 10' 10' 10' b/      = = 5 1 u u 2 1 Giải : a/ Ta có S 10 = 2 +10 101 ) uu ( = 5(5+10)=275 b/ d = u 2 - u 1 = 5 –1 = 4 Do đó S 10 = 2 9+10 1 )d 2u ( = 5(2+36)=190 Bài 6 : Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng . Tìm ba góc đó . Giải : Gọi 3 góc của tam giác vuông là A , B , C với A = 2 π và ta có A + B + C = π (1) Vì A , B , C lập thành cấp số cộng nên ta suy ra B = 2 CA + hay 2B = A + C (2) Từ (1) và (2) suy ra 3B = π và A = 2 π 3 π =⇒ B và A = 2 π )( BAC +−=⇒ π = 632 πππ π =       +− Bài 7 : Một cấp số cộng có 11 số hạng . Tổng các số hạng là 176 . Hiệu số hạng cuối và số hạng đầu là 30 . Tìm cấp số đó . Giải : Theo giả thiết ta có u 11 - u 1 =30 ⇔ ( u 1 +10d) - u 1 =30 ⇔ d=3 . Từ đó S 11 = 2 10+11 1 ).3 2u ( = 176 ⇔ u 1 = 1 . Vậy cấp số đó là : 1,4,7, ….,31 Câu b ta áp dụng CT S n = [ ] dnu n )1(2 2 1 −+ Với d = u 2 - u 1 = 5 –1 = 4 khi đó S 10 = 190 GV : Nếu gọi A,B,C là ba góc của tam giác vuông thì A,B,C phải thỏa mãn điều gì ? GV : Và khi A,B,C là các số hạng của cấp số cộng thì mối quan hệ giữa chúng như thế nào ? Từ đó tìm A,B,C ? GV : Theo giả thiết bài toán ta có điều gì ? . GV :Từ hai điều này ta cần xác định gì để tìm ra cấp số cộng này ? GV : Hãy xác định hai yếu tố này ? GV : Theo giả thiết bài toán ta có và u n hoặc cần biết u 1 và u n và d . HS hoạt dộng nhóm : Câu a ta áp dụng CT S n = ( ) n uu n + 1 2 HS : A = 2 π và A + B + C = π HS hoạt động nhóm : Vì ÷ A,B,C nên B = 2 CA + . Từ đó suy ra 3B = π và A = 2 π 6 π =⇒ C HS :    =− = 30 176 111 11 uu S HS : Ta cần xác định u 1 và d . HS hoạt động nhóm : u 11 - u 1 =30 ⇔ ( u 1 +10d) - u 1 =30 ⇔ d=3 S 11 = 2 10+11 1 ).3 2u ( = 176 ⇔ u 1 = 1 4 Nguyễn Công Mậu CÁC CHU ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 11 5' Bài 8 : Bốn số thành lập một cấp số cộng . Tổng của chúng bằng 22 . Tổng các bình phương của chúng bằng 166 . Tìm bốn số đó . Giải : Ta cần tìm u 1 và d . Theo đề bài ta có : d) u 1 (d) u 1 (d) u 1 ( u )d u ( 2 4 2 1      166= 3+ + 2+ + + + 32=3+2 222 1 => d= 3± * Khi d=3 thì u 1 = 1 do đó cấp số cộng là : 1,4,7,10 * Khi d=-3 thì u 1 =10 do đó cấp số cộng là : 10,7,4,1 Bài 9/ Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau : hàng thứ nhất có 1 cây , hàng thứ hai có 2 cây , hàng thứ ba có 3 cây … Hỏi có bao nhiêu hàng ? Giải : Gọi n là số hàng cây . Số cây lần lược trên các hàng là: 1 , 2 , 3 ,…,n Đây là một cấp số cộng có số hạng đầu u 1 = 1 và công sai d = 1 Theo giả thiết ta có S n = 3003 [ ] 3003)1(2 2 1 =−+⇔ dnu n điều gì ? GV : HD HS giải hệ này ta được hệ d) u 1 (d) u 1 (d) u 1 ( u )d u ( 2 4 2 1      166= 3+ + 2+ + + + 32=3+2 222 1 => d= 3± GV : Gọi HS xác định u 1 và 4 số này ? GV HD HS giải bài này : HS :    =+++ =+++ 166 22 2 4 2 3 2 2 2 1 4321 uuuu uuuu HS : trả lời HS : nhận xét và bổ sung IV. Củng cố : Muốn tìm cấp số cộng ta phải tìm số hạng đầu u 1 và công sai d . Sau đó từ những giả thiết của bài toán ta thiết lập hai phương trình theo hai ẩn số u 1 và d , rồi giải hệ . Bài tập về nhà V .RÚT KINH NGHIỆM : Tiết 5-6 BÀI TẬP CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN I .MỤC ĐÍCH YÊU CẦU : * Kiến thức trọng tâm : Tìm tổng các số hạng của CSC , Các số hạng và tổng CSN , ứng dụng CSN , CSC để giải một số bài toán * Kỹ năng: Tính toán , suy luận , tìm cấp số nhân và cấp số cộng * Tư tưởng , liên hệ thực tế ,giáo dục hướng nghiệp: II .PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC Vấn đáp và giảng giải 5 Nguyễn Công Mậu CÁC CHU ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 11 III. CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ * Chuẩn bị của thầy : Soạn bài tập * Chuẩn bị của trò : Làm bài tập ở nhà TIẾN TRÌNH TIẾT DẠY *Ổn định tổ chức * Kiểm tra bài cũ Quá trình kiểm tra trong khi giải bài tập NỘI DUNG TL Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò 10' 12' Bài 5: Bốn số nguyên lập thành một cấp số cộng . Tổng của chúng 20 , tổng nghịch đảo của chúng bằng 24 25 . Tìm bốn số đó Giải : Ta gọi 4 số nguyên đó là : x-3d ; x-d ; x+d ; x+3d . Ta có : (x-3d) + (x-d ) + (x+d ) + (x+3d) = 20 => x = 5 . Suy ra 3d−5 1 + d−5 1 + d+5 1 + 3d+5 1 = 24 25 ⇔ d = ±1 Khi d = 1 Ta có các số hạng là:2 ; 4 ;6 ; 8 Khi d = -1 Ta có các số hạng là:8 ; 6; 4; 2 Bài 6: Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân a/    192= 96= 9 5 u u b /    240=− 90=+ 62 53 uu uu Giải : a / Ta có    192= 96= 9 5 u u ⇔      192= 96= 8 1 4 1 q u q u ⇔    48= 2±= 1 4 u q Vậy u 1 = 48 và d = 4 2 hoặc u 1 = 48 và d = - 4 2 GV : hai số hạng kề nhau của CSC hơn nhau một số không đổi . Để thuận lợi cho việc tìm các số hạng đó người ta thường gọi số hạng giữa ( nếu số số hạng của CSC là lẻ ) của CSC là a rồi biểu diễn các số hạng còn lại theo a và d . Còn nếu số số hạng là chẵn thì gọi 2 số hạng giữa là x-d và x+d ; các số hạng khác biểu diễn qua x và d GV : Khi đó theo giả thiết bài toán ta có diều gì ? GV : Từ hai đk trên hãy giải tìm d và x ? GV : Vậy bốn số của cấp số cộng đó là gì ? GV : Muốn xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân cho dưới dạng hệ thế này ta làm như thế nào ? GV : Hãy biến đổi hệ trên ? HS hoạt động nhóm , trả lời :    192= 96= 9 5 u u ⇔      192= 96= 8 1 4 1 q u q u GV : HD HS giải hệ phương trình này bằng cách biến đổi phương trình (2) của hệ : u 1 .q 8 = 192 ⇔ (u 1 .q 4 ).q 2 HS theo dõi và thực hiện HS : (x-3d) + (x-d ) + (x+d ) + (x+3d) = 20 và 3d 1 −x + d 1 −x + d 1 +x + 3d 1 +x = 24 25 HS hoạt động nhóm , trả lời : x = 5 và d = ±1 HS : Trả lời ứng với mỗi trường hợp của d HS :Biểu diễn các số hạng của hệ đã cho sang u 1 và q bởi CT : u n = u 1 .q n - 1 HS hoạt động nhóm , trả lời : 6 Nguyễn Công Mậu CÁC CHU ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 11 8' 10' 8p b/ Ta có    240=− 90=+ 62 53 uu uu ⇔      240=− 90=+ 5 11 4 1 2 1 q u q u q u q u => q = -3 ; q = 3 1 Khi q = -3 => u 1 = 1 Khi q = 3 1 => u 1 = 729 Vậy q = -3 ; u 1 = 1 hoặc q = 3 1 ; u 1 = 729 Bài 7 : Một CSN 5 số hạng , công bội bằng 4 1 số hạng thứ nhất , tổng của hai số hạng đầu bằng 24 . Tìm cấp số nhân đó Giải : Ta có    24=+ 4= 21 1 uu q u => u 1 = -12 hoặc u 1 = 8 Khi u 1 = -12 => q = -3 . Ta có CSN là : -12 ; 36 ; -108 ; 324 ;- 972 Khi u 1 = 8 => q = 2 Ta có CSN là : 8 ; 16 ; 32 ; 64; 128 Bài 8 : Độ dài các cạnh của tam giác ABC lập thành cấp số nhân . Cmr tam giác ABC có hai góc không quá 60 0 . Giải Gọi ba cạnh của tam giác là a , b , c . Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết 0 < a ≤ b ≤ c . Chúng lập thành cấp số nhân nên theo tính chất của cấp số nhân ta có : b 2 = a.c Trong tam giác ABC theo định lý Côsin ta có : b 2 = a 2 + c 2 - 2ac.cosB hay a.c = a 2 + c 2 - 2ac.cosB 2 1 22 cos 2222 − + = −+ =⇒ ac ca ac acca B Vì a 2 + c 2 ≥ 2ac nên cosB ≥ 1 - 2 1 2 1 = Vậy góc B ≤ 60 0 . Mặt khác vì a ≤ b nên góc A ≤ 60 0 . = 192 . Từ đó thế phương trình (1) của hệ vào . Gọi HS giải GV : Tương tự gọi HS lên bảng giải câu này ? GV HD HS giải hệ      240=− 90=+ 5 11 4 1 2 1 q u q u q u q u GV : Muốn tìm cấp số nhân ta phải làm ntn ? GV : Dựa vào giả thiết bài toán hãy tìm u 1 và d ? GV : Vậy ta có các cấp số nhân nào ? HS : -12 ; 36 ; -108 ; 324 ;-972 và 8 ; 16 ; 32 ; 64; 128 GV : Ba cạnh của tam giác ABC lập thành cấp số nhân nên theo tính chất của cấp số nhân ta có được điều gì ? GV : Để tính góc của tam giác ta vận dụng kiến thức nào ? Côsin trong tam giác ABC : b 2 = a 2 + c 2 - 2ac.cosB . Thế b 2 = ac vào ta được : 2 1 22 cos 2222 − + = −+ = ac ca ac acca B GV : Muốn góc B không quá 60 0 ta cần c/m gì ? và làm như thế nào ? GV HD HS c/m điều này u 1 = 48 và d = 4 2 hoặc u 1 = 48 và d = - 4 2 HS : lên bảng HS : Phải xác định được u 1 và d . HS hoạt động nhóm , trả lời :    24=+ 4= 21 1 uu q u suy ra u 1 = -12 hoặc u 1 = 8 suy ra q = -3 hoặc q = 2 HS : Ta có b 2 = a.c HS hoạt động nhóm , trả lời : Sử dụng định lý HS : Ta cần c/m cosB ≥ 2 1 7 Nguyễn Công Mậu CÁC CHU ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 11 Do đó tam giác ABC có hai góc không quá 60 0 IV. Củng cố , hướng dẫn HS học ở nhà (5 , ) : * Hai số hạng kề nhau của CSC hơn nhau một số không đổi . Để thuận lợi cho việc tìm các số hạng đó người ta thường gọi số hạng giữa ( nếu số số hạng của CSC là lẻ ) của CSC là a rồi biểu diễn các số hạng còn lại theo a và d . Còn nếu số số hạng là chẵn thì gọi 2 số hạng giữa là x-d và x+d ; các số hạng khác biểu diễn qua x và d * Cách xác định một CSN : cần biết u 1 và q Bài tập về nhà 8,9 V .RÚT KINH NGHIỆM : 8 Nguyễn Công Mậu . CÁC CHU ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 11 CHỦ ĐỀ : CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN Tiết 1 BÀI TẬP CẤP SỐ CỘNG A. MỤC TIÊU: Qua tiết bài tập học. nghĩa cấp số cộng, nắm được công thức tính số hạng tổng quát và tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng. - Tính chất các số hạng của cấp số cộng.