Chuyên đề bồi dỡng HSG Toán 9 2009 phơng pháp bổ đề trong chứng minh bất đẳng thức Ngời viết : Tạ Phạm Hải Giáo viên Trờng THCS Thị trấn Hng hà Thái bình I.Lời nói đầu : Phơng pháp bổ đề là phơng pháp trong đó ngời làm toán cần chứng minh một mệnh đề do mình đa ra là đúng , rồi từ đó vận dụng vào giải quyết bài toán đợc giao . Việc tìm ra các bổ đề phù hợp quyết định toàn bộ lời giải của bài tập . II. Ví dụ hình thành ph ơng pháp : Ví dụ 1 : Cho a , b , c > 0 , chứng minh rằng : 1 1 1a b c bc ca ab a b c + + + + Giải : Ta chứng minh công thức sau: Với mọi a , b , c > 0 ta đều có a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca dấu bằng xảy ra khi a = b = c . Thật vậy ta luôn có ( a b) 2 + ( b c) 2 + ( c a) 2 0 dấu bằng khi a = b = c 2( a 2 + b 2 + c 2 ) = 2( ab + bc + ca) a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca . đúng áp dụng công thức vừa chứng minh ta có : a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca 2 2 2 a b c ab bc ca abc abc + + + + 1 1 1a b c bc ca ab a b c + + + + dấu bằng xảy ra khi a = b = c ( đpcm) Ví dụ 2 : Cho a , b , c chứng minh rằng 2 2 2 9 a b b c c a a b c + + + + + + + Giải : Bất đẳng thức đã cho tơng đơng với bất đẳng thức : [ ] 1 1 1 (2 2 2 )( ) 9 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 a b c a b b c c a a b b c c a a b b c c a + + + + + + + + + + + + + + + + + Ta chứng minh công thức sau : Với mọi số x , y , z > 0 ta đều có ( ) 1 1 1 9x y z x y z + + + + ữ , dấu bằng xảy ra khi x = y = z . Thật vậy áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho các số dơng x , y , z ta có : 3 3x y z xyz + + (1) , dấu bằng xảy ra khi x = y = z . Lại áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho ba số dơng 1 1 1 ; ; x y z , ta có : 3 1 1 1 1 3 x y z xyz + + (2) ,dấu bằng xảy ra khi x = y = z . Nhân (1) với (2) ta đợc ( ) 1 1 1 9x y z x y z + + + + ữ dấu bằng xảy ra khi x = y = z . Chuyên đề bồi dỡng HSG Toán 9 2009 áp dụng công thức vừa chứng minh với x = a + b , y = b + c , z = c + a ta có bất đẳng thức [ ] 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 9a b b c c a a b b c c a + + + + + + + + + + đúng từ đó bất đẳng thức đã cho là đúng , dấu bằng xảy ra khi a = b = c . Ví dụ 3 : Cho a , b , c > 0 , chứng minh rằng 8 8 8 3 3 3 1 1 1x y z x y z x y z + + + + Giải : Bất đẳng thức đã cho tơng đơng với : x 8 + y 8 + z 8 x 3 y 3 z 2 + x 2 y 3 z 3 + x 3 y 2 z 3 (1) Ta chứng minh công thức sau : Với x , y , z > 0 ta luôn có x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx và dấu bằng xảy ra khi x = y = z . ( chứng minh mệnh đề này dành cho bạn đọc ) áp dụng công thức vừa chứng minh ta có : Với x 4 , y 4 , z 4 ta có : x 8 + y 8 + z 8 x 4 y 4 + y 4 z 4 + z 4 x 4 , dấu bằng xảy ra khi x 4 = y 4 = z 4 , do x , y , z dơng nên dấu bằng xảy ra khi x = y = z . (2) Với x 2 y 2 , y 2 z 2 , z 2 x 2 có : x 4 y 4 + y 4 z 4 + z 4 x 4 x 2 y 4 z 2 + y 2 z 4 x 2 + x 4 y 2 z 2 , dấu bằng khi x 2 y 2 = y 2 z 2 = z 2 x 2 , do x , y , z dơng nên dấu bằng xảy ra khi x = y = z . (3) Với xy 2 z , , yz 2 x , x 2 yz ta có : x 2 y 4 z 2 + y 2 z 4 x 2 + x 4 y 2 z 2 x 2 y 3 z 3 + x 3 y 2 z 3 + x 3 y 3 z 2 , dấu xảy ra khi xy 2 z = yz 2 x = zyx 2 , do x , y , z dơng nên dấu bằng xảy ra khi x = y = z (4) Từ (1) , (2) , (3) , (4) theo tính chất bắc cầu ta có bất đẳng thức (1) đúng nên bất đẳng thức đã cho là đủng . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z . Ví dụ 4 : Cho x , y , z > 0 .Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 x y xyz y z xyz z x xyz xyz + + + + + + + + Giải : Ta chứng minh công thức sau : với a , b , c dơng ta luôn có : 3 3 1 1 ( )a b abc ab a b c + + + + Dấu bằng xảy ra khi a = b = c . Ta có : ( a b) 2 0 Dấu bằng xảy ra khi a = b a 2 ab + b 2 ab ( a + b )( a 2 ab + b 2 ) ab( a + b) a 3 + b 3 ab( a + b) a 3 + b 3 + abc ab( a + b + c) + abc = ab( a + b + c) 3 3 1 1 ( )a b abc ab a b c + + + + , Dấu bằng xảy ra khi a = b = c áp dụng công thức đã chứng minh ta có : 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 ; ; ( ) ( ) ( )x y xyz xy x y z y z xyz yz x y z z x xyz xz x y z + + + + + + + + + + + + Cộng ba bất đẳng thức trên ta đợc : Chuyên đề bồi dỡng HSG Toán 9 2009 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ( ) x y xyz y z xyz z x xyz xy x y z yz x y z zx x y z x y z x y xyz y z xyz z x xyz xyz x y z xyz + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + ( đpcm) Dấu bằng xảy ra khi x = y = z . Ví dụ 5 : Cho các số x , y , z , t > 0 thỏa mãn x + y + z + t = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 16 x y z t + + + Giải : Ta chứng minh công thức sau : Với mọi số dơng a , b ta đều có 1 1 4 a b a b + + , dấu bằng xảy ra khi a = b . Thật vậy với mọi số dơng a , b áp dụng bất đẳng thức Cô - si , ta có a 2 + b 2 2ab ( a + b) 2 4ab 4 1 1 4a b ab a b a b a b + + + + . áp dụng công thức vừa chứng minh các cặp số x , y và z , t ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 1 1 4. x y z t x y z t x y z t x y z t + + + = + + + + = + ữ ữ ữ + + + + Dấu bằng xảy ra khi x = y và z = t (1) Lại áp dụng công thức vừa chứng minh cho cặp số x + y và z + t ta lại có : 1 1 4 x y z t x y z t + + + + + + dấu bằng xảy ra khi x + y = z + t (2) . Kết hợp (1) với (2) ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 1 1 16 4. 16 x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t + + + = + + + + = + = ữ ữ ữ + + + + + + + vì x + y + z + t = 1 . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = t = 1/4. Nhận xét : Qua các ví dụ trên , ta thấy phơng pháp chủ đạo trong cách giải là dựa vào một "công thức " đợc ngời giải lựa chọn và chứng minh trớc đó .Nh vậy việc lựa chọn chính xác một công thức phù hợp là trọng tâm của cách giải này.Ngời ta thờng gọi những công thức nh trên là bổ đề của bài tập đó và phơng pháp giải này thờng đợc gọi là phơng pháp bổ đề . Vậy với một bài tập cụ thể thì làm thế nào để lựa chọn đợc một bổ đề phù hợp ? đó là một câu hỏi lớn , ám ảnh và không dễ trả lời ! Chỉ có sự tìm tòi , sáng tạo và sự say mê làm toán mới có thể trả lời đợc .Sau đây có một số bổ đề để bạn đọc tham khảo và tự chứng minh : 1. Với mọi a , b , c ta luôn có a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca , dấu bằng khi a = b = c 2. Với mọi a , b , c > 0 ta luôn có ( ) 1 1 1 9a b c a b c + + + + ữ dấu bằng khi a = b = c 3. Với mọi a , b ta đều có a 3 + b 3 ab( a + b) , dấu bằng khi a = b 4. Với mọi a , b , c 0 , ta đều có a 3 + b 3 + c 3 3abc , dấu bằng khi a = b = c Chuyên đề bồi dỡng HSG Toán 9 2009 5. Với mọi a , b > 0 ta luôn có 1 1 4 a b a b + + hoặc 1 1 1 4 4a b a b + + dấu bằng khi a = b 6. Với mọi a, b ta đều có 2( a 2 + b 2 ) ( a + b) 2 , dấu bằng khi a = b 7. Với mọi a , b , c ta đều có 3( a 2 + b 2 + c 2 ) ( a + b + c) 2 dấu bằng khi a = b = c Một trong các yêu cầu quan trọng hàng đầu cần quan tâm của một bổ đề là tính đơn giản và dễ dàng chứng minh của nó. Bạn đọc có thể trao đổi với tác giả của bài viết nhỏ này. Bài tập luyện tập 1. Chứng minh với mọi a , b , c ta đều có a 4 + b 4 + c 4 abc( a + b + c) 2. Cho a , b , c > 0 , chứng minh rằng 4 4 4 9 2 2 2a b c a b c a b c a b c + + + + + + + + + + 3. Cho x , y , z > 0 thỏa mãn 1 1 1 4 x y z + + = chứng minh rằng : 1 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z + + + + + + + + Gợi ý : Bổ đề 1 1 1 4 4a b a b + + 4. Cho a , b , c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = abc . Chứng minh rằng : 1 1 1 3 2 3 2 3 3 2 16a b c a b c a b c + + < + + + + + + Gợi ý : Bổ đề 1 1 1 4 4a b a b + + 5. Cho các số dơng a , b , c thỏa mãn abc = 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 1 1 1 4 4 4 P a b b c c a = + + + + + + + + Gợi ý : Bổ đề 1 1 1 4 4a b a b + + 6. Cho a , b , c > 0 thỏa mãn a + b + c = abc . Chứng minh rằng : 3 3 4 (1 ) (1 ) (1 ) 4 bc ca ab a b c a bc b ca c ab + + + + + + + Gợi ý : Bổ đề 1 1 1 4 4a b a b + + 7. Cho a , b , c > 0 , chứng minh rằng : ( ) 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 2 b c c a a b a b c a b c a b c + + + + + + + + + ữ ữ Gợi ý : sử dụng bổ đề x 3 + y 3 xy( x + y) và bổ đề x 3 + y 3 + z 3 3xyz ; ( x , y , z > 0) 1. Sử dụng x 3 + y 3 xy( x + y) với x , y > 0 dấu bằng khi x = y , ta đợc : 2( a 3 + b 3 + c 3 ) ab( a + b) + bc ( b + c) + ca( c + a) (1) dấu bằng khi a = b = c . 2. Sử dụng x 3 + y 3 + z 3 3xyz với x , y , z > 0 , dấu bằng khi a = b = c , ta đợc : 3 3 3 1 1 1 3 a b c abc + + dấu bằng khi a = b = c (2) Nhân (1) với (2) , có : ( ) [ ] 3 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 ab a b bc b c ca c a a b c a b c abc + + + + + + + + + ữ Chuyên đề bồi dỡng HSG Toán 9 2009 ( ) 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 2 b c c a a b a b c a b c a b c + + + + + + + + + ữ ữ dấu bằng khi a = b = c (đpcm) 8. Cho a , b , c là số đo ba cạnh của một tam giác , Chứng minh rằng 3 c a b a b c b c a c a b + + + + + , Gợi ý bổ đề : ( ) 1 1 1 9a b c a b c + + + + ữ 9. Cho a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác và P là nửa chu vi của tam giác đó , chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c + + + + ữ 10. Cho a , b , c không âm thỏa mãn a + b + c = 3 , chứng minh rằng : 2 2 2 3 1 1 1 2 a b c a b c + + + + + , Gợi ý bổ đề x 2 + y 2 2xy dấu bằng xảy ra khi x = y 11. Cho các số x , y , z > 0 thỏa mãn 1 1 1 4 x y z + + = , Chứng minh rằng : 1 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z + + + + + + + + . Gợi ý : Bổ đề 2 2 2 ( )a b a b x y x y + + + x , y > 0 Chứng minh bổ đề bằng bất đẳng thức Bunhiacopski : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b a b x y x y x y x y x y x y + + = ì + ì + + + ữ ữ ữ ữ + . áp dụng : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 4 4 4 4 16 x y z x y z x y x z x y x z x y x z x y z + + + ữ ữ ữ ữ ữ = + = + + + + + + + + + ữ ữ ữ ữ + + + = + + ữ Tơng tự : 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 ; 2 16 2 16x y z x y z x y z x y z + + + + ữ ữ + + + + cộng lại ta đợc đpcm. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 4/3 . là bổ đề của bài tập đó và phơng pháp giải này thờng đợc gọi là phơng pháp bổ đề . Vậy với một bài tập cụ thể thì làm thế nào để lựa chọn đợc một bổ đề. Chứng minh rằng : 1 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z + + + + + + + + . Gợi ý : Bổ đề 2 2 2 ( )a b a b x y x y + + + x , y > 0 Chứng minh bổ đề bằng bất đẳng