1.Trong hệ tọa độ Đề các, tìm Grad Z, biết: Z  arcsin  x  y  Giải � arcsin  x  y   r � arcsin  x  y   r Grad Z  ix  iy � x � y r r  ix  iy 2 1 x 1 y 2.Trong hệ tọa độ cầu, tìm Grad Z, biết: Z  sin  cos  Giải � sin  cos   r � sin  cos   r � sin  cos   r Grad Z  ir  i  i � r �  �  r r  cos  cos  i  sin  sin .i  r F x y z 2 r r r  x.ix  y.iy  z.iz  Giải � � � � � � x y z � �� � �� � �� 2 2 2 2 � x y z � � x y z � � x y z � � � � � � DivFr  � � x � y � z x.2 x y.2 y z.2 z x2  y  z   x2  y2  z   x2  y  z  x2  y  z 2 x2  y  z 2 x2  y2  z  x2  y  z  2x2  y2  2z ( x  y  z ) x  y  z 2 2 2  x2  y2  z r r r r F  R cos  iR  R sin  z.i  6.z.iz Giải � � � R cos    �  R sin  z � z R     � DivFr  �   R� � R �  � z � � �   R cos   R.z.cos   R   cos   z.cos   R r r r r x x x F  e sin yz.ix  z.e cos yz.iy  y.e cos yz.iz Giải �� y.e x cos yz  � z.e x cos yz  �r �� e x sin yz  � y.e x cos yz  �r � � rot Fr  �  ix  �  iy � � � � � y � z � z � x � � � � �� z.e x cos yz  � e x sin yz  �r � �  iz � � � x � y � � r r x x x x x x � � e cos yz  y e z sin yz  e cos yz  z e y sin yz ix   e y.cos yz  y.e cos yz  i y   � � r x x   z.e cos yz  e z.cos yz  iz  r r r r F  8.ir  r.i  r sin  i Giải 3 � � � � �  r sin  sin  � r �  r sin .sin   � r r      �   � � � � rot Fr   ir  �  r.i � � r sin  � �  �  � ��  � r � � � � � r r 3 �   r sin  cos  i  r sin  sin  i  r sin   i �      r  � � r sin  r r r.sin  cos  r  ir  3r.sin  i  2.i sin  �� r  �  � r� � �  r.sin  i � �� r �  � � � � � 7.Trong hệ tọa độ Đề các, tìm Laplace F, biết: F  cos  x  y  z  Giải ��� cos  x  y  z   f  � � x� � x �  �  sin  x  y  z   � x � ��� cos  x  y  z   � ��� cos  x  y  z   � � � � �� � �� � y � y z � z � � � � � 4sin  x  y  z   � 6sin  x  y  z     � y � z   cos  x  y  z   16 cos  x  y  z   36 cos  x  y  z   53cos  x  y  z  � � � � 8.Trong hệ tọa độ cầu, tìm Laplace F, biết: a F  sin 2 cos 3 r � � � � �a �� �a �� �a �� � sin  cos  � sin  cos  � sin  cos  � � � � � �� � �� � �� r r r ���2 � � �� �� �� � � f  r sin  � sin  � � �� �� � r sin  � � r� � r � �   �sin  �  � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1 a � a6 �� sin  2.cos 2 cos 3 � �� sin 2 3.sin 3 � � � �  a sin  sin  cos    r sin  r � � � � �   � � r sin  � � r �  �  � � � � � � a6 a6 a6  cos  2.cos 2 cos 3  sin  2.cos 3  2  sin 2  sin 2 3.3.cos 3 � � r sin  � r r sin  r � 2a cos  cos 2 cos 3 4a cos 3.sin 2 9a sin 2 cos 3    r sin  r3 r sin  Tính thể tích vật thể F giới hạn mặt sau: 2 x  y  y, z  y  2, y  z  �x  r cos  Chuyển sang tọa độ trụ � �y   r sin  zy 2 �z  z � Xác định cận � �2 Hình chiếu vật thể mặt Oxy hình tròn có bán kính �0 r y  2z  Vật thể bị giới hạn mặt y = 2z + bị giới hạn mặt z + y = r.sin    � z r.sin  zy 2 2 1 r sin  0 r sin  1 V � dxdydz  � d � dr � � F 2 �r.dz 2 �3 r r � �3 � � d � �  sin  �d � r  r sin  �dr  � 2 2 � �0 0� � 2 y  2z  2 2 �3 � �3 � 3 � �  sin  �d  �   cos  �  2 � �4 �0 � Biết F giới hạn z � x  y zdzdydz 10 Tính I  � � � F x  y  z �2 z   z� � 2z z �   2 �x  r.sin  cos  � �y  r.sin  sin  �z  r.cos  � Chuyển sang hệ tọa độ cầu 1 z x y Hình chiếu F lên (Oxy) hình tròn bán kính 1 x � y z z �0 r cos  I  2 d � d �      r cos  2cos r � cos  sin  dr  2cos r4  2 � cos  sin   d   4 �  4.cos �  2 � 4.cos  sin  d  2 � �  � �   2  12