Chuyên đề 1: hàm số lợng giác. I. Kiến thức cơ bản. 1. Hàm số y = sin x. */ Tập xác định: D = Ă ; */ x Ă ta luôn có: 1 sin 1x ; */ Hàm số y = sin x là một hàm số lẻ trên Ă và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 . */ Đồ thị: -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2 -1 1 x y 0 2. Hàm số y = cos x. */ Tập xác định: D = Ă ; */ x Ă ta luôn có: 1 cos 1x ; */ Hàm số y = cos x là một hàm số chẵn trên Ă và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 . */ Đồ thị: -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2 -1 1 x y 0 3. Hàm số y = tan x. */ Tập xác định: \ , 2 D k k = + ÂĂ ; */ Hàm số y = tan x là một hàm số lẻ và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ ; */ Đồ thị: -3/2 - -/2 /2 3/2 -1 1 x y /4 -/4 4. Hàm số y = cot x. */ Tập xác định: { } \ ,D k k = ÂĂ ; 1 */ Hàm số y = cot x là một hàm số lẻ và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ ; */ Đồ thị: -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2 -1 1 x y /4 -/4 0 5. Chú ý. Một số các giá trị đặc biệt của các hàm số lợng giác: */ sin 1 2 , 2 x x k k = = +  ; */ sin 0 ,x x k k = =  ; */ sin 1 2 , 2 x x k k = = +  ; */ cos 1 2 ,x x k k = = +  ; */ cos 0 , 2 x x k k = = +  ; */ cos 1 2 ,x x k k = =  ; */ tan 1 , 4 = = + Âx x k k ; */ tan 0 ,x x k k = =  ; */ tan 1 , 4 x x k k = = +  ; */ cot 1 , 4 = = + Âx x k k ; */ cot 0 , 2 x x k k = = +  ; */ cot 1 , 4 x x k k = = +  ; II. Kỹ năng cơ bản. 2 Tìm tập xác định; xét tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn và vẽ đợc đồ thị của một hàm số l- ợng giác. III. Một số ví dụ A. Ví dụ tự luận. Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số: 1/ cos2y x= 2/ sin 3y x= 3/ 1 siny x = 4/ 2 cos 4y x= Giải. 1/ Do 2 ,x x Ă Ă nên hàm số đã cho có tập xác định là D = Ă . 2/ Hàm số sin 3y x= xác định khi và chỉ khi 3 0 0x x . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là [ ) 0;D = + . 3/ Hàm số 1 siny x = xác định khi và chỉ khi 1 0.x x Ă Vậy tập xác định của hàm số đã cho là { } \ 0D = Ă . 4/ Hàm số 2 cos 4y x= xác định khi và chỉ khi 2 2 4 0 2 x x x . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là ( ] [ ) ; 2 2;D = + . Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số: 1/ 1 cos sin x y x = ; 2/ 2 cos3y x= ; 3/ cot 3 y x = + ữ ; 4/ tan 2 6 y x = ữ . Giải. 1/ Hàm số 1 cos sin x y x = xác định khi và chỉ khi sin 0 ,x x k k  . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là { } \ ,D k k = ÂĂ . 2/ Hàm số 2 cos3y x= xác định khi và chỉ khi 2 cos3 0x . Mà 2 cos3 0x x Ă . Vậy hàm số đã cho có tập xác định là D = Ă . 3/ Hàm số cot 3 y x = + ữ xác định khi và chỉ khi sin 0 , 3 3 3 x x k x k k + + + ữ  . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \ , 3 D k k = + ÂĂ . 3 4/ Hàm số tan 2 6 y x = ữ xác định khi và chỉ khi 2 cos 2 0 2 2 , . 6 6 2 3 3 2 x x k x k x k k + + + ữ  Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \ , 3 2 D k k = + ÂĂ . Lu ý: +/ Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để f(x) có nghĩa. +/ Tìm tập xác định của hàm số lợng giác, ta cần lu ý tập xác định của 4 hàm số l- ợng giác nói trên và một số giá trị đặc biệt của nó. Ví dụ 3: Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số: 1/ y = x 2 sin 3x 2/ y = cosx + sin 2 x 3/ y = tanx.cos2x 4/ y = 2cosx 3sinx. Giải. 1/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = x 2 sin 3x là D = Ă . x D ta có: */ x D ; */ f(-x) = (-x) 2 sin(-3x) = - x 2 sin3x = - f(x). Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ trên Ă . 2/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = cosx + sin 2 x là D = Ă . x D ta có: */ x D ; */ f(-x) = cos(- x) + sin 2 (- x) = cosx + sin 2 x = f(x). Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn trên Ă . 3/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = tanx.cos2x là \ , 2 D k k = + ÂĂ . x D ta có: */ x D ; */ f(-x) = tan(-x).cos(-2x) =- tanx.cos2x = - f(x). Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ trên D. 4/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = 2cosx 3sinx là D = Ă . Ta có 5 2 f 4 2 = ữ , mặt khác 2 f 4 2 = ữ nên f f 4 4 ữ ữ . Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số chẵn và cũng không phải là hàm số lẻ. Lu ý: */ Phơng pháp xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x): +/ Tìm tập xác định D của hàm số. +/ Xét x D nếu ( ) ( ) x D f x f x = thì hàm số là hàm số chẵn. Nếu ( ) ( ) x D f x f x = thì hàm số là hàm số lẻ. 4 */ Đồ thị hàm số chẵn có trục đối xứng là trục Oy; Đồ thị hàm số lẻ có tâm đối xứng là gốc tọa độ O. Ví dụ 4: 1/ Chứng minh rằng ( ) cos2 cos2x k x k + =  . Từ đó, vẽ đồ thị hàm số y = cos2x. 2/ Từ đồ thị hàm số y = cos2x, hãy vẽ đồ thị hàm số cos2y x= . Giải. 1/ Ta có ( ) ( ) cos2 cos 2 2 cos2 , .x k x k x k + = + =  Do đó hàm số y = cos2x tuần hoàn với chu kỳ . Ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số y = cos2x trên một đoạn có độ dài bằng , rồi tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn có độ dài ta đợc đồ thị hàm số. Mặt khác, hàm số y = cos2x là hàm số chẵn, nên ta lại chỉ cần vẽ đồ thị hàm số đó trên đoạn 0; 2 sau đó lấy đối xứng qua trục tung, ta đợc đồ thị hàm số trên đoạn ; 2 2 . Đồ thị hàm số y = cos2x: -3/2 - -/2 /2 3/2 -1 1 x y /4 3/4 5/4 -/4 -3/4-5/4 0 2/ Ta có = = < cos2 cos2 0 cos2 cos2 cos2 0 x nếu x y x x nếu x . Vậy đồ thị hàm số cos2y x= (nét liền) đợc suy ra từ đồ thị hàm số y = cos2x bằng cách giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành và lấy đối xứng phần dới trục hoành qua trục hoành. -3/2 - -/2 /2 3/2 -1 1 x y /4 3/4 5/4 -/4 -3/4 -5/4 0 Ví dụ 5: Từ đồ thị hàm số y = tanx, hãy vẽ đồ thị hàm số 1/ tan 4 y x = ữ 2/ y = tanx - 1 2 Giải. 5 1/ Ta có đồ thị hàm số tan 4 y x = ữ (nét liền) đợc suy ra từ đồ thị hàm số y = tanx ( nét đứt) bằng cách tịnh tiến song song với trục Ox sang phải một đoạn bằng 4 ( hình vẽ) -3/2 - -/2 /2 3/2 -1 1 x y /4 -3/4 5/4 2/ Ta có đồ thị hàm số y = tanx - 1 2 (nét liền) đợc suy ra từ đồ thị hàm số y = tanx (nét đứt)bằng cách tịnh tiến song song với trục tung xuống phía dới 1 2 đơn vị. -3/2 - -/2 /2 3/2 -1 1 x y /4 -/4 -1/2 Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số: 1/ 2cos 1 3 = ữ y x 2/ = + 1 sin 3y x Giải: 1/ Ta có ữ ữ Ă : 1 cos 1 2 2cos 2 3 1 3 3 x x x y . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, xảy ra khi = = = + ữ Âcos 1 2 2 , . 3 3 3 x x k x k k Giá trị nhỏ nhất của y là -3 đạt đợc khi = = + = + ữ  4 cos 1 2 2 , . 3 3 3 x x k x k k 2/ Ta có + + Ă ,0 1 sin 2 0 1 sin 2 3 2 3.x x x y 6 Vậy, giá trị lớn nhất của y là 2 3 , khi = = + Âsin 1 2 , 2 x x k k ; giá trị nhỏ nhất của y là -3, khi sin x = -1 = + Â2 , . 2 x k k B. Ví dụ trắc nghiệm khách quan. 1/ Tập xác định của hàm số = 1 sin2 y x là A. { } ÂĂ \ ,k k B. Ă C. ÂĂ \ , 2 k k D. ÂĂ 2 \ , 3 k k .2/ Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Hàm số y = -2sinx là hàm số lẻ. B. Hàm số y = -tanx sinx là hàm số lẻ. C. Hàm số y = sinx + x là hàm số lẻ. D. Hàm số y = tanx + cosx là hàm số lẻ. 3/ Hàm số sin2 tan x y x = là hàm số: A. Chẵn B. Lẻ C. Không chẵn, không lẻ D. Vừa chẵn, vừa lẻ. . 4/ Hàm số cos4y x= là hàm số tuần hoàn với chu kỳ: A. 2 B. C. 2 D. 3 5/ Giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số y = 2sinx + 3 là: A. m =1, M= 5 B. m =-5 ,M =-1 C. m=-5, M=1 D. m=-1, M=5 6/ Cho hàm số 2cos 3 y x = + ữ . Chọn mệnh đề sai: A. max y = 2 B. min y = -2 C. TXĐ D = Ă D. Hàm số là hàm chẵn 7/ Chn mnh ỳng trong cỏc mnh sau: A. Hm s y = tanx v y = cosx cựng ng bin trờn khong ; 2 ữ . B. Hm s y = sinx v y = cotx cựng nghch bin trờn khong ; 2 ữ . C. Hm s y = tanx ng bin trờn ; 2 2 ữ v y = cotx nghch bin trờn khong ; 2 2 ữ . D. Hm s y = sinx v y = cosx cựng ng bin trờn khong 0; 2 ữ . 8/ Cho [ ] ;0x , rỳt gn 2 2cosP x= , chn kt qu ỳng: 7 A. 2sin 2 x P = B. 2cos 2 x P = C. 2sin 2 x P = D. 2cos 2 x P = Gii. 1/ Chọn phơng án C, vì hàm số đã cho xác định khi sin2 0 2 , 2 k x x k x k  2/ Chọn phơng án D, vì các hàm số y = sinx, y= tanx, y = x đều là các hàm số lẻ, nên các hàm số ở trong các phơng án A, B, C là các hàm số lẻ.Còn hàm số y = cosx là hàm số chẵn, nên hàm số trong phơng án D không thể là hàm số lẻ, thực ra nó là hàm số không chẵn, không lẻ. 3/ Chọn phơng án A, vì hàm số đã cho có TXĐ là \ , 2 D k k = + ÂĂ và ( ) ( ) sin 2 sin2 tan tan x x x x = 4/ Chọn phơng án C. Để ý rằng cos4 cos4 . 2 x k x k + = ữ Ă 5/ Chọn phơng án A, vì 1 sin 1 1 5x x y x Ă Ă và 1 sin 1 2 , 2 5 sin 1 2 , 2 y x x k k y x x k k = = = + = = = +   6/ Chọn phơng án D. Hàm số đã cho thực chất là hàm không chẵn, không lẻ. 7/ Chọn phơng án B. Dựa vào sự biến thiên của các hàm số lợng giác. 8/ Chọn phơng án C, vì 2 4sin 2 x P = và [ ] sin 0 ;0 2 x x . IV. Bài tập. A.Bài tập tự luận. Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1/ 1 sin cos2 x y x + = ; 2/ 2 3 sin 2 y x= ; 3/ 2 cot 2 3 y x = + ữ ; 4/ tan 3 6 y x = ữ . Bài 2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: 1/ y = cos5x; 2/ y = tanx + 2sinx; 3/ sin3x y x = ; 4/ y = sinx + cosx. Bài 3.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số: 8 1/ 3sin 1 6 y x = + + ữ ; 2/ 1 sin2 2y x= + ; 3/ y = cos3x + sin3x; 4/ y = sinx + cos2x Bài 4. Chứng minh hàm số y = sin2x là một hàm tuần hoàn với chu kỳ . Bài 5. Chứng minh hàm số sin=y x là một hàm tuần hoàn, tìm chu kỳ, xét tính chẵn lẻ và vẽ đồ thị hàm số. Bài 6. Từ đồ thị của hàm số y = sinx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sin 3 y x = + ữ và 1 sin 2 y x= + . Bài 7. Chứng minh rằng: a/ sinx < cosx với 0 4 x < < . b/ sinx > cosx với 4 2 x < < . B. Bài tập trắc nghiệm. Bài 8. Chọn mệnh đề đúng: A. Hàm số y = sin x và y = cot x có cùng tập xác định. B. Hàm số y = sin x và y = cos x có cùng tập xác định. C. Hàm số y =cos x và y = tan x cùng là hàm lẻ. D. Hàm số y = sin x và y = cot x cùng là hàm chẵn. Bài 9. Tập xác định của hàm số tan 4 y x = + ữ là: A. \ , 2 D k k = + ÂĂ B. \ , 4 D k k = + ÂĂ C. \ 2 , 4 D k k = + ÂĂ D. \ 2 , 2 D k k = + ÂĂ Bài 10 . Trong khoảng ( ) 2 ; các hàm số nào sau đây luôn nhận giá trị dơng: A. y = cos x B. y = sin x C. y = tan x D. y = cot x Bài 11. Tìm khoảng mà trên đó các hàm số y = cos x, y = sin x, y = tan x, y = cot x cùng dấu: A. ; 4 4 ữ B. 5 3 ; 4 2 ữ C. ; 4 3 ữ D. 3 ;2 4 ữ Bài 12. Tập giá trị của hàm số y = 2cos x 3 là: A. [-5; -1] B. [-5; 1] C. [-1;5] D. [1; 5] Bài 13. Tìm hàm số chẵn trong các hàm số sau: A. cos x y x = B. sin=y x C. 3 tany x = D. cos coty x x= + 9 Bài 14. Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O: A. sin3y x x= B. cos 2 sin x y x = + C. 3 cos2y x x = D. tan 2cosy x x x= + Bài 15. Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng qua trục Oy: A. cos siny x x = + B. 2 siny x x= C. 2cos siny x x x = + D. sin 2 cos x y x = + Bài 16. Chọn câu sai: A. Hàm số sin 4 y x = + ữ và y = sin x cùng có chu kỳ là 2 ; B. Hàm số 2 siny x= và y = sin x cùng có chu kỳ là 2 ; C. Hàm số cosy x= và y = sin x cùng có chu kỳ là 2 ; D. Hàm số sin2y x= và y = tan x cùng có chu kỳ là ; Bài 17. Chu kỳ của hàm số y = sin2x + 2cos2x là A. 3 B. 2 C. D. 2 Bài 18. GTLN (M) và GTNN (m) của hàm số 3 sin 1 1y x= + là: A. 2 1, 0M m= = B. 2, 0M m= = C. 3 2 1, 1M m= = D. 3 2 1, 1M m= + = 10 . vẽ đồ thị hàm số y = cos2x trên một đoạn có độ dài bằng , rồi tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn có độ dài ta đợc đồ thị hàm số. Mặt khác, hàm. liền) đợc suy ra từ đồ thị hàm số y = tanx ( nét đứt) bằng cách tịnh tiến song song với trục Ox sang phải một đoạn bằng 4 ( hình vẽ) -3/2 - -/2 /2 3/2