Đang tải... (xem toàn văn)
Sau bao năm chinh chiến tôi cũng đã thu lượm được một vài bí kíp về các môn học trong rất nhiều hoàn cảnh khác nhau , nghe có vẻ giống phim trung quốc , mỗi lần rơi xuống vực lại có một bí kíp võ công mới xuất hiện. Nhưng phải nói rằng người may mắn cũng phải có một tố chất nào đó nhất định, yếu tố đọc hiểu được đặt lên đầu tiên và yếu tố còn lại là hoàn cảnh và sự thấm nhuần khi chúng ta không còn việc nào khác để làm . Tôi thấy tài liệu này khá thú vị và phù hợp cho giáo viên cũng như học sinh, hi vọng còn có thể cung cấp hơn nữa cho các bạn.
1 CÁC CHUN ĐỀ TỐN G PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG Mục Lục G PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Dạng 1: Giải phương trình phương trình quy phương trình bậc hai 1.1 Giải phương trình bậc hai .2 Chủ đề 1.2 Giải phương trình quy phương trình bậc hai 1.2.1 Phương trình trùng phương PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG 1.2.3 Giải phương trình đưa phương trình tích .9 1.2.4 Giải phương trình chứa bậc hai 11 a) Phương trình chứa bậc hai đơn giản (quy phương trình bậc hai) .11 b) Phương trình vơ tỉ 12 1.2.5 Giải phương trình chứa dấu GTTĐ 13 Dạng 2: Hệ thức Vi-et ứng dụng 14 Dạng 3: Phương trình chứa tham số 19 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 50 Dạng 1: Giải phương trình phương trình quy phương trình bậc hai 1.1 Giải phương trình bậc hai Đối với đề tốn giải phương trình với phương trình phương trình bậc hai đơn giản (có dạng tổng quát ax bx c ), học sinh sử dụng phương pháp đưa giải Website: tailieumontoan.com CÁC CHUN ĐỀ TỐN phương trình tích, sử dụng công thức nghiệm (hoặc công thức nghiệm thu gọn) sử dụng cách nhẩm nghiệm để giải tốn Định nghĩa Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax bx c 0, x ẩn; a, b, c số cho trước gọi hệ số a �0 Công thức nghiệm phương trình bậc hai 2 Đối với phương trình bậc hai ax bx c (a �0) biệt thức b 4ac : Nếu > phương trình có nghiệm phân biệt Nếu = phương trình có nghiệm kép x1 x1 x2 b b ; x2 2a 2a b 2a Nếu < phương trình vơ nghiệm Chú ý: Nếu phương trình có a c trái dấu > Khi phương trình có nghiệm phân biệt Công thức nghiệm thu gọn 2 Đối với phương trình bậc hai ax bx c (a �0) b 2b� , � b� ac : Nếu > phương trình có nghiệm phân biệt Nếu = phương trình có nghiệm kép x1 x2 Nếu < phương trình vơ nghiệm Bài 1: `Giải phương trình: a) 3x x Website: tailieumontoan.com x1 b) 5x x b� � b� � ; x2 a a b� a CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Hướng dẫn giải a) Cách 1: Đưa giải phương trình tích phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 3x x � x x x � x( x 2) ( x 2) � 3x x � � (3x 1)( x 2) � � �� � x20 � x 2 � � 1� S �2; � � Vậy tập nghiệm phương trình Cách 2: Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai 2 Ta có a 3; b = 5; c = -2 ; b 4ac 4.3.(2) 25 24 49 Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt: x1 b 5 49 5 2a 2.3 6 x2 b 5 49 5 12 2 2a 2.3 6 � 1� S �2; � � Vậy tập nghiệm phương trình b) Phương pháp 1: Đưa giải phương trình tích phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: x x � x x x � x( x 1) ( x 1) � 5x 1 x � � (5 x 1)( x 1) � � �� � x 1 � x 1 � � 1� S � 1; � � Vậy tập nghiệm phương trình Phương pháp 2: Sử dụng cơng thức nghiệm thu gọn ( công thức nghiệm tổng quát) để giải: Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Ta có a 5; b = � b' = b 6 = = -3; c = 2 ' b� ac (3) 5.1 Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt: x1 b ' ' ( 3) 1 a 5 ; x2 b ' ' (3) a 5 Phương pháp 3: Giải cách nhẩm nghiệm Ta có a 5; b = 6; c = a b c ( 6) Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt x1 x2 c a 1.2 Giải phương trình quy phương trình bậc hai 1.2.1 Phương trình trùng phương Cho phương trình: ax bx c ( a �0 ) (1) Phương pháp 1: Đặt ẩn phụ: 2 Đặt t x (t �0) Ta phương trình: at bt c (2) Nếu phương trình (2) (phương trình trung gian) có nghiệm dương phương trình trùng phương có nghiệm Nếu phương trình trung gian có nghiệm dương, nghiệm âm có nghiệm kép dương phương trình trùng phương có nghiệm Nếu phương trình trung gian có nghiệm âm vơ nghiệm phương trình trùng phương vơ nghiệm Cụ thể: Phương trình (1) có nghiệm phân biệt � phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt � � � �P �S � Phương trình (1) có nghiệm phân biệt � phương trình (2) có nghiệm dương nghiệm � � � �P �S � Website: tailieumontoan.com CÁC CHUN ĐỀ TỐN Phương trình (1) có nghiệm phân biệt � phương trình (2) có một nghiệm kép dương có hai nghiệm trái dấu � � � � � � �S � � � � �� �S � � � � a.c � � � �P Phương trình (1) có nghiệm � phương trình (2) có nghiệm kép có nghiệm khơng nghiệm lại âm � � � � �S � �P � � �� 0 � � � � �P � �S � � � Phương trình (1) có vơ nghiệm � phương trình (2) vơ nghiệm có hai nghiệm âm 0 � � � �� � � �P � �S � � Nếu phương trình có nghiệm tổng nghiệm ln tích nghiệm ln c a Phương pháp 2: Giải trực tiếp phương trình trùng phương cách đưa giải phương trình tích: A0 � A.B � � B0 � Biến đổi đưa dạng phương trình tích : Giải phương trình: x 13 x 36 (1) Bài 1: Hướng dẫn giải Cách 1: Đặt t x ( điều kiện: t �0 ) phương trình (1) có dạng : t 13t 36 0 Ta có a 1; b 13; c 36 Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN b 4ac (13) 4.1.36 25 � � t1 t2 Với b (13) 9 2a (thỏa mãn điều kiện t �0 ) b ( 13) 4 2a (thỏa mãn điều kiện t �0 ) t1 � x � x � � x �3 Với t2 � x � x � � x �2 Vậy phương trình (1) có nghiệm : x1 2 ; x2 3; x3 2; x4 Cách 2: x 13 x 36 (1) � ( x 12 x 36) x � ( x 6) x � ( x x)( x x) � x2 x � �2 x 6 x � Giải phương trình: x – x – ta nghiệm: x1 2; x2 Giải phương trình: x x – ta nghiệm: x3 2; x4 3 Vậy phương trình (1) có nghiệm: x1 3; x2 2; x3 2; x4 Bài 2: Giải phương trình: x x – (1) Hướng dẫn giải Đặt t x ( điều kiện: t �0 ) phương trình (1) có dạng : 5t 3t 0 Ta có a 5; b 3; c 2 b 4ac (3) 4.5.(2) 49 � � t1 b 3 2a 2.5 (thỏa mãn điều kiện t �0 ) Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN t2 Với b 3 1 2a 2.5 (không thỏa mãn điều kiện t �0 ) t1 2 � x2 � x � 5 Với t2 1 (loại) Vậy phương trình (1) có nghiệm : Bài 3: x1 2 ; x2 5 Giải phương trình: x x (1) Hướng dẫn giải Đặt t x (điều kiện: t �0 ) phương trình (1) có dạng : t 5t 0 Ta có a 1; b 5; c b 4ac 52 4.1.6 � � t1 t2 b 5 2 2a 2.1 (loại khơng thỏa mãn điều kiện t �0 ) b 5 3 2a 2.1 (loại khơng thỏa mãn điều kiện t �0 ) Vậy phương trình (1) vơ nghiệm 1.2.2 Giải phương trình chứa ẩn mẫu Cách giải: Thực bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định phương trình Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu thức Bước 3: Giải phương trình vừa nhận Bước 4: Trong giá trị tìm ẩn, loại giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, giá trị thoả mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho Bài 1: Giải phương trình: 14 1 3 x a x Website: tailieumontoan.com 2x x2 x b x (x 1)(x 4) CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Hướng dẫn giải 14 1 3 x a x ĐKXĐ : x ��3 14 1 x3 � ( x 3)( x 3) 14 ( x 3)( x 3) ( x 3) ( x 3)( x 3) � ( x 3)( x 3) � 14 x – 3 x 3 x 3 � x – x –14 � x x – 20 Ta có: a 1; b 1; c 20 b – 4ac – 4.1 –20 81 � 81 � Phương trình có nghiệm có nghiệm phân biệt : x1 b 1 4 2a 2.1 (thỏa mãn điều kiện) x2 b 1 5 2.a 2.1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình cho có nghiệm: x1 ; x2 –5 2x x2 x b x (x 1)(x 4) ĐKXĐ: x �–1 x � 4 2x x2 x x (x 1)(x 4) x( x 4) x2 x � ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 4) � x x – 4 x – x � x – 8x – x x – Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN � x2 – x – Ta có: a 1; b 7; c 8 a – b c 1– –7 –8 � Phương trình có nghiệm : x1 –1 (loại khơng thỏa mãn ĐKXĐ) c x2 a (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình cho có nghiệm: x 1.2.3 Giải phương trình đưa phương trình tích Phương pháp: Biến đổi phương trình ban đầu dạng phương trình tích sau giải phương trình A0 � A.B � � B � Tổng quát: Bài 1: Giải phương trình a) ( x 3)( x 3x 1) b) x x – x 2x c) d) x 13 x 36 3 –10 x3 –15 x Hướng dẫn giải a) ( x 3)( x 3x 4) � x x x +) x � x1 +) x 3x (1) Ta có a 1; b 3, c 4 a b c (4) Phương trình (1) có hai nghiệm: x2 1; x3 c 4 a Kết luận: Vậy phương trình cho có nghiệm là: x1 3; x 1; x3 4 Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN b) x 3x – x – � x x 3 – x 3 � x 3 x – � x x – +) x � x1 3 2 +) x – � x � x2 x3 Vậy phương trình cho có nghiệm: x1 3 ; x2 2; x3 2x c 3 –10 x –15 x � x – x x 3 2x 3 x – x x2 x – x 2 +) x � x –3 � x 1,5 (vô nghiệm) +) x – x Có a 2; b 5; c a b c – Phương trình có nghiệm: x1 1 ; x2 c a Vậy phương trình cho có nghiệm: x1 1 ; x2 d) x 13x 36 (1) � ( x 12 x 36) x � ( x 6) x � ( x x)( x x) � x2 x � �2 x x6 0 � Giải phương trình: x – x – ta nghiệm: x1 2; x2 Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x thỏa mãn 3x1 4x 11 c) Tìm đẳng thức liên hệ x1; x không phụ thuộc vào m d) Với giá trị m x1; x dương Hướng dẫn giải a) Với m phương trình trở thành 2x 3x 1 Ta có a b c 2 3 1 Vậy phương trình có nghiệm c 1 x x1 1; a 1� � S� 1; � � Vậy phương trình có tập nghiệm b) Ta có b 4ac 2m 1 4.2 m 1 4m 12m 2m 3 Vì 2m 3 �0 với m nên �0 với m Suy phương trình ln có hai nghiệm x1; x với m Theo hệ thức Vi-et ta có : 1 2m � x1 x � � � �x x m �1 2 1 2 Kết hợp 3x1 4x 11 (1) ta có hệ � 13 4m � 13 4m 1 2m x1 � � �x1 � x x m x x �1 � � 7 � � � � � � � 3x1 4x 11 � � �x x 1 2m �x 19 6m 3x1 4x 11 � �2 � 14 Thay x1; x vào pt (2) ta có x1.x m 1 Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN � 13 4m 19 6m m 14 � 24m 51m 198 � 8m 17m 66 m 2 � � � 33 TM � 33� � m �� 2; � m � � Vậy c) Theo Vi-et ta có: 1 2m � x1 x � 2 x1 x 1 2m � 2 x x 1 2m � �� �� � � 2x1x m 4x1x 2m � � �x x m �1 2 � 2 x1 x 4x1x 1 Vậy hệ thức liên hệ 2 x1 x 4x1x 1 có giá trị không phụ thuộc vào m d) Theo câu b phương trình ln có nghiệm với m Để phương trình có hai nghiệm dương 1 2m � 0 � 1 2m �m �x1 x � � � �� �� � � � m �� � m m � �x1x � � m 1 0 � �2 Vậy khơng có giá trị m để phương trình có hai nghiệm dương Bài 24: Cho phương trình bậc hai: x + 2(m - 1) x - (m + 1) = ( 1) a) Tìm giá trị m để phương trình ( ) có nghiệm lớn nghiệm nhỏ b) Tìm giá trị m để phương trình ( ) có hai nghiệm nhỏ Hướng dẫn giải ' (m 1)2 m (m ) 0, m a) Ta có: Nên phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Theo hệ thức Vi- ét ta có � �x1 x2 2 m 1 � �x1.x2 m 1 Để phương trình (1) có nghiệm lớn , nghiệm nhỏ x1 1 x2 1 � x1x2 x1 x2 1 � m 1 2 m 1 1 � m Cách 2: Đặt y = x - � x =y +1 phương trình (1) trở thành: y + 1 2( m 1) y + 1 (m 1) � y 2m y + m (2) Để phương trình (1) có nghiệm x1 lớn , nghiệm x nhỏ phương trình (2) có hai nghiệm y1; y2 trái dấu � m � m b) Để phương trình có hai nghiệm nhỏ � � x1x2 2 x1 x2 � x1 2 x2 2 � m � � �� � � � m � x1 x2 x1 x2 � � � m 1 � Bài 25: 2 Cho phương trình x (2m 3) x m 3m a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm lại c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 3 x1 x2 d) Xác định m để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm Hướng dẫn giải 2 a) Ta có: (2m 3) 4.1.(m 3m 2) 4m2 12m 4m2 12m Website: tailieumontoan.com CÁC CHUN ĐỀ TỐN 1 Phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Vì phương trình có nghiệm nên ta thay x =2 vào phương trình có: 22 (2m 3)2 m2 3m � 4m m2 3m � m2 m � m(m 1) m0 � �� m 1 � Theo hệ thức Vi-et ta có: �x1 x2 2m � �x1.x2 m 3m thay Với m =0 thay vào ta có: x2 � � x2 � 2.x2 � Với m =1 thay vào ta có: x2 � � x2 � x � 2 x2 2m � � x1 �2.x2 m 3m : �x1 x2 2m � c) Theo phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt thỏa: �x1.x2 m 3m Vì 3 x1 x2 x x2 � � �� � 3 x1 x2 �x1 x2 nên �x1 x2 ( x1 3) ( x2 3) � �x1 x2 � �x x 3.( x x ) ( x1 3)( x2 3) � � �� � �1 ( x1 6) ( x2 6) � �x1 x2 12 � � ( x1 6)( x2 6) � �x1.x2 6( x1 x2 ) 36 � 9 m � m m � � � �2 �2 m 9m 20 ( m 4)(m 5) �m 3m 3(2m 3) � � �� �� �� 2m �2m 12 � � m 2 �m 3m 6(2m 3) 36 � � m 9m 20 � � � (m 4)(m 5) � Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN � 9 �m � m 5 �� � �m 4 �� �� �m � �m �� � � m � 4 m �� Vậy 4 m Cách 2: Ta tính D =1 >0 � Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt : 2m m2 2m x1 m 1 x2 Vì 3 x1 x2 nên 3 m m �m 3 �m 4 �� �� � 4 m �m �m d) Phương trình có nghiệm bình phương nghiệm : Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt : x1 2m 2m m x2 m2 2 ; Theo u cầu đề tốn : nghiệm bình phương nghiệm : Trường hợp 1: x2 x1 � m (m 1) � m m 2m � m2 m �m 1 � Trường hợp : x1 x2 m 1 m (*) Website: tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN � m 4m m � m 3m � Phương trình (*) vô nghiệm Kết luận: m Bài 26: 1 � giá trị cần tìm Cho phương trình mx 2(m 2) x m a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn c) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x12 x22 Hướng dẫn giải a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu m �0 a.c