SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN LÀO CAI ĐỊNH LÝ MANTEL VÀ BÀI TOÁN VMO 2017 Giáo viên: Nguyễn Quang Tân Tổ: Toán – Tin Lào Cai, năm học 2017 - 2017 Mục lục A LÝ DO CHỌN VIẾT CHUYÊN ĐỀ B NỘI DUNG Khái niệm đồ thị Đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần Định lý Mantel – Turan TÀI LIỆU THAM KHẢO 14 A LÝ DO CHỌN VIẾT CHUYÊN ĐỀ Trước phần lý thuyết đồ thị thường không dạy cho học sinh việc bồi dưỡng học sinh giỏi kì thi VMO 2017 có tốn số sau: Cho số ngun n  Bảng vng ABCD  kích thước n  n gồm n ô vuông đơn vị , ô vuông đơn vị tô ba màu : đen, trắng, xám Một cách tô màu gọi đối xứng có tâm đường chéo AC tô màu xám cặp ô đối xứng qua AC tô màu đen màu trắng Người ta điền vào ô xám số , ô trắng số nguyên dương ô đen số nguyên âm Một cách điền số gọi k  cân đối (với k số nguyên dương) thỏa mãn điều kiện sau: (i) Mỗi cặp ô đối xứng qua AC điền số nguyên thuộc đoạn  k ; k  (ii) Nếu hàng cột giao ô đen tập số nguyên dương điền hàng tập số nguyên dương điền cột khơng giao nhau;nếu hàng cột giao trắng tập số ngun âm điền hàng tập số nguyên âm điền cột khơng giao a)Với n  , tìm giá trị nhỏ k để tồn cách điền hình số k  cân đối cho cách tơ màu hình bên b)Với n  2017 , tìm giá trị nhỏ k để với cách tô màu đối xứng , tồn cách điền k cân đối Thật khó để giải tốn khơng đưa ngôn ngữ đồ thị sử dụng định lý Mantel – Turan, cần thiết phải giới thiệu cho học sinh số kiến thức lý thuyết đồ thị Trong chuyên đề người viết chọn giới thiệu phần kiến thức lý thuyết đồ thị bao gồm: Khái niệm đồ thị, đỉnh, bậc số kiến bản; Đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần; Định lý Mantel – Turan Qua học sinh giải số tập đồ thị liên quan tới vấn đề trên, có đề thi VMO 2017 vừa B NỘI DUNG Khái niệm đồ thị Định nghĩa Một đồ thị G  (V , E ) V tập đỉnh E tập hợp cạnh nối đỉnh V Định nghĩa Ta nói hai đỉnh v, w kề tồn cạnh nối v w Định nghĩa Cho đỉnh v , bậc v số cạnh nhận v đầu mút, kí hiệu d (v) Định lý (Handsack) Cho đồ thị G có n đỉnh, m cạnh bậc n đỉnh d1 ,, dn n d i  2m i 1 Chứng minh Ta sử dụng kĩ thuật đếm cách Ta đếm số ( v , e ) v đỉnh e cạnh v làm đầu mút n Nếu đếm theo v s   di i 1 Nếu đếm theo e trước s  2m Hệ i) Trong đồ thị có chẵn đỉnh bậc lẻ ii) Trong đồ thị có lẻ đỉnh có đỉnh bậc chẵn Nhận xét Bậc nhỏ  2| E |  bậc lớn |V | Bài tốn (Vũ Đình Hòa) Trong lớp có 20 học sinh Chứng minh tồn em mà số bạn chúng số chẵn Lời giải Xét đồ thị G gồm 20 đỉnh học sinh cạnh quan hệ quen biết học sinh TH1: Tồn em học sinh A0 có lẻ bạn A1, A2 , A2t 1 Xét đồ thị tạo đỉnh A1, A2 , A2t 1 , đồ thị có lẻ đỉnh lên phải có đỉnh bậc chẵn Ai0 Nên A0 Ai0 có chẵn bạn chung TH2: Tồn học sinh A0 có chẵn bạn A1 ,, A2t Xét đồ thị tạo G1 đỉnh A1 ,, A2t đồ thị có đỉnh bậc chẵn Ai0 toán giải Nếu đồ thị G1 khơng có đỉnh bậc chẵn ta bổ sung thêm đỉnh B khác A0 vào G1 đồ thị G2 , đồ thị có lẻ đỉnh nên phải có đỉnh bậc chẵn Đỉnh B Vậy có A0 B có chẵn bạn chung Bài tốn Có 30 cặp phụ huynh họp Mỗi người bắt tay số người khác (khơng bắt tay vợ chồng mình) Ơng A quan sát thấy số bắt tay người lại khác đơi Hỏi vợ chồng ông A bắt tay người? Giải Xây dựng đồ thị tập đỉnh ứng 60  người, cạnh bắt tay Vì người khơng bắt tay với vợ chồng nên  bậc đỉnh  58 Vì ngồi ơng A, số bắt tay người lại đơi khác nên số bắt tay người lại 0,1,  , 58 Gọi Ai đỉnh có bậc i với  i  58  Ta thấy A0 không bắt tay với A58 Còn A58 bắt tay với tất người trừ vợ Ta thấy A0 A58 cặp Định lý Cho đồ thị G  (V , E) ta có kết  (d (x)  d ( y))   d xyE (v ) vV Trong kí hiệu d ( x ) bậc đỉnh x Chứng minh Ta sử dụng kĩ thuật đếm hai cách Ta đếm số (u , x , v ) thỏa mãn hai cạnh u v có chung đỉnh x Nếu đếm theo x kết d ( x) Nếu đếm theo cạnh u  xy kết d ( x )  d ( y ) Do đó:  (d (x)  d ( y))   d xyE (v ) vV Đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần Định nghĩa Cho G  ( E , V ) đồ thị hữu hạn Đồ thị G gọi đầy đủ cặp định nối đỉnh Một đồ thị đầy đủ n đỉnh gọi K n Đồ thị Nhận xét: Đồ thị K n có K7 n(n  1) cạnh Định nghĩa Cho G  (V , E ) đồ thị Đồ thị bù G đồ thị G đồ thị có tập hợp đỉnh với G , tập cạnh E (G )  {e  E (G )} Cạnh G cạnh không thuộc G Định nghĩa Một đồ thị G gọi hai phần tập đỉnh V (G ) chia thành tập không giao A B cho khơng có cạnh có đầu mút nằm tập Định nghĩa Một đồ thị gọi hai phần đầy đủ đỉnh V (G ) chia thành tập khơng giao A B cạnh A B vẽ Trong trường hợp | A | m | B | n ta kí hiệu đồ thị K m,n Bài tốn Có 2018 gà vào 1009 lồng Mỗi ngày người ta nhốt số gà vào lồng, cho lồng có hai gà bị nhốt chung khơng q lần Chứng minh nhốt gà nhiều 2017 ngày Lời giải Xét đồ thị G gồm 2018 đỉnh ứng với 2018 gà, hai đỉnh nối với hai gà tương ứng nhốt chung Số cạnh đồ thị nhiều C2018 , mà ngày có 1009 C2018 cạnh vẽ Vậy số ngày nhốt gà không vượt  2017 1009 Bây ta nhốt gà 2017 Ta đánh số gà từ i  đến 2018 Ngày thứ k gà i nhốt với gà j i  j  k Nếu k chẵn ta gà mod 2018 k k ghép với  1009 2 Bài toán Một câu lạc học nhảy có 10 ơng 10 bà Biết bà quen ông ông quen bà Chứng minh chia 20 người thành 10 cặp ông – bà, mà cặp quen Định lý Mantel – Turan Định lý (Mantel) Cho G đồ thị n đỉnh, không chứa tam giác (không chứa K3 ) số  n2  cạnh lớn G   4 Chứng minh Vì đồ thị không chứa tam giác nên với cạnh xy  E Ta thấy hai đỉnh x, y nối với n  đỉnh lại Nên d ( x )   d ( y )   n  hay d ( x )  d ( y )  n Suy  d ( x)  d ( y )  n | E | xyE   d ( v)  n | E | vV Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: d (v )  vV 1 ( d (v))  | E |2 n vV n n2  n  Suy n | E | | E |2 | E |    n 4 Bây ta có đồ thị có  mà khơng có tam giác Nếu n chẵn G đồ thị phần đầy đủ, phần có n đỉnh nói cách khác G K n n , 2  Nếu n G đồ thị phần đầy đủ, phần có n 1 đỉnh phần có n 1 đỉnh nói cách khác G K n1 n1 , 2 Định lý (Turan) Đồ thị G có n đỉnh k - tự do, số cạnh lớn đồ thị k  n2 k 1 Chứng minh Cách Ta chứng minh quy nạp Với n  1,2,3 mệnh đề Giả sử mệnh đề tới n 1, với n  Ta chứng minh mệnh đề với n Giả sử đồ thị G không chứa K k chứa K k1 khơng chứa ta bổ sung thêm cạnh Lấy K k1 G , bỏ K k1 G ta đồ thị G ' với n  k  đỉnh, theo giả thiết quy nạp ta có, số cạnh G ' tối đa k  (n  k  1)2 k 1 Số cạnh K k1 Ck1  (k  1)(k  2) Một đỉnh G ' phép nối với nhiều k  đỉnh K k1 nối nhiều tạo K k Nên số cạnh nối G ' K k1 tối đa (n  k  1)(k  2) Suy số cạnh tối đa G k  (n  k 1)2 (k  1)(k  2) k  n2   (n  k  1)(k  2)  k 1 2 k 1 Bài tốn Một nhóm người, người có người khơng quen Hỏi có cắp khơng quen nhau? Lời giải người đỉnh đồ thị, đỉnh nối với người quen Theo giả thiết đồ thị khơng có tam giác Nên theo định lý Mantel số cạnh nhiều 62  Vậy số cắp khơng quen C62   Bài tốn Một nhóm 11 người chơi cờ thời điểm, người có người chưa đấu với Chứng minh thời điểm có nhiều trận đấu xảy ra? Lời giải Xét đồ thị G có 11 đỉnh ứng với 11 kì thủ Hai đỉnh nối với hai kì thủ đấu với Theo đề đồ thị khơng có tam giác nên theo định lý Mantel số trận đấu Bài toán [MOSP 2011] Cho S  {x1 , x2 ,, xn } có n số thực Hai số thực phân biệt xi , x j gọi cặp “tốt”