TIẾP CẬN LÝ THUYẾT GRAPH Lời nói đầu Lý thuyết graph lĩnh vực rộng lớn có nhiều ứng dụng thực tiễn, nhiều ngành khoa học khác bao gồm toán học, vật lý, tin học…Ngày nay, lý thuyết graph trở thành công cụ thiếu phải giải vấn đề mang tính tổng thể trở thành lĩnh vực có phát triển vũ bão Nói riêng với mơn Tốn nhỏ thơi kỳ thi học sinh giỏi toán nước thi tốn quốc tế IMO, nhận thấy phần lớn toán rời rạc có liên quan đến lý thuyết graph Tuy vậy, chuyên đề nhỏ bé này, tác giả không mong muốn đem lại nhìn tổng thể graph ( khơng làm nổi) hay tiếp cận với định lý lớn, định lý lý thuyết graph mà đơn giản xem xét theo khía cạnh nhẹ nhàng mà học sinh phổ thơng sử dụng để giải số toán rời rạc mức độ thi olympic có liên hệ với lý thuyết Trong kỳ thi đó, nhiều toán thường phát biểu cách thực tế hấp dẫn học sinh chuyển hóa tốn sang ngơn ngữ graph, sử dụng hiểu biết graph đơn, vô hướng, hữu hạn, cộng với tư logic tốt linh hoạt giải tốn coi khó Theo cách này, lý thuyết graph ứng dụng cơng cụ giúp hỗ trợ cho việc hình dung ý tưởng rõ ràng, sáng sủa mà thơi, hay nói cách khác, ngôn ngữ dễ hiểu Tất nhiên, cần có thời gian để học thứ ngơn ngữ cần có nhiều thời gian để thành thạo ngôn ngữ Người ta phải bắt đầu với khái niệm nhất, tương tự từ vựng, sau để sử dụng ngơn ngữ cho tốt với vốn từ vựng ỏi, điểm mấu chốt thực hành thực hành thực hành thực hành… Tôi viết chuyên đề này, đơn giản theo nghĩa Hy vọng góp phần nhỏ bé giúp học sinh yêu toán cảm thấy lý thuyết graph phần kiến thức không q khó để tiếp cận, khơng phải có cao siêu mà đáng yêu hình học phẳng, toán đếm hay toán số học (Thú thật, việc hình thành chuyên đề phần thấy học sinh thường tỏ ngao ngán hay sợ hãi tuyên bố: “ Mai học lý thuyết graph nhé!”) Chuyên đề tiếp cận ban đầu với lý thuyết graph, đơn giản gồm phần lý thuyết graph với số ví dụ giúp học sinh thực hành khái niệm nêu để qua nhớ thấy khái niệm dễ hiểu hơn, đồng thời giúp trang bị số kết hữu dụng phần sau Tiếp phần với tập mức độ olympic, dùng kiến thức nêu graph, xếp theo trình tự từ dùng khái niệm, đến đan xen nhiều khái niệm Trong tốn, tơi cố gắng hết cỡ để viết cách nhẹ nhàng sáng Tuy vậy, quan điểm cá nhân thời gian hiểu biết hạn chế, khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong bạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung để chuyên đề ngày hoàn thiện, mở rộng hữu dụng Tác giả Nguyễn Thế Sinh Giáo viên chuyên Toán, trường THPH chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương Lý thuyết graph- ngôn ngữ hữu dụng giải toán rời rạc Graph, graph con, graph đầy đủ, graph vô hướng, graph đơn Xét tập hữu hạn, khác rỗng V tập E (V )  {{u, v}, u, v V , u  v} Ta gọi cặp G  (V , E ) với E  E (V ) graph (trên V) Một phần tử V gọi đỉnh G, phần tử E gọi cạnh G Tập đỉnh G ký hiệu VG tập cạnh G ký hiệu EG ( nói G trước nói đỉnh, cạnh G) Vậy G  (VG , EG ) Cặp e  {u, v} hay viết gọn lại uv , ta thường viết v, e  G thay viết v  VG e  EG Một graph G  (V , E ) cặp (V ', E ') cho V '  V , E '  E G '  (V ', E ') graph Đặt vG | VG | eG | EG | , ta gọi số đỉnh vG graph G bậc G số cạnh eG gọi kích thước graph G Với cạnh e  uv u,v gọi hai đầu mút cạnh e, đỉnh u v gọi hai đỉnh kề nhau, hai cạnh e1  uv e2  uw có chung điểm đầu mút gọi hai cạnh kề Một graph G biểu diễn hình vẽ mặt phẳng, đỉnh G biểu diễn điểm cạnh G biểu diễn đoạn thẳng đường cong nối điểm Nhờ vào điều mà tốn tập hợp biểu diễn cách rõ ràng hình vẽ dựa hình vẽ đó, tốn sáng tỏ Ví dụ Hình vẽ biểu diễn cho graph G với tập đỉnh V  {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 } tập cạnh E  {{v1 , v3 };{v1 , v2 };{v2 , v3};{v2 , v4 };{v5 , v6 }} v1 v3 v2 v4 v5 v6 Graph có bậc kích thước Ví dụ Hình vẽ biểu diễn cho graph G với tập đỉnh V  {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } tập cạnh E  {{v1 , v2 };{v2 , v2 };{v1 , v5 };{v1 , v5 };{v1 , v4 } } v3 v1 v2 v5 v4 Mặc dù hình vẽ trên, đường cong nối v1 v4 có điểm tự cắt, điểm tự cắt khơng coi biểu diễn cho đỉnh graph G Ngoài ra, có cạnh nối hai đỉnh v1 , v5 , ta nói graph có cạnh bội v1 , v5 có cạnh nối v2 với v2 gọi khuyên Một graph không chứa cạnh bội, không chứa khuyên gọi graph đơn Nếu cạnh graph rõ hướng, tức coi uv  vu , ta nói graph có hướng, ngược lại graph vô hướng Một graph G mà cặp đỉnh có cạnh nối chúng gọi graph đầy đủ Một graph đầy đủ có n đỉnh ký hiệu K n Với graph G  (V , E ) , graph bù G graph G với tập đỉnh V, tập cạnh cạnh nối đỉnh khơng nối với G Ta có E (G)  E (G)   graph (V , E (G )  E (G )) graph đầy đủ Từ trở đi, suốt phần lại chuyên đề, bàn đến graph đơn, vơ hướng hữu hạn Chỉ cần có thế, có hàng loạt tốn xử lý nhờ việc chuyển hóa theo ngơn ngữ graph Trong lời giải tập graph đóng vai trò hình vẽ trực quan mà thơi Bài Trong buổi hội, có 20 cặp vợ chồng Trước chia tay họ trao đổi địa với người khác Một người đàn ông nhận thấy số địa người lại nhận đơi khác Hỏi vợ ông ta trao đổi địa với người khác? Lời giải: Giả sử người đàn ơng nói đến A, ta thấy 39 người lại trao đổi với tối đa 38 người ( khơng trao đổi với vợ chồng họ), mà số địa nhận khác nên 0,1,2,…,38 Gọi Ai người trao đổi với i người Xét graph G với đỉnh Ai cạnh nối trao đổi với Ta có A0 khơng nối với đỉnh nên vợ chồng với A38 A38 nối với tất trừ A0 , A1 nối với A0 nên không nối với A37 , A37 nối với 37 đỉnh trừ A0 , A1 nên A37 A1 vợ chồng Cứ thế, Ai A38i vợ chồng, thừa A19 vợ A Vậy vợ ơng nói đến trao đổi với 19 người Bài [Rusia 2001] Trong bữa tiệc có 2n  người, với nhóm n người, tồn người ( khơng thuộc nhóm đó) quen tất họ Chứng minh tồn người quen tất người bữa tiệc Lời giải: Xét graph G có đỉnh 2n  người tham gia bữa tiệc, cạnh nối người quen Ta chứng minh tồn graph đầy đủ với n  đỉnh Khi xét n đỉnh lại, ln tồn đỉnh G0 nối với n đỉnh lại ( giả thiết) Rõ ràng đỉnh nối với tất đỉnh G Điều phải chứng minh Thật vậy, giả sử graph đầy đủ G1 có bậc lớn r Nếu r  n , tồn đỉnh u không thuộc G1 nối với tất đỉnh G1 ( G ) Vậy graph G1 với đỉnh u tất cạnh nối u với đỉnh thuộc G1 tạo thành graph đầy đủ có bậc r  Mâu thuẫn với tính lớn r Vậy tồn graph đầy đủ G0 có bậc  n  Bài tốn sau có ích cho nhiều tốn khác sau Bài Cho graph G, gọi  (G) số màu cần dùng để tơ màu đỉnh G cho khơng có hai đỉnh kề màu Gọi m số cạnh G Chứng minh  (G )   2m  Lời giải: Xét cách tô màu đỉnh G với k   (G) màu Ta phân chia đỉnh G thành k lớp đỉnh, lớp gồm đỉnh tơ màu Nếu có lớp mà khơng có cạnh nối từ đỉnh thuộc lớp sang đỉnh thuộc lớp ta giảm số màu cần tơ cách tơ hai lớp đỉnh màu Điều mâu thuẫn với tính nhỏ k Vậy hai lớp có cạnh nối từ đỉnh thuộc lớp sang đỉnh thuộc lớp Vậy m 1 k (k  1) ta có k   (G )   2m  Bài Một nước có 2n thành phố, số cặp thành phố có đường đến với Chứng minh chia đất nước thành hai bang S T cho bang chứa n thành phố nửa số đường nối từ thành phố S sang thành phố T Lời giải: Xét graph G với đỉnh thành phố cạnh nối thành phố có đường đến với Gọi số cạnh G x Giả sử chia tập đỉnh G thành hai nửa S T cho x cạnh nối từ đỉnh S sang đỉnh T , nghĩa x với cách chia, số cạnh nối hai tập S T nhỏ nửa chứa n đỉnh Ta xét cách chia cho số cạnh nối đỉnh thuộc S với đỉnh thuộc T nhiều k Suy k  x Gọi số cạnh nối đỉnh S f ( S ) , T f (T ) Với đỉnh u bất kỳ, gọi g  (u ) số cạnh nối từ u đến đỉnh thuộc tập với u g  (u ) số cạnh nối từ u đến đỉnh thuộc tập lại Trước hết, ta chứng minh tồn đỉnh u cho g  (u )  g  (u ) Giả sử ngược lại, với đỉnh v  G có g  (v)  g  (v) Ta g vS  (v)  f ( S )   g  (v)  k Tương tự có f (T )  k vS Suy f ( S )  f (T )  k nên x  f (S )  f (T )  k  2k  x Mâu thuẫn Vậy tồn đỉnh u cho g  (u )  g  (u ) Gọi u đỉnh G mà g  (u )  g  (u ) lớn nhất, gọi hiệu m Giả sử u thuộc tập S Nếu tập T có đỉnh v mà g  (v)  g  (v) ta đổi chỗ đỉnh u v cho Ban đầu, số cạnh nối hai tập S T có đỉnh u v g  (u )  g  (v)   , với   u , v kề   u , v không kề nhau, sau chuyển, số cạnh nối hai tập S T có đỉnh u v g  (u )  g  (v)   Rõ ràng g  (u )  g  (v)  g  (u )  g  (v) nên số cạnh nối S T tăng đổi chỗ hai đỉnh Mâu thuẫn với giả thiết lớn số k Vậy đỉnh v  T có g  (v)  g  (v) Ta chứng minh tồn đỉnh e thuộc tập T cho g  (e)  g  (e)  m Giả sử ngược lại, g  (e)  g  (e)  m với e  T Suy  (g eT  (e)  g  (e))  nm nên k   g  (e)   g  (e)  nm hay k  f (T )  nm (1) eT eT Xử lý tương tự cho tập S , f ( S )  k  mn  f ( S )  mn  k (2) Từ (1) (2) f ( S )  f (T )  k Lập luận tương tự trên, ta mâu thuẫn Vậy có điều phải chứng minh Bài [ Italy TST 2007] Có n người sống ngơi làng Với người bất kỳ, ln có đường từ nhà người đến nhà tất người lại Người ta muốn trồng nhà lối nhà cho loại nhà người A khác với loại trồng đường đến nhà A Loại trồng đường khác đến nhà khác Hỏi cần loại Lời giải: Trước hết, ta chuyển tốn theo ngơn ngữ graph cho dễ hình dung Xét graph đầy đủ có n đỉnh Yêu cầu tốn tơ màu cạnh đỉnh graph cho hai cạnh chung đỉnh không tô màu với cạnh bất kỳ, hai đỉnh cạnh khác màu dùng để tơ cạnh Cần tìm số màu tối thiểu để tơ Giả sử cần s màu để tô, xét đỉnh đỉnh khác màu tất cạnh xuất phát từ nó, nên có s  n Rõ ràng dấu xảy tính cân xứng Tuy nhiên ta cần rõ cách tô n màu thỏa mãn Đánh số đỉnh graph 1, 2,3,, n , tô màu cạnh nối hai đỉnh i,j màu i  j (mod n) Chẳng hạn tô màu cho cạnh 12 màu số Khi cạnh có chung đỉnh tơ khác màu Chẳng hạn cạnh ab ac tô màu a  b(mod n) a  c(mod n) Nếu a  b  a  c(mod n) b  c(mod n) , suy b  c Mâu thuẫn Tiếp đó, ta tơ màu đỉnh màu lại chưa dùng để tơ cạnh đến đỉnh Rõ ràng cách tơ thỏa mãn đề Vậy số màu tối thiểu cần để tô n Một biến thể khác toán sau: Bài Cho n số nguyên dương lẻ Có n máy tính cặp máy tính kết nối sợi cáp Tô màu máy tính sợi cáp cho khơng có hai máy tính màu, khơng có sợi cáp nối với máy tính mà màu khơng máy tính màu với cáp nối đến Chứng minh dùng n màu để tô Lời giải: Ta thấy rõ mơ hình graph đầy đủ với n đỉnh, đỉnh máy tính sợi cáp nối cạnh Sự khác biệt so với tốn là: Các đỉnh tơ màu khác ( không yêu cầu) n số lẻ ( khơng có) Tuy vậy, cách làm cách tô với n màu thỏa mãn đề Cách Tô màu đồng thời đánh số đỉnh với màu 0,1, 2, n  Ta xét cạnh {i, j} Do n lẻ nên tồn số i  j i  j  n số chẵn, ta gọi số t Tô màu cạnh với màu t Ta chứng minh cách tơ màu ta cần Trước hết, với đỉnh i , cạnh đến khơng thể tơ màu i có cạnh {i, j} tơ màu i t  2i , tức i  j  2i i  j  n  2i hay i  j j  n  i , i  j n j i Tiếp đó, hai cạnh nối đến đỉnh tô màu, giả sử cạnh {I , j} {i, k} tơ màu Khi i  j  i  k i  j  i  n  k i  n  j  i  k i  j  n  i  j  k Tất điều khơng thể xảy Ta có điều phải chứng minh Cách Đặt n đỉnh vào đường tròn để thành n đỉnh n-giác tâm O Giả sử đỉnh A1 , A2 ,, An Với i  1, 2, n , ta tơ màu i cho cạnh vng góc với OAi đỉnh Ai A1 A5 A2 O A4 A3 Rõ ràng với cách tơ hai đỉnh khác màu Do cạnh chung đỉnh cắt nên khác màu ( chúng màu phương) khác màu đỉnh ( cạnh qua đỉnh khơng thể vng góc với đoạn nối tâm với đỉnh được) Ngồi với cách làm đó, giá trị i có n 1 n(n  1) cạnh tô màu, nên cuối có cạnh tơ, tức tất 2 cạnh graph đầy đủ tơ Bài [IMO shortlist 2001] Có bữa tiệc với n người tham dự Ta gọi nhóm bạn k người nhóm người mà hai người quen Giả sử cặp nhóm bạn người có người chung khơng có nhóm bạn người Chứng minh tồn người mà họ rời khỏi bữa tiệc chẳng nhóm bạn người Lời giải: Xét graph n đỉnh đại diện cho n người, người quen nhau, ta nối họ cạnh Như vậy, ta có graph mà cặp tam giác có đỉnh chung khơng có graph đầy đủ cạnh Giả sử khơng thể bỏ đỉnh mà sau khơng tam giác Trước hết, ta chứng minh graph khơng có graph đầy đủ cạnh (*) Thật vậy, giả sử có graph cạnh đầy đủ {x1 , x2 , x3 , x4 } +) Nếu graph khơng có tam giác khác tam giác tạo từ đỉnh trên, ta bỏ hai đỉnh đỉnh Trái giả sử +) Nếu tam giác (x,y,z) (x,y,z) ( x1 , x2 , x3 ) chung đỉnh nên đỉnh x1 , x2 , x3 thuộc tập {x,y,z}, giả sử x1 , (x,y,z) chung đỉnh với ( x2 , x3 , x4 ) nên tồn số x2 , x3 , x4 thuộc tập {x,y,z} Tóm lại: Mọi tam giác khác chung đỉnh với graph cạnh đầy đủ Mặt khác, có tam giác có đỉnh {x, x1 , x2 } {x, x3 , x4 } chẳng hạn, {x, x1 , x2 , x3 , x4 } lập thành graph đầy đủ cạnh Mâu thuẫn Vậy ta bỏ đỉnh x1 , x2 làm hỏng tam giác ( Vì có tam giác khơng hỏng phải có hai đỉnh x3 , x4 ) Ta chứng minh xong khẳng định (*) Bây giờ, xét tam giác ABC bất kỳ, tam giác khác chứa đỉnh A, B C Giả sử không tồn tam giác đỉnh A mà khơng có đỉnh B C, tức tam giác chứa đỉnh A chứa them đỉnh B C Bỏ đỉnh B C hỏng tam giác Mâu thuẫn Vậy, tồn tam giác ADE mà D,E khác B,C Tương tự có tam giác BFG mà F,G khác A,C tam giác CHK mà H,K khác A,B Do ADE BFG chung đỉnh nên giả sử D=F Khi ta có tam giác BDA CHK có đỉnh chung nên H K trùng D, chẳng hạn H=D Khi ABCD graph đầy đủ đỉnh Mâu thuẫn Bài [IMO 2007] Trong thi tốn, có vài thí sinh bạn Tình bạn ln chiều Ta gọi nhóm thí sinh hội hai người nhóm quen Số phần tử hội gọi size hội Biết thi này, size hội lớn số chẵn Chứng minh chia thí sinh thành phòng cho size lớn hội phòng size lớn hội phòng Lời giải: Xét graph có đỉnh thí sinh cạnh nối hai thí sinh quen Khi đó, graph đầy đủ nhiều đỉnh có số chẵn đỉnh Ta cần chứng minh tồn cách chia đỉnh graph thành phần mà graph đầy đủ phần có size Gọi K graph đầy đủ có size lớn 2k Ban đầu ta chia tập đỉnh thành phần X Y, X graph đầy đủ K Y phần lại Ta gọi f(A) size graph đầy đủ lớn graph A +) Nếu f ( X )  f (Y ) , toán giải +) Nếu f ( X )  f (Y ) tính lớn f ( X ) , ta có f ( X )  f (Y ) Nhận thấy bớt đỉnh X sang Y, lại X f ( X )  f ( X )  , f(Y) giữ nguyên tăng lên Nếu tồn n cho bỏ n phần tử X sang Y, f ( X n )  f (Yn ) tốn giải Nếu khơng tồn n thế, phải tồn số t cho f ( X t )  r , f (Yt )  r  Khi ta bỏ t phần tử tập X sang tậpY, phần tử lập thành tập Z Rõ rang t | Z | k t  k  f ( X t )  2k  t  k  1, f (Yt )  k  Mâu thuẫn  Nếu tồn phần tử x Z không thuộc giao graph đầy đủ Yt có size r+1, ta chuyển quay trở lại X, f ( X t  {x})  r   f (Yt  {x}) , toán giải  Nếu phần tử Z thuộc giao tất graph đầy đủ Y có size r+1 Với graph đầy đủ đó, ta chuyển phần tử nó, khơng thuộc Z quay trở lại X Rõ rang phần tử với X t tạo thành graph đầy đủ ngược lại, phần tử tạo với Z X t graph đầy đủ nên ta có graph đầy đủ X t  Z  {x}  X  {x} có size lớn X Mâu thuẫn với tính lớn X Ngoài ra, sau chuyển tất phần tử ( tạo nên tập U) quay lại X f (Y  U )  r Gọi N graph đầy đủ X t  U có | N | lớn X, ta chứng minh | N | r Thật vậy: N  Z graph đầy đủ nên | N  Z | 2k | N |  | Z | 2k | X t |  | Z | , tức | N || X t | r Điều phải chứng minh Vậy ln chia thí sinh thành phòng cho thỏa mãn đề Tiếp theo, với khái niệm bậc đỉnh, graph, khái niệm dãy đỉnh liên tiếp, chu trình…, tốn giải lại thêm đa dạng, phong phú Dãy đỉnh kế tiếp, đường, dãy đỉnh khép kín, chu trình Một dãy đỉnh dãy đỉnh v0 , v1 ,, vk mà đỉnh vi kề với đỉnh vi 1 với i  1, 2,, k  ( có cạnh nối hai đỉnh này), đỉnh lặp lại Ví dụ ( x1 , x2 , x3 , x5 , x6 , x7 , x5 , x4 ) dãy đỉnh đỉnh x5 lặp lại Một đường dãy đỉnh khơng có đỉnh bị lặp lại Ví dụ: ( x1 , x2 , x3 , x5 , x4 ) dãy đỉnh đường Một dãy đỉnh khép kín dãy đỉnh có điểm đầu cuối trùng Một chu trình dãy đỉnh khép kín có điểm đầu cuối trùng Chu trình qua tất đỉnh lượt gọi chu trình Halmington Hai dãy đỉnh ( dãy đỉnh khép kín, đường, chu trình) gọi rời chúng khơng có đỉnh chung Ví dụ Xét graph biểu diễn hình vẽ sau: v3 v6 v5 v1 v2 v7 v4 v8 Trong graph này, (v1 , v2 , v3 , v5 , v6 , v7 , v5 , v4 ) dãy đỉnh kế tiếp; (v1 , v2 , v3 , v5 , v4 ) đường; (v4 , v2 , v3 , v5 , v7 , v6 , v5 , v4 ) dãy đỉnh khép kín; (v4 , v2 , v3 , v5 , v4 ) chu trình Các dãy đỉnh (v1 , v2 , v3 ) (v4 , v5 , v7 , v6 , v5 , v8 ) rời Bậc đỉnh, độ dài đường, độ dài chu trình Cho graph G đỉnh v0 , v0 kề với k đỉnh khác G ta nói bậc đỉnh v0 k, ký hiệu d (v0 )  k Trong trường hợp graph có hướng kí hiệu d  (v0 ) d  (v0 ) số cạnh xuất phát từ v0 đến v0 tương ứng Ta có d (v0 )  d  (v0 )  d  (v0 ) Với graph G tập đỉnh {vi } , ta ký hiệu (G) số lớn số d (vi )  (G) số nhỏ số d (vi ) Ví dụ v1 v3 v2 v4 v5 v6 Với hình vẽ (G)  3;  (G)  d (v1 )  d (v3 )  2; d (v2 )  3; d (v4 )  d (v5 )  d (v6 )  Độ dài đường số cạnh nó, số đỉnh trừ Độ dài chu trình số cạnh nó, ln số đỉnh Sau ví dụ hay sử dụng Ví dụ Cho graph G với u, v đỉnh Nếu có dãy đỉnh xuất phát từ u, kết thúc v có đường xuất phát từ u kết thúc v Lời giải: Nếu có chu trình dãy đỉnh {u0 , u1 , u2 ,, uk , uo } , ta bỏ đỉnh {u1 , u2 , , uk } Lặp lại đến khơng chu trình Đương nhiên phần lại đường Ví dụ Cho graph G hai đỉnh v1 , v2 Biết có dãy đỉnh liên tiếp từ v1 đến v2 , có độ dài chẵn, có độ dài lẻ Chứng minh G có chu trình với độ dài lẻ Lời giải: Đơn giản ghép dãy đỉnh liên tiếp lại, bỏ chu trình thừa xong Nếu chu trình thừa có chu trình độ dài lẻ, ta lấy ln chu trình làm kết quả, chu trình thừa có độ dài chẵn, chu trình cuối thu có độ dài lẻ Cụ thể Giả sử G khơng có chu trình có độ dài lẻ hai dãy đỉnh liên tiếp từ v1 đến v2 (v1 , x1 , x2 ,, xk , v2 ) độ dài chẵn (v1 , y1 , y2 , , yl , v2 ) độ dài lẻ Nếu dãy đỉnh liên tiếp có chứa chu trình Chẳng hạn (v1 , x1 , x2 ,, xk , v2 ) chứa chu trình ( x j , x j 1 , , x p  x j ) chu trình có độ dài chẵn dãy đỉnh (v1 , x1 , , x j 1 , x j , x p 1 , , v2 ) có độ dài chẵn Cứ tiếp tục đến ta đường từ v1 đến v2 độ dài đường chẵn Tương tự từ dãy đỉnh liên tiếp (v1 , y1 , y2 , , yl , v2 ) ta đường độ dài lẻ Kết hợp hai đường v1 , v2 ta chu trình với độ dài lẻ *Ví dụ Cho graph hữu hạn với tập đỉnh V  {v1 , v2 ,, } tập cạnh E Khi n  d (v )  | E | i i 1 Hệ quả: Nếu G graph có số lẻ đỉnh có số lẻ đỉnh có bậc chẵn Lời giải: Gọi x số cặp (v, e) với v đỉnh graph e cạnh chứa đỉnh v Ta đếm x theo cách Với đỉnh v, có d(v) cạnh e gắn với nên có d(v) cặp (v,e) Vậy x   d (v) vG Mặt khác, với cạnh e, có đỉnh v gắn với nó, nên số cặp x  | E | Vậy x   d (v)  | E | vG Hệ quả: Nếu G có số chẵn đỉnh bậc chẵn có số lẻ đỉnh bậc lẻ, tức tổng bậc số lẻ Mâu thuẫn kết Ví dụ [Balkan MO 2002] Cho G graph thỏa mãn đỉnh có bậc khơng nhỏ Chứng minh graph có chu trình chẵn Lời giải: Xét đường có độ dài lớn G u1 , u2 , , uk Do u1 có bậc lớn nên tồn đỉnh x,y khác u2 nối với u1 Nếu x , y không thuộc tập S  {u1 , u2 ,, uk } ta có đường dài đường ban đầu nhờ nối thêm x y Vậy x y thuộc tập S, nên x  ui , y  u j với i, j {1, 2,, k} Như vậy, ta tạo chu trình {u1 , u2 ,, ui };{u1 , u2 ,, u j } , hai chu trình lẻ chu trình cần tìm {u1 , ui , ui 1 ,, u j } chẵn Graph chia đôi Trong graph G, V’ tập đỉnh nó, gọi độc lập khơng có cạnh nối đỉnh G coi chia đơi có tách thành phần độc lập Một graph gọi chia đôi đầy đủ G chia đôi gọi A B tập đỉnh chia đơi đỉnh thuộc A nối với đỉnh thuộc B Ta ký hiệu graph G K m,n | A | m,| B | n Ví dụ Hình vẽ sau biểu diễn graph chia đôi với thành phần X  {v1 , v2 , v3 , v4 }; Y  {v5 , v6 , v7 , v8 } Nhưng khơng phải graph chia đơi đầy đủ v1 v5 v2 v6 v3 v4 v7 v8 Dễ thấy graph chia đôi thành phần liên thơng chia đơi n2 có nhiều cạnh Tuy nhiên ví dụ sau mơ tả tốt graph chia đơi *Ví dụ Chứng minh graph chia đơi chu trình có độ dài chẵn Lời giải: Trước hết, ta chứng minh G có chu trình độ dài lẻ khơng chia đơi Gọi chu trình có độ dài 2n  giả sử G chia đơi tập độc lập thu X Y Khi tồn tập chứa n  đỉnh chu trình, n  đỉnh phải có đỉnh kề Điều mâu thuẫn đỉnh X Y không nối với Ngược lại, G khơng có chu trình có độ dài lẻ Ta cách chia đơi G Vì graph chia đơi thành phần liên thơng chia đôi nên ta cần xét G liên thông Xét hai tập X, Y ban đầu tập rỗng Chọn đỉnh v0 G vào tập X Xét đỉnh v1 , lấy dãy đỉnh từ v0 đến v1 , độ dài dãy đỉnh chẵn, ta đưa v1 vào X, ngược lại đưa v1 vào Y Ta thấy v1 thuộc X Y thế, nối với v0 theo hai dãy đỉnh kế tiếp, ta chu trình có độ dài lẻ Nếu có đỉnh p1 p2 Y kề xét dãy đỉnh từ v0 đến p1 , độ dài phần lẻ, thêm cạnh p1 p2 p2v0 , ta chu trình có độ dài lẻ Mâu thuẫn Vậy đỉnh Y không nối với nhau, nghĩa Y độc lập Tương tự với tập X, ta X độc lập Với thêm hiểu biết bậc graph chia đơi được, ta giải thêm nhiều toán phức tạp khác Bài Trong kỳ nghỉ hè, có người bạn nghỉ mát nơi khác Họ hứa viết thư gửi ảnh cho người số họ Chứng minh có người không viết thư trả lời người viết thư cho Lời giải: người ứng với đỉnh graph Giả sử tất người nhận thư trả lời thư Khi quan hệ nhận thư-trả thư hai người xem cạnh graph với đỉnh Như thế, ta graph có đỉnh ( lẻ) đỉnh bậc ( số lẻ đỉnh bậc lẻ) Mâu thuẫn Vậy có người khơng viết thư trả lời người viết cho Bài Trong lớp có em học sinh chơi thân với số lẻ bạn Chứng minh có em học sinh chơi thân với số chẵn bạn lớp Lời giải: Giả sử A0 chơi thân với số lẻ bạn A1 , A2 ,, A2 n 1 Xét graph 2n+1 đỉnh A1 , A2 ,, A2 n 1 với cạnh nối người thân Rõ ràng graph lẻ đỉnh phải tồn đỉnh có bậc chẵn Ai Khi Ai A0 chơi thân với số chẵn bạn Bài Trong thi Toán, có thí sinh có tốn Mỗi tốn giải thí sinh Chứng minh có thí sinh mà hợp người họ giải Lời giải: Xét graph với đỉnh cặp thí sinh {a, b} toán c Nếu toán c giải hai người a b ta nối cạnh {a, b} c Không nối {a, b} với toán với Tức ta graph chia đôi thành hai tập X , Y mà X tập cặp thí sinh Y tập toán Vậy bậc đỉnh c thuộc Y 5.4  5.3  25 ( có hai loại đỉnh X có nối với c  Y : loại cặp {a, b} mà a b nối với đỉnh c , loại có C52 cặp; loại cặp {a, b} mà có hai nối với c , chọn đỉnh nối với c có cách, đỉnh lại có cách) nên tổng số cạnh 25.8  200 Có 8.7 200  28 đỉnh X nên bậc trung bình đỉnh X  Do tồn đỉnh X có bậc điều phải chứng minh Bài [IMO 1990] Có 2n  điểm đường tròn, k điểm số chúng tơ đen Ta nói cách tơ màu tốt tồn hai điểm màu đen mà hai cung tròn xác định hai điểm có n điểm Tìm k nhỏ cho cách tô màu k điểm tốt Lời giải: Xét graph G với đỉnh điểm cho vẽ cạnh nối hai đỉnh mà hai cung tròn tạo hai đỉnh chứa n điểm Ta phải số k nhỏ để tô màu k đỉnh bất kỳ, ln có đỉnh kề tơ màu Rõ ràng đỉnh graph G có bậc nên G hợp chu trình rời Nếu ta đánh số đỉnh 1, 2,, 2n  theo thứ tự đường tròn kề với n  n  kề với 2n   4(mod 2n  1) Vậy nằm chu trình Nếu 2n  khơng chia hết cho G chứa chu trình nên k  n số nhỏ cần tìm Nếu 2n  chia hết cho graph G gồm chu trình với độ dài 2n  1 2n  n2  Ta tô màu nhiều đỉnh chu trình mà khơng có 3 n2   n  số cần tìm đỉnh kề Vậy k  3 Bài Cho graph G có 2017 đỉnh đỉnh có bậc 93 Chứng minh tồn chu trình có độ dài khơng vượt q 63 Lời giải: Giả sử chu trình G có độ dài tối thiểu 64 Gọi chu trình ngắn C  (v1 , v2 , , , v1 ) với n  64 Với vi , đặt vi ,1 , vi ,2 , vi ,m đỉnh kề với vi mà không thuộc chu trình di bậc vi i Ta có di  93   91 đỉnh có đỉnh kề với chu trình Nếu vi ,a  v j ,b  x với i, j , a, b +) Nếu | i  j | , xét chu trình v0 ,, vi , x, v j ,, , v0 Đây chu trình có độ dài nhỏ chu trình C thêm hai cạnh vi x xv j bớt cạnh vi vi 1 , vi 1vi  ,, v j 1v j Mâu thuẫn với tính ngắn C +) Nêu | i  j | vi , vi 1 , , v j , x, vi tạo chu trình có độ dài nhiều Mâu thuẫn Từ vi ,a  v j ,b với i  j , tức đỉnh C nối với 91 đỉnh khác hai đỉnh C khơng nối tới đỉnh ngồi chu trình Suy số đỉnh ngồi chu trình 64.91, từ G có 91.64  64  2017 đỉnh Mâu thuẫn Vậy tồn chu trình có độ dài khơng vượt q 63 Điều phải chứng minh Bài [APMO 1989] Gọi S tập gồm m cặp (a, b) số nguyên dương thỏa mãn  a  b  n Chứng minh tồn Lời giải: m(4m  n ) (a, b, c) mà (a, b);(a, c), (b, c) thuộc S 3n Xét graph với đỉnh số nguyên 1, 2, n Một cạnh nối x y ( x, y) ( y, x) thuộc S Một ba đỉnh gọi “tốt” có cạnh nối đỉnh chúng Gọi d ( x) số cạnh chứa x Xét hai đỉnh x y nối với nhau, ta có d ( x)  d ( y)  cạnh nối với n  đỉnh lại có d ( x)  d ( y)   (n  2) đỉnh nối với x y Vậy có d ( x)  d ( y)  n tốt chứa x y Vậy tổng số tốt d ( x)  d ( y )  n Ta có ( x , y )S  n  ( x , y )S n Vậy d ( x)  d ( y )  n   ( x , y )S (d ( x)  d ( y ))   d ( x) x 1 n  d ( x)2  nm x 1 ( d ( x))  x 1 3n  nm m(4m  n )  3n n  d ( x)  2m x 1 Ta có điều phải chứng minh Bài [Croatian TST 2015 ;Belarussian National Olympiad 2014] Có n thành phố nước, số thành phố có đường bay đến thành phố khác khơng có thành phố có đường bay thẳng đến tất thành phố khác Với hai thành phố ( A, B) bất kỳ, ln có cách sử dụng nhiều chuyến bay để từ A đến B ngược lại Chứng minh n  số phương Lời giải: Gọi G graph với đỉnh thành phố v1 ,, cạnh nối thành phố có đường bay chúng Gọi di Ai bậc tập đỉnh kề với đỉnh vi Ta đếm số đỉnh G theo hai cách Hiển nhiên cách cho đáp số n Bây chọn đỉnh vi nào, ta nhận thấy đỉnh Ai không nối với ( ngược lại, chẳng hạn u v nối với có đường (u, vi , v) (u, v) từ u đến v mà cần nhiều chuyến bay) Hơn đỉnh w không thuộc Ai phải nối với đỉnh Ai ( w không nối với đỉnh Ai từ vi đến w khơng thể có đường bay với chuyến bay, w nối với hai đỉnh Ai có hai đường bay thỏa mãn.)    d( x)     Vậy số cách chọn w xAi deg( x)  nên số đỉnh G  di xAi d( x)  n tức x Ai  xAi d( x)  n  Đặt M  max1i n (d(vi )), m  min1i n (d(vi )) giả sử d (vk )  M , d (vl )  m Ta có mM   xAl deg( x)  n  (1) Mm   xAk deg( x)  n  (2) Vậy Mm  n  Như nghĩa dầu xảy (1) (2), suy đỉnh có bậc M đỉnh kề có bậc m ngược lại, đỉnh bậc m đỉnh kề có bậc M (3) Vậy tất đỉnh thuộc Ak có bậc m đỉnh kề có bậc M Vậy đỉnh khơng thuộc Ak có bậc M ( đỉnh kề với đỉnh Ak ) b1 (M) a1 (m) a2 (m) c(m) a3 (m) vk (M) aM (m) Xét đỉnh b1 khơng thuộc A, khác vk b1 có bậc M Tuy nhiên b1 kề với đỉnh Ak m  nên b1 kề với đỉnh c khác vk không thuộc Ak Vậy d (c)  m Mặt khác c lại kề với đỉnh Ak nên d (c)  M Ta m  M nên n   m2 số phương Điều phải chứng minh Bài [Bulgaria 2004] Có nhóm n khách du lịch mà người lại có người khơng quen Biết chia họ lên xe bus theo cách nào, xe bus có người quen Chứng minh tồn người khách du lịch quen nhiều 2n người lại Lời giải: Ta có graph khơng có tam giác nào, khơng chia đơi ( tương đương với việc tồn chu trình lẻ) Xét chu trình lẻ ngắn X  {u0 , u1 , u2 ,, uk } , k  chu trình đơn, tức khơng có đường chéo khơng phải có chu trình lẻ ngắn tạo đường chéo Xét đỉnh u bên ngồi, khơng có tam giác nên u không nối với đỉnh kề nhau, ta chứng minh u nối với tối đa đỉnh X Thật vậy, trước hết ta chứng minh u nối với đỉnh X u phải nối với đỉnh kề đỉnh chu trình X Nếu ngược lại, giả sử u nối với ui , u j với i  j  ui u j chia X thành đường, có số chẵn cạnh (  cạnh) đường có số lẻ cạnh Thay phần chẵn u , ui , u j ( có cạnh), ta chu trình lẻ ngắn cạnh Mâu thuẫn Bây giờ, u nối với đỉnh X, tồn đỉnh khơng kề với đỉnh, mâu thuẫn Vậy, đỉnh X nối với nhiều đỉnh X Xét số cặp (u, v) với u thuộc X, v không thuộc X, u nối với v Với u, có d(u)-2 đỉnh v nối với u ( trừ đỉnh kề với v X), nên có (  d (u )  2k cặp Mặt khác, đếm theo v u X đỉnh v có đỉnh u, số cặp nhỏ 2(n-k) Tức  d (u )  2k  2(n  k )   d (u)  2n Gọi v đỉnh có bậc nhỏ X d (v)  u X uX 2n n  k 5 Matching ( ghép cặp được) Cho graph G, ta nói graph G’ G matching G đỉnh có bậc Nếu G’ matching có số chẵn đỉnh chia thành cặp đỉnh rời Mọi matching G’ chia đôi thành phần ( sau chia đơi) có chung số đỉnh Ta nói G’ matching hồn hảo dùng đỉnh G Với tập V’ V, hàng xóm V’ tập đỉnh kề với đỉnh V’, ký hiệu (V ) Chú ý G graph chia đôi hai thành phần X Y, V’  X (V ')  Y Ví dụ Hình vẽ sau biểu diễn graph chia đôi với thành phần X  {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 } Y  {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 } v1 v2 u1 u2 u3 v3 v4 v5 v6 u4 u5 u6 Xét G’ graph với tập đỉnh tập đỉnh G cạnh v1u4 , v2u6 , v3u2 , v4u1 , v5u3 , v6u5 G’ matching hoàn hảo Xét S  {v1 , v2 } ( S )  {u1 , u4 , u6 } Ví dụ G graph có 2n đỉnh cho đỉnh có bậc lớn n Chứng minh G có matching hoàn hảo Lời giải: Ta chứng minh quy nạp theo số cặp đỉnh matching Ban đầu, lấy cặp đỉnh kề bất kỳ, ta ln có matching với cặp đỉnh Giả sử ta có matching với r cặp đỉnh, r  n Ta chứng minh tìm matching với r  cặp Gọi A tập 2r đỉnh matching B tập đỉnh lại G Nếu tồn cạnh hai đỉnh B , ta thêm cặp đỉnh vào matching Nếu không, cạnh nối từ đỉnh B sang đỉnh A Gọi a b đỉnh B có 2n cạnh nối với điểm Trong A có r cặp đỉnh 2n ]  cạnh phải đến cặp Giả sử cặp r (u, v) Rõ ràng cạnh khơng đến đỉnh a b từ đỉnh u, v nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn [ nên phải có cạnh đến a có cạnh đến b Nếu ta bỏ cạnh {u, v} ta sử dụng đỉnh {a, b, u, v} để tạo thành cặp đỉnh kề số cặp matching tăng lên Đây điều phải chứng minh *Ví dụ [Định lý Hall] G Graph chia đôi với thành phần X Y thỏa mãn: |X|=|Y| Khi G có matching hồn hảo |S|  | ( S ) | với S  X Lời giải: Trước hết nhận xét G có matching hồn hảo rõ ràng S  X đỉnh S tương ứng với đỉnh cặp Y nên | S || ( S ) | Ngược lại, | S || (S ) | S  X ta phải chứng minh G có matching hoàn hảo Ta chứng minh quy nạp theo n | X | Nếu n  , hiển nhiên có đỉnh số hàng xóm S lớn nên hai đỉnh nối với Ta có matching hồn hảo Giả sử với k  n , kết Ta chứng minh kết | X | n Trường hợp Tồn tập thực S X mà | S || (S ) | Đặt (S )  T X '  X  S ; T '  Y  T Chú ý graph G ' tạo từ đỉnh S T có cạnh tương ứng thỏa mãn điều kiện giả thiết có n đỉnh, nên có matching hồn hảo G ' Gọi A  S ' | ( S  A) || S  A || S |  | A || T |  | A | nên tồn | A | đỉnh không thuộc T mà kề với S  A Do T  (S ) , đỉnh kề với đỉnh A Vậy graph tạo từ S ' T ' thỏa mãn điều kiện giả thiết thành phần có n đỉnh, có matching hoàn hảo Vậy G chứa matching hoàn hảo Trường hợp | ( S ) || S | 1 với tập thực S X Gọi x đỉnh tùy ý X y đỉnh kề với x Đặt T  Y  { y} S  X  {x} Nhận thấy S '  S | (S ') || S ' | 1 , nên tồn | S ' | đỉnh khác y kề với S ' Graph tạo từ S T thỏa mãn điều kiện giả thiết có thành phần có n đỉnh nên có matching hoàn hảo Thêm cạnh {x, y} vào ta matching hồn hảo Bài [USAMO 1989] Có 20 vận động viên tennis chơi 14 trận cho người số họ chơi trận Chứng minh có trận mà 12 người khác chơi Lời giải: Xét graph G có 20 đỉnh 14 cạnh Chứng minh có matching cạnh Giả sử matching có tối đa cạnh Xét matching có số cạnh lớn k cạnh, k  Khi cặp đỉnh ngồi matching ( 20-2k đỉnh) khơng thể nối với Như đỉnh nối với đỉnh matching, nên số cạnh tối đa không thuộc matching 202k Vậy tổng số cạnh không vượt 20  2k  k  20  k  15 Mâu thuẫn Ta có điều phải chứng minh Bài [IMO training 2008, Adrian Tang] Cho n số nguyên dương gọi S1 , S2 ,, Sn tập tập {1, 2,, n} cho với k ,1  k  n , hợp k số tập Si chứa k phần tử Chứng minh tồn hoán vị (a1 , a2 ,, an ) (1, 2,, n) mà  Si Lời giải: Xét graph G chia đôi với đỉnh Si i (1  i  n) , hai thành phần X  {S1 , S2 ,, Sn } Y  {1, 2, n} Nếu i  S j , ta nối chúng cạnh Theo giả thiết k đỉnh thuộc X , có k cạnh nối từ đỉnh thuộc Y đến chúng Giả thiết định lý Hall thỏa mãn nên G có matching hồn hảo Matching hoán vị thỏa mãn đề Bài [Kazakhstan 2003] Cho hai tờ giấy kẻ ô vuông có diện tích 2003 Mỗi tờ chia thành 2003 đa giác có diện tích ( cách chia khác nhau) Để chồng tờ giấy lên Chứng minh đâm 2003 nhát kim xuyên vào tờ giấy cho 4006 đa giác bị đâm Lời giải: Gọi G graph với 4006 đỉnh, đỉnh đa giác có diện tích đề cho Ta nối cạnh hai đỉnh ( đa giác) chúng nằm hai tờ giấy khác để chồng lên chúng có điểm chung Chú ý S tập k đa giác tờ giấy thứ phủ miền có diện tích k Vậy để phủ cần k đa giác thuộc tờ thứ Theo định lý Hall, ta có matching hồn hảo Sử dụng matching này, ta xác định chỗ cần đâm kim thỏa mãn đề Bài Cho bảng vuông n  k với k