Đang tải... (xem toàn văn)
Sau bao năm chinh chiến tôi dung đã thu lượm được một vài bí kíp về các môn học trong rất nhiều hoàn cảnh khác nhau , nghe có vẻ giống phim trung quốc , mỗi lần rơi xuống vực lại có một bí kíp võ công mới xuất hiện. Nhưng phải nói rằng người may mắn cũng phải có một tố chất nào đó nhất định, yếu tố đọc hiểu được đặt lên đầu tiên và yếu tố còn lại là hoàn cảnh và sự thấm nhuần khi chúng ta không còn việc nào khác để làm . Tôi thấy tài liệu này khá thú vị và phù hợp cho giáo viên cũng như học sinh, hi vọng còn có thể cung cấp hơn nữa cho các bạn.
1 Chủ đề HÀM SỐ BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN TƯƠNG GIAO VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT F HÀM SỐ BẬC HAI Mục Lục KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số y = ax với a≠0 * Hàm số có tập xác định ∀x ∈ ¡ * Nếu a >0 hàm số nghịch biến x < đồng biến x > * Nếu a < hàm số nghịch biến x > đồng biến x < * Nếu a > y > ∀x ≠ +) y = x = Giá trị nhỏ hàm số y = * Nếu a < y < ∀x ≠ +) y = x = Giá trị lớn hàm số y = • Đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0) y = ax (a ≠ 0) * Đồ thị hàm số đường cong qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng Đường cong gọi Parabol với đỉnh O * Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh , O điểm thấp đồ thị * Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh , O điểm cao đồ thị Vị trí tương đối của đường thẳng parabol Website:tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Cho đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) parabol (P): y = kx (k ≠ 0) Tìm số giao điểm (d) (P) Khi : Xét phương trình kx = ax + b (1) - Nếu phương trình (1) vơ nghiệm (P) (d) khơng giao - Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt (P) (d) cắt hai điểm phân biệt - Nếu phương trình (1) có nghiệm kép (P) (d) tiếp xúc - Hoành độ giao điểm (hoặc tiếp điểm) (P) (d) nghiệm kx = ax + b phương trình Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) - Giải phương trình (1) tìm giá trị x Khi giá trị x hồnh độ giao điểm (d) (P) Thay giá trị x vào công thức hàm số (d) (hoặc (P)) ta tìm tung độ giao điểm từ suy tọa độ giao điểm cần tìm Tọa độ giao điểm (d) (P) phụ thuộc vào số nghiệm phương trình (1) Hàm số chứa tham số Tìm điều kiện tham số để tọa độ giao điểm thỏa mãn điều kiện cho trước - Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) từ vận dụng biệt thức delta hệ thức Vi-et để giải toán với điều kiện cho sẵn Website:tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN BÀI TẬP y = f ( x) = Bài 1: Cho hàm số 1) Hãy tính f ( −2 ) f ( 3) ; A ( 2;6 ) 2) Các điểm không ? f ; ( 5) ( B − 2;3 , ) x 2 f − ÷ ÷ ; C ( −4; −24 ) , , 3 D ; ÷ 4 có thuộc đồ thị hàm số Hướng dẫn giải 1) Ta có: 3 f ( −2 ) = ( −2 ) = = 2 3 27 f ( 3) = 32 = = 2 ; ; f ( ) = ( ) 2) +) Thay toạ độ điểm Ta có thuộc đồ thị hàm số C ( −4; −24 ) Thay toạ độ vào công thức hàm số ⇔ −24 = 24 y = f ( x) = ( vơ lí) ( khơng thuộc đồ thị hàm số ) Ta có ( ) Website:tailieumontoan.com 3 = ⇔ x vào công thức xác định hàm số x 3= − 2 x y = f ( x) = C ( −4; −24 ) điểm x y = f ( x) = B − 2;3 +) x ( thỏa mãn) y = f ( x) = 24 = ( −4 ) Vậy điểm ; vào công thức hàm số ⇔ 6=6 A ( 2; ) +) Thay toạ độ điểm 2 2 f − = − = = ÷ ÷ ÷ ÷ y = f ( x) = A ( 2;6 ) = 22 Vậy điểm Ta có 15 = = 2 ( thỏa mãn) CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ( B − 2;3 Vậy điểm +) Thay toạ độ ) thuộc đồ thị hàm số 3 D ; ÷ 4 điểm x y = f ( x) = vào công thức xác định hàm số y = f ( x ) = x2 2 3 = ÷ Ta có Vậy điểm Bài 2: 3 = ⇔ 4 3 D ; ÷ 4 (thỏa mãn) y = f ( x) = thuộc đồ thị hàm số Trong hệ toạ độ Oxy, cho hàm số 1) Tìm m để đồ thị hàm số a) ( *) A ( −1;3) y = f ( x ) = ( m + 2) x2 ( ) 2; −1 ( *) 2) Thay m = Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số số ( *) qua điểm : B b) x với đồ thị hàm y = x +1 Hướng dẫn giải 1) a) Để đồ thị hàm hàm số y = f ( x ) = ( m + 2) x2 ( *) qua điểm A ( −1;3) = ( m + ) ( −1) ⇔ = m + ⇔ m = Ta có: Vậy với m = đồ thị hàm số b) Để đồ thị hàm số Ta có: −1 = ( m + ) m=− Vậy với y = f ( x ) = ( m + 2) x ( ) 2 ( *) qua điểm ( *) A ( −1;3) B qua điểm ( ) 2; −1 ⇔ −1 = ( m + ) ⇔ 2m + = −1 ⇔ 2m = −5 ⇔ đồ thị hàm số Website:tailieumontoan.com ( *) B qua điểm ( ) 2; −1 m=− CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 2) +) Thay m = vào công thức hàm số y = f ( x) = 2x y = f ( x ) = ( m + 2) x2 ( *) ta có: y = f ( x ) = x2 - Toạ độ giao điểm đồ thị hàm số nghiệm hệ phương trình: - Giải phương trình với đồ thị hàm số 2 y = x2 y = 2x y = 2x y = x + ⇔ 2 x = x + ⇔ 2 x − x − = ( 1) ( 2) ( 2) x2 − x −1 = Ta có: a + b + c = + (-1) + (-1) = nên phương trình x1 = y = x +1 x2 = − ( 2) có nghiệm phân biệt ; (hoặc giáo viên cho HS phân tích vế trái thành dạng tích giải phương trình tích) +) Với x1 = ⇒ y1 = 2.12 = ⇒ M ( 1; ) +) Với 1 1 1 N − ; ÷ y1 = − ÷ = = x2 = − ⇒ 2 2 ⇒ Vậy với m = đồ thị hàm số điểm phân biệt M ( 1; ) y = 2x2 1 N − ; ÷ 2 Bài 3: a) Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng toạ độ Oxy b) Tìm toạ độ giao điểm (P ) ( d) đồ thị hàm số y = x +1 cắt y = x2 (P) đường thẳng y = −x + phép tính Hướng dẫn giải y = x2 a) Vẽ đồ thị hàm số (P) Lập bảng giá trị tương ứng x y x -3 -2 -1 Website:tailieumontoan.com ( d) CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN y = x2 Đồ thị hàm số y = x2 O ( 0; ) C ' ( −3;9 ) Cho x = y=0 ⇒ ; A ( 1;1) ; A ' ( −1;1) ; B ( 2; ) ; B ' ( −2; ) ; C ( 3;9 ) ; y = −x + ( d ) y=2 ⇒ (P) Parabol có bề lõm quay xuống phía qua điểm có toạ độ +) Đường thẳng ⇒ D ( 0; ) ∈ Oy ⇒ E ( 2;0 ) ∈ Ox x=2 y = 2x + ( d ) ⇒ Đường thẳng qua điểm D (0; 2) E (2; 0) b) Toạ độ giao điểm đồ thị hàm số ( d) ( 1) ( 2) nghiệm hệ phương trình: y = x2 (P) đường thẳng y = x2 y = −x + ⇔ y = x x = − x + y = −x + 2 y = x ⇔ x + x − = x2 + x − = ( 2) - Giải phương trình: Ta có a + b + c = + + (- 2) = nên phương trình (2) có hai nghiệm x1 = x2 = −2 ; (hoặc giáo viên cho HS phân tích vế trái thành dạng tích giải phương trình tích) +) Với x1 = 1 ⇒ y1 = 12 = 1 ⇒ M ( 1; 1) x2 = −2 ⇒ y2 = ( −2 ) = 4 ⇒ N ( − 2; ) +) Với - Vậy đồ thị hàm số điểm M ( 1; 1) N ( − 2; ) y = x2 (P) đường thẳng Website:tailieumontoan.com y = −x + (d) cắt CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Sự tương giao đường thẳng đồ thị hàm số bậc hai ( P) : y = Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho parabol (d ) : y = thẳng b) Gọi T= biểu thức đường x+ (P) a) Vẽ đồ thị A ( x1 ; y1 ) x B ( x2 ; y ) x1 + x2 y1 + y2 giao điểm P) với (d ) Tính giá trị Hướng dẫn giải a) HS tự vẽ b) Phương trình hồnh độ giao điểm x = ⇒ y = ⇒ A(2; 2) ⇔ x = − ⇒ y = ⇒ B −3 ; ÷ 8 Bài 5: tham số) Cho Parabol Vậy P) (d ) : x = x+ −3 2+ ÷ x +x = T= = y1 + y2 25 2+ ( P) : y = x đường thẳng d : y = (2m − 1) x − m + a) Chứng minh với m đường thẳng d ln cắt biệt b) Tìm giá trị m để đường thẳng d cắt A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) thỏa x1 y1 + x2 y2 = Hướng dẫn giải Website:tailieumontoan.com P) P) ( m hai điểm phân hai điểm phân biệt CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN x = (2m − 1) x − m + ⇔ x − (2m − 1) x + m − = 0(*) a) Phương trình hồnh độ giao điểm ∆ = (2m − 1) − 4.1×(m − 2) = 4m − 8m + = 4( m − 1) + ≥ > Ta có Vậy Parabol lng cắt đường thẳng hai điểm phân biệt b) Vì nghiệm phương trình nên theo hệ thức Vi-et ta có: x1 + x2 = 2m − x1 x2 = m − Mặt khác Ta có y1 = x12 y2 = x2 ( ) x1 y1 + x2 y2 = ⇔ x13 + x23 = ⇔ ( x1 + x2 ) x12 − x1 x2 + x22 = 2m − = m= x1 + x2 = ⇔ ⇔ ⇔ 2 x1 − x1 x2 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 4m − m + = (vn) m= Vậy Bài 6: Cho parabol tham số ) ( P) : y = x a) Tìm tọa độ giao điểm (d ) đường thẳng P) a=− b) Tìm tất giá trị a để đường thẳng biệt có hồnh độ x1; x2 thỏa mãn x1 + x2 = (d ) : y = −2ax − 4a (d ) cắt Hướng dẫn giải a) Phương trình hồnh độ a=− Khi (d ) P) phương trình trở thành Website:tailieumontoan.com x + 2ax + 4a = x2 − x − = (với a P) taị hai điểm phân CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN Có a −b +c = nên phương trình có nghiệm b) Phương trình hồnh độ để đường thẳng (d ) nghiệm phân biệt Với Vì a < a > Với a4 P) x + 2ax + 4a = (*) ) x1 + x2 = −2a x1 x2 = 4a = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 = ⇒ 4a − 8a + | 8a |= a = 2 4a − 8a + | 8a |= ⇔ a = ⇒ a = x=2 a < ⇔ ∆ ' = a(a − 4) > ⇒ a > : : ; hai điểm phân biệt phương trình (*) phải có 4a − 8a + | 8a |= ⇔ 4a − 16a − = ⇒ a = a=− Vậy P) theo Viét ta có x1 + x2 = ⇔ ( x1 + x2 Với cắt (d ) x = −1 −1 ∉ dk −3 ∉ dk Bài 7: Cho hai hàm số y = x2 y = mx + , với m tham số m=3 a) Khi , tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số b) Chứng minh với giá trị m, đồ thị hai hàm số cho cắt hai điểm phân biệt cho ( y1 ) + ( y2 ) = A1 ( x1 ; y1 ) A2 ( x2 ; y2 ) Tìm tất giá trị m Hướng dẫn giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm Website:tailieumontoan.com y = x2 y = mx + x − mx − = (1) CÁC CHUN ĐỀ TỐN Thay m=3 Ta có: vào phương trình (1) ta có: a − b + c = − (−3) + ( −4) = Vậy phương trình Với Với x2 − 3x − = x2 − 3x − = có hai nghiệm x = −1 x = x = −1 ⇒ y = ⇒ A(−1;1) x = ⇒ y = 16 ⇒ B(4;16) A(−1;1) m=3 B (4;16) Vậy với hai đồ thị hàm số giao điểm b) Ta có số giao điểm hai đồ thị hàm số cho số nghiệm phương trình (1) ∆ = m − ×(−4) = m + 16 > 0∀m ∈ ¡ Phương trình (1) có: x1; x2 Do (1) ln có hai nghiệm phân biệt Vậy đồ thị hai hàm số cho cắt hai điểm phân biệt A1 ( x1 ; y1 ) A2 ( x2 ; y2 ) với m Theo hệ thức Vi-et ta có: Ta lại có: x1 + x2 = m x1 ×x2 = −4 y1 = x12 y2 = x2 Theo đề, ta có: y12 + y22 = 72 2 2 2 ⇒ ( x12 ) + ( x22 ) = 49 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − ( x1 x2 ) = 49 ⇔ m − 2.( −4) − ( −4 ) = 49 ⇔ (m2 + 8) = 81 ⇔ m + = ⇔ m = ±1 Vậy với Bài 8: m = 1; m = −1 ( y1 ) (trường hợp + ( y2 ) = Cho hàm số Website:tailieumontoan.com m + = −9 y = − x2 có đồ thị ( P) vơ nghiệm m2 ≥ ) CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN a) Vẽ đồ thị ( P) hàm số b) Cho đường thẳng đường thẳng y = mx + n (∆ ) y = −2 x + ( d ) Tìm m, n để đường thẳng (∆) song song với có điểm chung với đồ thị ( P) Hướng dẫn giải a) HS tự vẽ đồ thị hàm số b) ∆ song song với y = −2 x + suy m = −2 n ≠ Phương trình hoành độ giao điểm ⇔ x − x + 2n = ∆ (P): − x = −2 x + n 2 Để ∆ ( P) có điểm chung phương trình (*) có nghiệm Vậy ∆′ = ⇔ − 2n = ⇔ n = m = −2; n = Bài 9: (*) Cho đường thẳng phương trình (thỏa mãn) y=x (d ) có phương trình y = x+2 parabol (P) có a) Vẽ đường thẳng (d ) parabol (d ) (P) hệ trục tọa độ ( P) Oxy b) Đường thẳng cắt hai điểm A B (với A có hồnh độ âm, B có hồnh độ dương) Bằng tính tốn tìm tọa độ điểm A B Hướng dẫn giải a) HS tự vẽ đồ thị hàm số (d) (P) b) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): x = x + ⇔ x − x − = ⇔ ( x − 2)( x + 1) = ⇔ x = x = −1 Với Với x = ⇒ y = ⇒ B (2; 4) (vì B có hồnh độ dương) x = −1 ⇒ y = ⇒ A(−1;1) (vì A có hồnh độ âm) Website:tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Vậy A(−1;1) ; B(2; 4) y= Bài 10: Cho hai hàm số x ( P) đồ thị hàm số y = x+4 có đồ thị (d ) a) Vẽ đồ thị b) Gọi A, B ( P) giao điểm hai đồ thị ( P) trục tọa độ xentimét, tìm tất điểm MAB tích tam giác 30 cm2 (d ) M Biết đơn vị đo trên tia Hướng dẫn giải a) Vẽ đồ thị: HS tự vẽ b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: x = x + ⇔ x2 − x − = ∆′ = (−1) − (−8) = > Phương trình có nghiệm phân biệt: Với Với x = −2 x=4 ta có ta có M (m;0) x = 4; x = −2 y = ⇒ A(−2; 2) y = ⇒ B (4;8) Gọi thuộc tia Xét hai trường hợp: Ox ( m > 0) Gọi C ( −2; 0), D(4;0) Trường hợp 1: M thuộc đoạn OD: Ta có Có ABDC hình thang, S AMB = S ABDC − S ACM − S BDM AC = 2cm, BD = 8cm, CD = 6cm Website:tailieumontoan.com Ox cho diện CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN S ABDC = ⇒ Suy (2 + 8) ×6 = 30 cm 2 S AMB < 30 ( ) cm2 (loại) Trường hợp 2: M thuộc tia Dx S AMB = S ABDC − S ACM + S BDM Ta có : ( M ≠ D) ⇒ m > S ABCD = 30cm , MC = m + 2(cm), MD = m − 4(cm) Có Suy S ACM = 1 AC.CM = 2.( m + 2) = m + 2(cm ) 2 S BDM = 1 BD.DM = 8.(m − 4) = 4(m − 4)(cm ) 2 ⇒ S AMB = 30cm ⇔ S ACM = S BDM ⇔ m + = 4(m − 4) ⇔ m = m = (thỏa mãn) Vậy Bài 11: M (6; 0) điểm cần tìm Trong mặt phẳng tọa độ (d ) : y = x + m − Oxy cho đường thẳng ( P) : y = x parabol a) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với m x1 , x2 (d ) b) Gọi hoành độ giao điểm (P) Tìm m để ( x1 + 1) ( x2 + 1) = Hướng dẫn giải a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm x = 3x + m − ⇔ x − x − m + = 0(*) ∆ = + m − = + m > 0∀m Website:tailieumontoan.com (d ) ( P) CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Suy phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m hay cắt (P) hai điểm phân biệt với b) Ta có: ( x1 + 1) ( x2 + 1) = ⇔ x1 x2 + ( x1 + x1 ) = m (d ) (**) x1 + x2 = x1 x2 = − m + Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*): (**) ⇔ −m + + = ⇔ m = ⇔ m = ±2 Vậy m = ±2 Bài 12: Trong mặt phẳng toạ độ a) Vẽ parabol Oxy , cho parabol ( P) : y = − x ( P) b) Xác định toạ độ giao điểm Tìm toạ điểm M ( P) A, B đường thẳng cho tam giác MAB (d ) : y = − x − ( P) cân M Hướng dẫn giải a) HS tự vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình đường trung trực ( P) ( d ') AB , tìm giao điểm ( d ') ta tìm giao điểm M Hoành độ giao điểm phương trình: + Với x = −1 A, B đường thẳng (d ) : y = − x − − x = − x − ⇔ x − x − = ⇔ x = −1 , thay vào y = −(−1)2 = −1 ( P) x=2 A(−1; −1) ta có: , ta có: y = −(2) = −4 ( P) B (2; −4) x=2 + Với , thay vào ta có: , ta có: Suy trung điểm AB là: Website:tailieumontoan.com −5 I ; ÷ 2 (P) nghiệm CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Đường thẳng Vì ( d ') Vậy ( d ') vng góc với (d) có dạng: −5 = + b ⇔ b = −3 2 qua I nên: ( d ') : y = x − Phương trình hồnh độ −1 − 13 −7 − 13 ⇒y= 2 x= −1 + 13 −7 + 13 ⇒y= 2 + Với Vậy có hai điểm Bài 13: b) Tìm M cần tìm là: x + x−3 = (P) là: −1 − 13 −7 − 13 ; ÷ ÷ 2 Trong mặt phẳng tọa độ parabol a) Tìm ( d ') x= + Với m m y = x+b Oxy ⇔x= −1 ± 13 −1 + 13 −7 + 13 ; ÷ ÷ 2 cho đường thẳng (d ) : y = x + m − ( P) : y = x để (d ) qua điểm để đường thẳng hoành độ x1 x2 (d ) A(0;1) cắt parabol thỏa mãn: (P) hai điểm phân biệt có 1 1 + ÷− x1 x2 + = x1 x2 Hướng dẫn giải a) Thay x = 0; y = vào phương trình đường thẳng (d ) m=2 ta được: x − x − (m − 1) = 0(*) (d ) ( P) b) Phương trình hồnh độ giao điểm là: (d ) Để cắt parabol nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = 4m − > ⇔ m > (P) hai điểm phân biệt phương trình (*) phải có Website:tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN Khi theo định lý Vi-ét ta có: Theo đề bài: ⇔ m2 + m − = ⇔ m = −3 Vậy Bài 14: thẳng a) Tìm 1 1 x +x + ÷− x1 x2 + = ⇔ ÷− x1 x2 + = ⇔ + m + = x1 x2 x1.x2 −m + ( Điều kiện: m=2 (loại) m=2 x1 + x2 = x1 x2 = −(m − 1) m ≠1 ) (thỏa mãn) giá trị cần tìm Trong mặt phẳng tọa độ (d ) : y = 3mx − m (với m để đường thẳng b) Xác định giá trị Oxy cho Parabol ( P) : y = − x đường tham số) (d ) m qua điểm để (d ) cắt A(1;3) ( P) tổng tung độ hai giao điểm hai điểm phân biệt cho −10 Hướng dẫn giải a) Đường thẳng (d ) qua A(1;3) nên = 3m ×1 − ⇔ m = b) Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng − x = 3mx − ⇔ x + 3mx − = 0(*) Ta có ∆ = 9m + 12 > , với Do đó, đường thẳng (d ) m Parabol ( P) cắt hai điểm x1 + x2 = −3m; x1 ×x2 = −3 y1 + y2 = −10 ⇔ − x12 − x22 = −10 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 10 Website:tailieumontoan.com Parabol ( P) là: nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ( x2 ; y2 ) Theo định lý Vi-ét ta có: Theo ta có: (d ) ( x1; y1 ) CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ⇔ 9m + = 10 ⇔m=± m=± Vậy Bài 15: giá trị cần tìm ( P) : y = x (d ) Cho parabol đường thẳng có phương trình: y = 2(m + 1) x − 3m + a) Tìm tọa độ giao điểm b) Chứng minh m ( P) (d ) ( P) (d ) với m=3 cắt điểm phân biệt A B với c) Gọi x1; x2 hoành độ giao điểm A B Tìm m để x12 + x22 = 20 Hướng dẫn giải a) Thay m=3 (d ) : y = x − ta Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d ) m=3 x = 8x − ⇔ x − 8x + = 2 Giải phương trình ta ( P) Tọa độ giao điểm x1 = 1; x2 = (d ) x1 = ⇒ y1 = x2 = ⇒ y2 = 49 ; (1;1);(7; 49) Với b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm x − 2(m + 1) x + 3m − = (1) ( P) (d ) là: 11 ∆ = m + 2m + − 3m + = m − m + = m − ÷ + > 0∀m 2 ′ 2 Nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt A, B m ∀m suy (P) (d ) cắt điểm phân biệt với x1; x2 ∆′ > ∀m c) Ta có: nghiệm phương trình (1) Theo Vi-et ta có: Website:tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN x1 + x2 = 2m + x1 x2 = 3m − x12 + x22 = 20 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 20 ⇔ (2m + 2)2 − 2(3m − 2) = 20 m = ⇔ 2m + m − = ⇔ ( m − 2)(2m + 3) ⇔ m = −3 Vậy m=2 Bài 16: tham số) a) Với m= −3 giá trị cần tìm ( P) : y = x (d ) : y = 2(m + 3) x − 2m + m Cho parabol đường thẳng ( m = −5 , tìm tọa độ giao điểm parabol b) Chứng minh rằng: với m hai điểm phân biệt Tìm m parabol ( P) ( P) đường thẳng đường thẳng (d ) (d ) qua với m Hướng dẫn giải a) Với có phương trình Hồnh độ giao điểm ( P) y = −4 x + 12 (d ) nghiệm phương trình: x = −6 x = −4 x + 12 ⇔ x + x − 12 = ⇔ ( x + 6)( x − 2) = ⇔ x = + x = −6 ⇒ y = 36 +x = ⇒ y = Vậy với m = −5 ( P) (d ) cắt cho hai giao điểm có hồnh độ dương c) Tìm điểm cố định mà đường thẳng m = −5 (d ) (d ) cắt hai điểm ( P) (d ) ( −6;36), (2; 4) b) Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình: x = 2( m + 3) x − 2m + ⇔ x − 2( m + 3) x − 2m − = 0(1) ∆′ = (m + 3) − (2m − 2) = m2 + 4m + 11 = (m + 2)2 + > 0∀m Website:tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN Do (1) có hai nghiệm phân biệt với m suy hai điểm phân biệt Viet ta có: x1; x2 ( P) (d ) cắt hai nghiệm phương trình (1), áp dụng định lý x1 + x2 = 2(m + 3) x1 x2 = 2m − Hai giao điểm có hồnh độ dương x1 + x2 > 2(m + 3) > m > −3 ⇔ ⇔ ⇔ m >1 2m − > m > x1 x2 > Vậy với dương m >1 (P) (d ) cắt hai điểm phân biệt với hoành độ c) Gọi điểm cố định mà đường thẳng y0 = 2( m + 3) x0 − 2m + ∀m (d ) qua với m ( x0 ; y0 ) ta có: ⇔ m ( x0 − ) + x0 − y0 + = ∀m 2 x − = x = ⇔ ⇔ 6 x0 − y0 + = y0 = Vậy với Bài 17: số m m đường thẳng a) Tìm b) Tìm m ln qua Trong mặt phẳng tọa độ Parabol m (d ) Oxy (1;8) cho đường thẳng (d ) : y = mx − ( P) : y = x để đường thẳng (d ) m để đường thẳng hoành độ x1 ; x2 qua điểm (d ) d ( ) A(1;0) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt có thỏa mãn x1 − x2 = Hướng dẫn giải a) Đường thẳng tham (d ) qua điểm A(1;0) nên có b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm Website:tailieumontoan.com = m ×1 − ⇔ m = (d ) ( P) : x − mx + = CÁC CHUN ĐỀ TỐN Có (d ) ∆ = m − 12 cắt P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 m > ∆ = m − 12 > ⇔ m > 12 ⇔ m > −2 x1 + x2 = m x1 x2 = Áp dụng hệ thức Vi – Ét ta có: Theo ta có x1 − x2 = ⇔ ( x1 − x2 ) = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 2 ⇔ m − 4.3 = ⇔ m2 = 16 ⇔ m = ±4 Vậy m = ±4 Bài 18: a a) Tìm giá trị cần tìm Cho hàm số để đồ thị P) y = ax có đồ thị qua điểm Chứng minh đường thẳng C D với giá trị m b) Gọi m xC xD cho (d ) ( P) B (2; −2) đường thẳng cắt đồ thị hoành độ hai điểm ( P) C xC2 + xD2 − xC xD − 20 = ( P) Vậy qua điểm ( P) y= : B (2; −2) −2 = a.22 ⇔ a = nên ta có: −1 −1 x b) Phương trình hồnh độ giao điểm −1 x = mx + m − ⇔ x + 2mx + 2m − = (*) Website:tailieumontoan.com ( P) (d ) hai điểm phân biệt Hướng dẫn giải a) ( d ) : y = mx + m − là: D Tìm giá trị CÁC CHUN ĐỀ TỐN ∆′ = m − (2m − 6) = m − 2m + = ( m − 1) + > ∀m Do đó, đường thẳng (d) cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt C D với giá trị m b) Áp dụng định lí Vi-ét ta có: Theo giả thiết xC + xD = −2m xC xD = 2m − xC2 + xD2 − xC xD − 20 = ⇔ ( xC + xD ) − xC xD − 20 = ⇔ (−2m) − 4(2m − 6) − 20 = ⇔ 4m − 8m + = ⇔ 4(m − 1)2 = ⇔ m = Vậy với m =1 thỏa mãn yêu cầu toán PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài F.01 Cho hàm số a) Xác định a để ( P) y = ax ( a ¹ 0) qua điểm A(- có đồ thị parabol 2; - 4) ( P) b) Với giá trị a vừa tìm hãy: i Vẽ ( P) mặt phẳng tọa độ; ( P) ii Tìm điểm có tung độ -2; ( P) iii Tìm điểm cách hai trục tọa độ Bài F.02 Cho hàm số a) Xác định m để ( P) y = ( m - 1) x ( m ¹ 1) qua điểm A(- có đồ thị 3;1) ( P) ; b) Với giá trị m vừa tìm trên, hãy: i Vẽ ( P) mặt phẳng tọa độ; ( P) ii Tìm điểm có hồnh độ 1; ( P) iii Tìm điểm có tung độ gấp đơi hồnh độ Website:tailieumontoan.com CÁC CHUN ĐỀ TỐN Bài F.03 Cho hàm số y = ax ( a ¹ 0) có đồ thị parabol ( P) M(- 2; 4) qua điểm d b Viết phương trình đường thẳng qua gốc tạ độ điểm N(2;4) ( P) d c Vẽ tìm câu a) b) hệ trục tọa độ ( P) d d Tìm tọa độ giao điểm câu a) b) a Tìm hệ số a biết Bài F.04 Cho c và d:y= x d hệ trục tọa độ; ( P) d b Xác định tọa độ giao điểm ; a Vẽ ( P) ( P) : y = x ( P) Dựa vào đồ thị, giải bất phương trình Bài F.05 Cho Parabol a) Vẽ đồ thị ( P) : y = x đường thẳng ( d1 ) (d ) : y = x + ( P) b) Viết phương trình đường thẳng (d) x2 > x tiếp xúc ( d1 ) biết ( d1 ) song song với đường thẳng ( P) Bài F.06 Cho parabol ( P) : y = x đường thẳng d : y = x +1 P) a) Vẽ parabol đường thẳng (d) trục tọa độ b) Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d qua A( −1; 2) ( P) : y = Bài F.07 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho parabol (d ) : y = đường thẳng a) Vẽ đồ thị x+ ( P) Website:tailieumontoan.com x CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN b) Gọi A ( x1 ; y1 ) T= trị biểu thức B ( x2 ; y ) x1 + x2 y1 + y2 giao điểm Bài F.08 Cho parabol tham số ) ( P) : y = x a) Tìm tọa độ giao điểm (d ) đường thẳng (d) a=− ( P) b) Tìm tất giá trị a để đường thẳng x1; x2 biệt có hồnh độ ( P ) với ( d ) Tính giá thỏa mãn Bài F.09 Cho hai hàm số y=x m=3 x1 + x2 = y = −2ax − 4a (với a (d ) cắt ( P) taị hai điểm phân y = mx + , với m tham số a) Khi , tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số b) Chứng minh với giá trị m, đồ thị hai hàm số cho cắt hai điểm phân biệt cho ( y1 ) + ( y2 ) = A1 ( x1 ; y1 ) x Tìm tất giá trị m Bài F.10 Trong mặt phẳng tọa độ y= A2 ( x2 ; y2 ) hai điểm A, B thuộc a) Tìm tọa độ hai điểm A, B ( P) P ( ) Oxy cho parabol ( P) có hồnh độ có phương trình x A = −1, xB = A, B b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm c) Tính khoảng cách từ điểm O (gốc tọa độ) tới đường thẳng (d) Bài F.11: Trong mặt phẳng tọa độ y= x hai điểm A, B thuộc a) Tìm tọa độ hai điểm A, B ( P) P ( ) Oxy cho parabol ( P) có hồnh độ có phương trình x A = −1, xB = A, B b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm c) Tính khoảng cách từ điểm O (gốc tọa độ) tới đường thẳng (d) Website:tailieumontoan.com CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Bài F.12: Cho hàm số (d) y = x2 có đồ thị ( P) y = −x + hàm số a) Vẽ (P) (d) mặt phẳng tọa độ b) Bằng phép tính, tìm tọa độ giao điểm có đồ thị Oxy A, B (P) (d) ; (hoành độ A nhỏ hoành độ B) Gọi C D hình chiếu vng góc A B trục hồnh, tính diện tích tứ giác ABC y = − x2 Bài F.13: Cho hàm số a) Vẽ đồ thị (P) hàm số có đồ thị (P) b) Cho đường thẳng Tìm đường thẳng y = mx + n(∆) y = −2 x + 5(d ) Oxy , cho parabol A, B ( P) : y = − x đường thẳng Tìm toạ điểm M (P) cho tam giác MAB ( P) b) Xác định đường thẳng (d ) : y = − x − (a ) : y = −2 x + (d ) (d ) biết đường thẳng song song với đường cắt parabol (P) điểm có hồnh độ Website:tailieumontoan.com ( P) cân M y = x2 Bài F.15: Cho parabol (P): đường thẳng a) Vẽ (P) (a) hệ trục toạ độ (a ) song song với ( P) b) Xác định toạ độ giao điểm thẳng (∆ ) để đường thẳng có điểm chung với đồ thị Bài F.14: Trong mặt phẳng toạ độ a) Vẽ parabol m, n −2