Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an môn toán lớp 10 (từ 1992-1993 đến 2005-2006) Đề số 1 (Năm học 1992-1993) Bài 1: Cho a, b, c, d nguyên, thoả mãn hệ thức: =+ +=+ cd1ab dcba Chứng minh rằng: c = d. Bài 2: Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1x2dcxxbaxx ++++++ Với mọi a, b, c, d thoả mãn điều kiện 1dcba 2222 =+++ . Bài 3: Cho 1021 a, a,a là các số thực dơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) 92110 2 10 2 2 2 1 a .aaa a .aa P +++ +++ = . Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ, cho các điểm A(-2; -1), B(2; -4). a) Tìm điểm C trên Ox sao cho các véc tơ CB,OA cùng phơng? b) Tìm trên đờng thẳng x = 1 điểm M sao cho 0 45MBA = . Đề số 2 (Năm học 1993-1994) Bài 1: Cho phơng trình: k5xx4 =++ . a) Giải phơng trình với k = 3. b) Tìm các giá trị của k để phơng trình có nghiệm duy nhất. Bài 2: Xác định các số thực a, b thoả mãn các điều kiện sau: i) Hai phơng trình 01axx 2 =++ và 02bxx 2 =++ có một nghiệm chung. ii) Tổng ba + nhỏ nhất. Bài 3: Tìm nghiệm hữu tỷ của phơng trình: 05x2x3y 22 =+ Bài 4: Cho tam giác ABC: A(-1; 2), B(2; 1), C(-3;-3). a) Xác định toạ độ điểm M thỏa mãn: 0MC4MB3MA2 =+ . b) Tìm tập hợp điểm N sao cho: 222 NC2NBNA =+ . Đề số 3 (Năm học 1994 1995) Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an môn toán lớp 10 (từ 1992-1993 đến 2005-2006) Bài 1: a) Chứng minh: ( ) 71923 189019451930 592 + b) Đơn giản biểu thức: xsin1 xsin1 . xcos1 xcos1 xcos1 xcos.xsin A + + + = (với 00 180x0 << ) Bài 2: Cho hàm số 1x68x1x2x)x(f ++= a) Tìm tập xác định D của hàm số. b) Tìm các giá trị xD sao cho f(x) là hằng số. Bài 3: a) cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c. Tìm phơng tích của trọng tâm G của tam giác đối với đờng tròn ngoại tiếp tam giác ấy. b) Giả sử đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lợt tại M, N, P thoả mãn 0CMBPAN =++ . Chứng minh tam giác ABC đều. Đề số 4 (Năm học 1995-1996) Bài 1: Giải hệ phơng trình sau với các ẩn số x, y, z: =++ =++ =++ 8zyx 6zyx 2zyx 333 222 Bài 2: a) Cho 1cbaRc,b,a =++ + và . Chứng minh rằng: 6accbba +++++ b) Gọi 21 x,x là nghiệm của hệ: > =+ = 0, 1xx 0xx 21 21 .Chứng minh rằng: 4 1 x.x 21 Bài 3: Cho tam giác ABC. a) Tìm tập hợp các điểm I thoả mãn hệ thức: 0IC6IB3IA =+ . b) Cho 2 điểm E và F di động trong mặt phẳng thoả mãn điều kiện: EC2EBEA 3 1 EF += . Tìm bao hình của đờng thẳng EF. Bài 4: Cho đờng tròn tâm O bán kính R và một điểm K cố định nằm trong đờng tròn với OK = k 0. Qua điểm K dựng dây cung AB nào đó. Hãy xác định vị trí dây cung AB trong mỗi trờng hợp sau: a) Tổng 22 KBKA + đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó. b) Tổng 22 KBKA + đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó. Đề số 5 (Năm học 1996-1997) Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an môn toán lớp 10 (từ 1992-1993 đến 2005-2006) Bài 1: Giải hệ phơng trình: = + = + + + 0 yx x3y y 3 yx y3x x 22 22 Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức: 1n,n;2 n n 1 n n 1 n n n n ><++ Z . Bài 3: Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC có thể tính theo công thức: ( )( ) ( )( ) BABCBCBA yyxxyyxx 2 1 S = . Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O;R). M là điểm chuyển động trên O. Tìm vị trí của điểm M để biểu thức: 222 MC3MB2MAT += đạt giá trị bé nhất, đạt giá trị lớn nhất. Tính các giá trị đó. Đề số 6 (Năm học 1997 1998) Bài 1: a) Cho { } { } 43x/RxB;32x/RxA =<+= . Tìm BA;BA ? b) Cho tập hợp 6 điểm trên mặt phẳng { } 654321 A;A;A;A;A;A trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn ji AA nối 2 trong 6 điểm đó đợc tô bằng màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác kji AAA có 3 cạnh đồng màu. Bài 2: Cho phơng trình: 01mx4x 2 =+++ a).Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm âm. b).Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt 21 xx < thoả mãn: 7 x x x x 2 1 2 2 2 2 2 1 + c).Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 53 )x2(x)x(f = trên [0; 2]. Bài 3: a) Cho ABC. Chứng minh: Asin Ccos Csin Bcos Bsin Acos CgcotBgcotAgcot 3 3 3 3 3 3 333 ++++ b) Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A, B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng 2 hình vuông AMNP và MBQR. Chứng minh: BNAR . Đề số 7 (Năm học 1998 1999) Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an môn toán lớp 10 (từ 1992-1993 đến 2005-2006) Bảng A Bài 1: Chứng minh rằng nếu phơng trình: ( ) ( ) ( ) 2 222 cbyaxyx =+++++ có nghiệm thì bất đẳng thức sau đúng: ( ) 2 2 bac3 + . Bài 2: Cho hàm số: ** :f + QN thoả mãn điều kiện: 2)1(f = và 1n)n(fn)n(f .)2(f)1(f 2 >=+++ . Hãy tìm công thức đơn giản của )n(f ? Bài 3: Giải phơng trình: 20xx1x59x14x5 22 ++=++ . Bài 4: a) Cho n véc tơ n21 a, .,a,a đôi một không cộng tuyến. Trong đó tổng (n-1) véc tơ bất trong n véc tơ cộng tuyến với véc tơ còn lại. Chứng minh rằng: 0a .aaa n21 =+++= . (Hai véc tơ cộng tuyến là 2 véc tơ nằm trên hai đờng thẳng song song hoặc trùng nhau). b) Cho ABC, AM và BN là hai trung tuyến. Chứng minh rằng: 2 1 1 tan tan tan AM BN C A B = + . Đề số 8 (Năm học 1998-1999) Bảng B Bài 1: Cho x, y là các số thực thoả mãn: x, y > 0; x+y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: xy4 xy 2 yx 1 P 22 ++ + = . Bài 2: (Bài 2 bảng A). Bài 3: Giải phơng trình: 21xx1xx 2 4 2 =++ . Bài 4: a) Cho O là điểm bất kỳ trong ABC. Chứng minh: 0OC.SOB.SOA.S AOBAOCBOC =++ b) Cho ABC (BC=a, CA=b, AB=c). Chứng minh rằng: Nếu a+b <3c thì: 1 tan .tan 2 2 2 A B < . Đề số 9 (Năm học 1999-2000) Bài 1: Cho )3,2,1i(,b,a ii = R . a) Chứng minh rằng: ( )( ) ( ) 2 332211 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 babababbbaaa ++++++ b) Giả sử .4aaaaaa 133221 =++ Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an môn toán lớp 10 (từ 1992-1993 đến 2005-2006) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 3 4 2 4 1 aaaP ++= . Bài 2: a) Giải hệ phơng trình: = + = + = + 3 zy yz 2 zx xz 1 yx xy b) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thoả mãn phơng trình: 0z9y3x 333 = Bài 3: a) Cho 0b,0a .Chứng minh rằng: ( ) b,acos.b.ab.a = b) Chứng minh rằng trong tam giác ABC có các trung tuyến ứng với các cạnh AB và BC vuông góc thì 5 4 Bcos . c) Cho ABC không cân, đờng tròn tâm O nội tiếp trong tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tơng ứng ở A 1 , B 1 , C 1 . Gọi M là giao điểm của BC và B 1 C 1 . Chứng minh rằng: MO vuông góc với AA 1 . Đề số 10 (Năm học 2000-2001) Bài 1: a) Tìm giá trị của m để phơng trình: 0m1mxx 22 =++ có nghiệm ]1;1[x . c) Cho hệ phơng trình: =++ =++ =++ =++ 1n 2 n n1n 2 1n 32 2 2 21 2 1 xcbxax xcbxax xcbxax xcbxax Tìm điều kiện đối với a, b, c để hệ trên: - vô nghiệm. - có nghiệm duy nhất. Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (a;b) để phơng trình 0baabxx 2 =++ có nghiệm nguyên. Bài 3: a) Cho ABC và 3 điểm A, B, C là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Tính giá trị biểu thức 'CC.AB'BB.CA'AA.BCS ++= Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an môn toán lớp 10 (từ 1992-1993 đến 2005-2006) b) Cho ABC có AB = 3, BC = 5, AC = 7 và AD, CE là phân giác trong cắt nhau tại P. Tính AP. Bài 4: a) Tìm điểm M trong ABC để MA+MB+MC nhỏ nhất. b) Xét tứ giác lồi ABCD có độ dài đờng chéo AC, BD cho trớc và góc giữa hai đờng chéo đó có độ lớn đã cho. Hãy xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất. Đề số 11 (Năm học 2001-2002) Bảng A Bài 1: a) Dùng lý thuyết mệnh đề để chứng minh nhận định sau là sai: Mọi hình tứ giác đều có một đờng tròn ngoại tiếp nó. b) Giải phơng trình: 03x24x4x 24 =+ . Bài 2: a) Cho x, y, z không âm thoả mãn: 4xyzzxyzxy =+++ . Chứng minh rằng: zxyzxyzyx ++++ b)Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn: )x(P)2002x()1x(xP = . Bài 3: a) Cho ABC, O là điểm sao cho 0OCOBOA =++ . Đờng thẳng () cắt các đờng thẳng OA, OB, OC lần lợt tại A, B, C. Chứng minh rằng: 0 'OC OC 'OB OB 'OA OA =++ b) Cho ABC, ta vẽ các đờng phân giác trong. Giao điểm A, B, C của chúng với các cạnh đối diện tạo thành ABC. Chứng minh rằng: ( )( )( ) accbba abc2 )ABC(S )'C'B'A(S +++ = (S là diện tích tam giác và a, b, c là độ dài các cạnh). Đề số 12 (Năm học 2001-2002) Bảng B Bài 1: (Bài 1 của bảng A) Bài 2: a) Với giá trị nào của k thì hệ sau có nghiệm: <+ <+ 04kx 06x5x 2 Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an môn toán lớp 10 (từ 1992-1993 đến 2005-2006) b) Bài 2a) bảng A. Bài 3: Cho ABC, O là điểm sao cho 0OCOBOA =++ . a) Chứng minh O là trọng tâm ABC. b) Gọi AA, BB, CC là các trung tuyến của tam giác, O là trọng tâm và a, b, c là độ dài 3 cạnh. Chứng minh rằng: 6 cba MO3MC.MB'MA.MA2 222 2 ++ =+ Đề số 13 (Năm học 2002-2003) Bảng A Bài 1: a) Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ ABC có cạnh là a, b, c thì: 3 a c c b b a ++ . b) Giả sử phân giác của góc A cắt BC tại Y, phân giác của góc B cắt AC tại Z, phân giác của góc C cắt AB tại X. Chứng minh rằng: 3 ZA CZ YC BY XB AX ++ . Bài 2: a) Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thoả mãn: ;36zyx;25cba 222222 =++=++ 30czbyax =++ . Hãy tính giá trị biểu thức: zyx cba P ++ ++ = . b) Cho hai phơng trình 0a2x3x 2 =++ và 0a5x6x 2 =++ Tìm tất cả các giá trị của a để mỗi phơng trình đều có 2 nghiệm phân biệt và giữa 2 nghiệm của phơng trình này có đúng một nghiệm của phơng trình kia. Câu 3: a) Cho 2 điểm A, B cố định với AB = a. Tìm tập hợp những điểm P thoả mãn 222 kPBPA = (k là số thực không âm). b) Xét hình chữ nhật ABCD và điểm M di động trên BC. Phân giác góc DAM cắt BC tại N. Hãy xác định vị trí của M để MN AN đạt giá trị nhỏ nhất. Đề số 14 (Năm học 2002-2003) Bảng B Bài 1: a) Bài 1a - Bảng A. b) Cho a, b, c >0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 6accbba +++++ . Bài 2: Bài 2 Bảng A. Bài 3: a) Bài 3a Bảng A. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an môn toán lớp 10 (từ 1992-1993 đến 2005-2006) b) Cho tam giác ABC và P là một điểm thuộc mặt phẳng tam giác. Gọi K, L, M lần lợt là hình chiếu vuông góc của P lên các đờng thẳng BC, CA, AB. Hãy xác định vị trí của P sao cho tổng 222 AMCLBK ++ nhỏ nhất. Đề số 15 (Năm học 2003-2004) Bảng A Bài 1: a. Giải phơng trình 07x12x6xx2 22 =++ b. Giả sử đa thức f(x) có các hệ số nguyên và các giá trị f(0); f(1) là những số lẻ. Chứng minh rằng f(x) không thể có nghiệm nguyên. Bài 2: a. Tìm điều kiện để hàm số sau xác định trên [0; 1) 1mx2mxy += b. Cho a, b, x, y thoả mãn các điều kiện: 0 4 7 2 3 b a a b x y < + Tìm giá ttrị nhỏ nhất của 2 2 1 2 2x y x y S a b + + + = + Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác, lấy các điểm M, N, P sao cho .ax0,xAP; 3 a2 CN; 3 a BM <<=== a. Tính x theo a để cho AM vuông góc PN. b. Cho H là một điểm thuộc miền của tam giác ABC nói trên. Gọi H 1 H 2 H 3 lần lợt là các điểm đối xứng của H qua các cạnh của tam giác ấy. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác H 1 H 2 H 3 không phụ thuộc vào vị trí của điểm H. Đề số 16 (Năm học 2003-2004) Bài 1: Bài 1 của Bảng A. Bài 2: a) Bài 2a Bảng A. b) Cho a, b, c thoả mãn: =++ =++ 1cabcab 2cba 222 . Chứng minh rằng: 3 4 ; 3 4 c,b,a Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an môn toán lớp 10 (từ 1992-1993 đến 2005-2006) Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác, lấy các điểm M, N, P sao cho .ax0,xAP; 3 a2 CN; 3 a BM <<=== a. Chứng minh )AB a x3 AC( 3 1 PN = . b. Tính x theo a để cho AM vuông góc PN. Đề số 17 (Năm học 2004-2005) Bảng B Bài 1. a). Giải phơng trình 2 2 2 2 1 3 4 1x x x x x+ + = + + b). Xác định các giá trị của a, b sao cho a và b là hai nghiệm phân biệt của phơng trình 2 0x ax b+ + = . Bài 2. a). Giả sử 0 , , 1a b c . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức S a b c ab bc ca = + + b). Cho hệ phơng trình 1 9 x y z xy yz zx a xyz a + + = + + = = Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm số dơng. Bài 3. a). Cho tứ giác ABCD, với , , ,AB a BC b CD c DA d= = = = . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 .AC DB a b c d= + uuu uuu . b). Tìm tập hợp Q những điểm M sao cho với 2 2 2 ,MA MB k k + + = Ă với AB cố định cho tr- ớc và AB = a. Đề số 18 (Năm học 2005-2006) BảNg A Bài 1. a). Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của x thoả mãn phơng trình 3 2 1 4x x + + = b).Tìm cặp số nguyên (x; y) với 1, 0x y sao cho 2 2 2 4 2 13 17 1975 2006 0x xy y x y+ + + = . Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an môn toán lớp 10 (từ 1992-1993 đến 2005-2006) Bài 2. a). Xét tất cả các tam thức bậc hai ( ) 2 0f x ax bx c= + + với mọi x Ă , trong đó a < b. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c A b a + + = . b). Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng: 2 2 2 52 2 2 27 a b c abc + + + < . Bài 3. a). Cho tứ giác lồi ABCD và điểm I thoả mãn hệ thức 0IA IB IC ID+ + + = uu uu uu uu Có kết luận gì về điểm I. Hãy chứng minh điều đó. b). Cho tam giác ABC có các trung tuyến BI và CJ. Chứng minh rằng đờng cao AH nằm trên trục đẳng phơng của hai đờng tròn đờng kính BI và CJ. . =+ . b) Tìm tập hợp điểm N sao cho: 222 NC2NBNA =+ . Đề số 3 (Năm học 1994 1995) Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an môn toán lớp 10 (từ 1992-1993. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an môn toán lớp 10 (từ 1992-1993 đến 2005-2006) Đề số 1 (Năm học 1992-1993) Bài 1: