CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC TÓM TẮT GIÁO KHOA Định nghĩa : Giả sử K khoảng , đoạn nửa khoảng Hàm số f xác định K gọi : • Đồng biến K với x1,x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1) < f ( x2 ) • Nghịch biến K với ∀x1,x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1) > f ( x2 ) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I • Nếu hàm số f đồng biến khoảng I f '( x) ≥ với x ∈ I • Nếu hàm số f nghịch biến khoảng I f '( x) ≤ với x ∈ I Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Định lý : Giả sử I khoảng nửa khoảng đoạn , f hàm số liên tục I có đạo hàm điểm I ( tức điểm thuộc I đầu mút I ) Khi : • Nếu f '( x) > với x ∈ I hàm số f đồng biến khoảng I • Nếu f '( x) < với x ∈ I hàm số f nghịch biến khoảng I • Nếu f '( x) = với x ∈ I hàm số f khơng đổi khoảng I Chú ý : • Nếu hàm số f liên tục a;b có đạo hàm f '( x) > khoảng ( a;b) hàm số f đồng biến a;b • Nếu hàm số f liên tục a;b có đạo hàm f '( x) < khoảng ( a;b) hàm số f nghịch biến a;b • Ta mở rộng định lí sau Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I Nếu f '(x) ≥ với ∀x ∈ I ( f '(x) ≤ với ∀x ∈ I ) f '(x) = số hữu hạn điểm I hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) I Chú ý Vận dụng định lí vào hàm số thường gặp chương trình P(x) *Nếu hàm số f hàm đa thức (không kể hàm số hằng) f(x) = Q(x) (trong P(x) đa thức bậc hai , Q(x) đa thức bậc P(x) không HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn chia hết cho Q(x) hàm số f đồng biến (nghịch biến ) K ⇔ ∀x ∈ K ,f '(x) ≥ (f '(x) ≤ 0) ax + b với a,b,c,d số thực cx + d ad – bc ≠ hàm số f đồng biến (nghịch biến ) K ⇔ ∀x ∈ K ,f '(x) > 0(f '(x) < 0) *Nếu hàm số f hàm biến , f(x) = B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số Bài tốn 01: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phương pháp B1.Tìm tập xác định hàm số f B2 Tính đạo hàm f ’(x) tìm điểm x0 cho f '(x0 ) = f '(x0 ) không xác định B3 Lập bảng xét dấu f '( x) ,dựa vào định lí ,nêu kết luận khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số B4 Kết luận Các ví dụ Ví dụ Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: − 4x y = 1− x 2x + x+1 Lời giải Tập xác định : D = ¡ \ { 1} Ta có: y' = −2 (x − 1)2 < ∀x ∈ D ,suy hàm số nghịch biến khoảng xác định Giới hạn lim y = , lim y = 4; x→+∞ x→−∞ lim y = −∞ , lim y = +∞ x→−1+ x→−1− Bảng biến thiên: HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn x -∞ +∞ - y' +∞ y -∞ Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ( 1; +∞) Tập xác định : D = ¡ \ { −1} Ta có: y' = (x − 1)2 > ∀x ∈ D , suy hàm số đồng biến khoảng xác định lim y = −∞ , lim y = +∞ Giới hạn lim y = , lim y = 2; x→+∞ x→−1+ x→−∞ x→−1− Bảng biến thiên: x -1 -∞ +∞ + + y' +∞ y -∞ Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) ( −1; +∞) Ví dụ Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y = x2 1− x −x2 − x + x+ Lời giải Tập xác định : D = ¡ \ { 1} y= Ta có: y' = − x2 + 2x (1− x)2 x = , y = ∀x ∈ D: y' = ⇔   x = , y = −4 Giới hạn lim− y = +∞ , lim+ y = −∞; x→1 x→1 lim y = +∞ , lim y = −∞ x→−∞ x→+∞ HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Bảng biến thiên: x -∞ - y' y 0 + + +∞ - +∞ +∞ CT CÑ -4 -∞ -∞ Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0) ( 2; +∞) ; Hàm số đồng biến khoảng (0;1) (1;2) Tập xác định : D = ¡ \ { −2} Ta có: y' = −1− (x + 2)2 < ∀x ∈ D, suy hàm số nghịch biến khoảng xác định Giới hạn lim− y = −∞ , lim+ y = +∞; lim y = − ∞ , lim y = −∞ x→−2 x→−∞ x→−2 x→+∞ Bảng biến thiên: x - y' y -2 -∞ +∞ +∞ +∞ -∞ -∞ Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −2) ( −2; +∞) Ví dụ Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: x3 − 4x + x− Lời giải Tập xác định : D = ¡ \ { 2} f(x) = Ta có: f '(x) = (3x2 − 4)(x − 2) − (x3 − 4x + 8) (x − 2)2 = 2x3 − 6x2 (x − 2)2 ∀x ∈ D: f '(x) = ⇔ 2x3 − 6x2 = ⇔ x = x = HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Giới hạn: lim− f(x) = −∞ , lim+ f(x) = +∞; lim f(x) = +∞ , lim f(x) = +∞ x→2 x→−∞ x→2 x→+∞ Bảng biến thiên: x -∞ - f'(x) f(x) - - +∞ + +∞ +∞ +∞ 23 -4 CT -∞ Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;2) ( 2;3) ; Hàm số nghịch biến khoảng ( 3;+∞ ) Ví dụ Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y = x3 – 3x2 + x3 + x2 + 3x − Lời giải Tập xác định : D = ¡ Ta có: y' = 3x2 – 6x y=  x = , y(0) = ∀x ∈ D: y' = ⇔   x = , y(2) = 4 4 3 3 Giới hạn: lim y = lim x  1− + ÷ = +∞ , lim y = lim x  1− + ÷ = −∞ x→+∞ x→+∞ x→−∞ x→−∞ x x  x x    Bảng biến thiên: x + y' -∞ y - +∞ + +∞ yCÑ yCT -∞ Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 0) (2 ; +∞) ; Hàm số nghịch biến ( 0;2) Tập xác định : D = ¡ Ta có: y' = x2 + 2x + = ( x + 1) + > ∀x ∈ D , suy hàm số đồng biến ¡ HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Giới hạn: lim y = +∞ , lim y = −∞ x→+∞ x→−∞ Bảng biến thiên x -∞ +∞ + y' +∞ y -∞ Ví dụ Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y = x4 + 2x2 – 4 x − 2x2 + Lời giải Tập xác định : D = ¡ Ta có: y' = 4x3 + 4x = 4x(x2 + 1) y= ∀x ∈ D: y' = ⇔ x = 0,y(0) = −4 4 4 Giới hạn: lim y = lim x  1+ − ÷ = +∞; x→+∞ x→+∞  x x  Bảng biến thiên x -∞ y +∞ - y'  4 lim y = lim x4  1+ − ÷ = +∞ x→−∞ x→−∞  x x4  +∞ + +∞ -4 CT Hàm số đồng biến khoảng (0; +∞ ); Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) Tập xác định : D = ¡ Ta có: y' = x3 − 4x = x(x2 − 4)  x = , y(0) = ∀x ∈ D: y' = ⇔   x = ±2 , y(±2) = −2 lim y = +∞ Giới hạn: lim y = +∞; x→−∞ x→+∞ Bảng biến thiên HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang x -2 -∞ - y' + - +∞ + +∞ y +∞ CÑ -2 CT -2 CT Hàm số đồng biến hai khoảng (- 2;0) (2;+ ∞ ); Hàm số nghịch biến hai khoảng (- ∞ ; - 2) (0;2) Ví dụ Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y = 9x7 − 7x6 + x5 + 12 3 y = x5 − x4 + x2 + 2x − Lời giải Hàm số cho xác định ¡ Ta có: y' = 7x4 ( 3x − 1) 1 y' > với x ≠ , x ≠ 3  1 Hàm số đồng biến nửa khoảng ( −∞;0 , đoạn 0;  nửa khoảng  3 y' = với x = x = 1   ; +∞ ÷ Từ suy hàm số đồng biến ¡   Hàm số cho xác định ¡ ( )( ) 2 Ta có: y' = x − 2x − 3x + y' = ⇔ x = −1 x = 2x2 − 3x + > 0, ∀x ∈ ¡ Từ bảng biến thiên suy hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) ( 1;+∞ ) , nghịch biến khoảng ( −1;1) CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: x− 2x − 1 y = y = x−1 x−1 2x + 3x + y = y = x−1 + 4x Bài 2: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang y = x2 + 4x + x+ y = 4x2 + 5x + x+1 x2 − x + − x2 + 2x − y = x−1 x+ Bài 3: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y = y = x3 − 3x2 + y = x − 2x2 + x − 3 y = x3 3x2 − + 2x + 4 y = x3 − 6x2 + 9x − y = − x3 − 3x2 + 24x + 26 Bài 4: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y = −2x4 + 4x2 y = x4 − 6x2 + 8x − 1 3 y = − x4 − x2 + y = − x4 + x3 − 4x + 4 Bài 5: Chứng minh hàm số sau đồng biến ¡ : y = x9 − x6 + 2x3 − 3x2 + 6x − Bài tốn 02: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, CHỨA CĂN THỨC Phương pháp Nhận xét: • Bài tốn xét tính đơn điệu hàm số chuyển toán xét dấu biểu thức ( y' ) • Khi tính đạo hàm hàm số có dạng y = f(x) ta chuyển trị tuyệt đối vào thức y = f 2(x) , điểm mà f(x) = hàm số khơng có đạo hàm Các ví dụ Ví dụ Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y = 1− x3 Lời giải Hàm số cho xác định nửa khoảng Ta có: y' = − ( −∞;1 3x2 1− x3 y' = x = y' < ∀x ∈ ( −∞;1) x ≠ Do hàm số nghịch biến nửa khoảng ( −∞;1 Chú ý: y' = x = hàm số khơng đổi nửa khoảng ( −∞;1 Ví dụ Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y = ( x + 3) − 2x − x2 HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Lời giải Hàm số cho xác định liên tục đoạn −  3;1 Ta có: y' = −2x( x + 3) − 2x − x2 , hàm số khơng có đạo hàm x = −3, x = −  3< x < ⇔ x= Với ∀x ∈ ( −3;1) : y' = ⇔  −2x( x + 3) = Bảng biến thiên x −3 + y' y − 3 Hàm số đồng biến hai khoảng ( −3;0) ,hàm số nghịch biến hai khoảng ( 0;1) CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y = x2 − 2x y = x3 − 2x y = x 1− x2 y = 3x2 − x3 Bài 2: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y = x + 2x − x2 y = ( 2x + 1) − x2 y = x2 − x − 20 y = x + 1− x2 + 3x + Bài 3: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: x x+ y = y = x2 + x2 + Bài 4: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y = x + y = x + 2x − Bài 5: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y = x − 2x − 2 y = x − 4x + + 2x + Bài tốn 03: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ KHÁC Ví dụ Ví dụ Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y = x2 x4 + Lời giải Hàm số cho xác định ¡ HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Ta có: y' = ( 2x 1− x4 ( ) x4 + Bảng xét dấu: x y' ) Với ∀x ∈ ¡ : y' = ⇔ x = −1 x = x = −∞ +∞ −1 + 0 − + − Trên khoảng x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 0;1) : y' > ⇒ y đồng biến khoảng ( −∞;−1) ( 0;1) ; Trên khoảng x ∈ ( −1;0) ∪ ( 1; +∞ ) : y' < ⇒ y nghịch biến khoảng x ∈ ( −1;0) ( 1;+∞ ) CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài tập: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: 4x + 12x + 3x2 − x + 1 y = 2 y = y = 4x − 12x2 + x2 − x + Bài tốn 04: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Phương pháp Vì y' = vô hạn điểm nên ta chưa thể kết luận hàm số nghịch biến ¡ Ta chứng minh hàm số nghịch biến ¡ định nghĩa Với ∀x1,x2 ∈ ¡ , x1 < x2 , ln tồn khoảng (a;b) chứa x1,x2 Do y' = hữu hạn điểm khoảng (a;b) nên hàm số nghịch biến khoảng (a;b) ⇒ y(x1) > y(x2) ⇒ hàm số nghịch biến Chú ý: • Khi xét tính đơn điệu hàm số chứa hàm lượng giác cần lưu ý đạo hàm hàm số triệt tiêu vơ hạn điểm Khi để xét tính đơn điệu hàm số TXĐ, ta chuyển xét tính đơn điệu khoảng chứa hữu hạn điểm mà đạo hàm triệt tiêu • Đối với hàm đa thức tất hệ số không đồng thời triệt tiêu hữu hạn điểm Ví dụ Ví dụ Chứng minh hàm số : y = cos2x − 2x + nghịch biến ¡ Lời giải Hàm số cho xác định ¡ Ta có: y' = −2sin2x − = −2( 1+ sin2x) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ y' = π + kπ , k ∈ ¢ Vì y' = vô hạn điểm nên chưa thể kết luận hàm số nghịch biến ¡ x= − HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Với ∀x1,x2 ∈ ¡ x1 < x2 , ln tồn khoảng ( a;b) chứa x1,x2 Do y' = hữu hạn điểm khoảng ( a;b) nên hàm số nghịch biến khoảng ( a;b) y ( x1) > y ( x2 ) ⇒ hàm số nghịch biến ¡ CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y = 2sinx + cos2x với x ∈ 0; π y = sin2x − 2cosx − 2x với  π π x∈  − ; ÷  2 Bài Chứng minh hàm số y = sin2x − 2x + nghịch biến ¡ Chứng minh hàm số y = 3sinx − cosx + 2x − đồng biến ¡ Tìm m để hàm số y = 2x + msinx − đồng biến ¡ Tìm m để hàm số y = 2cos2x + mx − đồng biến ¡ 1 Bài Tìm tham số m để hàm số: y = mx + sinx + sin2x + sin3x đồng biến ¡ Dạng 2: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu tập xác định Phương pháp B.1 Xác định tham số để hàm số f xác định khoảng cho B.2 Tính f’(x) ,vận dụng định lí vào hàm số thường gặp chương trình (xem phần tóm tắt giáo khoa) Chú ý Để giải toán dạng ,ta thường sử dụng tính chất sau Nếu f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) ∆ ≤ * ∀x ∈ ¡ (hay ¡ bớt số hữu hạn điểm), f(x) ≥ ⇔  a > * ∀x ∈ ¡ ∆ ≤ (hay ¡ bớt số hữu hạn điểm), f(x) ≤ ⇔  a < Bài tốn 01: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phương pháp • Tìm TXĐ • Tính y’ • Hàm số đồng biến ¡ ⇔ y' ≥ 0,∀x ∈ ¡ ( Hàm số nghịch biến ¡ ⇔ y' ≤ 0,∀x ∈ ¡ Từ suy điều kiện m HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Chú ý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục D • Hàm số đồng biến I ⊂ D ⇔ f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ I f '(x) = có hữu hạn nghiệm • Hàm số đồng biến I ⊂ D ⇔ f '(x) ≤ 0, ∀x ∈ I f '(x) = có hữu hạn nghiệm Các ví dụ Ví dụ 1: Định m để hàm số y = mx + đồng biến khoảng x+ m xác định Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ \ {− m}( −∞; −m) ∪ ( − m; +∞ ) Ta có: y' = m2 − (x + m)2 Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −m) ( − m; +∞ ) ⇔ y' > , ∀x ∈ D ⇔ m2 − > ⇒ m < −2 m > Vậy, với m < −2 m > hàm số ln đồng biến khoảng ( −∞;−m) ( −m;+∞ ) Ví dụ : Định m để hàm số đồng biến: y = x3 + 3x2 + mx + m y = mx3 − (2m − 1)x2 + (m − 2)x − Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ Ta có: y' = 3x2 + 6x + m Cách 1: Hàm số đồng biến ¡ ⇔ y' ≥ 0,∀x ∈ ¡ , phải có ∆ ' ≤ , tức − 3m ≤ hay m ≥ Vậy, với m ≥ hàm số ln đồng biến ¡ Cách 2: Hàm số đồng biến ¡ ⇔ y' ≥ 0,∀x ∈ ¡ , phải có m ≥ −3x2 − 6x Xét hàm số g ( x) = −3x − 6x ¡ có g'( x) = −6x − , g'( x) = ⇔ x = −1 Bảng biến thiên: x −∞ +∞ g'(x) g(x) −1 − + −∞ −∞ HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m ≥ g(x) với ∀x ∈ ¡ ⇔ m ≥ Hàm số cho xác định D = ¡ Ta có: y' = 3mx2 − 2(2m − 1)x + m − ∆ ' ≤ ⇔ y' ≥ 0,∀x ∈ ¡ , phải có  , tức 3m > Hàm số ln đồng biến ¡ 4m2 − 4m + 1− 3m(m − 2) ≤ (m + 1)2 ≤ ⇒ m> hay   m > m > Vậy, với m > hàm số ln đồng biến ¡ CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm a để hàm số y = x3 + ax2 + 4x + đồng biến ¡ m Bài 2: Tìm để hàm số sau nghịch biến khoảng xác định mx + − 2m −2x2 + ( m + 2) x − 3m + 1 y = y = x+ m x−1 Bài 3: Tìm m để hàm số: y = (m + 2) x3 − (m + 2)x2 − (3m − 1)x + m2 đồng biến ¡ y = (m − 1)x3 − 3(m − 1)x2 + 3(2m − 3)x + m nghịch biến ¡ ( ) m − x3 + ( m + 1) x2 + 3x nghịch biến ¡ 3 x− + x − đồng biến tập xác định y = mx + 3 y = ( ) ( ) y = x + 1+ m x2 + đồng biến ¡ Bài 4: Tìm m để hàm số: y = −3x2 + mx − nghịch biến khoảng 2x − xác định Bài tốn 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Ví dụ : Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu hàm số: 1 y = x3 − m ( m + 1) x2 + m3x + m2 + Lời giải Hàm số cho xác định ¡ Ta có y' = x2 − m ( m + 1) x + m3 ∆ = m2 ( m − 1) + m = y' = x2 ≥ 0,∀x ∈ ¡ y' = điểm x = Hàm số đồng biến nửa khoảng ( −∞;0 0; +∞ ) Do hàm số đồng biến ¡ HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang + m = y' = ( x − 1) ≥ 0,∀x ∈ ¡ y' = điểm x = Hàm số đồng biến nửa khoảng ( −∞;1 1; +∞ ) Do hàm số đồng biến ¡ + m ≠ 0,m ≠ y' = ⇔ x = m x = m2 × Nếu m < m > m < m2 Bảng xét dấu y' : x −∞ +∞ y' + m + m2 − 0 Dựa vào bảng xét dấu, suy hàm số đồng biến khoảng ( −∞;m) ( ) ( ) 2 m ;+∞ , giảm khoảng m;m × Nếu < m < m > m2 Bảng xét dấu y' : x −∞ +∞ + y' + m m2 − 0 ( Dựa vào bảng xét dấu, suy hàm số đồng biến khoảng −∞;m ( ) ) ( m;+∞ ) , giảm khoảng m ;m Dạng 3: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu khoảng xác định Phương pháp Tìm điều kiện để hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu khoảng (α ; β ) Hàm số cho xác định D = ¡ Ta có: y′ = f ′(x) = 3ax2 + 2bx + c Hàm số f đồng biến (α ; β ) ⇔ y′ ≥ 0,∀x ∈ (α ; β ) y′ = xảy số hữu hạn điểm thuộc (α ; β ) Trường hợp 1: • Nếu bất phương trình f′(x) ≥ ⇔ h(m) ≥ g(x) (*) f đồng biến (α ; β ) ⇔h(m) ≥ maxg(x) (α ;β ) • Nếu bất phương trình f′(x) ≥ ⇔ h(m) ≤ g(x) (**) f đồng biến (α ; β ) ⇔h(m) ≤ ming(x) (α ;β ) HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f′(x) ≥ khơng đưa dạng (*) đặt t = x − α Khi ta có: y′ = g(t) = 3at2 + 2(3aα + b)t + 3aα + 2bα + c – Hàm số f a > đồng biến khoảng (−∞;a) ⇔g(t) ≥ 0,∀t < ⇔ ∆ ≤ a >  ∆ >  S > P ≥  a > – Hàm số f đồng biến khoảng (a; +∞) ⇔g(t) ≥ 0,∀t > ⇔ ∆ ≤ a >  ∆ >  S < P ≥  2.Hàm số f nghịch biến (α ; β ) ⇔ y′ ≥ 0,∀x ∈ (α ; β ) y′ = xảy số hữu hạn điểm thuộc (α ; β ) Trường hợp 1: • Nếu bất phương trình f′(x) ≤ ⇔ h(m) ≥ g(x) (*) f nghịch biến (α ; β ) ⇔h(m) ≥ maxg(x) (α ;β ) • Nếu bất phương trình f′(x) ≥ ⇔ h(m) ≤ g(x) (**) f nghịch biến (α ; β ) ⇔h(m) ≤ ming(x) (α ;β ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f′(x) ≤ khơng đưa dạng (*) đặt t = x − α Khi ta có: y′ = g(t) = 3at2 + 2(3aα + b)t + 3aα + 2bα + c a < – Hàm số f nghịch biến khoảng (−∞;a) ⇔g(t) ≤ 0,∀t < ⇔ ∆ ≤ a <  ∆ >  S > P ≥  a < – Hàm số f nghịch biến khoảng (a; +∞) ⇔g(t) ≤ 0,∀t > ⇔ ∆ ≤ HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang a <  ∆ >  S < P ≥  Chú ý: Phương trình f ( x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thỏa x1 < < x2 ⇔ P < x1 ≤ ≤ x2 ⇔ P ≤ ∆ >  ≤ x1 < x2 ⇔ P ≥ S >  ∆ >  x1 < x2 ≤ ⇔ P ≥ S <  0 < x1 < x2 ∆ > ⇔   x1 < x2 < P > b c , P = x1.x2 = a a Nếu hàm số f(x) có giá trị nhỏ tập D ,thế thì: ∀x ∈ D,f(x) ≥ ⇔ minf(x) ≥ Trong : S = x1 + x2 = − x∈D Nếu hàm số f(x) có giá trị lớn tập D, ∀x ∈ D,f(x) ≤ ⇔ maxf(x) ≤ x∈D Cho hàm số y = f(x) liên tục D ≥ k ( tồn minf(x) ) * f(x) ≥ k ∀x ∈ D ⇔ minf(x) D D ≤ k ( tồn maxf(x) ) * f(x) ≤ k ∀x ∈ D ⇔ maxf(x) D D Bài tốn 01: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG K = −∞;α , β;+∞ , ( −∞;α  , β;+∞ Phương pháp Chú ý 1: * Hàm số y = f ( x,m) tăng ¡ ⇔ y' ≥ ∀x ∈ ¡ ⇔ y' ≥ ( ) ( ) ) x∈¡ y' ≤ * Hàm số y = f ( x,m) giảm ¡ ⇔ y' ≤ ∀x ∈ ¡ ⇔ max x∈¡ Chú ý 2: Đặt f ( x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) • f ( x) = có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn : x1 < α < x2 Đặt t = x − α , g ( t) = f ( t + α ) Bài toán trở thành g ( t) = có hai nghiệm trái dấu tức t1 < < t2 ⇔ P < HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang • f ( x) = có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn : x1 ≤ x2 < α Đặt t = x − α , g ( t) = f ( t + α ) Bài toán trở thành g ( t) = có hai nghiệm âm nghĩa t1 ≤ t2 < ⇔ ∆ ≥ 0, S < 0, P > • f ( x) = có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn β < x1 ≤ x2 Đặt t = x − β , g ( t) = f ( t + β ) Bài toán trở thành g ( t) = có hai nghiệm dương nghĩa < t1 ≤ t2 ⇔ ∆ ≥ 0, S > 0, P > • Để ý f ( x) = có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: x1 < α < x2 ⇔ ( x1 − α ) ( x2 − α ) < ⇔ x1.x2 − α ( x1 + x2 ) + α < ∆ >  α < x1 < x2 ⇔ x1 + x2 > 2α  x −α x −α >0 )( ) ( ∆ >  x1 < x2 < α ⇔ x1 + x2 < 2α  x −α x −α >0 )( ) ( α < x1 < x2 < β ⇔ ∆ > 0, 2α < x1 + x2 < 2β , ( x1 − α ) ( x2 − α ) > 0, ( x1 − β ) ( x2 − β ) > Ví dụ Ví dụ Cho hàm số y = (m + 1)x2 − 2mx + 6m Tìm giá trị tham số m để hàm x−1 số: Đồng biến khoảng xác định nó; khoảng ( 4; +∞ ) Đồng biến Lời giải TXĐ: D = ¡ \ { 1} Xét hai trường hợp 2x − y' = > với x ∈ D x−1 (x − 1)2 Do hàm số đồng biến khoảng xác định Vậy, m = −1 thỏa yêu cầu toán TH1: Khi m = −1 , ta có hàm số y = TH2: Khi m ≠ −1 , ta có y' = (m + 1)x2 − 2(m + 1)x − 4m (x − 1)2 Đặt g(x) = (m + 1)x2 − 2(m + 1)x − 4m ta có y' dấu với g(x) Hàm số đồng biến khoảng xác định ⇔ ∀x ∈ D,y' ≥ ⇔ ∀x ∈ D ,g(x) ≥ ∆ ' = (m + 1)2 + 4m(m + 1) ≤ (m + 1)(5m + 1) ≤ ⇔ ⇔ ⇔ −1< m ≤ − m > −1 m + > HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Vậy tập hợp giá trị tham số m thỏa yêu cầu toán  1  −1; − 5   Theo câu m = −1 thỏa mãn đề Với m ≠ −1 Khi hàm số đồng biến khoảng ( 4; +∞ ) ⇔ ∀x ∈ (4; +∞),g(x) ≥ ⇔ ∀x ∈ (4; +∞), 2x − x ≤ m x2 − 2x − (do x2 − 2x − > ∀x ∈ (4; +∞)) Xét hàm h ( x) = 2x − x2 , (1) ⇔ ∀x ∈ (4; +∞),h(x) ≤ m ta lập bảng biến x2 − 2x − thiên h ( x) (4; +∞) h'(x) = 8x − (x − 2x − 4)2 > ∀x ∈ (4; +∞) 2  x2  − 1÷ −1 x   x lim h(x) = lim = lim = −1 x→+∞ x→+∞   x→+∞ − − x  1− − x x2 x x2 ÷   Dựa vào bảng biến thiên h ( x) suy ∀x ∈ (4; +∞) , h(x) ≤ m ⇔ −1 ≤ m Vậy tập hợp giá trị tham số m thỏa yêu cầu toán [−1; +∞) CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Định m để hàm số : 2x − 1 y = nghịch biến (2; +∞) x− m mx + y = nghịch biến khoảng ( −∞;1) x+ m y = 2x2 − 3x + m đồng biến khoảng (−∞; −1) x−1 y = x2 − 2mx + 3m2 nghịch biến khoảng (−∞;1) 2m − x y = x2 + 5x + m2 + đồng biến khoảng ( 1;+∞ ) x+ mx2 + 6x − nghịch biến nửa khoảng 1; +∞ ) x+ Bài 2: Định m để hàm số : y = x3 + (1− 2m)x2 + (2 − m)x + m + đồng biến khoảng (0; +∞) y = HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang y = x3 + 3x2 − mx − đồng biến khoảng (−∞;0) y = x3 − mx2 + (1− 2m)x − đồng biến ( 1;+∞ ) y = x3 − (m + 1)x2 − (2m2 − 3m + 2)x + m(2m − 1) đồng biến  2; +∞ ) y = mx3 + 2( m − 1) x2 + ( m − 1) x − 2013 đồng biến khoảng ( 2;+∞ ) ( ) 2 y = x − ( m + 1) x − 2m − 3m + x + 2013m ( 2m − 1) đồng biến nửa  2; +∞ ) Bài 3: Định m để hàm số : y = 2x3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + đồng biến khoảng (2; +∞) y = x3 + (m − 1)x2 − (2m2 + 3m + 2)x nghịch biến (2; +∞) y = (m2 − 1)x3 + (m − 1)x2 − 2x + (m ≠ ±1) nghịch biến khoảng (−∞;2) y = mx3 − (m − 1)x2 + 3(m − 2)x + đồng biến (2; +∞) y = − x3 − 3x2 + mx + nghịch biến khoảng ( 0;+∞ ) y = 2x3 − 2x2 + mx − đồng biến khoảng ( 1;+∞ ) Bài tốn 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG XÁC ĐỊNH ( α;β ) , α;β Phương pháp Ví dụ Ví dụ : Định m để hàm số y = x3 + 3x2 + (m − 1)x + 4m nghịch biến ( − 1;1) Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ Ta có: y' = 3x2 + 6x + m − Cách 1: Hàm số nghịch biến khoảng ( − 1;1) ⇔ y' ≤ x1 < −1 < < x2 ( x1 + 1) ( x2 + 1) < m < ⇔ ⇔ ⇒ m < −8 m < −8 ( x1 − 1) ( x2 − 1) < Vậy, với m < −8 hàm số nghịch biến khoảng ( − 1;1) Cách 2: Hàm số nghịch biến khoảng ( − 1;1) ⇔ y' ≤ , ∀x ∈ ( − 1;1) tức phải có: m ≥ −3x2 − 6x + 1, ∀x ∈ ( − 1;1) HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Xét hàm số g ( x) = −3x2 − 6x + 1, ∀x ∈ ( − 1;1) có g'( x) = −6( x + 1) Với ∀x ∈ ( − 1;1) ⇒ x + > ⇒ g'(x) < , ∀x ∈ ( − 1;1) Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m ≥ g(x) với ∀x ∈ ( − 1;1) ⇔ m < −8 Vậy, với m < −8 hàm số ln nghịch biến khoảng ( − 1;1) CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Định m để hàm số : y = x4 − 2mx2 − 3m + đồng biến khoảng (1; 2) y = x3 − (m + 2)x2 + (3m + 2)x + đồng biến đoạn  3;4 Bài 2: Tìm m để hàm số: 1 y = x3 + ( 2m − 1) x2 + mx + nghịch biến khoảng ( 0;1) x3 − (m + 1)x2 + (2m + 1)x + m nghịch biến (0;3) 3 y = x3 + 3x2 − 3(m2 − 1)x + đồng biến (1;2) y = y = x – 3x + ( 2m + 1) x – biến [ −2; −1] y = x3 + 3x2 + ( m + 1) x + 4m nghịch biến khoảng ( −1;1) y = mx3 − x2 + 3x + m − đồng biến khoảng ( −3;0) Dạng 4: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu khoảng có độ dài k cho trước Phương pháp + Tìm TXĐ + Tính y’ + Hàm số có khoảng đồng biến ( nghịch biến ) ⇔ y' = có nghiệm phân biệt x1, x2 đồng thời x2 − x1 = k Chú ý: ax2 + bx + c = có nghiệm x1,x2 (giả sử x1 < x2 ) thỏa x1 = −b − ∆ −b + ∆ , x2 = 2a 2a ⇒ x2 − x1 = ∆ , ∆ = b2 − 4ac x2 − x1 = k ⇔ ( x1 + x2 ) − 4x1.x2 = k2 ( a > 2a ) Các ví dụ Ví dụ : Định m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến khoảng có độ dài nhỏ Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Ta có: y' = 3x2 + 6x + m Hàm số nghịch biến khoảng có độ dài nhỏ ⇔ y' ≤ x1 − x2 < 9 − 3m > m < 3 ⇔ ⇒ ⇒ < m< − 4m < S − 4P <  < m < hàm số nghịch biến khoảng có độ dài nhỏ Vậy, với Ví dụ Tìm m để hàm số: y = x3 − mx2 + ( m + 36) x − nghịch biến khoảng có độ dài Lời giải Hàm số cho xác định ¡ Ta có: y' = 3x2 − 2mx + m + 36 ∆ ' = m2 − 3m − 108 Dễ thấy ay' = > , hàm số cho không nghịch biến ¡ Nếu m < −9 m > 12 tức ∆ ' > y' = có nghiệm phân biệt x1; x2 Lập bảng xét dấu, ta thấy y' < với x ∈ ( x1;x2 ) suy hàm số nghịch biến với x ∈  x1;x2  Hàm số nghịch biến khoảng có độ dài x1 − x2 = tức m2 − 3m − 108 = , bình phương hai vế rút gọn ta phương trình: m2 − 3m − 180 = ⇔ m = −12 m = 15 ( thỏa điều kiện ) Vậy, với m = −12 m = 15 yêu cầu toán thỏa mãn CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Định m để hàm số : y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến đoạn có độ dài lớn y = −2x3 + 3mx2 − đồng biến đoạn có độ dài lớn ( ) m−1 x + x − m2 + m x − 1nghịch biến khoảng có độ dài 3 Bài 2: Định m để hàm số : y = −x3 + 3x2 + (m − 1)x + 2m − đồng biến khoảng có độ dài nhỏ Bài 3: Tìm m để hàm số: y = y = ( m + 1) x3 − 3( m + 1) x2 + 2mx + đồng biến khoảng có độ dài khơng nhỏ y = x3 − mx2 + ( m + 36) x − nghịch biến khoảng có độ dài HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến đoạn có độ dài nhỏ 2 HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ... xét tính đơn điệu hàm số chứa hàm lượng giác cần lưu ý đạo hàm hàm số triệt tiêu vơ hạn điểm Khi để xét tính đơn điệu hàm số TXĐ, ta chuyển xét tính đơn điệu khoảng chứa hữu hạn điểm mà đạo hàm. .. minh hàm số sau đồng biến ¡ : y = x9 − x6 + 2x3 − 3x2 + 6x − Bài toán 02: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, CHỨA CĂN THỨC Phương pháp Nhận xét: • Bài tốn xét tính đơn điệu hàm. .. Bài Tìm tham số m để hàm số: y = mx + sinx + sin2x + sin3x đồng biến ¡ Dạng 2: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu tập xác định Phương pháp B.1 Xác định tham số để hàm số f xác định