Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0965.867.429 NGUN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Cơng thức tính nguyên hàm cần biết: x n 1 C n 1 n  x dx    x  a n  x  a dx  n 1  x dx  ln x  C  x  a dx  ln x  a  C  e dx  e e x  x dx  x n 1 C n 1 C x C ln  xa  dx  e x a  C xa dx  xa  C ln   sin xdx   cos x  C  sin  x  a  dx   cos  x  a   C  cos xdx  sin x  C  cos  x  a  dx  sin  x  a   C  sin x dx   cot x  C  sin  x  a  dx   cot  x  a   C  cos x dx  tan x  C  ax  b    ax  b  dx  a n   C 1  ax  b dx  a ln ax  b  C ax b ax  b  e dx  a e  C 1 ax b ax  b   dx  a ln    C cos  ax  b  C  sin  ax  b  dx   a  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C cot  ax  b  dx   C  sin  ax  b  a  cos  x  a  dx  tan  x  a   C n  cos  ax  b  dx  tan  ax  b  C a 1dx  x  C Cơng thức tính ngun hàm nâng cao: 1 x  x  a dx  a arctan a  C  x2  a dx  ln x  x  a  C Các cơng thức tích phân cần biết:  b b b  a a f  x  dx    f  x  dx b Chú ý: Nếu f  x  hàm lẻ  a c c b a f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx x dx  arcsin  C a a x 2 b b a a  Adx   Bdx   A  Bdx a a a a a a  f  x  dx  Nếu f  x  hàm chẵn  f  x  dx  2 f  x  dx TÍCH PHÂN CƠ BẢN   Câu 1: Giả sử F  x  nguyên hàm f  x   2cos x  Tính F   biết F    ? 2 Lời giải:    Cách 1: Ta có F  x    2cos x  1dx  2sin x  x  C F     C   F     2  Cách 2: Ta có       f  x  dx  F    F    F      2cos x  1 dx  F   2 2 b Chú ý công thức:  f ( x)dx  f  b   f  a  a Câu 2: (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2016 – 2017) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm đoạn 1; 2 , f (1)  f (2)  Tính I   f ( x)dx LUYỆN TỐN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 1/8 Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0965.867.429 Lời giải: Ta có: I   f ( x)dx  f  x  D I  C I  B I  1 A I   2  f    f 1    1 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN thức đổi biến tích phân gốc: du  u ' dx Cơng Cơng thức đổi biến tích phân: x n dx  d  x n 1  n 1 Câu 1:  x  x  1 Biết 2018 e x dx  d  e x  sin xdx  d cos x a x ln adx  d  a x  cos xdx  d sin x dx  d ln x x dx  d  log a x  x ln a dx  d tan x cos x  dx  d cot x sin x dx  Lời giải: Ta có:  x  x  1 C P  10090 B P  10095 A P  8076 2a  a, b  Tính giá trị biểu thức P  a  2b ? b x  1 2018  2 dx    x  1 d  x  1  20 4038 2019 2018 ln x  a 1 x dx  b a, b  biểu thức P  a  b ? A P  17 B P  32 e Câu 2: Biết đồng thời D P  8072 22019   4038 a phân số tối giản Tính giá trị b C P  25 D P  26 e  ln x e ln x  dx  ln x  d ln x   ln x     1 x 1   1 e Lời giải: Ta có:  Câu 3: Biết e sin x cos xdx  ea  b a, b  Tính giá trị biểu thức P  a  b ? A P  C P  B P    Lời giải: Ta có:  e  sin x cos xdx   e D P  1 sin x d sin x  e sin x  e   a  1, b  TÍCH PHÂN CĂN THỨC Câu 1: Tính giá trị I   A I  x dx ? x 1 B I  C I  7 t 1 x   t  x  t   dx  2tdt đó: I   2tdt  2 t  1dt t 1 Lời giải: Ta đặt D I  2 LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 2/8 Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0965.867.429 Câu 2:  Tính giá trị P  x3 131 10 A P  x2  dx ? B P  111 11 C P  141 20 D P  Lời giải: Ta đặt x   t  x   t  xdx  3t dt đó: P  2  x3 dx  x2  121 12  x2 x2  xdx t 1 P  3t dt   t  tadt 21 t 21 2 e Câu 3: Tính giá trị I   A I  116 135  3ln x ln x dx ? x B I  106 125 C I  96 115 D I  115 132 e t  t  1 2t t 1 2t  dx  dt đó: I   Lời giải: Ta đặt  3ln x  t  ln x  dt x 3 TÍCH PHÂN PHÂN THỨC: Nếu phân thức có bậc tử lớn bậc mẫu chia đa thức Câu 1: (THPT KHTN – Hà Nội lần năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x)  A C  f ( x)dx  2ln x   ln x   C  f ( x)dx  2ln x   ln x   C B D x3  x  3x  2  f ( x)dx  2ln x   ln x   C  f ( x)dx  ln x   2ln x   C x3   dx      dx  2ln x   ln x   C   3x   x 1 x 1  Lời giải:  f ( x)   x Câu 2: (THPT Quế Võ Số – Bắc Ninh năm 2016 – 2017) Cho a , b số hữu tỉ thỏa mãn tích 3x  x  1 x  dx  a ln  b Hãy tính a  2b A a  2b  30 B a  2b  40 C a  2b  50 phân Lời giải: D a  2b  60 0  3x  x  21  19 1 x  dx  1  3x  11  x   dx   3x  11x  21ln x   1  21ln  TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: NHẤT LOG – NHÌ ĐA – TAM LƯỢNG – TỨ MŨ Câu 1: Biết   x  1 e dx  ae x  be  c a, b, c  Tính P  a  b  c ? A P  B P  Lời giải: Ta có: x x   x  1 e dx  e  x  1 C P  D P  2 x  e dx  3e2  2e  e2  e  2e2  e 1  Câu 2: Biết  x sin xdx  a  b a, b  Tính P  a  b ? LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 3/8 Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0965.867.429 A P    Câu 3: C P  D P    x sin xdx   x cos x  0 0 cos xdx   Lời giải: Ta có: B P   x ln Biết xdx  a ln 2  b ln  c a, b, c  Tính P  a  b  c ? A P  B P  C P  D P  2ln x  du  dx 2  u  ln x x2 2 x 2ln x  x Lời giải: Đặt    ln x  dx  2ln  x ln x   2 x dv  xdx x  1 v     x2 2 x2   x2   ln 2   ln x   dx   ln 2   ln    ln  ln  21 x 2 1     Câu 4: Biết  e x cos xdx  ae  b a, b  Tính P  a  b ? A P  1 B P  D P   C P     u  e x du  e x dx   e x sin x   e x sin xdx    e x sin xdx Lời giải: Đặt  0 dv  cos xdx v  sin x  e x cos x     e x cos xdx  I  e x cos x   e   I  e  2 I ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN t2 Chú ý cơng thức: v   adt ; s   vdt t1 Câu 22: (THPT Tiên Lãng – Hải Phòng năm 2016 – 2017) Một vật chuyển động với gia tốc a(t )  20(1  2t ) 2 (m/s ) Khi t  vận tốc vật 30( m /s ) Tính qng đường vật di chuyển sau giây ( m mét, s giây) A 46m Lời giải: Ta có: B 48m Vận tốc là: v  20 1  2t  dt  C 47m D 49m 10  C Khi t  vận tốc vật 30( m /s )  2t Do đó: v  10 10  20 Quãng đường: s    20dt  48  2t  2t b  Thể tích tròn xoay quanh trục hoành: V    f  x   g  x  dx a LUYỆN TỐN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 4/8 Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0965.867.429 b  Thể tích tròn xoay quanh trục tung: V  2  xf  x  dx a b  Thể tích vật thể có thiết diện với diện tích S  x  : V   S  x  dx a Câu 1: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường cong y  x  x  đường thẳng y  x  A S   C S  B S  11  D S  x  Lời giải: Ta có: x  x   x   x  x      S   x  x  dx   x  1 1 Câu 2: Tính thể tích V khối tròn xoay có cho hình phẳng giới hạn đường y  x  1, y  0, x  quay xung quanh trục hoành Ox A V  7  B V  Lời giải: Ta có V      6  x  dx  V  Câu 3: C V  7  D V  5  7  (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định lần năm 2016 – 2017) Cho phần vật thể B giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x  x  Cắt phần vật thể B mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (  x  2), ta thiết diện tam giác có độ dài cạnh x  x Tính thể tích V phần vật thể B A V   B V   C V  D V  3 x   x  dx   Lời giải: Ta có V   TÍCH PHÂN HÀM ẨN TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 1: x Với x  a  a tham số, đặt f  x    t ln tdt Hàm số đồng biến khoảng nào? a Lời giải: Giả sử F  t  nguyên hàm t ln t , ta có: F '  t   t ln t Khi đó: f ( x)  F  x   F  a   f '  x   F '  x   x ln x   ln x   x  TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 2:  Biết  xf  x  dx  , tính  sin xf  sin x  dx    2   6 Lời giải: Ta có:  sin xf  sin x  dx    sin x  f  sin x  d  sin x   2 xf  x  dx  TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 3: LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 5/8 Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0965.867.429 Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  x   3xf  x    x với x thuộc đoạn 0;1 Tích phân  f  x  dx bằng: 1 0 Lời giải: Ta thay x x tích phân: I   f  x  d  x   2 xf  x  dx  3 xf  x  dx  I   Vậy: I  I    f  x   3xf  x dx    x dx   I  10 0 1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 4: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1; 2 1; 2 đồng biến thỏa mãn:  f ' x  3x  xf  x     , với x  1; 2 f 1   x  f ' x  f ' x  x x Lời giải: Ta có: 3x  xf  x      f '  x   x 3x  xf  x    f  x  x  Lấy nguyên hàm hai vế:  f '  x  dx  f  x   x xdx   d    f  x    x xdx   f  x   x x  C 13  2 x x   3  13 26 47 5 Theo giả thiết: f 1   C   f  x     x  x x 25 25 25 TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 5: 1 Biết   f   x   dx   x f   x  dx  đồng thời f 1  Tính f    ? 5 0 Lời giải: Ta có cách giải: Cách 1: Ta dễ thấy:  x dx    2    f   x    x f   x   x dx     f   x   3x  dx  0 Do vậy: f   x   3x  f  x   x3   f    1   Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:    x f   x  dx    x dx   f   x  dx  25  25  1 0 Vậy đẳng thức xảy f   x   kx mà   x f   x  dx   kx dx   k   f   x   3x Tới ta giải tương tự cách để có f    TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 6: Cho f  x  , có đạo hàm đoạn  0;1 , f 1  f     f  x  dx  10 Tính I     x  f '  x  dx   u   x du  dx     x  f  x    f  x  dx  f 1  f    10  12 Lời giải: Đặt  0   dv  f '  x  v  f  x  LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 6/8 Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0965.867.429 TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 7: Cho f  x  , có đạo hàm đoạn  0;1 , thỏa mãn  f   x   f   x  f  x   3x f    f     2 Lời giải: Ta có  f   x   f   x  f  x   3x   f  x  f   x    f  x  f   x   x3  Do vậy: f  x  f   x  dx   x3  1dx   f  x  x4   x  C mà f    suy C  2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 8: Cho y  f  x  liên tục  0;    thỏa mãn xf   x   f  x   x x Biết f 1  Lời giải: Ta có xf   x   f  x   3x x    f  x x   32 x  xf   x  x  f  x x  3x x  f  x x  x Tính f   f  x x  x  x3    f  x  x dx   x dx  f  x  x  C 2  C   f    16 Chọn D TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 9: f 1  cho f  x   f  x   x  x  Cho y  f  x  liên tục Tính I   f  x  dx ? x   t  Lời giải: Xét f  x   t ta có: t  t  x  Đổi cận:  Vi phân: x   t   1   t   dt  8dx   t 1    33 t  141  dt  32  TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 10: Vậy: I   tdx  Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn 1  f  x  dx   e f  x  dx  Tìm giá trị nhỏ x tích phân   f  x  dx Lời giải: Với số thực a , b a  b  ta có 1 0 a  b  a  e x f  x  dx  b  f  x  dx    ae x  b  f  x  dx Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có: 1   a  b      ae x  b  f  x  dx     ae x  b  dx  f  x  dx 0  1 Mặt khác   ae x  b  dx    a 2e x  2abe x  b  dx   e  1 a   e  1 ab  b 2 0  a  b Do  f  x  dx  2 e 2  1 a   e  1 ab  b , a, b  , a  b  LUYỆN TỐN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 7/8 Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0965.867.429     a  b  1   f  x  dx  max  1    3,1316   2 a b 0  e e 1   e2  1 a   e  1 ab  b  2  LUYỆN TỐN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 8/8 ...  C I  B I  1 A I   2  f    f 1    1 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN thức đổi biến tích phân gốc: du  u ' dx Cơng Cơng thức đổi biến tích phân: x n dx  d  x n 1  n 1 Câu 1:  x  x  1... tam giác có độ dài cạnh x  x Tính thể tích V phần vật thể B A V   B V   C V  D V  3 x   x  dx   Lời giải: Ta có V   TÍCH PHÂN HÀM ẨN TÍCH PHÂN HÀM ẨN LOẠI 1: x Với x  a  a tham... 0965.867.429 b  Thể tích tròn xoay quanh trục tung: V  2  xf  x  dx a b  Thể tích vật thể có thiết diện với diện tích S  x  : V   S  x  dx a Câu 1: Tính diện tích S hình phẳng giới