I.1.1.2.Đường tròn LG Đường tròn có bán kính bằng đơn vò (R=1) và trên đó ta đã chọn một chiều (ngược chiều kim đồng hồ) làm chiều dương (+) được gọi là đường tròn LG. I.1.1.3.Cung LG Cung LG AB với A,B là hai điểm trên đường tròn LG là cung vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn LG theo một chiều nhất đònh từ A đến B. cotMAM=α+k2π (k∈Z) ta đònh nghóa: os =OQ sin tan cot c OP AT BS α α α α = = = *Nhận xét: 1 sin , cos 1 α α − ≤ ≤ . CÔNG THỨC TOÁN 11 I.LƯNG GIÁC (LG) I.1.HÀM SỐ LG I.1.1.Góc và cung LG: y I.1.1.1.Góc LG Góc LG (Ox,Oy) theo thứ tự này là góc quét bởi z tia Oz theo một chiều nhất đònh từ Ox đến Oy. Ox: tia gốc; Oy: tia ngọn O x B + M -1 O A 1 I.1.1.4.Số đo của cung và góc LG Số đo của góc LG: sđ(Ox,Oy)=a 0 +k360 0 trong đó 0<a 0 <360 0 hay sđ(Ox,Oy)=α+k2π trong đó 0<α<2π Số đo của cung LG: sđAB=sđ(OA,OB). (k∈Z) I.1.1.5.Công thức đổi đơn vò a có đơn vò là độ; α có đơn vò là radian (rad) khi đó ta có: hay I.1.1.6.Độ dài của một cung tròn I.1.2.Hàm số LG sin tan I.1.2.1.Đònh nghóa S B P T -1 O A cos Q 1 I.1.2.2.Giá trò của các hàm số LG *Bảng các giá trò: Góc hàm 0 0 0 6 π 30 0 4 π 45 0 3 π 60 0 2 π 90 0 2 3 π 120 0 3 4 π 135 0 5 6 π 150 0 π 180 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 − 2 2 − 3 2 − -1 tan 0 1 3 1 3 || 3− -1 1 3 − 0 cot || 3 1 1 3 0 1 3 − -1 3− || 1 . 180 a π α = 180. a α π = l=Rα *Dấu của các hàm số lương giác: Góc hàm 0 2 π α < < 0 0 < α <90 0 2 π α π < < 90 0 < α <180 0 3 2 π π α < < 180 0 < α <270 0 3 2 2 π α π < < 270 0 < α <360 0 sin + + − − cos + − − + tan + − + − cot + − + − I.1.2.3.Các hệ thức LG cơ bản 2 2 2 2 sin cos 1 sin tan cos 2 1 tan 1 2 cos x k x k α α α π α π α π α π α + =   = ≠ +  ÷     = + ≠ +  ÷   ( ) ( ) 2 2 tan .cot 1 cos cot sin 1 cot 1 sin x k x k α α α α π α α π α = = ≠ = + ≠ I.1.2.4.Các cung liên kết Cung đối ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos tan tan cot cot α α α α α α α α − = − − = − = − − = − Cung bù ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos tan tan cot cot π α α π α α π α α π α α − = − = − − = − − = − Cung hơn kém π ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos tan tan cot cot π α α π α α π α α π α α + = − + = − + = + = Cung phụ sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2 π α α π α α π α α π α α   − =  ÷     − =  ÷     − =  ÷     − =  ÷   Cung hơn kém 2 π sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2 π α α π α α π α α π α α   + =  ÷     + = −  ÷     + = −  ÷     + = −  ÷   Đặc biệt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin k2 sin cos k 2 cos tan k tan cot k cot k Z π α α π α α π α α π α α + = + = + = + = ∈ I.1.2.5.Khảo sát hàm số LG 1.Miền xác đònh y=sinu xác đònh khi u xác đònh; y=tanu xác đònh khi 2 k π π ≠ +u y=cosu xác đònh khi u xác đònh; y=cotu xác đònh khi k π ≠u (k∈Z) 2.Chu kỳ Chu kỳ của y=sin(ax+b), y=cos(ax+b) là: 2 T= a π ; chu kỳ của y=tan(ax+b), y=cot(ax+b) là: T= a π . I.1.3.Công thức LG Công thức cộng: ( ) ( ) ( ) sin sinacosb sinbcosa cos cosa cos b sinasinb tan tan tan b 1 tan tan a b a b a b a a b ± = ± ± = ± ± = m m Công thức nhân: 2 2 2 2 2 3 3 3 2 sin 2 2sin .cos cos 2 cos - sin 2cos -1 1- 2sin cos3 4cos - 3cos sin 3 3sin 4sin 3tan - tan tan3 = 1- 3tan a a a a a a a a a a a a a a a a a a = = = = = = − Tích thành tổng: cosa.cosb = 1 2 [cos(a-b)+cos(a+b)] sina.sinb = 1 2 [cos(a-b)-cos(a+b)] sina.cosb = 1 2 [sin(a-b)+sin(a+b)] Tổng thành tích: sin sin 2sin cos 2 2 a b a b a b + − + = sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b + − − = cos cos 2cos cos 2 2 a b a b a b + − + = cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b + − − = − sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b ± ± = Công thức hạ bậc: cos 2 a = 1 2 (1+cos2a) sin 2 a = 1 2 (1−cos2a) Biểu diễn các hàm số LG theo a t tan 2 = 2 2 2 2 2t 1-t 2t sina ; cosa ; tana . 1 t 1 t 1 t = = = + + − I.2.Phương trình I.2.1.Phương trìng LG cơ bản * sinu=sinv u v k2 u v k2 π π π = +  ⇔  = − +  * cosu=cosv⇔u=±v+k2 π * tanu=tanv⇔u=v+k π * cotu=cotv⇔u=v+k π ( ) Zk ∈ . I.2.2.Một số phương trình LG thường gặp 1.Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a.Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. b.Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin 2 x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos 2 x+b.cosx+c=0, a.tan 2 x+b.tanx+c=0, a.cot 2 x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG. 2.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Đk để phương trình có nghiệm là 2 2 2 a b c+ ≥ . C ách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt tan b a α = , ta được: sinx+tan α cosx= cos c a α ⇔ sinx cos α + sin α cosx= cos c a α ⇔ sin(x+ α )= cos c a α sin ϕ = đặt . C ách 2: Chia hai vế phương trình cho 2 2 a b+ , ta được: 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b + = + + + Đặt: 2 2 2 2 cos ; sin a b a b a b β β = = + + . Khi đó phương trình tương đương: 2 2 cos sin sin cos c x x a b β β + = + hay ( ) 2 2 sin sin c x a b β ϕ + = = + đặt . Cách 3: Đặt tan 2 x t = . 3.Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 (*). 3 Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với 2 x k π π = + . + Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta được: atan 2 x+btanx+c=0. Nếu phương trình có dạng asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=d thì biến đổi d=d(sin 2 x+cos 2 x) rồi đưa về phương trình (*). Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc. 4.Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx± cosx. Điều kiện | t | 2≤ . sin cos 2 sin 2 cos 4 4 sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x x x x x π π π π     + = + = −  ÷  ÷         − = − = − +  ÷  ÷     Lưu y ùcác công thức : II.DÃY SỐ_CẤP SỐ II.1.Dãy số II.1.1.Đònh nghóa Dãy số là hàm số với đối số nguyên dương. Kí hiệu: (u n ) hay u 0 ; u 1 ; … ;u n ; trong đó u 0 là số hạng đầu tiên, u n là số hạng thứ n. Ví dụ: Xét dãy số 1 n    ÷   với n>0 có u 1 =1; u 2 = 1 2 ; …;u n = 1 n II.1.2.Tính tăng, giảm (u n ) tăng ⇔ u n <u n+1 , ∀n; (u n ) giảm ⇔ u n >u n+1 , ∀n Cách xác đònh tính tăng giảm của dãy số: *Cách 1: Chứng minh trực tiếp u n <u n+1 (hoặc u n >u n+1 ) *Cách 2: Lập hiệu số T:=u n+1 -u n Nếu T>0⇒ (u n ) tăng Nếu T<0⇒ (u n ) giảm *Cách 3: (u n >0) Lập tỉ số H:= n+1 n u u Nếu H>1⇒ (u n ) tăng Nếu H<1⇒ (u n ) giảm II.1.3.Dãy bò chặn (u n ) bò chặn trên ⇔ ∃M: u n ≤ M, ∀n∈N. (u n ) bò chặn dưới ⇔ ∃m: u n ≥ m, ∀n∈N. (u n ) bò chặn ⇔ (u n ) vừa bò chặn trên vừa bò chặn dưới. II.2.Cấp số II.2.1.Cấp số cộng (CSC) II.2.1.1.Đònh nghóa ( ) 1 _ n n n u CSC u u d + ⇔ = + Đònh nghóa (hằng số d được gọi là công sai) II.2.1.2.Công thức 1.Số hạng tổng quát ( ) 1 1 n u u n d= + − 2.Tính chất các số hạng của CSC 2 11 +− + = nn n uu u 3.Tổng n số hạng đầu của CSC ( ) ( ) 1 1 1 2 2 n n n u u n d S n u + −   = = +     II.2.2.Cấp số nhân (CSN) II.2.2.1.Đònh nghóa ( ) 1 _ . n n n u CSN u u q + ⇔ = Đònh nghóa (hằng số q được gọi là công bội) II.2.2.2.Công thức 1.Số hạng tổng quát 1 1 . n n u u q − = 2.Tính chất các số hạng của CSN 11 . +− = nnn uuu (n≥2) 3.Tổng n số hạng đầu của CSN 1 1 1 n n q S u q − = − (q≠1) III.GIỚI HẠN III.1.Giới hạn của dãy số a.Đònh nghóa: a được gọi là giới hạn của dãy số u n nếu ∀ ε >0 bé tuỳ ý ∃Nsao cho ∀n>N ta có |u n -a|< ε . Kí hiệu: lim hay lim n n n u u →∞ = =a a . b.các giới hạn cơ bản: limC=C; (C_hằng số) 1 lim 0 k n = ;(kεN) 1 lim lim 0 n n u u = ∞ ⇔ = . c.Tính chất: ( ) *lim[ ] lim lim *lim[ ] lim lim lim *lim 0 lim *lim lim _hằng số u v u v u v u v u u v v v ku k u k ± = ± × = × = ≠ = 4 d.Cách tính: *Dạng: lim ( ) ( ) p n q n (p(n),q(n) là các đa thức) thì chia tử và mẫu cho u với số mũ cao nhất (hoặc đặt u với số mũ cao nhất làm thừa số trước khi lấy lim). *Dạng: lim[ ( ) ( )p n q n± ] ta nhân biểu thức liên hợp ( ) ( )p n q nm trước khi lấy lim. ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ). p n q n p n p n q n q n ± × m (liên hợp của là III.2.Giới hạn của hàm số a.Đònh nghóa: L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x→x 0 nếu ∀ ε >0 bé tuỳ ý ∃δ>0 sao cho 0<x<x 0 <δ ta có | f(x)-L|< ε . Kí hiệu: 0 lim ( ) x x f x L → = . b.Tính chất: ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) * lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) * lim ( ) 0 ( ) lim ( ) * lim ( ) lim ( ) * lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x g x g x Cf x C f x C C C → → → → → → → → → → → → ± = ± × = × = ≠ = = _hằng số c.Cách tính: *Nếu 0 0 lim ( ) 0, lim ( ) 0 x x x x f x g x → → = = thì 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x p x f x p x g x x x q x q x → → → − = = − *Nếu lim ( ) ,lim ( ) x x f x g x →∞ →∞ = ∞ = ∞ thì ( ) ( ) ( ) lim lim lim ( ) ( ) ( ) x x x f x x p x p x g x x q x q x α α →∞ →∞ →∞ = = với α là số lớn nhất trong các số mũ của biến x. *Giới hạn hàm căn thức: cách tìm tương tự cách tìm giới hạn của dãy số chứa căn thức. * Giới hạn hàm LG: ta có: 0 sin lim 1 u u u → = 0 lim 0 u u → =trong đó ; 0 lim 1 u tgu u → = . Bằng các phép biến đổi LG đưa về một trong các dạng có chứa các giới hạn cơ bản trên. *Cách tính giới hạn trái, phải: 0 0 ( ) / : ( ) ( ) nếu nếu p x x x G s f x q x x x >  =  <  . Khi đó: 0 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ); . x x x x x x x x f x p x f x q x + + − − → → → → = = Điều kiện để ∃ gh : 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ). x x x x x x f x f x f x + − → → → = = III.3.Hàm số liên tục_ứng dụng III.3.1.Hàm số liên tục 0 0 0 ( ) _ ( ) ( ) x x f x x f x f x → ⇔ = đ/n liên tục tại lim . Các hàm đa thức, hữu tỉ, LG là liên tục trên tập xác đònh. III.3.2.Ứng dụng (chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình) Nếu f(x) liên tục trên [a;b] và f(a)f(b)<0 thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc [a;b] * * * ĐẠI SỐ TỔ HP I. Quy tắc nhân Nếu muốn hoàn thành một công việc phải trải qua k giai đoạn,trong đó: Giai đoạn 1 có n 1 cách thực hiện Giai đoạn 2 có n 2 cách thực hiện . . . . . . . Giai đoạn k có n k cách thực hiện Khi đó, có tất cả n 1 .n 2 … n k cách hoàn thành công việt ấy. II. Quy tắc cộng Nếu một công việc có thể được hoàn thành theo một trong k trường hợp độc lập với nhau, trong đó: Trường hợp 1 có n 1 cách Trường hợp 2 có n 2 cách . . . . . . . Trường hợp k có n k cách Khi đó, số cách hoàn thành công việc ấy là: n 1 +n 2 + … +n k . 5 III. Hoán vò_chỉnh hợp_tổ hợp 1.Hoán vò Một hoán vò của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp có thứ tự của n phần tử đó.Số hoán vò của n phần tử là: P n =n!=1.2.3… (n-1).n hay P n =n!=n.(n-1).(n-2)! Quy ước: 0!=1!=1 2.Chỉnh hợp Cho tập hợp A có n phần tử. Một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó là một cách sắp xếp k phần tử của tập hợp A theo một thứ tự nhất đònh (0<k≤n) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là: ( ) ( ) ( ) k n n. n-1 . n-k+1 n! A = = n-k ! 3.Tổ hợp a. Đ ònh nghóa: Cho tập hợp A có n phần tử. Một tổ hợp chập k của n phần tử đó là một tập hợp con của A có k phần tử (0≤k≤n) Số tổ hợp chập k của n phần tử là: ( ) k n = n! C k! n-k ! b. Tính chất: k n-k 0 n n n n n 1 n-1 k k k-1 n n n+1 n n 0 1 2 n n n n n n i, C =C ii, C =C =1 iii, C =C =n iv, C =C +C v, C +C +C + .+C =2 IV. Nhò thức newton ( ) n 0 n 1 n 1 k n k k n n n n n n a+b =C a +C a b+ .+C a b + .+C b − − Hay: ( ) n n k n-k k n k=0 a+b = C a b ∑ Hệ quả: ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ n n n k k n-k k n k=0 a - b = a + -b = -1 C a b Tính chất: a. Số các số hạng của nhò thức bằng n+1. b. Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhò thức (n-k)-k=n c. Số hạng tổng quát của nhò thức: k n-k k k+1 n T =C a b d. Các hệ số của nhò thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau.  Một số phương pháp chứng minh đẳng thức tổ hợp: Các kết quả cần nhớ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n k k k k k n n k=0 k=0 n n 0 1 2 n n n n n n n n 0 1 2 n n n n n 1+x = C ; 1-x = -1 C ; 2 = 1+1 =C +C +C + .+C ; 0 = 1-1 =C -C +C - .+ -1 C . x x ∑ ∑ Khi chứng minh một đẳng thức về tổ hợp; nếu số mũ hai vế bằng n thì liên hệ đến các kết quả trên; nếu số mũ nhỏ hơn n thì liên hệ đến đạo hàm; nếu số mũ lớn hơn n thì liên hệ đến nguyên hàm;… * * * ĐẠO HÀM I. Đònh nghóa: Cho y=f(x) xác đònh trên khoảng (a;b) và x 0 ∈(a;b). Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại x 0 được kí hiệu là y’(x 0 ) hoặc f’(x 0 ) và được đònh nghóa như sau: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' lim x f x x f x f x x ∆ → + ∆ − = ∆ hay ( ) 0 0 ' lim x y y x x ∆ → ∆ = ∆ . II. Cách tính đạo hàm bằng đònh nghóa: B ước 1 : Tính ( ) ( ) 0 0 y f x x f x∆ = + ∆ − Bước 2: Lập tỉ số y x ∆ ∆ Bước 3: Tìm giới hạn x y x ∆ ∆ →∆ 0 lim :=y’. III.Quy tắc tính đạo hàm ( ) ( ) nn uuuuuu wvuwvu '''' '''' 2121 ±±±=±±± ±±=±±  ( ) ( ) ( ) ' ' .'.' '.'.'. '.'. wvuwvuwvuwvu vuvuvu ukuk ++= += = ''' 2 ' 2 ' . '1 ; '.'. xux uyy v v v v vuvu v u = −=       − =       6 IV. Công thức tính đạo hàm ( ) ( ) ( ) x x x x α.x'x k αα 2 1 ' 11 0' 2 ' 1 = −=       = = − ( ) ( ) u u u u u u uα.u'u αα 2 ' ' '1 '. 2 ' 1 = −=       = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x xx xx 2 2 2 2 cot1 sin 1 'cot tan1 cos 1 'tan sin'cos cos'sin +−=−= +== −= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) uu u u u uu u u u uuu uuu 2 2 2 2 cot1'. sin ' 'cot tan1'. cos ' 'tan sin'.'cos cos'.'sin +−=−= +== −= = ( ) ( ) aaa ee xx xx ln' ' = = ( ) ( ) '.ln' '.' uaaa uee uu uu = = ( ) ( ) ax x x x a ln. 1 'log 1 'ln = = ( ) ( ) au u u u u u a ln. ' 'log ' 'ln = =  ĐỌC THÊM:  ( ) 2 ' dcx bcad y dcx bax y + − =⇒ + + = ; ( ) 2 22 '' '''2' ' '' bxa cabbxabxaa y bxa cbxax y + −++ =⇒ + ++ =  V. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Dạng toán: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(x 0 ;y 0 ). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): ( ) ( ) 00 0 ' xxyyy x −=− (*). VI. Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp 2: y’’=(y’)’ Đạo hàm cấp 3: y’’’=(y’’)’ Đạo hàm cấp 4: y (4) =(y’’’)’ ……… Đạo hàm cấp n: y (n) =(y (n − 1) )’. * * * 7