Luyện thi ĐH chất lượng cao ths . Nguyễn Dương 093 252 8949 ………………………………………………………………………………………………………………… Ứng Dụng Tính Đơn Điệu Của Hàm Số (phần 1) I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương ụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình' title='sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình'>Dụng Tính Đơn Điệu Của Hàm Số (phần 1) I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình��ng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình' title='sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình'>Dụng Tính Đơn Điệu Của Hàm Số (phần 1) I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình. Ví dụ 1: Giải phương trình 3 x = 4 - x. Bài giải: Tập xác định D= R. Phương trình tương đương với 3 x + x - 4 = 0. Xét hàm số f(x ) = 3 x + x - 4 . Hàm số xác định và liên tục trên R f’(x) = 3 x .ln3 + 1 > 0 ∀ x ∈R. Vậy hàm số f(x) đồng biến trên R. ⇒ phương trình (1) có không quá một nghiệm . mà f(1) = 0 ; vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình ví dụ 2 : giải phương trình : 2 4 1 4 1 1x x− + − = bài giải : điều kiện : 2 4 1 0 1 2 4 1 0 x x x − ≥  ⇔ ≥  − ≥  xét hàm số 2 ( ) 4 1 4 1f x x x= − + − xác định và liên tục trong nửa đoạn 1 ; 2   +∞ ÷    ta có 2 2 4 '( ) 0 4 1 4 1 x f x x x = + ≥ − − với mọi 1 2 x∀ ≥ ; vậy hàm số đồng biến trên nửa đoạn 1 ; 2   +∞ ÷    ⇒ phương trình (1) không có quá một nghiệm . mặt khác 1 1 ( ) 1 2 2 f = ⇒ là nghiệm duy nhất của phương trình Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau : 2 7 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x+ + − + + − < − (1) Bài giải : (1) ⇔ 2 7 7 7 6 2 49 7 42 181 14 0x x x x x+ + − + + − − + < Đặt t = 2 2 7 7 7 6 14 2 49 7 42x x t x x x+ + − ⇒ = + + − ( 0)t ≥ Phương trình trở thành : 2 182 0 14 13t t t+ − < ⇔ − < < kết hợp điều kiện ( 0)t ≥ ta được : 0 13 (1) 7 7 7 6 1t x x≤ ≤ ⇒ ⇔ + + − < 3 (2) ; điều kiện 6 ; 7 x   ∈ +∞ ÷    http:chuyentoan.wordpress.com 1) Định lí 1: Nếu hàm số f(x) luôn đồng biến và liên tục trên D thì phương trình f(x) = m không có quá một nghiệm D∈ Chứng minh: Giả sử phương trình f(x) = m có nghiệm x = 0 x nghĩa là 0 ( )f x m= Nếu 0 x x> thì 0 ( ) ( )f x f x m> = ⇒ phương trình vô nghiệm. Nếu 0 x x< thì 0 ( ) ( )f x f x m< = ⇒ phương trình vô nghiệm Chú ý : Nếu hàm số ( )f x luôn nghịch biến và liên tục trên D thì phương trình f(x) = m không có quá một nghiệm D∈ Cách chứng minh hoàn toàn giống với định lí được phát biểu ở trên Luyện thi ĐH chất lượng cao ths . Nguyễn Dương 093 252 8949 ………………………………………………………………………………………………………………… xét hàm : ( ) 7 7 7 6f x x x= + + − ; hàm số xác định và liên tục trên 6 ; 7 x   ∈ +∞ ÷    ta có 1 1 6 '( ) 0 ; ( ; ) 7 2 7 7 2 7 6 f x x x x = + > ∀ ∈ +∞ + − hàm số đồng biến trên 6 ; 7 x   ∈ +∞ ÷    ; mặt khác (6) 13f = nên ( ) 13 6f x x< ⇔ < vậy nghiệm của bất phương trình là 6 6 7 x≤ ≤ hay 6 .6 7 x   ∈ ÷    Ví dụ 4: giải bất phương trình 6 7 1x x+ − − ≥ bài giải: Tập xác định D = [- 6; 7] . Xét hàm số f(x) = 6 7x x+ − − . Ta có f’(x) = 1 1 0 2 6 2 7x x + > + − ∀ x ∈ (- 6; 7). Vậy hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [- 6; 7] Mặt khác f(3) = 1. Do đó bất phương trình tương đương với f(x) ≥ f(3) ⇔ x ≥ 3. Bài Tập áp dụng bài tập 1: Giải phương trình 1 2 3x x− + + = bài tập 2: Giải phương trình : 3 1 4 5x x x− = − − + bài tập3: Giải phương trình: log 11x x= − bài tập 4: Giải phương trình: 2 2 2 2 9 (13 ).3 9 36 0x x x x− − − + = bài tập 5 :Giải bất phương trình 9 2 4 5x x+ + + > bài tập 6: Giải bất phương trình 2 2 2 3 6 11 3 1x x x x x x− + − − + > − − − bài 8 : Giải bất phương Trình 2 1 7x x+ > − . Bài tập 9: Giải bất phương trình 3 2 3 6 16 2 3 4x xx x+ + + < + − Bài tập 10 : Giải bất phương trình 6 8 6 3 2x x + < − − Ví dụ 1 : Giải phương trình : 2 2 3 2 3 log 3 2 2 4 5 x x x x x x   + + = + +  ÷ + +   Bài giải: Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương với 2 2 2 2 3 3 log ( 3) ( 3) log (2 4 5) (2 4 5)x x x xx x x x+ + + + + = + + + + + (*) http://chuyentoan.wordpress.com Định lý 2 : cho hàm số ( )y f t= ; xác định trên D Nếu ( )y f t= là hàm luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến ) , với ,x y D∈ Nếu ( ) ( )x y f x f y> ⇒ > phương trình ( ) ( )f x f y= Nếu ( ) ( )x y f x f y< ⇒ < phương trình ( ) ( )f x f y= Vậy để ( ) ( )f x f y= thì x y= ( khi ( )y f t= là hàm luôn nghịch biến làm hoàn toàn tương tự) Luyện thi ĐH chất lượng cao ths . Nguyễn Dương 093 252 8949 ………………………………………………………………………………………………………………… Xét hàm số f(t) = 3 log t t+ .Hàm số xác định và liên tục trên khoảng(0;+ ∞) f’(t) = 1 1 .ln 3t + > 0 ∀t > 0. Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng(0;+ ∞) Phương trình (*) ⇔ f(x 2 +x + 3) = f(2x 2 + 4x + 5) ⇔ x 2 +x + 3 = 2x 2 + 4x + 5 ⇔ 2 1 3 2 0 2 x x x x = −  + + = ⇔  = −  Ví dụ 2 : Giải phương trình : 2 1 2 2 2 ( 1) x x x x − − − = − (1) Bài giải : (1) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 ( ) ( 1) 2 ( 1) 2 ( ) x x x x x x x x x x x x x x x x x − − − − − − ⇔ − = − + ⇔ − = − − − ⇔ + − = + − xét hàm trung gian : ( ) 2 t f t t= + ; t R ∈ '( ) 2 ln 2 1 0 t f t t= + > ∀ , vậy ( )f t là hàm đồng biến vậy 2 2 2 ( 1) ( ) 1 2 1 0 1f x f x x x x x x x x− = − ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ = Bài Tập Áp Dụng Bài tập 1: Giải hệ phương trình 3 3 2 2 3 3 4 x 2x x y y y  − = −   − =   Bài tập 2: Giải hệ phương trình 3 3 2 2 3 3 1 x 3x x y y y  + = +   + =   Bài tập 3: Giải hệ phương trình 3 10 5 3 10 5 x y y x  + + − =   + + − =   Bài tập 4 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 1 3 2 0 xx y y x x y y m  − + − − =   + − − − + =   Bài tập 5 : giải phương trình 2 2 sin os 2009 2009 os2x x c x c− = Bài tập 7 : giải và biện luận theo m : 2 2 2 2 2 4 2 2 5 5 2 x mx x mx m x mx m + + + + + − = + + Bài tập 8 :Giải hệ Phương Trình 3 3 6 6 3 3 1 x x y y x y  − = −   + =   Bài tập 9 : Giả hệ phương trình 3 1 1 2 1 x y x y y x  − = −    = +  Bài giảng này gồm tất cả 10 phần trên đây là phần 1 , các phần tiếp theo tôi tiếp tục đăng trên trang web của tôi để các bạn tham khảo http://chuyentoan.wordpress.com Nha trang 8/2009 . x x x x x x x x x x − − − − − − ⇔ − = − + ⇔ − = − − − ⇔ + − = + − xét hàm trung gian : ( ) 2 t f t t= + ; t R ∈ '( ) 2 ln 2 1 0 t f t t= + > ∀ ,