ĐỀ THI HSG KHỐI 11 (Thời gian 90’ không kể thời gian phát đề) Câu 1: (3 đ) 1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2 2 2 8 2 2 0x x x x m+ − + − + = . 2. Giải hệ phương trình :        + = + = 2 2 2 2 2 3 2 3 y x x x y y Câu 2: (3 đ) Cho hình lăng trụ ABCD. A’C’B’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, · 0 60BAD = . Gọi M là trung điểm cạnh AA ’ và N là trung điểm cạnh CC’. 1. Chứng minh rằng 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc 1 mặt phẳng. 2. Hãy xác định độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông. Câu 3: (2đ) 1. Giải bất phương trình : ( ) 2 1 ln ln 1 0 2 x x x + − − + > 2. Tìm các giá trị x, y nguyên thoả mãn : ( ) yyxx y 3732log 2 8 2 2 2 +−≤++ + Câu 4 : (2 đ). 1. Giải phương trình : cosx + cos2x + cos4x + cos5x = - 1/2. 2. Gọi α, β, γ là các góc mà tâm I của đường tròn nội tiếp ∆ABC nhìn xuống 3 cạnh BC, CA, AB. Giả sử: sinα.sinβ.sinγ = 8 33 . Chứng minh ∆ABC là tam giác đều. (Hết) ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG KHỐI 11. NĂM HỌC 2006 – 2007. (Thời gian 90’ không kể thời gian phát đề) Người ra đề: Nguyễn Xuân Đàn. Câu 1 : (3 đ). 1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2 2 2 8 2 2 0x x x x m+ − + − + = . Đặt 2 8 2 3x x t o t+ − = ⇒ ≤ ≤ . Khi đó Pt ( ) 2 2 8 1 0 3 t t m t  − − =  ⇔  ≤ ≤   Pt (1) là Pt hoành độ giao điểm của (P): y = t 2 – 2t – 8 và d: y = m. trên hệ trục toạ độ Oty. Dựa vào đồ thi ta có: • m > - 5 ∨ m < - 9 thì không có nghiệm t nên không có nghiệm x. • m = - 5 có 1 nghiệm x. • - 8 < m < - 5 ∨ m = - 9 có 1 nghiệm t nên có 2 nghiệm x. • - 9 < m ≤ - 8 có 2 nghiệm t nên có 4 nghiệm x. 2. Giải hệ phương trình:        + = + = 2 2 2 2 2 3 2 3 y x x x y y Cách 1 : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 3 3 0 3 2 3 2 0 3 2 0 . 3 0 3 2 3 0 y x y y y x y y x y y x xy x x xy x x y xy y x x xy y x y y x y y x y x y y x y x y xy x y x y y xy x y  +  = + =    = + = +     ⇔ = + ⇔ ⇔     + = + − = −      = ≠      = +    = + − = = +     ⇔ ⇔ ⇔ − =    − + + =  = +      + + =   v 1x y   ⇔ = =   >  « ngiÖm do xy 0 Cách 2 : Từ hệ ta có x; y > 0. ⇒ 2 2 2 2 + + = x y y x Giả sử 0 < x ≤ y ⇒ 11 2 2 2 2 ==⇒= + + = yx y y y x t y y ≥ -5 y = -5 -8 ≤ y ≤ -5 y = -8 y = -9 y ≤ -9 O -8 -9 Câu 2 : (3 đ). 1. Chứng minh 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc 1 mặt phẳng. Ta có A ’ M //= NC ⇒ A ’ MCN là hình bình hành ⇒ A ’ C & MN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mặt khác A ’ B ’ CD là hình bình hành ⇒ A ’ C & B ’ D cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒ B’, M, D, N cùng thuộcmột mặt phẳng, và B’MDN là hình bình hành 2. Tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông. Ta có AC ⊥ BD ⇒ MN ⊥ BD. Để tứ giác B’MDN là hình vuông ⇔ MN ⊥ B ’ D & MN = B ’ D = 3a . Khi đó MN ⊥ (BDD ’ B ’ ) ⇒ AC ’ ⊥ (BDD ’ B ’ ) = (α) . Vậy cứ mỗi ∆BDB ’ được xác định trên mf (α) cố định thì ta có một độ dài BB ’ = AA ’ ⇒ aaAAaaBDDBAABDDB +≤≤−⇔+≤≤− 33 '''' . Câu 3: (2đ) 1. Giải bất phương trình : ( ) 2 1 ln ln 1 0 2 x x x + − − + > D = R * ( ) ( ) 1.211ln 2 1 ln 22 +−>+⇔+−> + ⇔ xxxxx x  Nếu x + 1 > 0 ⇔ x > -1 ⇒ Bpt ⇔ 2 x 2 – 3x + 1 < 0 ⇔ 1/ 2 < x < 1. Thoả mãn  Nếu x + 1 < 0 ⇔ x < -1 ⇒ Bpt ⇔ 2 x 2 – x + 3 < 0 ⇔ Bpt vô nghiệm. Vậy Bpt có tập nghiệm là : (1/ 2; 1). 2. Ta có : x 2 + 2x + 3 = (x + 1) 2 + 2 ≥ 2, ∀x và y 2 + 8 > 0, ∀y. ⇒ ( ) ( ) 82log).8(32log).8(32log 2 2 22 2 2 8 2 2 2 +=+≥+++=++ + yyxxyxx y ⇒ y 2 + 8 ≤ 7 – y 2 – y ⇒ 2y 2 – 3y + 1 ≤ 0 ⇒ 1/2 ≤ y ≤ 1. Vì y ∈ Z ⇒ y = 1. Với y = 1 ⇒ BPt ⇔ ( ) 1232932log 2 9 2 2 −=⇔≤++⇔≤++ xxxxx Kiểm tra lại đúng ⇒ Nghiệm nguyên của hệ là: x = - 1, y = 1. Câu 4 : (2 đ). 1. Giải phương trình : cosx + cos2x + cos4x + cos5x = - 1/2. D ’ A ’ B’ C’ C D A B M N I  Nếu x = k2π ⇒ pt ⇔ 5 = - 1/2 Vậy x = k2π không là nghiệm của pt.  Nếu x ≠ k2π nhân hai vế của pt với 2sinx/2 ta có pt ⇔ 11 2 0 2 11 sin 2 sin 2 9 sin 2 11 sin 2 7 sin 2 9 sin 2 5 sin 2 7 sin 2 3 sin 2 5 sin 2 sin 2 3 sin π k x xxxx xxxxxxxx =⇔=⇔−=−+ +−+−+−+−  Vì x ≠ k2π ⇒ nghiệm của pt là: x = ; 11 2 π k Với k / M 11. 2. Ta có: sinα.sinβ.sinγ = 8 33 ( ) 0 3 3 sin .sin .sin 180 8 A B C do A B C α β γ ⇔ = + = + = + = ( ) 3 3 1 1 3 3 3 3 sin .sin .sin sin sin sin . 27 27 2 8 VT A B C A B C   = ≤ + + ≤ =  ÷  ÷   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ∆ABC là tam giác đều. . ĐỀ THI HSG KHỐI 11 (Thời gian 90’ không kể thời gian phát đề) Câu 1: (3 đ) 1. Biện luận theo m số nghiệm. minh ∆ABC là tam giác đều. (Hết) ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG KHỐI 11. NĂM HỌC 2006 – 2007. (Thời gian 90’ không kể thời gian phát đề) Người ra đề: Nguyễn Xuân Đàn.