Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Toỏn lp THCS Phòng giáo dục huyện đông triều Trờng THCS Nguyễn Đức Cảnh - - SáNG KIếN KINH NGHIệM Phơng pháp giải tập toán lớp THCS” Tác giả: Nguyễn Thị Hải Đăng Tổ: Toán- lý -Tin NĂM HỌC 2008-2009 PhÇn I GV: Nguyễn Thị Hải Đăng - Trường THCS Nguyễn Đức Cảnh Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Toán lớp THCS Phần mở đầu I.1 Lý chọn đề tài Toán học có tầm quan trọng hàng đầu cuéc sèng thùc tiÔn liên quan chặt chẽ đến tất ngành khoa học khác Tõ cuéc sèng thờng nhật ngời phát minh vĩ đại vật lý, hoá học, thiên văn học Trong thời đại nay, cụng cuc cỏch mng khoa học kỹ thuật giới phát triển mạnh mẽ địi hỏi phải có đại hố toán học Cuộc cách mạng đổi phương pháp dạy học theo tư tưởng: “Tích cực hố hoạt động học sinh, khơi dậy lực tự học học sinh.Nhằm hình thành cho học sinh tư tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin hứng thú cho học sinh” Để đạt điều địi hỏi người giáo viên phải thể rõ phương pháp dạy học Trong thùc tÕ giảng dạy học Tốn trường THCS, nhiỊu em häc To¸n chØ chó ý đến kỹ năng, chí học theo kiểu mẫu, cách học không phát huy đợc tính tích cực mà làm dần tính linh hoạt c¸c em Chính việc làm cho học sinh biết cách học, giải toán vận dụng vào giải dạng tập khác có liên quan công việc quan trọng thiếu người giải tốn, thơng qua rèn luyện tư logic, khả sáng tạo cho học sinh Xut phát từ thực tế ngi thy phi cung cấp cho học sinh số kiến thức phương pháp để giải toán Hiểu điều này, kinh nghiệm dạy học Tốn, tơi mạnh dạn đưa sáng kiến : “Phương pháp giải tập Toán lớp -THCS” với hy vọng giúp học sinh tháo gỡ vướng mắc, không bỡ ngỡ lúng túng mà biết định hướng để tìm lời giải tốn Bởi: “Tìm lời giải hay toán tức khai thác đặc điểm riêng GV: Nguyễn Thị Hải Đăng - Trường THCS Nguyễn Đức Cảnh Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Toán lớp THCS toán, điều làm cho học sinh biết quyến rũ sáng tạo niềm vui thắng lợi I.2 Mục đích nghiên cứu Qua việc tiến hành nghiên cứu áp dụng thực đề tài nhằm tìm số biện pháp để: + Giỳp hc sinh chủ động tích cực tham gia xây dựng + Nắm kiến thức Tốn học cách có hệ thống + Có khả tự tìm lời giải tập tốn chÝnh x¸c, khoa häc hng m rng cỏc bi toỏn ú 1cách sáng tạo + Bồi dỡng lực tự học, lòng say mê học tập ý chí vơn lên, giúp học sinh hc tt hn v tự tin giải Toán I.3 Thời gian, địa điểm Thời gian thực hiện: Trong suốt năm học 2008 - 2009 Địa điểm: Trờng THCS Nguyễn Đức Cảnh - Mạo Khê - Đông Triều Quảng Ninh Đối tợng nghiên cứu: Các em học sinh lớp 9A - trờng THCS Nguyễn Đức Cảnh I.4 Đóng góp lí luận thực tiễn Bộ môn Toán nhà trờng THCS đặc biệt chơng trình Toán có nhiệm vụ chuẩn bị cho học sinh kiến thức, kĩ nhất, phơng pháp t cần thiết để hoàn chỉnh bậc học Muốn đạt đợc điều đòi hỏi ngời học phải tích cực, sáng tạo Phơng pháp ngời thầy rÊt quan träng, cã t¸c dơng kÝch thÝch sù høng thú học tập Toán, khơi dậy phát huy lực hoạt động nhận thức độc lập, lực tự học học sinh Giải tập toán mt trình lựa chọn vận dụng kiến thức học, biết phân tích tổng hợp, tư lơgíc xác từ có kỹ giải tập cách dễ dàng gióp häc sinh cđng cố khắc sâu nội dung học Chỉ thông qua tập hình thức khác tạo điều kiện cho học sinh vận dụng linh hoạt kiến thức cách tự lực Để giải tình cụ thể khác kiến thức trở nên sâu sắc, GV: Nguyễn Thị Hải Đăng - Trường THCS Nguyễn Đức Cảnh Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Tốn lớp THCS hoµn thiƯn vµ trë thµnh vốn riêng học sinh Bài tập toán phơng tiện tốt để phát triển t đồng thời rèn luyện cho học sinh đức tính kiên trì, chịu khó; khả vận dụng lý thuyết vào thực tiễn.Vỡ việc hướng dẫn giải toán để gây hứng thú học tập,tìm tịi sáng tạo học sinh cần thiết * C¬ së thùc tiƠn: Qua giảng dạy mụn toỏn lp 9, quan sát, dự thăm lớp thấy: Khi giải tập, häc sinh cịn gặp nhiều khó khăn Nói cách khác nhiều em chưa nắm vững phương pháp giải tốn đại số hình học.Việc cÇn thiết phải nhớ khái niệm, định lý - tổng hợp kiến thức - tìm mối quan hệ kiến thức để vận dụng vào tập c bn v tổng hợp , nhng điều nhiều hạn chế * Nguyên nhân là: Cách dạy giáo viên cha khơi dậy đợc hứng thú học tập cho học sinh, bồi dưỡng lực suy luận, suy diễn.Chưa gắn bồi dưỡng học sinh giỏi từ việc giảng dạy ngày, hướng dẫn học nhà, luyện tập thực hành Giáo viên cho học sinh làm đợc hết dạng tập hớng dẫn giải đợc số bµi tËp nhng viƯc lùa chän, mở rộng bµi tËp tổng hợp nhiều kiến thức khác để khắc sâu trọng tâm cách hệ thống sử dụng thủ pháp cha hiƯu qu¶ Häc sinh học yếu tốn kiến thức hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư q trình học Học sinh cịn học vẹt, làm việc rập khn, máy móc từ tính tích cực, độc lập , sáng tạo thân Khơng học sinh thực chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp,chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu học tập chưa cao Nhiều học sinh hài lòng với lời giải mình, mà khơng tìm lời giải khác, không mở rộng khai thác phát triển, sáng tạo tốn nên khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập , sáng tạo thân, GV: Nguyễn Thị Hải Đăng - Trường THCS Nguyễn Đức Cảnh Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Tốn lớp THCS Đặc biệt mơn hình học nhiều em ngại sợ làm tập hình vẽ hình, khơng nhìn thấy mối quan hệ hình học, khơng biết suy luận hình học, sử dụng dụng cụ hình học cịn yếu vy cha phát huy đợc hết tính tích cực, sáng t¹o dẫn đến việc em cịn lúng túng làm tập Vấn đề đặt là: Làm để thu hút, huy động toàn đối tượng học sinh lớp có hứng thú say mê nắm vững phương pháp giải tập tốn ? Trước thực trạng địi hỏi phải có giải pháp phương pháp dạy học cho phù hợp PhÇn II PHÇN NéI DUNG II.1 Chơng 1: Tổng quan Năng lực học tập hay khả đợc bộc lộ phát triển hoạt động Muốn phát triển lực t cho em phải tạo điều kiện cho em hoạt động tích cực học Khi dy học tốn, cơng việc quan trọng phương pháp hướng dẫn giảng dạy cho em bit cỏch gii bi Để đạt đợc điều này, phng phỏp ging dy ca giáo viên GV: Nguyn Thị Hải Đăng - Trường THCS Nguyễn Đức Cảnh Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Tốn lớp THCS đóng vai trị quan trọng thành công dạy kết vận dụng kiến thức học vào giải tập hc sinh Trong đề tài này, từ nghiên cứu lý luận đến thực tiễn, khảo sát chất lợng, đánh giá tình hình học tập học sinh trớc sau tiến hành thực nghiệm Tôi mạnh dạn đa số biện pháp đà tiến hành, kết nêu kiến nghị, giải pháp cho đề tài II.2 Chơng II: Nội dung vấn đề nghiên cứu II.2.1 Điều tra : Năm học 2008 - 2009 đợc phân công làm công tác chủ nhiệm dạy Toán lớp 9A, trờng THCS Nguyễn Đức Cảnh Dới đạo nhà trờng đà điều tra thu đợc kết nh sau: Tỉng sè häc sinh cđa líp: 44 ®ã 27 học sinh nam 17 học sinh nữ 2/3 số học sinh gia đình cán công nhân có điều kiện quan tâm đến việc học tập Số lại gia đình làm nghề tự Qua khảo sát chất lợng đầu năm môn toán thu đợc kết sau: Môn Toán Lớp 9A Giỏi 15,9% Khá 22,8% Loại TB 43,2% Yếu 13,6% Kém 4,5% Để đánh giá rõ lực học sinh giải toán cho học sinh làm tập dạng khác điều kiện bình thờng, kết nh sau: Có 14,2% học sinh hoàn thành xuất sắc tập có tính sáng tạo Có 60,5% häc sinh lµm 2/3 đến 3/4 số bµi tËp Có 25,3% học sinh làm đợc 1/2 số Tìm hiểu nguyên nhân thấy có học sinh nắm đợc kiến thức nhng sử dụng kiến thức cha đợc móc lối lôgic với có học sinh cha nắm đợc kiến thức bản, cha nm vng c phng phỏp gii mt bi toỏn Chính mà lực gii bi toán học sinh nhiỊu h¹n chÕ GV: Nguyễn Thị Hải Đăng - Trường THCS Nguyễn Đức Cảnh Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Toán lớp THCS II.2.2 Biện pháp tiến hành : Gii bi toỏn học tập tiến hành cách khoa học.Trước giải tập toán em phải đọc kỹ đề bài, sau xác định yêu cầu toán vạch phương hướng giải.Thưc bước để đến kết cuối trả lời.Sau giải xong nên tìm xem cịn cách giải khơng, nên chọn cách giải ngắn gọn dễ hiểu Nói chung tập tốn giải thường gồm bước: Bước1:Tìm hiểu nội dung toán: Đâu ẩn? Đâu kiện ? Đâu điều kiện ? Có thể thoả mãn điều kiện hay khơng? Điều kiện có đủ xác định ẩn hay không? Hay chưa đủ ? Hay thừa ? Hay có mâu thuẫn ? Giả thiết ? Kết luận ? Hình vẽ minh hoạ ? Sử dụng ký hiệu nào? Dạng tốn nào? (Tốn chứng minh hay tìm tịi) Kiến thức cần có gì?(Các điều kiện tương đương, phương pháp chứng minh ) Bước 2: Xây dựng chương trình giải: Bạn gặp tốn chưa ? Hay gặp tốn dạng khác ? Bạn có biết tốn có liên quan khơng ? Một định lý dùng khơng ? Xét kỹ chưa biết(ẩn) ,và thử nhớ lại toán quen thuộc có ẩn hay có ẩn tương tự Đây tốn có liên quan mà bạn có lần giải Có thể sử dụng hay khơng ? Có thể sử dụng kết hay khơng ? Hay sử dụng phương pháp ? Có cần phải đưa thêm số yếu tố phụ sử dụng hay khơng ? Có thể phát biểu dạng khác khơng ? Một cách khác ? quay định nghĩa ? Bạn nghĩ tốn có liên quan mà dễ không ? GV: Nguyễn Thị Hải Đăng - Trường THCS Nguyễn Đức Cảnh Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Toán lớp THCS Một tốn tổng qt khơng ? Một trường hợp riêng ? Một tốn tương tự ? Bạn giải phần tốn khơng ? Hay giữ lại phần tốn, bỏ phần kia.Khi đó, ẩn xác định đến chừng mực ; biến đổi ? Có thể thay đổi ẩn, hay kiện, hay hai cần thiết, cho ẩn kiện gần khơng? Đã sử dụng tồn kiện hay chưa ? Đã để ý đến khái niệm chủ yếu toán chưa? Bước 3: Thực chương trình giải: Khi thực chương trình giải kiểm tra lại bước,bạn thấy rõ ràng bước chưa ? Bạn chứng minh khơng? Bước4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải: Xét xem có sai lầm khơng ? Có phải biện luận kết tìm khơng ? Nếu tốn có nội dung thực tiễn kết tìm có phù hợp với thực tiễn không ? Một điều quan trọng cần luyện tập cho học sinh thói quen đọc lại yêu cầu sau giải xong đó, để học sinh lần hiểu rõ chương trình giải đề xuất , hiểu sâu sắc kiến thức Xuất phát từ tình hình thực tế điều tra giảng dạy trực tiếp , t nhng phõn tớch v nhận định áp dụng vào số dạng tập tốn líp dạy với hy vọng tìm biện pháp giúp em giải tập tốn líp tốt nh sau: BiƯn ph¸p thø nhÊt:( Khi giảng dạy mơn hình học ) Đối với dạng Bài tập số hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông Để Củng cố định lý Pytago hệ thức, đưa tập tiến hành bước sau: Bước1: Tìm hiểu tốn Bài tập: Hãy tính x , y GV: Bài tốn cho biết yêu cầu GT  ABC có gócA=90 ,AB=5 GV: Nguyễn Thị Hải Đăng - Trường THCS Nguyễn Đức Cảnh Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Tốn lớp THCS gì? HS: Ghi GT+KL AC = 7,AH  BC(AH=x),BC=y KL Tĩnh x , y B GV:Kiến thức biết gì? H HS:Biết b2 =ab’, c2 =ac’, a2= b2 +c2 y x A C Bước2: Xây dựng chương trình giải GV: Để tính x,y cần biết yếu tố nào? HS: Tính y y độ dài cạnh huyền tam giác vng ABC GV:Dựa vào cơng thức để tính y? HS:Tính y dựa vào định lý Pytago GV:Tính y tức tính BC.Khi tìm BC làm để tính x ? HS: Cần biết BH GV:Tính BH ? HS:Tính BH nhờ hệ thức c2=ac’ GV:Từ cho biết bước tiến hành để có lời giải tốn ? HS:Tính AC  tính BH  Tính AH Bài giải: Trong tam giác vng ABC có BC= BA2  AC = 52  72 = 74 GV: Nguyễn Thị Hải Đăng - Trường THCS Nguyễn Đức Cảnh Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Toán lớp THCS Bước 3:Thực chương trình Theo hệ thức lượng tam giác vng,ta có: giải AB =BH BC GV: Hãy cho biết lời giải AB 25 tốn ?  BH=  HS: Trình bày lời giải theo cách hiểu BC 74 Trong tam giác vng ABH có AH  BA2  BH = 25  625  35 74 Vậy x = Bước 4: Nghiên cứu lời giải Gv: Nhận dạng toán 35 74 74 y= 74 GT  ABC có Aˆ =900 KL Tính BC + AC HS: Bài tốn cho biết hai cạnh góc C vng,tìm độ dài đường cao GV:-Bài tập tương tự(Bài 5/SGK-69) A B -Bài tập vận dụng:Một cao mọc th ẳng bị bão làm gãy đổ , chạm đất Người ta đo điểm gãy cách măt đất 2m , điểm chạm đất cách gốc 7m, tính chiều cao Hướng dẫn học tập Hướng dẫn: Qua học cần nắm GV: Nguyễn Thị Hải Đăng - Trường THCS Nguyễn Đức Cảnh 10 Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Toán lớp THCS Qua tập em cần nắm: + Biết cách xác định vị trí đường trịn +Chứng minh đẳng thức tích ta thường dùng hệ thức lượng tam giác vuông hai tam giác đồng dạng +Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn +Khai thác cách giải khác Đối với tập liên quan đến “ quỹ tích ” Tơi dạy học sinh tìm tịi lời giải cách sử dụng đặc tính ưu việt công nghệ thông tin (phần mềm hỗ trợ toán học Violet,Geosketchpad ,Mathtype,Adobflashplayer …) kết hợp với phương pháp truyền thống cách phù hợp phần mềm mơ hình ảnh mà học sinh khó hình dung ,tưởng tượng với mục đích nâng cao chất lượng dạy học,tạo hứng thú cho học sinh thông qua hoạt động sau: Bài tốn: Cho đường trịn đường kính AB cố định M điểm chạy đường tròn Trên tia đối tia MA lấy điểm I cho MI =2MB.Tìm tập hợp điểm I nói Các hoạt động HĐ1: Xác định dạng toán Nội dung Dạng tốn tím tập hợp điểm m A1  M I  A  B  M’ A2 GV: Nguyễn Thị Hải Đăng - Trường THCS Nguyễn Đức Cảnh  m’ I’ 16 Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Toán lớp THCS HĐ2:Xác định mục đích cần tìm Tìm tập hợp điểm I  Tìm hình H gồm điểm thoả mãn tính chất: +I  tia đối tia MA +MI = 2MB HĐ3: Phần thuận: *Khai thác tính chất điểm I *Phát H mà I  H từ giả thiết có: BM  AI MB 1  , tgAIB =  AIB có giá trị MI 2 * Dự đốn quỹ tích I (phát khơng đổi =26034’ quỹ tích cho M di chuyển AIB *A ,B cố định ,M di chuyển kéo theo kéo theo I di chuyển) I di chuyển ln có góc AIB =26034’ ,I thuộc cung chứa góc *Phát hình H mà I  H 26034’ (GV chiếu hình Slide Điểm *I chuyển động ln nhìn đoạn I thuộc cung chứa góc 26034’ ’ dựng đoạn thẳng AB thẳng AB cố định góc26 34 khơng đổi Am’B Điểm I thuộc cung chứa góc 26034’ Am’B dựng đoạn thẳng AB ’ *Giới hạn: (GV chiếu hình Am B Am’B điểm I di chuyển đến vị trí trùng với * Do M  A có cát tuyến AM trở thành tiếp tuyến A1AA2 điểm A1 A2) Điểm I  A1 A2 Điểm I thuộc hai cung A1mB A2m’B Lấy điểm I’ thuộc hai cung A1mB A2m’B có IA cắt đường trịn đường kính AB điểm HĐ4: Phần đảo M’ Dựng lại hình phần thuận, chứng * Trong tam giác vng BM’I’ có minh tính chất tg M ' I ' B  M ' B tg 26 34'  M 'I' HĐ5: Kết luận quỹ tích => M’I’ = 2M’B HĐ6: Mở rộng tốn * Quỹ tích điểm I hai cung Tìm vị trí điểm M cung lớn A1mB A2m’B chứa góc 26034’ GV: Nguyễn Thị Hải Đăng - Trường THCS Nguyễn Đức Cảnh 17 Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Toán lớp THCS AB để chu vi tam giác AMB lớn dựng đoạn thẳng AB (A1A2  AB A) Với tập vận dụng giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo tìm tới phương pháp giải tốn nhanh hơn, thơng minh Giáo viên tác động đến đối tượng học sinh cho phù hợp với học sinh trung bình cần gợi ý tỉ mỉ, học sinh giỏi nêu nét hướng dẫn giải theo đường ngắn nhất.Có học sinh hoạt động tích cực hơn, phát huy tư trí tuệ *BiƯn ph¸p thø hai:(Khi giảng dạy mơn đại số ) Khi dạy học sinh phần giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình tơi thấy : Một ngun nhân giải tốn chưa tốt : Học sinh cịn yếu kỹ ghi tóm tắt giả thiết ký hiệu để giúp phân tích tỏng hợp toán, giúp diễn tả rõ mối quan hệ đại lượng đưa vào toán Nhiều học sinh khơng hình dung mối quan hệ diễn tả mối phụ thuộc ký hiệu nên khó chuyển tốn lời ngơn ngữ tốn học Một số học sinh khơng hiểu giải tốn giải khơng đầy đủ Giá trị tâm lý học tập biểu chỗ xác lập mối quan hệ đặc biệt qua lại nội dung lời tốn, biểu bên ngồi nội dung trình tư học sinh, mối liên hệ có hệ thống vững hơn, làm cho kiến thức vững bền Nội dung lời Có thể nêu lên mối Của bàiquan toánhệ sơ đồ sau : Biểu bên nội dung toán GV: Nguyễn Thị Hải Đăng - Trường THCS Nguyễn Đức Cảnh Các trình tư 18 Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Toán lớp THCS Đặc điểm khác biệt việc áp dụng phương pháp phương trình cho việc thành lập hệ hai phương trình so với việc giải tốn thành lập phương trình chỗ có ẩn số đưa vào Trong nhiều toán, việc tách số kiện tạo thành từ q trình mơ tả tốn có ý nghĩa quan trọng Thỉnh thoảng lên yêu cầu học sinh giải toán vừa cách lập phương trình ẩn số vừa cách lập phương trình với ẩn số sau dó so sánh cách giải Bài tốn : Trong phịng học có đặt ghế dài Nếu ghế để học sinh ngồi thiếu ghế, để học sinh ngồi ghế trống hai ghế Có ghế phịng có học sinh ? GV hướng dẫn học sinh phân tích: Bước 1:Tìm hiểu nội dung tốn * Dữ kiện : Ba qua trình xếp học sinh theo số thực ghế, theo số không đầy đủ ghế trường hợp thừa ghế Các đại lượng : y số học sinh, x số ghế k số học sinh ngồi ghế Công thức tương quan y = kx Bước 2: Xây dựng chương trình giải Các trình Số học sinh Số ghế Sự xếp học sinh GV: Nguyễn Thị Hải Đăng - Trường THCS Nguyễn Đức Cảnh Số học sinh ghế 19 Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Toán lớp THCS Theo số thứ tự ghế Theo số không đầy đủ Y 5(x+8) x x+ y : x ghế Theo số ghế thừa 6(x- 2) x -2 * Cơ sở để lập phương trình : Số học sinh không thay đổi ba trình * Hệ thống : y = ( x + ) y=6(x- 2) Bước : Thực chương trình giải * Lời giải : x = 52 ; y = 300 * Bổ sung bảng thử lại cá trị số * Đáp số 52 ghế 300 học sinh Bước : Trở lại cách giải tốn ; Việc phân tích sở để lập phương trình hệ phương trình gợi cho ta nghĩ hợp lý cách giải tốn phương pháp lập phương trình với ẩn số Bài toán tương tự: Trong hội trường người ta đặt số dãy ghế với dãy có số ghế có tất 320 ghế Nếu dãy ghế tăng thêm ghế tăng thêm dãy ghế 420 chỗ ngồi Hỏi hội trường có dãy ghế Bài toán : Hai đội niên làm việc hồn thành việc trồng vườn thí nghiệm học tập ngày Mỗi đội làm riêng cần ngày để thực GV: Nguyễn Thị Hải Đăng - Trường THCS Nguyễn Đức Cảnh 20 ... tìm lời giải tốn Bởi: “Tìm lời giải hay toán tức khai thác đặc điểm riêng GV: Nguyễn Thị Hải Đăng - Trường THCS Nguyễn Đức Cảnh Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Toán lớp THCS tốn,... không ? GV: Nguyễn Thị Hải Đăng - Trường THCS Nguyễn Đức Cảnh Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Toán lớp THCS Một tốn tổng qt khơng ? Một trường hợp riêng ? Một toán tương tự ? Bạn giải. .. trở nên sâu s¾c, GV: Nguyễn Thị Hải Đăng - Trường THCS Nguyễn Đức Cảnh Sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp giải tập Tốn lớp THCS hoµn thiƯn vµ trở thành vốn riêng học sinh Bài tập toán phơng tiện