Toán 8: Dạng toán về nghiệm nguyên Bài 1 Tìm số nguyên n sao cho n + 4 chia hết cho n + 1. Bài 2: Tìm n Z để 12 23 + n n là số nguyên. Bài 3: Tìm số nguyên n, sao cho 3n + 4 chia hết cho n +1 Bài 4: Tìm x nguyên để M= 2 102 2 2 + + x x có giá trị nguyên. Bài 5: Với giá trị nào của x thì giá trị của biểu thức sau là số nguyên: 2 5 15 6 9 1 x B x x + = Bài 6:Tìm giá trị của t để phơng trình có nghiệm là số dơng: 2 4 1 t x = + Bài 7:Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên: 2 2 2 1 1 x P x x x = + Bài 8:Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x 2 -3x + 9 = -xy+2y Bài 9: Tìm số tự nhiên n để n 4 + 4 là số nguyên tố. Bài 10: Cho P = 4 4 3 2 x - 16 x - 4x + 8x - 16x + 16 Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Bài 11. Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình: (Pt và bài toán với nghiệm nguyên NXB giáo dục ) Bài 12: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : x 6 + 3x 3 + 1 = y 4 Bài 13: Tìm các số nguyên x và y sao cho x 3 +x 2 +x+1=y 3 (PT và bài toán với nghiệm nguyên: TG Vũ Hữu Bình) Bài 14: Tìm các số nguyên nghiệm đúng phơng trình sau:(x 2 + 1) (x 2 + y 2 ) = 4x 2 y. Bài 15: Tuyển tạp các bài toán chọn lọc) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 x y z t + + + = Bài 16: Tìm tất cả các số nguyên dơng thỏa mãn điều kiện: a) 3 111 = yx b) xyyx 1 3 111 +=+ Bài 17: Tìm tất cả các nghiệm nguyên x thoả mãn: | x-3 | + | x-10 | + | x+101 | + | x+990 | + | x+1000 | = 2004(Báo toán học tuổi trẻ năm 2004) Bài 18: Tìm nghiệm nguyên sau đó lấy nghiệm nguyên dơng của phơng trình2x + 5y = 48 (Giáo trình thực hành giải toán) Bài 19: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: xy-2x-3y+1=0 Bài 20: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x + xy + y = 4 Bài 21: ( Sáng tác) Cho phơng trình bậc hai : x 2 + 3x + 1 - p 2 = 0 ( p là tham số ) Hãy tìm các giá trị nguyên của p để phơng trình có nghiệm nguyên Bài 22: Tìm tất cả các số nguyên x thoả mãn phơng trình: (17x 1)(7x 1)(6x 1)(5x 1) = 1920. Bài 23: Tìm số tự nhiên n để: n 2 + 6n + 2608 là số chính phơng Bài 24. Cho phân số A 3 1 + = n n ( ;zn 3 n ) a)Tìm n để A có giá trị nguyên. b)Tìm n để A là phân số tối giản. 22 31942 yxx =+ Bài 25:Tìm tất cả các nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 1 1111 =+++ tzyx Bài 26:. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x + xy + y = 4 Bài 27: Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho : 344 3 x chia hết cho x-7 Bài 28: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 1919 . 4 14 4 2 4 1 =+++ xxx Bài 29: Tìm các số nguyên x sao cho ( xxx 28 23 + ) chia hết cho 1 2 + x Bài 30: Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 6 1 6 111 =++ xyyx Bài 31: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 183 22 =+ xyxy Bài 32: Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x ; y ) thoả mãn phơng trình : x 4 +(x+1) 4 =y 2 +(y+1) 2 Bài 33: Cho P = 4 4 3 2 16 4 8 16 16 x x x x x + + Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Bài 34 Cho biểu thức:A = 3 3 x - 2 9 6 x x + 3 + x x (với x 3) a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên. Bài 35:Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn bất đẳng thức: Bài 36: Cho Biểu thức: B = 2 2 a a Tìm các số nguyên a để B là số nguyên. Bài 37: Cho biểu thức: 1 6 + + = a a M Tìm các số nguyên a để M là số nguyên. Bài 38: Cho biểu thức B = 89 352 24 24 + + aa aa a)Rút gọn biểu thức B b) Tính a Z để B Z Câu II Tìm a , b , c biết : a = 2 2 1 2 b b + ; b = 2 2 1 2 c c + ; c = 2 2 1 2 a a + Câu II Tìm a , b , c biết : a = 2 2 1 2 b b + ; b = 2 2 1 2 c c + ; c = 2 2 1 2 b a + Nhận xét các số a ; b ; c là các số dơng áp dụng bất đẳng thức cosi 1+ b 2 2b a = 2 2 1 2 b b + b b 2 2 2 = b (0 .5đ) 1 + c 2 2c b = 2 2 1 2 c c + c c 2 2 2 = c (0 .5đ) 1 + a 2 2a c = 2 2 1 2 b a + a a 2 2 2 = a (0 .5đ) Từ ( 1 ) ; ( 2 ) ; (3 ) ta có a = b = c và theo cosi thì a = b = c = 1 (0 .25đ) 2; Tìm 4 số nguyên dơng x,y,z,t thoả mãn 1 1111 2222 =+++ tzyx 2, Tìm 4 số nguyên dơng x, y, z , t . thoả mãn : 1 1111 2222 =+++ tzyx Không mất tính tổng quát , giả sử : x y z t (1) (0,25đ) (1) 1 4 2 t t = 1 , hoặc t = 2 (0,25đ) Với t =1 thì 0 111 222 =++ zyx Vô lý (0,5đ) Với t = 2 thì 4 33 2 z Vậy z = 2 22 11 yx + = 2 1 (0,5đ) Nên x = y = z = t = 2 1)Tìm 4 số nguyên dơng x, y, z, t thoả mãn 1 1111 2222 =+++ tzyx 1) Không mất tính tổng quát , giả sử : x y z t (1) (1) 1 4 2 t t = 1 , hoặc t = 2 Với t =1 thì 0 111 222 =++ zyx Vô lý Với t = 2 thì 4 33 2 z Vậy z = 2 22 11 yx + = 2 1 Nên x = y = z = t = 2 Bài 4: Cho B = 1 6 + + a a a, Tìm các số nguyên a để B là số nguyyên. b, Chứng minh rằng với a = 9 4 thì B là số nguyên. c, Tìm các số hữu tỷ a để B là só nguyên. Bài 4: a, M = 1 5 1 + + a . Để M nguyên thì 1 5 + a nguyên .Ta biết rằng khi a là số nguyên thì a hoặc là nguyên. ( nếu a là số chính phơng). Hoặc là số vô tỉ ( nếu a không là số chính phơng). Để 1 5 + a là số nguyên thì a không thể là số vô tỉ, do đó a là số nguyên, suy ra : a + 1 là ớc tự nhiên của 5 ta có: a + 1 1 5 a 0 4 a 0 16 B 6 2 b, Với a= 9 4 thì B = 4 1 3 2 6 3 2 = + + (0,5đ). c, Ta có : B = 1 5 1 + + a . Để B là số nguyên thì 1 5 + a phải là số nguyên. Đặt 1 5 + a = n Z . Ta có: n a + n = 5 do đó a = n n 5 (do n 0). Giải điều kiện 0 5 n n Ta đợc 0<n 5 . Do n Z nên n { } 5;4;3;2;1 Ta có N 1 2 3 4 5 a 4 2 3 3 2 4 1 0 a 16 4 9 9 4 16 1 0 B 2 3 4 5 6 Hoàn chỉnh câu c (1đ). đáp án đáp án Bài 1:n + 4 = (n + 1) + 3 Z nn n + += + + 1 3 1 1 4 + + 1 1 3 nZ n Ư(3) = { 3;1 } Vậy n {-4;-2;0;2} Bài 2: Với n Z , để 12 23 + n n là số nguyên thì 3n - 2 chia hết cho 2n + 1 mà 2n +1 chia hết cho 2n + 1 do đó 3(2n + 1) - 2(3n - 2) chia hết cho 2n + 1 hay 7 chia hết cho 2n + 1, hay 2n + 1 là ớc của 7 Suy ra 2n { 1 ; 7} Vậy n = 0 ; - 1 ; 3 ; - 4 Bài 3: Ta có 3n + 4 = 3n + 3 + 1 = 3(n + 1) + 1 Do 3(n + 1) n + 1 nên để 3n + 4 n + 1 thì 1 n + 1 hay n + 1 là ớc của 1 mà các ớc của 1 là 1 Nếu n + 1 = 1 suy ra n = 0 ; Nếu n + 1 = - 1 suy ra n = - 2 Vậy với n {0 ; - 2} thì 3n + 4 n +1 Bài 4: M= 2+ 2 6 2 +x Do x z M z thì z x + 2 6 2 và x 2 +2 >0 x 2 +2=1 Ư(6) Nếu x 2 +2 =1 x 2 =-1 <0 loại ; x 2 +2 =2 x 2 =0 x=0 x 2 +2=3 x 2 =1 x= 1 ; x 2 +2 =6 x 2 =4 x= 2 Vậy giá trị x cần tìm làx { } 2;1;2;1;0 . Bài 5: Ta có: B = 2 2 2 5 15 15 5 5(3 1) 6 9 1 9 6 1 (9 6 1) x x x x x x x x x + = = + + B = 2 5(3 1) 5 (3 1) 3 1 x x x = ĐKXĐ x 1 3 Vì x Z nên 3x-1 Z do đó b Z 5 3 1 Z x -5 M (3x-1) 3x-1 là ớc của (-5) Ư(-5) {1; 5}Nếu 3x-1 = 1 thì x = 2 3 (loại) Nếu 3x-1 =-1 thì x=0 B=5 (TMĐK) ; Nếu 3x 1 =5 thì x=2 B= -1 (TMĐK) Nếu 3x-1 =-5 thì x= 4 3 (loại) ; Vậy các giá trị nguyên của x cần tìm là : x {0 ; 2} Bài 6:đkXĐ: x -1 2 4 ; 4 4 2; 4 ) 2 1 t x tx t t x t x = + = = + Với t = 4 phơng trình (2) vô nghiệm ;Với t 4 phơng trình (2) có nghiệm x= t t 4 2 ( TM đk x 1 ) Để phơng trình có nghiệm dơng x 0> t t 4 2 > 0 > > 04 02 t t < > 4 2 t t 2<t<4 Hoặc < < 04 02 t t > < 4 2 t t (loại)Vậy với 2<t<4 thì phơng tình (1) có nghiệm là số dơng Bài 7:P =x 2 -1- 1 2 2 ++ xx x . Vì x Z nên x 2 -1 Z để P Z 1 2 2 ++ xx x Z Vì x Z nên 2x Z ; x 2 +x+1 Z Do đó 1 2 2 ++ xx x Z 2x (x 2 +x+1) 2(x 2 +x+1) - 2x(x+1) (x 2 +x+1) (2x 2 + 2x +2-2x 2 -2x) (x 2 +x+1) 2 (x 2 +x+1) x 2 + x +1 là ớc của 2 Ư(2) {1; 2} mà x 2 + x + 1 = 2 1 3 ( ) 0 2 4 x + + > với mọi x nên x 2 + x + 1=1 x(x+1) = 0 x=0 hoặc x= -1 x 2 + x + 1=2 x 2 + x 1 = 0 2 2 2 1 5 1 5 1 5 0 ( ) 0 ( ) 4 4 2 4 2 4 x x x x+ + = + = + = 1 5 2 2 x + = x= 5 1 2 (loại) hoặc: 1 5 5 1 2 2 2 x x + = = (loại) Thử lại:Với x= 0 thì P = -1 (TM) ; Với x = -1 thì P = 2 (TM) Vậy có 2 giá trị nguyên của x thoả mãn x {0; -1} Bài 8:x 2 3x +9 = -xy+2y ; x 2 3x +9 +xy-2y = 0 ; x 2 2x+xy-2y-x+2+7 = 0 x(x-2) + y(x-2) (x-2) =-7 ; (x-2)(x+y-1) = -7 Vì x,y Z + nên x-2 > -7 và x-2 là ớc của (-7) Ư(-7) lớn hơn (-7) là 1; 7 TH1: 2 1 3 1 7 9 x x x y y = = + = = (loại) TH2: 2 1 1 1 7 7 x x x y y = = + = = TH3: 2 7 9 1 1 9 x x x y y = = + = = (loại) .Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là (x=1; y=7) Bài 9: Ta có: A = n 4 + 4 = ( n 2 +2 ) 2 2n 2 = ( n 2 2n + 2 )(n 2 +2n + 2 ) * n = 0 A = 0 không là số nguyên tố ; n = 1 A = 5 là số nguyên tố * Với n > 1 ta có: A = (( n 1) 2 + 1 )((n + 1) 2 + 1 ) Rõ ràng: n 2 2n + 2 và n 2 +2n + 2 là những số tự nhiên lớn hơn 1 nên A là hợp số. Vậy với n = 1 thì A là số nguyên tố. Câu 10: (x 2 4) ( x 3 + 4) P = (X 4 16 4x 3 8x 2 ) ( 16x 32) (x 2) (x + 2) ( x 2 + 4) = (x 2) ( x 3 2 x 2 + 4x 8) (x 2) ( x + 2) ( x 2 + 4) x + 2 4 = = = 1 + (x 2) 2 ( x 2 + 4) x 2 x 2 4 Từ biểu thức: p = 1 + ta thấy x 2 Để p nhận giá trị nguyên khi cho biến x giá trị nguyên thì x 2 phải chia hết cho 4 tức x 2 phải nhận một trong các giá trị 1; 2; 4. Do đó x phải lấy giá trị thuộc tập hợp M = { - 2; 0; 1; 3; 4; 6 } Bài 11 Để thì lẻ mà: ( Khi đó (*) có dạng: x 1 = 2; x 2 = - 4 Vậy các cặp số: (2;1); (2;-1); (-4;1); (-4;-1) thoả mãn điều (*) Nên nghiệm nguyên của phơng trình đã cho là: (2;1) ; (-4;1) (2;-1); (-4;-1) Bài 12: Với x > 0, ta có : (x 3 + 1 ) 2 = x 6 + 2x 3 + 1 < x 6 + 3x 3 + 1 = y 4 còn ( x 3 + 2 ) 2 = x 6 + 4x 3 + 4 > x 6 + 3x 3 + 1 = y 4 => ( x 3 + 1) 2 < y 4 < ( x 3 + 2 ) 2 nên y ( 0,25đ) Với x - 2, ta có : x 3 + 3 < 0 nên ( x 3 + 2 ) 2 = x 6 +4x 3 + 4 < x 6 + 3x 2 + 1 = y 4 ( x 3 + 1 ) 2 = x 6 + 2x 3 + 1 = x 6 + 3x 2 + 1 - x 3 > y 4 => ( x 3 + 2 ) 2 < y 4 < ( x 3 + 1 ) 2 => y với x = - 1 => y 4 = - 1 ( vô lý ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 19 3 2 4 2 21 3 2( 2 1) 3(7 ) 2( 1) 3(7 )( ) x x y x x y x x y x y + = + + = + + = + = yy 27 2 2)7(3 2 y 107 22 = yy 2 2 2 2( 1) 3.6 2( 1) 18 ( 1) 9 1 3 x x x x + = + = + = + = { 3 3 ; 990 990; 100 100; 10 10x x x x x x x x + + + + với x = 0 => y 4 = 1 => y = 1 Phơng trình đã cho có 2 nghiệm nguyên ( 0 ; 1 ) và ( 0 ; - 1 ) Bài 13: Ta thấy x 2 + x +1 >0 nên x 3 < y 3 , do đó x<y Xét 2 trờng hợp: a) Xét y=x+1 ta có x 3 + x 2 + x +1 = (x+1) 3 Giải phơng trình trên: 2x 2 +2x= 0 nên x 1 = 0; x 2 = -1 (0,25đ) b) Xét y>x+1 ta có x 3 + x 2 + x +1 > (x+1) 3 2x(x+1) < 0 -1< x< 0 loại Vậy các số x,y cần tìm là: x=0 thì y=1; x =-1 thì y=0 Bài14: (x 2 + 1) (x 2 + y 2 ) = 4x 2 y x 4 + x 2 y 2 + x 2 + y 2 - 4x 2 y = 0 x 4 + y 2 - 2 x 2 y + x 2 - 2x 2 y = 0 (x 4 - 2x 2 y + y 2 ) + x 2 (y 2 - 2y + 1) = ( x 2 - y) 2 + x 2 ( y - 1) 2 = 0 Đẳng thức xảy ra khi x 2 - y = 0 và x = 0 hay y = 1 Do đó x = 0 y = 0 ; Nếu y = 1 x 2 = 1 x = 1 Vậy các số nguyên nghiệm đúng phơng trình đã cho là:(x=0; y=0) hay(x=1y=1) hay (x = - 1; y = 1) Bài 15: Không có số nào trong 4 số x,y,z,t bằng 1 vì một trong 4 số bằng 1: GS: x=1 thì 2 2 2 1 1 1 1 1 y z t + + + > Trong 4 số x,y,z,t cũng không có số nào lớn hơn hoặc bằng 3. Thật vậy giả sử chọn x=3; y=z=t=2 thì: 1 1 1 1 1 9 4 4 4 + + + < Vậyx,y,z,t là các số nguyên lớn hơn 1 nhỏ hơn 3. nghiệm duy nhất của bài toán là: x=2; y=2; z=2; t=2. Bài 16: a)(1 điểm) Từ đẳng thức ta có x= 3 9 3 3 3 + = + yy y Từ đó suy ra y=6; x=2 là nghiệm nguyên dơng của hệ phơng trình b) Giả sử x y >0 thoả mãn bài toán . Khi đó 6 221212111 3 1 <= =+= y yxy x xy x xyyxyyx (1điểm) *) Với y=1,2,3 không t tại lời giải *) Với y=4 thay vào đẳng thức ta có y=9 *) Với y=5 thay vào đẳng thức ta có y=6 Vì vai trò của x, y là bình đẳng nên ta có các cặp số (x=9,y=4); (x=6; y=5); (x=4; y=9); (x=5; y=6) Bài 17: Vì |a| =|-a|. Do đó |x- 3| = |3-x| và |x-10| =|10-x| (0,25đ) Phơng trình đã cho tơng đơng với |3-x| + |10-x| +|x+101| +|x+990| +|1000| = 2004 (0,25đ) Mặt khác |a| a nên | | Vì Thay vào pt đã cho Bài 18: 2 242 2 485 48524852 y yx y xyxyx += + =+==+ (0,5 đ) Để x nguyên phải có )( 2 Ztt y = hay y = 2tThay vào x ta có: x = -4t + 24 t hay x = 24 5t 2004 3 10 101 990 1000 (3 ) (10 ) ( 990) ( 100) 101 2004 101 2003 101 1 x x x x x x x x x x x x = + + + + + + + + + + + + + + + + + { } { } ,( 101) ( 101) 1;0;1 102; 101; 100x z x z x x + + { } 100;102 x Ta đợc nghiệm nguyên của phơng trình là: )( 2 524 Zt ty tx = = (0,5 đ) Để x,y nguyên dơng phải có: > > 02 0524 t t hay 5 24 0 << t (0,5 đ) Vậy t = 1;2;3;4 tơng ứng có 4 nghiệm nguyên dơng (19;2) ; (9;6) ; (14;4) ; (4;8). Bài 19: Ta có: xy-2x-3y+1 = 0 3 562 3 12 12)3( + = == x x x x yxxy 3 5 2 += x y y nguyên 3 5 x nguyên 5;13 = x x-3 = 1 x=4 y=7 x-3 = -1 x=2 y=-3 (loại) x-3 = 5 x=8 y=3 x-3 = -5 x=-2 y=1 (loại) Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là: (4;7) và (8;3) (0,5 đ) Bài 20: Ta có: x + xy + y = 4 x + xy + y + 1 = 5 (x + 1)(y + 1) = 5 (1) Vì x , y nguyên nên từ (1) suy ra các trờng hợp sau: x + 1 = 5 x + 1 = 1 x + 1 = -1 x + 1 = -5 y + 1 = 1 y + 1 = 5 y + 1 = -5 y + 1 = -1 Giải và tìm đợc các nghiệm (4;0); (0;4); (-6;-2); (-2;-6) Bài 21: x 2 +3x +1 -p 2 = 0 x 2 +3x + 1 = p 2 giả sử Zp để p]ơng trình có nghiệm nguyên x 0 . Nếu x 0 > 0 ta có : x 0 2 + 4x 0 +4 > x 0 2 +3x 0 +1 > x 0 2 +2x 0 +1 (x 0 +2) 2 > p 2 > (x 0 +1 ) 2 điều này không xảy ra nên không tồn tại p để phơng trình có nghiệm nguyên dơng . Nếu x 0 < -3 khi đó x 0 2 +2x 0 +1 > x 0 2 + 3x 0 +1 > x 0 2 +4x 0 +4 (x 0 +1) 2 > p 2 > (x 0 +2) 2 Vậy không tồn tại p để phơng trình có nghiệm nguyên âm nhỏ hơn -3 . Nếu x 0 = -3 p 2 =1 p = 1 Nếu x 0 = -2 p 2 = -1 điều này không xảy ra Nếu x 0 = -1 p 2 = -1 loại Nếu x 0 = 0 p 2 = 1 p = 1 Vậy p = 1 thì phơng trình đã cho có nghiệm nguyên Bài 22: Nhận thấy nghiệm nguyên của phơng trình không thể là các số nguyên x -1. Thật vậy: Với x -1 ta có: 1 17x 18; 1 7x 8; 1 6x 7; 1- 5x 6. Suy ra: (17x 1)(7x 1)(6x 1)(5x 1) = (1 17x)(1 7x)(1 6x)(1 5x) 18. 8. 7. 6 > 1920. * Nhận thấy nghiệm nguyên của phơng trình không thể là các số nguyên x > 1. Thật vậy: Với x > 1 ta có: 17x 1 > 16; 7x 1 > 6; 6x 1 > 5; 5x 1 > 4. Suy ra : (17x 1)(7x 1)(6x 1)(5x 1) > 16. 6. 5. 4 = 1920. Vậy nghiệm nguyên x của phơng trình phải thoả mãn 1 < x 1. Thử trực tiếp x = 0 và x = 1 ta thấy x =1 là nghiệm duy nhất của phơng trình. Bài 23: (2 điểm) vì: n 2 + 6n + 2608 > 50 2 => m >50 (n+3 - m)(n+3+m) = -2599= -23 .113 = -1.2599 n + 3-m = -23 n + 3-m = -1 n + 3 + m = 113 hoặc n + 3 + m = 2599 n = { } 1296;42 Bài 24. a) 3 4 1 3 43 3 1 += + = + = nn n n n A ( 0,5đ) A có gá trị nguyên n-3 { } 4;2;1 ( 0,5 đ) n-3 1 -1 2 -2 4 -4 n 4 2 5 1 7 -1 Vậy n= { } 1;7;1;5;2;4 ( 0,5đ) b)Muốn cho 3 1 + n n là phân số tối giản thì ƯCLN ( n+1; n-3) phải bằng một ( 0,5đ) Ta có : ( n+1; n-3) = 1 ( n-3; 4 ) = 1 ( 0,5đ) n-3 2 n là số chẵn ( 0,5đ) Bài 25: Giả sử (x, y, z, t) là một nghiệm nguyên dơng của phơng trình. Không mất tính tổng quát giả sử x y z t >0 => ttzyx 41111 +++ Vì 1 1111 =+++ tzyx nên 41 4 t t hay t = 1;2;3;4 * Với t = 1 dễ thấy không xảy ra. (0,25 điểm) * Với t = 2 => 1 2 1111 =+++ zyx => 2 1111 =++ zyx ta lại thấy zzyx 3111 ++ hay z 6 vì z t => z = 2;3;4;5;6. +) Với z = 2 => 2 1 2 111 =++ yx vô lí +) Với z = 3 => 2 1 3 111 =++ yx => 6 111 =+ yx ta lại suy ra y 12 => y = 3;4;5;6;7;8;9;10;11;12. - Lần lợt thử với y= 3 ;4; 5; 6; 11 đều bị loại. - Lần lợt thử với y = 7;8;9;10;12 thỏa mãn và tơng ứng là các nghiệm: (42; 7; 3; 2), (24; 8; 3; 2), (18; 9; 3; 2), (15; 10; 3; 2), (12; 12; 3, 2). +) Với z = 4 tơng tự nh trên => y 8 => y = 4;5;6;7;8. - Lần lợt thử với y = 4; 7 đều bị loại - Lần lợt thử với y = 5; 6; 8 thỏa mãn và tơng ứng là các nghiệm: (20; 5; 4; 2), (12; 6; 4; 2), (8; 8; 4; 2) +) Với z = 5 tơng tự nh trên => y 20/3 => y = 5;6 - Lần thử với y = 6 bị loại - Lần lợt thử với y = 5 thỏa mãn và nghiệm là: (10; 5; 5; 2) +) Với z = 6 tơng tự nh trên => y 6 => y =6 - Thử với y =6 thỏa mãn và nghiệm là : (6; 6; 6; 2) (0,5 điểm) *Với t = 3 => 1 3 1111 =+++ zyx => 3 2111 =++ zyx ta lại thấy zzyx 3111 ++ hay z 9/2 vì z t => z = 3;4. +) Với z = 3 tơng tự nh trên => y 6 => y = 3; 4;5;6. - Lần lợt thử với y = 3; 5 đều bị loại - Lần lợt thử với y = 4; 6 thỏa mãn và tơng ứng là các nghiệm: (12; 4; 3; 3), (6; 6; 3; 3) +) Với z = 4 tơng tự nh trên => y 24/5 => y = 4. - Thử với y = 4 thỏa mãn và nghiệm là : (6; 4; 4; 3) (0,5 điểm) * Với t = 4 => 1 4 1111 =+++ zyx => 4 3111 =++ zyx ta lại thấy zzyx 3111 ++ hay z 4 vì z t => z = 4 +) Với z = 4 tơng tự nh trên => y 4 => y = 4. - Thử với y = 4 thỏa mãn và nghiệm là : (4; 4; 4; 4) (0,5 điểm) Phơng trình đã cho có các nghiệm nguyên dơng là: (42; 7; 3; 2), (24; 8; 3; 2), (18; 9; 3; 2), (15; 10; 3; 2), (12; 12; 3, 2). (20; 5; 4; 2), (12; 6; 4; 2), (8; 8; 4; 2) (10; 5; 5; 2) (6; 6; 6; 2) (12; 4; 3; 3), (6; 6; 3; 3) (6; 4; 4; 3) (4; 4; 4; 4) cùng với các hoàn vị của chúng. Bài 26:. Ta có: x + xy + y = 4 x + xy + y + 1 = 5 (x + 1)(y + 1) = 5 (1) Vì x , y nguyên nên từ (1) suy ra các trờng hợp sau: x + 1 = 5 x + 1 = 1 x + 1 = -1 x + 1 = -5 y + 1 = 1 y + 1 = 5 y + 1 = -5 y + 1 = -1 (0,25 đ) Giải và tìm đợc các nghiệm (4;0); (0;4); (-6;-2); (-2;-6) Bài 27: Ta có: x 3 -344=x 3 -343-1=(x 3 -7 3 )-1 (x-7) )7(1 x (do 77 33 xx 7, xZx ) = = = = Zx Zx x x 6 8 17 17 Vậy { } 8;6 x thì x 3 -344 chia hết cho x-7 Bài 28 : Ta có: 1,0 4 x (mod 16) Zx Thật vậy: Đặt x=2k+r (k Z; r=0;1) 44244 16)2( rxrMrkx +=+= (mod 16) hay 1;0 4 x (mod 16) (đpcm) Nh vậy: mxxx +++ 4 14 4 2 4 1 . (mod 16) với Zmm ;140 Mà 151919 (mod 16) => phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên Bài 29: Ta có x 3 -8x 2 +2x=x(x 2 +1)-8(x 2 +1)+x+8 x 2 +1 => x+8 x 2 +1 => x 2 -64 x 2 +1=> - 65 x 2 +1 => x 2 +1 Ư(65) mà x 2 +1 1 x Z =>x 2 +1 {1;5;13} = = = = = = =+ =+ =+ Zx Zx Zx loaix x x x x x 2 2 0 )(12 4 0 131 51 11 2 2 2 2 2 2 Thử lại ta đợc { } 2;0 x thì 128 223 ++ xxxx Bài 30: 0166 6 1 6 111 =++=++ xyxy xyyx 37)6)(6( = yx mà x nguyên dơng => x-6 -5 => x-6 {-1;1;37} lập bảng x-6 -1 1 37 y-6 -37 37 1 x 5 7 (TM) 43(TM) y -31(loại) 43(TM) 7(TM) Vậy tập nghiệm nguyên của phơng trình đã cho là:S={(7;43);(43;7)} Bài 31: Phơng trình đã cho tơng đơng với: ( ) ( ) 1513 2 =+ yx { } 15;5;3;11 2 y { } 16;6;4;2 2 y Nhng 2 y là số chính phơng nên { } 16;4 2 y * Với ( ) 2;24 2 === yxy là nghiệm * Với 216 2 == xy (loại) Kết luận: . Bài 32: Giả sử cặp số nguyên ( x ; y ) thoả mãn phơng trình : x 4 +(x+1) 4 =y 2 +(y+1) 2 (*)